CC BY
32
УДК 681.511.2
НАИБОЛЬШАЯ СТЕПЕНЬ УСТОЙЧИВОСТИ ТРЁХМАССОВОЙ СИСТЕМЫ С РЕГУЛЯТОРОМ ПОНИЖЕННОГО ПОРЯДКА
Корюкин Анатолий Николаевич,
канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. Института математики им. Соболева, Россия, 630090, г. Новосибирск, пр. Коптюга, 4. Е-таИ; koryukin@sibmail.ru
Воевода Александр Александрович,
д-р техн. наук, проф. кафедры автоматики Новосибирского государственного технического университета, Россия, 630073, г. Новосибирск, пр. Карла Маркса, 20. Е-таУ; ucit@ucit.ru
Трёхмассовая система определяется шестью параметрами (три массы и три жёсткости), и эти шесть параметров фиксированы. Актуальность. Задача определения наибольшей степени устойчивости является насущной и актуальной темой линейной теории автоматического управления. В данной работе наибольшая степень устойчивости исследуется для класса объектов, наиболее часто рассматриваемых в качестве моделей.
Цели исследования. В качестве объекта управления рассматривается произвольная трёхмассовая система, то есть любые массы и жёсткости. Эта трёхмассовая система рассматривается как одноканальная, управляемая регулятором 3/3 (числитель передаточной функции которого - полином степени не более чем 3, а знаменатель - полином степени 3). Управляющая сила приложена к массе, ближайшей к неподвижному основанию; регулируемая величина - отклонение третьей массы. Рассматривается также случай, когда управляющая сила приложена к наиболее удалённой от основания массе, а регулируемая величина - отклонение первой массы. Исследуется наибольшая (максимальная, предельная) степень устойчивости. Работа опирается, прежде всего, на следующее утверждение, доказанное в более раннем и более объёмном исследовании: для любой трёхмассовой системы наибольшую степень устойчивости обеспечивают регуляторы, для которых корни характеристического полинома с наибольшей вещественной частью образуют четырёхкратную комплексную пару.
Методы. Для произвольного фиксированного объекта, пробегая регуляторы 3/3, характеристические полиномы образуют некоторый класс полиномов девятой степени со старшим коэффициентом 1 с двумя линейными связями. В классе этих полиномов ищется устойчивый полином с наибольшей степенью устойчивости. Затем по этому полиному восстанавливается регулятор, обеспечивающий эту устойчивость.
Результаты. Положение девятого корня зависит исключительно от значения одного параметра объекта. Приведена инструкция по вычислению этого параметра объекта, наибольшей степени устойчивости, характеристического полинома и регулятора 3/3, обеспечивающего эту устойчивость. Вычисления проделаны на следующем примере: массы и жёсткости равны единице. Оказалось, что в этом случае девятый корень характеристического полинома не является самым правым.
Выводы. Данная работа может служить основой методики вычисления наибольшей степени устойчивости и регуляторов пониженного порядка, обеспечивающих эту устойчивость, и для других управляемых одноканальных систем пониженного порядка.
Ключевые слова:
Модальный синтез, регуляторы пониженного порядка, устойчивость, трёхмассовая система, наибольшая степень устойчивости, максимальная степень устойчивости, предельная степень устойчивости.
Введение
Несмотря на почтенный возраст и солидную историю [1-7], линейная теория управления продолжает активно развиваться [8-12].
В линейной теории большое значение имеют регуляторы пониженного порядка - ведь их дешевле и проще изготовлять [9, 10, 13].
Одно из основных и давних направлений линейной теории управления - обеспечение устойчивости для регуляторов пониженного порядка [14-16]. С этим связано понятие «степень устойчивости».
Часто требуется подобрать параметры регулятора так, чтобы колебания затухали наиболее быстро. В линейной теории это можно делать, уменьшая максимум вещественных частей корней характеристического полинома. В этой ситуации чаще всего говорят о максимальной степени устойчивости.
Существуют сотни публикаций о максимальной степени устойчивости. Наиболее цитируемые из них - [15, 16].
Основные работы первого из авторов по поиску максимальной степени устойчивости - [17-19]. В этих работах максимальная степень устойчивости ищется для некоторых классов объектов. Им предшествует работа [20], в которой исследование проводится для конкретных объектов.
Данная работа поясняет и продолжает исследование [17, 18] наибольшей степени устойчивости для произвольной одноканальной трёхмассовой системы без трения в случае, когда управляющая сила действует на первую массу, а наблюдаем за отклонением третьей массы, для регулятора 3/3, обеспечивающего эту устойчивость. Имеется в виду регулятор, у которого числитель и знаменатель передаточной функции есть полиномы степени 3. В данной работе рассмотрим также случай, когда управляющая сила действует на третью массу, а наблюдаем за отклонением первой массы. Из этого изложения понятно, как вычислить наибольшую степень устойчивости и регулятор 3/3, обеспечивающий эту устойчивость.
Изложена также инструкция по вычислению наибольшей степени устойчивости и регулятора 3/3, обеспечивающего эту устойчивость, на конкретном примере.
Данная работа и [17, 18] могут служить образцом и основой методики исследования наибольшей степени устойчивости и регуляторов пониженного порядка, обеспечивающих эту устойчивость.
Постановка задачи: от объекта
до характеристического полинома
Динамика объекта без трения описывается следующими дифференциальными уравнениями:
2х1 = и1 + w1 - к1 х1 + к2 (х2 - х1),
ш252х2 = и2 +w2 - к2 (х2 - х1) + к3 (х3 - х2),
ш^2х3 = и3 +w3 - к3 (х3 - х2). (1)
Здесь я - оператор дифференцирования по времени; т1 (¿=1,2,3) - массы (нумеруем их от неподвижного основания); к1 - коэффициенты жёсткости пружин; х1 - отклонения (отсчитываемые от точки покоя); щ - управляющие силы; w¡=w¡(í) -возмущающие силы. Введём параметры объекта
П = 1/Ш;; р0 = П2к2, Р1 = п^,
Р2 = пзкз , рз = П2к3 , Р4 = п1к2
и перепишем уравнения (1):
(52 + п1к1 + п1к2) х1 - п1к2 х2 = п1 (и1 + w1), -п2к2х1 + (52 + п2к2 + п2к3)х2 -п2к3х3 = п2(и2 + w2),
- п3к3 х2 + (52 + п3к3) х3 = п3(и3 + w3). (2)
Рассмотрим параметры объекта
р0 = n2k2, р1 = n1k1, р2 = n3k3, р3 = п2k3, р4 = п1к2
и перепишем уравнения (2):
(5 2 +р1 + р4) х1 - р4 х2 =п1(и1 + щ X
-р0х1 + (52 +р0 +р3 )х2 - р3х3 = п2 (и2 + W2 I
- р2 х2 + (5 2 + р2) х3 = п3(и3 +w3).
От системы из трёх последних уравнений к (2) можно вернуться по формулам:
к = А, к2 = А, к3 = АА, п2 = рЛ, п3 = Р^.(3)
1 п1 П1 роП1 р4 3 ЛЛ
В данной работе рассматриваем случай, когда объект управляется регулятором 3/3: его числитель передаточной функции - полином степени не более чем 3, а знаменатель - полином степени 3. Введём обозначения для коэффициентов числителя и знаменателя:
Ыс (5) = Ь0 + + ьу + ьу, Ос(э) = с0 +0^ + 0^ + 53. (4)
Воспользуемся формулами (3) и запишем передаточную функцию объекта через параметры р¿:
р2РОп1
6 4.12. ,
5 + да + ш + р0р2р1
где
b _ Р0Р1 + Р0Р2 + Р2Р4 + Р3Р1 + Р3Р4 + Р2Р1 >
a_ Po + Р1 +Р2 +Рз +Рл
- параметры объекта (управляем массой 1 и наблюдаем за массой 3).
Замечание 1. Если управляемую и наблюдаемую массы поменять местами, то передаточная функция объекта не изменится.
Выпишем знаменатель и числитель передаточной функции объекта:
Dob (s) _S<¡ +a*4 +bs 2 + Р оР 2Р\' Nob _ Р 2Р oPl-
Теперь, после перехода к параметрам объекта n1, p¡, характеристический полином Dob(s)Dj(s)+NobNc(s) будет выглядеть так:
f (s) = s9 + c2s8 + (a + cl)s7 + +(ac2 + c0)s6 + (b + acl)s5 +
+(bc2 + aco)s 4 + (Р2Роп1Ьз + Р0Р2Р1 + bci)s 3 + +(Р2Р oPib2 + РоР2Р£2 + bco)s 2 +
+ (Р0Р2РЛ + Р2 РоПА> + Ро Р2Р{0 + Р2РоПЛ-
Связи. Сведение к полиномам со связями
Сведение к классу полиномов, заданному двумя параметрами a, b. Введём обозначения для коэффициентов характеристического полинома:
f (s) = s9 +K8S8 + ... + K1S + K0.
Приравняем коэффициенты при степенях 8,...,0 в обеих записях полинома. Получим 9 равенств. Эти равенства рассмотрим как уравнения, в которых неизвестные - это параметры регулятора. Эти уравнения линейны (относительно параметров регулятора). Исключим из них параметры регулятора (их 7). Получим 7 формул для вычисления параметров регулятора через коэффициенты полинома
_ <ЛК8РоР1Р2 - КбРоР1Р2 +K0 b0 ' 0 П1РоР2
_ С1Р0Р1Р2 - K7 Р0Р1Р2 +Kl
(5)
П1р0Р2
Ь = - КЕР0Р1Р2 + аЬК8 - ЬК6 + К2 с Ь п1р0р2 , 02
Ь = -РОР1Р2 +аЬ - ЬК7 +К3
3 П1РОР2 ,
с0 = -аК8 +К6, с1 = -а + К7,
и две связи коэффициентов:
а2 - Ь- аК7 +К5 = 0, (а2 - Ь)К8 - аК6 +К4 = 0.
Сведение к классу полиномов, заданному одним параметром £. Корни я характеристического полинома и параметр объекта ^¡а имеют одинаковую размерность - о-братную врем-ени. Рассмотрим безразмерное S=s/¡a. Тогда я=84а. Так как
(5 + К8 л/^)8 +... ■+ + К0.
Старший коэффициент полинома /(Б^а) есть а9/2. Нормируем полином /З^а). Введём обозначение для полученного полинома:
^ (5) = / (^л/а)/а9 / 2 = 59 + 8 + ...+ 4^ +
K
9 / 2'
а ~ а8 а
Введём обозначения для его коэффициентов:
5) = 59 +С8 58 +.. + + С0. Из двух последних равенств получим:
Значит, Кт=Ст-а(9-т)/2при т=1,2,...,8. Перепишем теперь связи коэффициентов характеристического полинома:
a2 - b -(a2 - b)a 1/2C
a • a- C7 + a 2C5 = 0, ,- a- a 3/2C + a5/2C = 0,
или
-C7 + C5 =0;
-C
c6+c4 = o.
а" а
Таким образом, коэффициенты полинома удовлетворяют двум связям
Т - С7 + С5 = 0, ТС8 - С6 + С4 = 0, (6)
где Т=1-*, г=Ъ/а2.
Итак [17. С. 9], при фиксированных параметрах объекта и при произвольных параметрах регулятора множество полиномов ^ (З) - это множество полиномов ^ (£)=£9+С8£8+...+С1£+С0, удовлетворяющих обеим связям (6).
К коэффициентам К можно вернуться по формулам: К=С/а (9-)/2.
Оказалось, что для трёхмассовых систем значения параметра I лежат в точности в интервале 0<К1/3 [17. С. 16]. Значит, 2/3<Т<1.
Теперь задача наибольшей устойчивости трёх-массовой системы сведена к поиску наиболее устойчивых полиномов со связями (6).
Четырёхкратная комплексная пара
на правой вертикали
Правой вертикалью любого полинома назовём вертикаль комплексной плоскости, на которой есть корни этого полинома, а правее этой вертикали корней нет. Одним из основных результатов исследований [17, 18] является следующее утверждение.
Теорема 1. [18. С. 48-49. Теорема 9]. Среди всех полиномов девятой степени со старшим коэффициентом единица и со связями коэффициентов (6), наибольшей степенью устойчивости обладают полиномы с четырёхкратной комплексной парой на правой вертикали.
Утверждение этой теоремы самое объёмное: это параграфы 5-7 в [17] и §§ 12-14, 18 в [18]. За недо-
статком места раскроем только другую часть исследования: поиск наиболее устойчивых полиномов в классе полиномов со связями (6) и с четырёхкратной комплексной парой на правой вертикали.
Рассмотрим полином ^ (£)=£9+С8£8+...+С1£+С0 со связями (6), на правой вертикали которого находится четырёхкратная комплексная пара. Обозначим её х±у1. Считаем, что х<0. Пусть г - оставшейся корень; д=х2+у2. Полином можно записать в виде (S-г)(S2-2xS+q)i. Выпишем для него обе связи (6) и сгруппируем в них слагаемые по г:
- г + (-8 х + 32 х3 + 24 хд) г +1 + 48 х2 д -
-24х2 - 4д +16х4 + 6д2 = 0, (7)
(г + 24х2 -1 - 6я2 + 4я -16х4 - 48х2д)г +
+8гх - 32х3д + 24хд + 32х3 - 8х - 24хд2 = 0. (8)
Разложим на множители коэффициент при г в левой части первой связи: 8х(4х2-1+3д). Так как х<0, то х^0. В [18. § 11. С. 32, 33] показано, что тогда 4х2-1+3д^0. Теперь можно выразить г из связи (7):
116х4 + 48дх2 + 6д2 - 24х2 - 4д - г +1 /т
г =---;-. (9)
8 х(4х2 + 3д -1)
Рассмотрим связи (7), (8) как систему уравнений, линейных относительно г. Выпишем определитель матрицы этой системы:
г2 + (224 х4 + 96 дх2 -12 д2 -16 х2 + 8 д - 2) г + +256х8 + 512 дх6 + 960д2х4 + 256х6 -
-640дх4 + 36д4 + 96д2х2 + 96х4 - 48д3 -
-96дх2 + 28д2 +16х2 - 8д +1 = 0. (10)
При х^0 система уравнений (9), (8) равносильна уравнениям (7), (10).
Полином в левой части равенства (10) зависит только от чётных степеней х. Введём Х=х2и подставим в (10) х=— ■х. Получим:
г2 + (224Х2 + 96Хд -12д2 -16Х + 8я - 2) г +
+256Х4 + 512 дХ3 + 960д2 X2 + 36 д4 +
+256Х3 - 640дХ2 + 96д2X - 48д3 + 96Х2 -
-96дХ + 28д2 + 16Х - 8д +1 = 0. (11)
Полином в левой части последнего равенства второй степени по переменной . Соберём полный квадрат:
(112Х2 + 48Хд - 6д2 - 8Х + 4д + г -1)2 = = 64Х(4Х -1 + 3д)(48Х2 + 4Хд -3д2 + 4Х + д). (12)
Слагаемые вне полного квадрата образуют полином, разложимый на множители. Введем обозначения: р1=4Х-1+3д, g1=48X2+4Xq-3q2+4X+q. Левая часть равенства (12) неотрицательная. Значит, для точек кривой (11) при Х>0 выполнено неравенство р1^1>0. На плоскости (Х^) Н1=0 - прямая и £1=0 - гипербола. Нарисуем их.
Fig. 1. Straight line 4X+3q-=G and hyperbolic line 48X2+4Xq-3q2+4X+q=G
X
Рис. 2 t=0. Овал Fig. 2. t=0. Oval
На рис. 1 выше прямой выполнено неравенство Pj>0, ниже -p1<0. В полуплоскости Х>0 в области правее обеих ветвей гиперболы выполнено неравенство ^>0; выше и ниже - неравенство §1<0. При Х>0, q>0 от гиперболы остаётся только верхняя часть правой ветви (выше прямой).
Теперь понятно, что при Х>0, q>0 неравенство Pi£i>0 выполнено только в первой четверти плоскости, выше прямой и правее гиперболы, то есть
4X + 3q-1 > 0, 48X2 + 4Xq - 3q2 + 4X + q > 0. (13)
Вспомним, что z<x (девятый корень на правой вертикали или левее). В неравенстве z-x<0 заменим z по формуле (9). Воспользуемся неравенством x<0 и первым из неравенств (13), и в полученном неравенстве избавимся от знаменателя. Получим
48х4 + 72qx2 + 6q2 - 32х2 - 4q - г +1 < 0,
или
48Х2 + 72Xq + 6q2 - 32Х - 4q - г +1 < 0. (14)
Введём обозначения: g2 - полином из левой части неравенства (14); О - полином из левой части равенства (11). При любом фиксированном t на плоскости (X, q) кривая g2=0 - гипербола.
Факт 1. В [17. С. 35-38] показано, что при фиксированном 0<К1/3 в секторе q>X>0 плоскости (Х^) кривая О(Х^)=0 ограничена с двух сторон двумя касающимися её вертикалями; на любой вертикали между этими двумя есть ровно две точки кривой.
На рис. 2 на плоскости (Х^) при t=0 изображены: прямые q=X, 4X+3q-1=0•, гипербола £2=0; кривая О(Х^)=0 (яйцевидный овал). Факт 1 гарантирует, что в секторе q>X>0 других точек кривой О(Х^)=0, кроме овала, нет.
Точки, для которых в первой четверти выполнено неравенство (14) - это точки ниже гиперболы £2=0. Итак, нас интересуют точки овала в первой четверти плоскости (Х^), выше обеих прямых q=X, 4X+3q-1=0 и ниже гиперболы £2=0. При восстановлении исходной ситуации точки гиперболы станут полиномами, у которых все корни будут на правой вертикали (причём 8 из них будут образовывать четырёхкратную комплексную пару). В верхней части овала (выше параболы) девятый корень будет находиться левее четырёхкратной комплексной пары. Из формулы (9) следует, что на овале при приближении к прямой 4X+3q-1=0 девятый корень будет устремляться к минус бесконечности.
Нарисуем теперь (рис. 3) прямую 4X+3q-1=0, гиперболу g2=0 и кривую О (Х^)=0 при достаточно большом К1/3, например при t=0,24.
Рис. 3. Прямая 4X+3q~1=0, гипербола д-,=0 и кривая O(X,q)=0 при t=0,24
Fig. 3. Straight line 4X+3q-1=0, hyperbolic line g2=0 and a curve 0(X,q)=0 at t=0,24
Вспомним, что нас интересует наибольшая устойчивость, а это самая правая точка овала (на двух последних графиках). Видим, что при t=0 (рис. 2) это правая точка пересечения гиперболы и овала, то есть в этой точке все 9 корней будут на одной вертикали. На последнем же графике (при t=0,24) наибольшую устойчивость обеспечивает самая правая точка овала.
Из соображений непрерывности понятно, что при изменении параметра t от нуля до К1/3 будет хотя бы одно значение этого параметра, при котором гипербола проходит через самую правую точку овала. Для [17. С. 39] эти значения параметра t вычислены. Оказалось, что оно единственно и ^«0,201.
Теорема 2. [18. С. 48-49. Теорема 9]. В классе полиномов со связями (6) с четырёхкратной комплексной парой на правой вертикали [17. § 11] имеем:
• При Ш0«0,201 наиболее устойчив полином, параметры X, q которого вычисляются как одно из двух совместных решений уравнений (11),
48Х2 + 72Xq + 6q2 - 32Х - 4q - г +1 = 0 (15)
с большим X. Это правая точка пересечения овала и гиперболы (15). В этом случае все корни лежат на одной вертикали.
• При ^¡¡«0,201 наиболее устойчив полином, параметры X, q которого вычисляются как одно из двух совместных решений уравнений (11),
-Щ2 + (240Х2 + 24Х -3г + 7)q + +64Х3 - 80Х2 + 12Хг - 12Х + г -1 = 0 (16) с большим X (в левой части последнего равенства одна восьмая частной производной полинома О по переменной q). Это правая точка пересечения овала и гиперболы (15). В этом случае девятый корень лежит строго левее правой вертикали.
Методика исследования одноканальной трёхмассовой системы
В данной работе и в [17, 18] виден следующий путь исследования одноканальных трёхмассовых систем, управляемых регулятором, числитель и знаменатель передаточной функции которого - полиномы степени 3:
1. Выписать передаточную функцию объекта, регулятора и характеристический полином.
2. Характеристические полиномы образуют некоторое множество полиномов с линейными связями. Выписать связи.
3. За счёт подбора единицы измерения корней упростить связи.
4. Так же как в [17, 18], ищем наибольшее число т корней на правой вертикали такое, что для произвольного полинома со связями найдётся непрерывное преобразование полиномов со связями, сдвигающие правую вертикаль влево и заканчивающиеся тем, что на правой вертикали окажется ещё один корень. Для этого для
к=1,2,..., начиная с к= 1, ищём непрерывное преобразование полиномов со связями, сдвигающие правую вертикаль влево и оканчивающееся тем, что на правой вертикали окажется ещё один корень. В данном исследовании для любого полинома со связями оказалось возможным непрерывно сдвинуть правую вертикаль влево так, что на ней оказывается т=8 корней из девяти [17. §§ 5-7], [18. §§ 13, 18].
5. Так же, как в [17, 18], искать непрерывные преобразования полиномов со связями, сдвигающие правую вертикаль влево и оканчивающиеся тем, что два корня на правой вертикали совпадут. В данном исследовании для любого полинома со связями оказалось возможным непрерывно сдвигать правую вертикаль с восьмью корнями влево так, что в конце этого преобразования эти корни на правой вертикали образуют четырёхкратную комплексную пару.
6. В полученном множестве полиномов найти полином с наибольшей степенью устойчивости.
Пример вычислений
В данном исследовании хорошо просматривается следующая последовательность вычислений.
1. Рассмотрим объект, у которого все массы и жёсткости равны единице:
ш1 = ш2 =ш3 = 1, к1 =к2 = к3 = 1.
2. Вычислим для него параметры. Обратные массы:
п1= 1/ ш.; = 1; р0 = п2к2 = 1, р1 = п1к1 = 1, р2 = п3к3 = 1, р3 = п2к3 = 1, р4 = п1к2 = 1;
а = р0 +Р1 +Р2 +Р3 + Р 4 = 5
Ь = Р0Р1+Р0Р2 + аа + Р3Р1 + Р3РЛ + Р!РХ = 6; г = Ь /а2 = 6 / 52 = 6 / 25 = 0,24.
3. Видим, что t=0,24>t0«0,201. Значит, согласно последней теореме, наилучшая устойчивость должна достигаться, когда девятый корень строго левее правой вертикали. Это подтверждает последний график (для t=6/25=0,24).
4. Вычисление управления, соответствующего правой точке овала.
4.1. Выпишем остаток при делении полинома О^) (11) на полином О^) (16) (одна восьмая частной производной полинома О^) по переменной q):
г1 (у) = (480Х2 + 48Х - 6г + 2^2 + +(-4 / 3 - 56 Х + 72 Хг + 4г + 384Х3 - 320Х2) q + +256Х4 + г2 + 8Х + (896/ 3)Х3 - (4/3)г + +224Х2г +1/3- 8Хг + (128/3)Х2.
4.2. Выпишем остаток е^) при делении полинома О^) на полином г^) по переменной q:
е(су) =-48Х-е (У)
(240Х2 + 24Х -3г + 1)2 2
где
е2( Я) =
д +
(290304X5 + 66048X4 + ^
+(-15552? + 9024) X3 + +(-3648? +1216) X2 + +(702?2 - 612? +126)X +18?2 -12? + 2)
+86016X6 - 66048X5 + (22272? - 26368)X4 + +(11328? - 5056) X3 + (1200?2 + 992? - 464) X2 + +(-162?2 +156? - 34)X + 9?3 -15?2 + 7? -1.
4.3. Заметим, что при Х>0, ¿<1/3 знаменатель дроби е(д) положителен. Поэтому уравнение е(д)=0 равносильно уравнению е2(д)=0.
4.4. Выпишем полином е1(д) при ¿=6/25: (2,90315X5 + 66050 X4 +5292 X3 1+340,5 X2 +19,56 X+0,1568 ) Я +
+ 8602 X6 - 66050 X5 -21020 X4 -2337 X3 --156,8 X2 -5,891 X -0,05958 =0.
4.5. Заметим, что последний полином степени 1 по д, причём коэффициент при д положителен. Приравняем последний полином к нулю и выразим д через X:
(1,34419 X6 -1,03219 X5 - ^
-3,28518X4 - 3,65217X3 -
^-2,4516X2 -92050,0X-931,0,
д = -0,02-
( 9,07217 X5 + 2,06417 X4 + ^ +1,65416 X3 +1,06415 X2 + +6111 X + 49
(17)
4.6. С помощью последнего равенства в уравнении г1(д)=0 выразим д через X (специализируем также ¿=6/25). Избавимся от ненулевого знаменателя. Получим
3,951 • 1015 • X10 +1,016-1016 • X9 + 3,461-1015 • X8 +
+4,607 -1014 • X7 + 3,526 -1013 • X6 + +2,747 4012 • X5 +1,690 •Ю11 • X4 + 3,63 4 09 • X3 --2,168 • 107 • X2 - 6,62 • 106X + 45 620 = 0.
4.7. Найдём вещественные корни полинома из левой части: -2,1959, -0,1388, 0,007, 0,232.
4.8. Возьмём наибольший корень: Х=0,0232.
4.9. Вычислим параметр д по формуле (17): д=0,359.
4.10.Убеждаемся, что д=0,359>Х=0,0232.
4.11.Вычислим уНд-Х=0,5796. _
4.12.Вычислим х по формуле х=- /X: х=-0,1522.
4.13.По формуле (9) вычислим параметр г: г=-0,2453.
4.14. По формуле ¥(8)=(8-г)(82-2хБ+д)4 вычислим полином Дй):
^ (£) = £9 +1,463 £8 + 2,291 £7 +1,913 £6 +
+1,531 £5 + 0,801 £4 + 0,382 £3 +
+0,119 £2 + 0,03 £ + 0,004.
4.15.Масштаб ко-ней характеристического полинома: д/а=Л/5«2,236.
4.16.Исходная корневая переменная: в=Б/а=8л/5^2,236Б.
4.17.Вычислим корни исходного характеристического полинома. Вещественная часть комплексного корня (правая вертикаль, наибольшая степень устойчивости): х/а=-0,34; мнимая составляющая комплексного корня: у/а=1,3296; девятый корень: г/а=-0,548.
4.18. Девятый корень лежит строго левее правой вертикали: -0,548<-0,34.
4.19. Вычислим характеристический полином по формуле /($)=¥($//0) а9'2:
/ (5) = 59 + 3,271/ +11,45 57 + 21,38 / + 38,26 55 + + 44,7954 + 47,78 53 + 33,36 52 +19,03 5 +5,7.
4.20. Вычислим параметры регулятора по формулам (5):
Ь0 = 0,667, Ь1 = 12,58, Ь2 = -0,1002, Ь3 = 8,067, с0 = 5,031, с1 = 6,453, с2 = 3,271.
4.21. Выпишем регулятор по формулам (4): 8,067 5 -0,1002 52 +12,58 5 + 0,667
53 + 3,271 52 + 6,453 5 + 5,031 .
Заключение
Была исследована наибольшая степень устой-
чивости произвольной одноканальной трёхмассо-
вой системы, управляемой регулятором 3/3 (чи-
слитель и знаменатель его передаточной функ-
ции - полиномы степени 3), в случае, когда упра-
вляющая сила действует на массу, ближайшую к
основанию, а в качестве регулируемой величины
выбираем отклонение второй массы. Замечено, что
если поменять местами управляемую и наблюдаемую массы, то максимальная степень устойчивости и обеспечивающий её регулятор не изменятся. Приведён пример вычисления максимальной степени устойчивости и обеспечивающего её регуля-
тора 3/3. Данная работа и [17, 18] могут служить основой методики исследования наибольшей степени устойчивости и вычисления регулятора пониженного порядка, обеспечивающего эту устойчивость, и для других классов управляемых однока-нальных систем пониженного порядка.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Первозванский А.А. Курс теории автоматического управления. - М.: Наука, 1986. -616 c.
2. Chi-Tsong Chen. Linear system theory and design. - New York; Oxford: Oxford University Press, 1999. - 176 p.
3. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. - М.: Наука, 2002. - 303 с.
4. Antsaklis P.J., Michel A.N. Linear Systems. - Boston; Basel; Berlin: Birkhauser, 2006. - 670 p.
5. Qing-Guo Wang. Decoupling Control. - Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 2003. - 356 p.
6. Mathukumalli Vidyasagar. Control System Synthesis: a Factorization Approach. P. I // Synthesis Lectures on Control and Mechatronics. - June 2011. - V. 2. - № 1. - P. 1-184. DOI: 10.2200/S00351ED1V01Y201105CRM002.
7. Mathukumalli Vidyasagar. Control System Synthesis: a Factorization Approach. P. II // Synthesis Lectures on Control and Mechatronics. - June 2011. - V. 2. - № 1. - P. 1-227. DOI: 10.2200/S00358ED1V01Y201105CRM003.
8. Поляк Б.Т., Хлебников М.В., Щербаков П.С. Управление линейными системами при внешних возмущениях: Техника линейных матричных неравенств. - М.: ЛЕНАНД, 2014. - 560 с.
9. Честнов В.Н., Зацепилова Ж.В. Понижение порядка SISO-ре-гуляторов на основе критерия Найквиста // XII Всеросс. совещание по проблемам управления ВСПУ-2014. - М., 16-19 июня 2014. - C. 241-247.
10. Федюков А.А. Стабилизация систем с фазовыми ограничениями с помощью динамических регуляторов пониженного порядка // XII Всеросс. совещание по проблемам управления ВСПУ-2014. - М., 16-19 июня 2014. - C. 338-344.
11. Федюков А.А. Стабилизация по измеряемому выходу двух-звенного перевернутого маятника // Вестник ННГУ. - 2012. -№2. - С. 177-183.
12. Честнов В.Н., Самшорин Н.И. Синтез робастных регуляторов при параметрической неопределенности и внешних возмуще-
ниях // XII Всеросс. совещание по проблемам управления ВСПУ-2014. - М., 16-19 июня 2014. - C. 1033-1045.
13. Некоторые методы синтеза регуляторов пониженного порядка и заданной структуры / В.А. Бойченко, А.П. Курдюков,
B.Н. Тимин, Чайковский М.М, И.Б. Ядыкин // Управление большими системами: сборник трудов. -2007. - Т. 19. -
C. 23-126.
14. Киселев О.Н., Поляк Б.Т. Синтез регуляторов низкого порядка по критерию и по критерию максимальной робастности // Автоматика и телемеханика. - 1999. - № 3. - С. 119-130.
15. Исследование оптимальных по степени устойчивости решений при ПИД управлении. Ч. 1 / А.М. Шубладзе, В.Е. Попадько, А.А., Якушева С.И. Кузнецов // Управление большими системами: сборник трудов. - 2008. - № 22. - С. 86-100.
16. Шубладзе А.М. Достаточные условия оптимальности структур в системах максимальной степени устойчивости произвольного вида // Автоматика и телемеханика. - 1999. - № 4. -С. 43-57.
17. Корюкин А.Н. Наибольший запас устойчивости трёхмассовой системы с регулятором третьего порядка. Ч. 1 // Сборник научных трудов НГТУ. - 2013. - № 3 (73). - С. 4-40.
18. Корюкин А.Н. Наибольший запас устойчивости трёхмассовой системы с регулятором третьего порядка. Ч. 2 // Сборник научных трудов НГТУ. - 2013. - № 4 (74). - С. 13-50.
19. Корюкин А.Н. Предел устойчивости по Гурвицу двухмассовой системы с ПИД-регулятором. Ч. 2 // Сборник научных трудов НГТУ. - 2012. - № 4 (70). - С. 13-44.
20. Voevoda A.A., Koryukin A.N., Chekhonadskikh A.V. Reducing the Stabilizing Control Order for a Double Inverted Pendulum // Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing. - 2012. -V. 48. - № 6. - P. 593-604.
Поступила 20.06.2014 г.
UDC 681.511.2
MAXIMUM STABILITY DEGREE OF A THREE-MASS SYSTEM WITH A LOWER-ORDER CONTROLLER
Anatoly N. Koryukin,
Cand. Sc., Sobolev's Institute of Mathematics, 4, Koptyug's Avenue, Novosibirsk, 630090, Russia. E-mail: koryukin@sibmail.ru
Alexander A. Voevoda,
Dr. Sc., Novosibirsk State Technical University, 20, Karl Marx Avenue, Novosibirsk, 630073, Russia. E-mail: icit@icit.ru
A three-mass system is defined by six parameters (three weights and three rigidity), and these six parameters are fixed. Relevance. The problem of defining the maximum stability degree is an essential and urgent topic of the linear theory of automatic control. The paper considers the maximum stability degree for a class of objects which are considered most often as models. Research objectives. Any three-mass system, that is any masses and rigidity, is considered as a control object. This three-mass system is considered as a single-channel, operated by a regulator 3/3 (polynomial of a degree no more than 3 is the numerator of a transfer function, and a denominator is a polynomial of degree 3). Steering force is applied to the weight closest to the motionless basis; adjustable size is a deviation of the third weight. The paper considers as well the case when the steering force is applied to the weight most remote from the basis, and the adjustable size is a deviation of the first weight. The maximum (limiting) stability degree is investigated. The paper is guided first of all by the following statement proved in earlier and more volume research: for any three mass systems the maximum stability degree is provided by controllers for which the roots of a characteristic polynomial with the greatest material part form quadruple complex pair.
Methods. For any fixed object, running controllers 3/3, the characteristic polynomials form some class of polynomials of the ninth degree with the senior factor 1 with two linear communications. In the class of these polynomials the steady polynomial with the maximum stability degree is sought. Then the controller providing this stability is restored by this polynomial.
Results. The position of the ninth root depends only on the value of one object parameter. The paper introduces the instruction on calculation of this parameter, the maximum stability degree, a characteristic polynomial and a controller 3/3 providing this stability. The calculations were carried out on the following example: weights and rigidity are equal to a unit. It turned out that in this case the ninth root of a characteristic polynomial is not the most right.
Conclusions. The paper can form a basis of a technique of calculating the maximum stability degree and lower-order controllers providing this stability, and for other operated single-channel lower-order systems.
Key words:
Modal synthesis, lower-order controllers, stability, three-mass system, optimal stability degree, maximum stability degree, limit stability degree.
REFERENCES
1. Pervozvansky A.A. Kurs teorii avtomaticheskogo upravleniya [Course of the theory of automatic control]. Moscow, Nauka Publ., 1986. 616 p.
2. Chi-Tsong Chen. Linear system theory and design. New York; Oxford, Oxford University Press, 1999. 176 p.
3. Polyak B.T., Shcherbakov P.C. Robastnaya ustoychivost i upra-vlenie [Robust stability and control]. Moscow, Nauka Publ., 2002. 303 p.
4. Antsaklis P.J., Michel A.N. Linear Systems. Boston; Basel; Berlin, Birkhauser, 2006. 670 p.
5. Qing-Guo Wang. Decoupling Control. Berlin; Heidelberg, Springer-Verlag, 2003. 356 p.
6. Mathukumalli Vidyasagar. Control System Synthesis: a Factorization Approach. P. I. Synthesis Lectures on Control and Mecha-tronics. June 2011, vol. 2, no. 1, pp. 1-184. DOI: 10.2200/S00351ED1V01Y201105CRM002.
7. Mathukumalli Vidyasagar. Control System Synthesis: a Factorization Approach. P. II. Synthesis Lectures on Control and Mecha-tronics, June 2011, vol. 2, no. 1, pp. 1-227. DOI: 10.2200/S00358ED1V01Y201105CRM003.
8. Polyak B.T., Khlebnikov M.B., Shcherbakov P.C. Upravlenie line-ynymi sistemami pri vneshnikh vozmushcheniyakh: Tekhnika li-neynykh matrichnykh neravenstv [Management of linear systems at external indignations: the technique of linear matrix inequalities]. Moscow, LENAND Publ., 2014. 560 p.
9. Chestnov V.N., Zatsepilova Zh.V. Ponizhenie poryadka SISO-re-gulyatorov na osnove kriteriya Naykvista [Fall of SISO-controller order based on Naykvist criterion]. XII Vserossiyskoe soveshcha-nie po problemam upravleniya VSPU-2014 [XII All-Russia meeting on management problems RMMP-2014]. Moscow, 16-19 June 2014.pp.241-247.
10. Fedyukov A.A. Stabilizatsiya sistem s fazovymi ogranicheniyami s pomoshchyu dinamicheskikh regulyatorov ponizhennogo pory-adka [Stabilization of systems with phase restrictions by means of low-order dynamic controllers]. XII Vserossiyskoe soveshchanie po problemam upravleniya VSPU-2014 [XII All-Russia meeting on management problems RMMP-2014]. Moscow, 16-19 June 2014. pp. 338-344.
11. Fedyukov A.A. Stabilizatsiya po izmeryaemomu vykhodu dvukhzvennogo perevernutogo mayatnika [Stabilization on a measured exit of two-level overturned pendulum]. Vestnik UNN, 2012, no. 2, pp. 177-183.
12. Chestnov V.N., Samshrin N.I. Sintez robastnykh regulyatorov pri parametricheskoy neopredelennosti i vneshnikh vozmushche-niyakh [Synthesis of robust controllers at parametrical uncerta-
inty and external indignations]. XII Vserossiyskoe soveshchanie po problemam upravleniya VSPU-2014 [XII All-Russia meeting on management problems RMMP-2014]. Moscow, 16-19 June 2014. pp.1033-1045.
13. Boychenko V.A., Kurdyumov A.P., Timin V.N., Yadykin I.B. Ne-kotorye metody sinteza regulyatorov ponizhennogo poryadka i zadannoy strukrury [Some methods of synthesizing low-order controllers of the set structure]. Upravlenie bolshimi sistemami: sbornik trudov [Large-scale Systems Control], 2007, vol. 19, pp. 23-126.
14. Kiselev O.N., Polyak B.T. Sintez regulyatorov nizkogo poryadka po kriteriyu i po kriteriyu maksimalnoy robastnosti [Synthesis of low-order controlers by criterion and by maximum robustness criterion]. Avtomatika i telemekhanika - Automation and Remote Control, 1999, № 3, pp. 119-130.
15. Shubladze A.M., Popadko V.E., Yakusheva A.A., Kuznetsov S.I. Issledovanie optimalnykh po stepeni ustoichivosti resheniy pri PID upravlenii. Chast 1 [Research of optimum decisions on stability degree at PID control. P. 1]. Upravlenie bolshimi sistemami -Large-scale Systems Control. 2008, no. 22, pp. 86-100.
16. Shubladze A.M. Dostatochnye usloviya optimalnosti struktur v sistemakh maksimalnoy stepeni ustoychivosti proizvolnogo vida [Sufficient conditions of structure optimality in the systems with maximum stability degree]. Avtomatika i telemekhanika - Automation and Remote Control, 1999, no. 4, pp. 43-57.
17. Koryukin A.N. Naibolshy zapas ustoichivosti trekhmassovoy si-stemy s regulyatorom tretego poryadka. Chast 1 [The greatest stock of stability of three-mass system with a regulator of the third order. P. 1]. Sbornik nauchnykh trudov NGTU, 2013, no. 3
(73), pp. 4-40.
18. Koryukin A.N. Naibolshy zapas ustoichivosti trekhmassovoy si-stemy s regulyatorom tretego poryadka. Chast 2 [The greatest stock of stability of three-mass system with a regulator of the third order. P. 2]. Sbornik nauchnykh trudov NGTU, 2013, no. 4
(74), pp. 13-50.
19. Koryukin A.N. Predel ustoychivosti po Gurvitsu dvukhmassovoy sistemy s PID-regulyatorom. Chast 2 [Stability limit according to Gurvits of two-mass system with a PID-control. P. 2]. Sbornik nauchnykh trudov NGTU, 2012, no. 4 (70), pp. 13-44.
20. Voevoda A.A., Koryukin A.N., Chekhonadskikh A.V. Reducing the Stabilizing Control Order for a Double Inverted Pendulum. Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing. 2012, vol. 48, no. 6, pp. 593-604.
Received: 20 June 2014,
