CC BY
21
УДК 62-52
О. Ф. ОПЕЙКО
СИНТЕЗ УПРАВЛЕНИЯ В ДВУХКОНТУРНОЙ ДИСКРЕТНОЙ СИСТЕМЕ
Белорусский национальный технический университет
Целью работы является линейный дискретный синтез двухконтурной системы с одним входом и одним выходом с пропорционально интегрирующими (ПИ) регуляторами, ориентированный на управление объектами, параметры которых могут изменяться в некоторых пределах. Метод синтеза основан на локализации корней и разделении движений на быструю и медленную составляющие. Параметры ПИ-регуляторов определяются на основе задания желаемых значений корней характеристического полинома на комплексной плоскости и использовании редуцированной, первого порядка, модели объекта. Использованы условия, при которых динамические свойства каждого из контуров системы близки к свойствам динамического звена второго порядка. Дискретность управления, обусловленная микропроцессорным управлением, ограничивает область устойчивости каждого из контуров управления. Область устойчивости каждого контура имеет форму круга на комплексной плоскости корней, и радиус круга есть величина, обратно пропорциональная интервалу времени дискретизации управления данного контура. Внутренний контур должен иметь значительно меньшее время регулирования, чем внешний. Поэтому во внешнем контуре время расчета сигнала на выходе ПИ-регулятора, равное интервалу дискретности, может допускаться большим, чем во внутреннем.
Метод определения параметров ПИ-регуляторов является приближенным, и эффективен для управления в системах, динамика которых складывается из быстрой и медленной составляющих движения. Примером таких систем, в частности, являются автоматизированные электроприводы промышленных установок, которые характеризуются малым временем электромагнитных переходных процессов и длительными процессами механического движения. Приводится пример расчета и моделирования, который иллюстрирует суть метода и его применение.
Ключевые слова: линейный синтез, дискретная система, область устойчивости, многоконтурная система, пропорционально-интегрирующий регулятор, модальное управление, характеристический полином.
Введение вания интервал времени, необходимый для
Компенсация инерционности объекта регу- фоРмиРования сигнала управдания м°жет по-лятором [1] предполагает знание параметров требоваться большим чем во внутренних юж-объекта управления. Поскольку модель объек- турах, однако ограничен по условиям устойчи-та, применяемая для синтеза, не вполне досто- вости. Для внутренних контуров по соображе-верна, а параметры объекта подвержены изме- ниям качества динамики системы предпочти-нениям в широких пределах, область примене- тельно высокое быстродействие и, следования принципа компенсации инерционностей тельно, высокая частота дискретности форми-и подчиненного управления [1] ограничена. рования управления. Высокая по сравнению В последние десятилетия разрабатываются ме- с временем отклика системы частота дискрет-тоды управления с регуляторами простой струк- ности допускает применение непрерывных туры, пропорционально интегро-дифференци- методов синтеза для цифровых систем, что, рующим (ПИД) и, в частности, ПИ-регулято- однако, не всегда выполнимо, например, для рами с учетом параметрических возмущений управления в контуре тока электропривода. [2-8], в том числе [5] и для многоконтурных Поэтому остается актуальным синтез управле-систем. ния дискретных многоконтурных систем [4, 8],
Сигналы управления формируются цифро- в том числе систем управления электроприво-выми устройствами управления (микрокон- дами, где электромагнитные процессы по вре-троллерами). Для внешних контуров регулиро- мени соизмеримы с интервалом дискретности
цифрового управления. Расчет параметров ПИ-регуляторов с учетом изменения параметров объекта возможен на основе модального управления (по заданным корням характеристического полинома, локализованным в заданной области).
Целью работы является синтез дискретных ПИ- регуляторов двухконтурной дискретной системы управления непрерывным объектом на основании локализации корней и разделения движений на быструю и медленную составляющие [9].
Синтез выполняется в следующих предположениях. Система имеет двухконтурную структуру цифрового управления непрерывным объектом. Внутренний контур должен иметь значительно меньшее время регулирования, чем внешний. Поэтому во внешнем контуре время расчета сигнала на выходе ПИ-регулятора может допускаться большим, чем во внутреннем, но быть кратно ему. Требуемое время регулирования системы значительно меньше, чем минимальное время реакции объекта на единичное ступенчатое воздействие во всем диапазоне изменения параметров объекта.
Область устойчивости и область качества
Область устойчивости дискретной системы [10] на плоскости комплексной переменной г имеет вид единичного круга с центром в начале координат. Система имеет два контура управления, внутренний содержит цифровой ПИ регулятор с периодом Т, дискретности, внешний - ТС1 = Ш,'с, (к - целая положительная величина).
Область качества внутри области устойчивости на комплексной плоскости формируется в зависимости от требуемого времени ¿0 е [¿0, ¿0 ] регулирования и ограничения на колебательность системы. В дискретной системе этот интервал измеряется в безразмерных единицах, а именно, количеством интервалов дискретности. Если же система имеет несколько периодов дискретности, то для введения единой меры качества в многоконтурной системе целесообразно как область устойчивости, так и области качества контуров отобразить в левую полуплоскость комплексной плоскости в масштабе, соответствующем непрерывным процессам. Для этого выполняется замена переменной [10], отображающая единичный круг
с центром в начале координат на плоскости z в круг в левой полуплоскости переменной q радиусом Rç = Tc _1, проходящий через начало координат, что показано на рис. 1 и описывается выражением
z = (Tc q +1). (1)
Переменная q близка к переменной s пре-образова ния Лапласа в малой окрестности начала координат комплексной плоскости. Из (1) с учетом разложения экспоненты в ряд Тейлора z = exp(TCs) = 1 + Tcs + (Tcs) /2!+... < 1(1 - Tcs) следует, что Tc |q - s\ < (Tcs)2/(2(1 - Tcs)), и относительная разность ô = |q — s|/|s| оценивается выражением
S<-
Tcs
21-Tcs
(2)
Это означает, что в области я <еЯ, относительная погрешность перехода от q к я не превосходит величины е / 2. Для двух контуров управления с различными интервалами дискретности области устойчивости и качества показаны на рис. 1. Внутренний контур регулирования имеет область устойчивости радиусом Я, = Тс _1. Для внешнего контура регули-
Рис. 1. Области качества Д В1 и области устойчивости Яс ЯС1 на комплексной плоскости переменной д для двух контуров
рования область устойчивости имеет радиус Re, = TCi— =eRc. Степень взаимного влияния динамики двух контуров [11] тем меньше, чем меньше se[0; 0,5]. Для двух комплексных сопряженных корней ^12 = -«о ± справедливы, учитывая приближенную зависимость 3/10 «a0, ограничения Re(q¿) = a0 e[a0,a0], ю0/a0 - k0 (i = 1,2), которые определяют допустимую область качества в виде трапеции на комплексной плоскости переменной s, и криволинейной трапеции на плоскости q.
Расчетные выражения
Структура системы с цифровыми ПИ регуляторами Я^ и ^2 для управления непрерывным объектом показана на рис. 2. Система содержит ПИ-регуляторы вида ЖЯ = Мк/Ык = (с (г -1) + с0 Тс)/(г -1)) и непрерывный линеаризованный объект, описываемый уравнениями
Хр = АрХр + Ври, у = СрХр .
Редуцированная модель объекта внутреннего контура имеет передаточную функцию Жр (5) = Мр (5)/Мр (5) = Ьр/ (^ + ар), или, в дискретном виде Жр = Мр (г)/Ыр (г). Здесь, если ар Ф 0 то Ыр(г) = г - ё. Постоянная ё = ехр(-Тсар) представима в виде
ё = ехр(-Тсар) = 1 - Тсар + (Тсар )2 / 2!-... =
1 - Тсар (1 - Тсар / 2!+...) = 1 - Тсар (1 - срТсар).
Здесь величина ср = 1 - Тсар / 2!+... < 1 приближается к единице при Тсар ^ 0. Поэтому 1 -ё = Тсар (1 -срТсар), Ь'р =Ьр (1 -срТсар), Мр (г) = Мр = Ьр . Характеристический полином замкнутого внутреннего контура принимает вид N(г) = (г -1)(г - ё) + (Тсс0 + с1(г -1))Ь'р. Если ар = 0, то ё = 1, Жр(г) = ТсЬр/{г -1), Ьр = Ьр. Замена г = (Тс q +1) дает в обоих случаях полином от переменной q, который имеет вид
Рис. 2. Двухконтурная структура
Если ар = 0, то
N= q2 + qc1bP + с0Ьр . (4)
Запас устойчивости дискретной системы наибольший при равных действительных корнях q1 = q2 = -а0 = - (ар + с1Ьр )/2 , тогда параметры
С1 = (2а0 -ар)/Ь'р ; С0 = ql q^(bр) = а^/Ь'р. (5) Для внешнего контура управления значение ql = q2 = -а01 рассчитывается по времени регулирования в соответствии с выражением а01 = V10 . Учитывая, что область качества должна располагаться в малой окрестности начала координат относительно радиуса области устойчивости, а01 < / < еЯс1 можно рассчи-
тать ЯС1 >в"1/1, где 0<е<0,5. Отсюда рассчитываются интервалы дискретности внешнего контура Тл = Я- и внутреннего
TC1 = R-11 - sh11, Te = R-1 - sR(-í
(5)
N(q) = q2 + q(aP + cb) + c0b'P .
(3)
Значения интервалов дискретности внешнего внутреннего контуров управления должны быть кратными, ?C1 = kTe с коэффициентом k > s-1. Корни характеристического полинома внутреннего контура целесообразно принять равными действительными q12 = -ao , где величина ao должна удовлетворять условиям Rd < ao - sRe .
Пример расчета
Пример расчета ПИ регуляторов системы (см. рис. 2) выполнен для параметров модели объекта внешнего контура: Ьр1 = 50, ap1 = 0, внутреннего контура: ЬР = 100, aP = 100 . Внешний контур должен иметь время регулирования ¿0 - 0,15 c-1, и для этого корни полинома внешнего контура принимаются равными q^ = -a01 = -20 c"1. Далее, учитывая интервалы дискретности Te1 = 0,01c и Te = 0,001c получены значения параметров регуляторов внешнего контура cn= 2a^bp0= 0,8 c"1; =a2/Ьр() = 8,0 c"1
а б
Рис. 3. Реакция на ступенчатое воздействие, а - двухконтурная система с ПИ регуляторами. б - контур, содержит дискретный ПИ регулятор и расчетный инерционный объект
и внутреннего контура С]= (2a0 - üp)/Ь'Р~ 3с
cn = a
Ь'Р= 380 о_1.
о/ UP
Реакция системы на ступенчатое воздействие представлена на рис. 3. Здесь и - сигнал управления, у - выходная величина, х переменная системы, пропорциональная производной от выходной величины. На рис. 3, а показан процесс в двухконтурной системе с двумя синтезированными дискретными ПИ-регуляторами. Для идеализированного расчетного внешнего контура системы в предположении безынерционного контура тока расчетный процесс в системе показан на рис. 3, б.
Результаты моделирования процессов показывают, что выбранные соотношения интервалов дискретности и локализации корней внутреннего и внешнего контуров позволяют при синтезе внешнего контура внутренний контур
считать безынерционным звеном. Учитывая более высокое быстродействие внутреннего контура, при его синтезе можно пренебречь динамикой внешнего контура.
Заключение
Синтез управления, основанный на требованиях по быстродействию к системе в целом, позволяет формировать динамические свойства контуров управления и необходимые для расчета сигнала управления интервалы дискретности.
Модальное управление для синтеза дает преимущество в свободе локализации корней в зависимости от показателей качества. Использование в процессе синтеза редуцированных моделей допустимо, если малый параметр удовлетворяет условию е < 0,25.
Литература
1. Kessler, C. Über die Vorausberechnung optimal abge^immer Regelkreise. // C. Kessler / Regelung^echnik, 1954, № 12. - S. 274-281.
2. Astrom K. J. Advanced PID Control./ K. J. Astrom, T Hagglund. - North Carolina: ISA, 2006. - 461 p.
3. Soylemez, M. T., Fast calculation of stabilizing PID controllers, // M. T. Soylemez, N. Munro and H. Baki / Automática, vol. 39, pp. 121-126, 2003.
4. Vesely, V., Robust PSD Controller Design, // V. Vesely,, Rosinová, D., Editors: Fikar, M., Kvasnica, M., / In Proceedings of the 18th International Conference on Process Control, Tatranská Lomnica, Slovakia, 2011, p. 565-570.
5. Vu, T. N. L., Multi-loop PI Controller Design for Enhanced Disturbance Rejection in Multi-delay Processes // T. N. L. Vu, M. Lee, / International Journal of Mathematics and Computers in Simulation, vol. 2, no. 1, pp. 89-94, 2008.
6. Sootla, A., Multivariable Optimization Based Model Reduction,/ A. Sootla,, A. Rantzer, G. Kotsalis // IEEE Transactions on Automatic Control, Vol.54, no 10, 2009, p. 2477-2480.
7. Matusu, R. Calculation of all stabilizing PI and PID controllers // R. Matusü / International Journal of mathematics and computers in simulation, Issue 3, Volume 5, p. 224-231, 2011.
8. Кузнецов, А. П., Анализ настроек канала регулирования потокосцепления ротора в системе векторного управления / А. П. Кузнецов, А. В. Марков, А. С. Шмарловский // Доклады БГУИР, № 4 (34) 2008. - С. 84-91.
9. Chow, J. N., A Decomposition of Near-Optimum Regulators for Systems with Slow and Fast Modes. // J. N. Chow,, Kokotovic, P. V. IEEE Trans. on Autom. Contr. 1976. Vol. AC-21, No 5. P. 701-705.
10. Jury, E. 1 Inners and Stability of Dynamic Systems. // E. I. Jury,/A Willey-Interscience Publications, John Willey & Sons. New York-London-Sydney-Toronto, 1974.
11. Опейко, О. Ф. Подчиненное управление объектом с параметрической неопределенностью // О. Ф. Опейко / Системный анализ и прикладная информатика, № 3, 2015. - С. 21-24.
References
1. Kessler, C. Über die Vorausberechnung optimal abgestimmer Regelkreise. // - C. Kessler / Regelungstechnik, 1954, № 12. - s. 274-281.
2. Astrom K. J. Advanced PID Control./ K. J. Astrom, T Hagglund. - North Carolina: ISA, 2006. - 461p.
3. Soylemez, M. T., Fast calculation of stabilizing PID controllers, // M. T. Soylemez, N. Munro and H. Baki / Automática, vol. 39, pp. 121-126, 2003.
4. Vesely, V., Robust PSD Controller Design, // V. Vesely, Rosinová, D., Editors: Fikar, M., Kvasnica, M. / Proceedings of the 18th International Conference on Process Control, Tatranská Lomnica, Slovakia, 2011, p. 565-570.
5. Vu, T. N. L., Multi-loop PI Controller Design for Enhanced Disturbance Rejection in Multi-delay Processes // T. N. L. Vu, M. Lee / International Journal of Mathematics and Computers in Simulation, vol. 2, no. 1, pp. 89-94, 2008.
6. Sootla, A., Multivariable Optimization Based Model Reduction / A. Sootla, A. Rantzer, G. Kotsalis // IEEE Transactions on Automatic Control, Vol.54, no 10, 2009, p. 2477-2480.
7. Matusu, R. Calculation of all stabilizing PI and PID controllers // R. Matusü / International Journal of mathematics and computers in simulation, Issue 3, Volume 5, p. 224-231, 2011.
8. Kusnetsov A. P., Markov A. S., Shmarlouski А. С. Analysis of the Rotor Flux Linkage Aktuating Path Setting in a Vector Control System // Proc. BSUIR, № 4 (34) 2008. - с. 84-91. (russian).
9. Chow, J. N., A Decomposition of Near-Optimum Regulators for Systems with Slow and Fast Modes. // J. N. Chow, Kokotovic, P. V. IEEE Trans. on Autom. Contr. 1976. Vol. AC-21, No 5. P. 701-705.
10. Jury, E. I. Inners and Stability of Dynamic Systems. // E. I. Jury / A Willey-Interscience Publications, John Willey & Sons. New York-London-Sydney-Toronto, 1974.
11. Opeiko O. F. Podchinennoe upravlenie obiektom s parametricheskoi neopredelennostiu. // Sistemnyi analiz i priklad-naia informatika, № 3, 2015. - С. 21-24. Opeiko O F Cascade Control for Plant with Parameters Uncertainty // System Analysis and Applied Information Science № 3, 2015. - С. 21-24. (russian).
Поступила После доработки Принята к печати
11.11.2017 06.02.2018 15.03.2018
Opeiko O. F.
CONTROL SYNTHESIS FOR TWO LOOPS DISCRET SYSTEM
Belorussian National Technical University
The aim of this paper is the linear synthesis of two loops SISO systems with discreet time proportional integral (PI) controllers. This linear synthesis is dedicated for the systems with plant parameters uncertainty. The synthesis is based on the time scale method, providing the separate slow andfast components of the control low. The PI- controller parameters calculation is based on the modal control and plant model reduction. The conditions carried out for the each control loop dynamics still similar to the second order one. The discrete time microcontroller based numerical control restricts the stability domain of the system and each control loop in it. The stability domain of each loop is the round on the complex plane with radius, depending on the time period. Each inner loop must be more fast, then each outer one. Hence, in the outer loop the time period, required for the PI controller reaction computation, can be more then in the inner loop. This PI- controller parameter calculation method is approximate, and it is efficient for the systems, whose dynamics contains the slow and fast components. In particular, the electrical drives control systems contain the fast electromagnetic component and the slow mechanical part. The effectiveness of this method is illustrated by the example and simulation.
Keywords: linear synthesis, discrete time system, stability domain, multy loops system, proportional- integral controller, modal control, characteristic polynomial.
Опейко Ольга Федоровна Сморговский тракт 10 кв. 180, Минск, 220068, Беларусь.
Д. т. (17) 2 33 62 52; welcome 39 977 41 89. E-mail: oopeiko@bntu.by. БНТУ, доцент кафедры «Электропривод и автоматизация промышленных установок и технологических комплексов», доцент, к. т. н.
Opeiko O. F. Received the E. E. degree from the Belorussian National Technical University (BNTU),
Minsk, R Belarusussia, in 1970 and the Ph. D. degree from the BNTU, Minsk, in 1975. Her research interests include control, modeling, analysis and simulation of electrical drive, and robotics.
