CC BY
17
УДК 681.511.2
Корюкин Анатолий Николаевич,
к. ф.-м. н., старший научный сотрудник, Институт математики им. Соболева,
e-mail: [email protected]
СТЕПЕНЬ УСТОЙЧИВОСТИ ПИД-РЕГУЛИРУЕМОЙ ДВУХМАССОВОЙ СИСТЕМЫ С ДВУКРАТНЫМ ВЕЩЕСТВЕННЫМ КОРНЕМ И КОМПЛЕКСНОЙ ПАРОЙ
НА ОДНОЙ ВЕРТИКАЛИ
A. N. Koryukin
THE STABILITY DEGREE OF A PID-CONTROL TWO-MASS SYSTEM WITH THE DOUBLE REAL ROOT AND COMPLEX PAIR ON THE RIGHT VERTICAL BOTH
Аннотация. Исследуется наибольшая степень устойчивости одноканальной двухмассовой системы с ПИД-регулятором; управляющая сила приложена только к одной из масс; регулируемая величина - отклонение этой же массы; на правой вертикали характеристического полинома находятся двукратный вещественный корень и комплексная пара. Данная работа мотивирована другим исследованием автора [8], в котором показано, что при поиске наибольшей степени устойчивости можно ограничиться регуляторами, для которых на правой вертикали характеристического полинома находится либо двукратный вещественный корень и комплексная пара, либо двукратная комплексная пара. В данной работе изучен первый из этих двух случаев. Методика исследования опирается на упомянутую выше работу автора, в которой показано, что характеристические полиномы образуют класс с двумя линейными связями. Там эти связи выписаны и за счёт подбора масштаба времени упрощены. В данной работе характеристический полином описывается тремя параметрами (вещественная и мнимая часть комплексной пары и пятый корень). При параметризации выписаны обе связи коэффициентов и проведено исследование получившейся алгебраической кривой.
Ключевые слова: регулятор пониженного порядка, устойчивость, степень устойчивости, наибольшая степень устойчивости, модальный синтез, пониженный порядок, ПИД-регулятор, максимальная степень устойчивости, предельная степень устойчивости.
Abstract. The greatest stability degree of а single-channel PID-control of a two mass systems in a situation when operating force is attached only to one of masses is investigated; an output is a deviation of the same weight; on the right vertical of the characteristic polynom there is a double real root and a complex pair. This work is motivated by other research of the author [8] in which it is shown that by search of the greatest degree of stability it is possible to be limited with controls for which on the right vertical of the characteristic polynom there is a double real root and a complex pair, or double complex pair. In this work the first of these two cases is studied. Research technique relies on the work of the author mentioned above in which it is shown that characteristic polynoms form a class with two linear communications. There these communications drawn and at the expense of time scale selection are simplified. In this work, the situation is described by three parameters (a real and imaginary part of the complex pair and the fifth root). For this parametrization both communications offactors are written out and a research of the turned-out algebraic curve is carried out.
Keywords: control of the lowered order, stability, stability degree, greatest degree of stability, modal synthesis, lowered order, PID control, maximum degree of stability, limiting degree of stability.
Введение стых классов объектов c наиболее простыми регу-
Одно из основных направлений теории ли- ляторами - и как можно более тщательно. нейных систем, развитое в основном в первой по- В данной работе изучается одноканальная
ловине прошлого века, - обеспечение устойчивости движения. Работ по устойчивости очень много, см., например, [1-7].
Для простых регуляторов чаще всего сразу даже неясно, можно ли обеспечить устойчивость вообще. Позже из инженерной практики возникла задача управления, обеспечивающего наиболее устойчивое движение [6, 7].
Обычно задачу обеспечения устойчивости решают для конкретного объекта [4], предлагая при изменении параметров объекта искать регулятор аналогичным образом. Но изменение параметров объекта может существенно изменить ситуацию. Поэтому важно качественно исследовать устойчивость для класса похожих объектов и рассматривать задачи устойчивости для этого класса; эта задача не новая [5-7], но существенно труднее.
Таким образом, важно качественно исследовать устойчивость движения для наиболее про-
ПИД-регулируемая двухмассовая система. Управляющая сила действует на ту же массу, отклонение которой от положения равновесия рассматривается в качестве регулируемой величины.
Данная работа мотивирована исследованием [8]: там показано, что при поиске наибольшей степени устойчивости можно ограничиться регуляторами, для которых на правой вертикали характеристического полинома находятся либо двукратный вещественный корень и комплексная пара, либо двукратная комплексная пара.
В работе изучен первый из этих двух случаев, когда на правой вертикали характеристического полинома находится двукратный вещественный корень и комплексная пара.
Методика исследования опирается на работу автора [8], в которой показано, что характеристические полиномы образуют класс с двумя линейными связями, где эти связи выписаны и за счёт
подбора масштаба времени упрощены. В данной работе ситуация описывается тремя параметрами (вещественная и мнимая части комплексной пары и пятый корень). Для этой параметризации выписаны обе связи коэффициентов и проведено исследование получившейся алгебраической кривой.
Данная работа упрощает исследования [9, 10]. Аналогичные исследования для обобщённого ПИД-регулятора (к знаменателю передаточной функции ПИД-регулятора прибавлена константа) проведены в работах [11-13].
1. Постановка задачи
Характеристический полином для однока-нальных систем вычисляется по формуле f(s) = Dob (s) Dc (s)+N0b (s)N (s). Здесь N0b (s), Dob (s) - числитель и знаменатель передаточной функции объекта; Nc (s), Dc (s) - числитель и знаменатель передаточной функции регулятора. При ПИД-регулировании двухмассовой системы полиномы Nob(s), Dob (s), Nc (s), Dc(s) имеют степень 0, 4, 2, 1 соответственно. Поэтому полином f (s) имеет степень 5.
Если любой полином поделить на его старший коэффициент, то корни его не изменятся. Характеристический полином нормируется, и считается, что его старший коэффициент равен единице.
Объект задан четырьмя параметрами: две массы m1, m 2 (они нумерованы от неподвижной основы) и две жёсткости пружины с коэффициентами k1, k2 . Это исходная параметризация. При этом, по существу, рассматриваем две задачи: управляющая сила действует на первую массу и регулируемая величина - её отклонение; управляющая сила действует на вторую массу и регулируемая величина - отклонение этой массы.
Введём вспомогательные параметры: n1 = 1/ m1 , n2 = 1/ m2 и перейдём к обобщенным параметрам p0 , ..., p3, позволяющим рассматривать обе задачи как одну. Здесь p2 = nxk + n2k2 , p3 = k1k2n1n2 (в обоих случаях
k = k1 + k2); p0 = nx , p1 = n2k2 (управляющая сила действует на первую массу); p0 = n2, p1 = n1k
(управляющая сила действует на вторую массу).
Корни характеристического полинома — размерная величина. Их размерность обратна пропорциональна времени. Выбран масштаб времени, зависящий от объекта, при котором единицей измерения корней характеристического полинома является параметр объекта A = y[p!. Теперь для любого корня s характеристического полинома имеем: s = SA, где S — корень полинома
F (S) = f (SA) / A5.
Введём обозначение для коэффициентов последнего полинома
F = S5 + 4 +K2 S3 + К3 S2 +K4 S + K5 .
Показано [8], что при ПИД-регулировании двухмассовой системой характеристические полиномы выделяются в множестве полиномов пятой степени со старшим коэффициентом 1 двумя линейными связями
t -K2 +K4
0, K1 - K3 +K5
0.
(1)
Здесь t - параметр объекта, вычисляемый по
формуле t = (—Pз + PlP2)/Pl2 .
Параметры A, t вычисляются через исходные параметры объекта:
А = , 1 = 1 + ш2 / ш1
(управляющая сила действует на первую массу);
А = у/к / ш1 , t = 1 + (ш1 / ш2 )(к2 / к )2 (управляющая сила действует на вторую массу).
Из последних формул следует, что t > 1. Далее вводится параметр объекта Т = 1 — 1. Рассмотренный в работе случай мотивирован следующим утверждением.
Утверждение 1 [8, теорема 7]. Среди регуляторов ПИД при поиске наибольшей степени устойчивости можно ограничиться теми из них, для которых на правой вертикали характеристического полинома находится или двукратный вещественный корень и комплексная пара, или двукратная комплексная пара.
2. Определение наибольшей степени устойчивости в случае нахождения на правой вертикали двукратного вещественного корня и комплексной пары
Рассмотрим произвольный полином е(&), на правой вертикали х которого находится как минимум двукратный вещественный корень х и комплексная (возможно, вырожденная при х = О ) пара х± у1. Корни пары х± у1 являются корнями полинома
^ — (х + у1 ^ — (х — у1)) = (^ — х)— у1 — х)+у1) =
= ^ — х)2 — (у1 )2 = ^ — х )2 +у2 = S2 — 2 xS+q, где q = x2 +у2 > х2 . Обозначим пятый корень через 2. Теперь полином F(s) можно записать
Е ^) = ^ — 2 — х)2 (я2 — 2 xS+ q ) =
= S5 + (— 4 х — г ^4 + (5х2 +q + 4 гх 3 +
+ (— 2 х3 — qz — 5гх2 — 2qx ^2 +
+ (^х2 + 2qzx + 2гх3 ^ — гх2 q . Из выражения (1) выпишем обе связи его коэффициентов
(—4х + 2х3 + 2дх) г + (—1 + х2 ) q + 1 + T — 5х2 = 0,
((1 - х2 )q-1 + 5х2 )z - 4х + 2х3 + 2qx = 0. (2)
иркутским государственный университет путей сообщения
М
- 4x + 2x3 + 2qx, 1 + T - 5x2 - q + qx2 -1 + 5x2 +q - qx2 - 4x + 2x3 + 2qx
+ (4x2 +l)(l + x2 )2 + г( - 5x2 )= 0
или
где
q
-(2 + к)д + 1 + 4л2 + К = 0
1 - т2 1 - 5Х2
к = т * ,к = т- 5т
(4)
(5)
(1 + т2)2 (1 + т2)2
Домножим первую связь на величину 1 - л2 и прибавим к ней вторую связь, помноженную на
- 2т.
В результате получим
„2 1 „Л . ( „„3
или
или
(- 2т2 -1 - л4 )д + (- 4т3 - 2т - 2т5 )г + + 1 + Т - Тт2 + 2т2 + т4 = 0,
-(1 + т2 )2 (д + 2гт - 1)+Т (1 - т2 )= 0,
Здесь Т = 1 -1 > 0 - параметр объекта.
Теперь множество полиномов F(s) будет параметризовано четвёрками (т,Т,д,г), где Т -параметр объекта; а т, г, q - параметры управления с ограничениями в виде неравенств
Т> 0, т < 0, г < т, q > т2 . (3)
Для любой четвёрки чисел (), неравенства (3) и обе связи (2) позволяют восстановить полином F(s) (на его правой вертикали будет двукратный вещественный корень и комплексная пара), а потом уже можно вернуться к исходным параметрам объекта и управления. По этой причине систему из неравенств (3) и равенств (2) уместно назвать областью допустимых параметров управления.
Связи (2) рассмотрим как систему двух уравнений, линейных относительно переменной г . Выпишем матрицу коэффициентов этой системы:
Необходимым условием разрешимости этой системы (относительно г) является равенство определителя матрицы М нулю:
(1 + 2т2 + т4 ^2 + (- 4т2 - 2 - 2т4 - Т + Тт2 ^ +
+ 6т2 + 9т4 +1 + 4т6 +Т - 5Тт2 = 0 (1 + т2 )2 q2 + (- 2(1 + т2 )2 - Т(1 - т2))? +
уравнениям (4), (6).
Из неравенств г < т < 0 и равенства (6) получим ограничение сверху на параметр q : q + 2т2 < q + 2гт = 1 + к, q < 1 + к - 2т2 . Таким образом, имеют место ограничения на параметр q снизу и сверху:
т2 < q < 1 + к - 2т2. (7)
Справедливо и обратное: если при фиксированных Т > 0, т < 0 находится решение q уравнения (4) из интервала (5), а затем определяется г из равенства (6), то выполняется неравенство г < т. Тогда для четвёрки (т,Т^,г) будут выполнены все неравенства (3) и равенства (4), (6).
Таким образом, необходимым и достаточным условием разрешимости системы, состоящей из неравенств (3) и равенств (4), (6), являются следующие ограничения на тройки (т,Т^): неравенства Т > 0, т < 0; неравенство (7) и равенство (4).
При этом для поиска наибольшей степени устойчивости не так уж и важно, какие значения принимает параметр q . Поэтому поиск наибольшей степени устойчивости сводится к следующему.
Вопрос 1. Для каких пар чисел (т, Т)
(Т > 0, т < 0) существует хотя бы одно решение q квадратного уравнения (4) из интервала (7)?
Все полиномы в неравенствах (7), в уравнении (4) и в используемых в нём равенствах (5) используют только чётные степени т, а значит, зависят не от т, а от X = т2 . При этом т> -1 (согласно лемме 5 из [8]), а значит, X < 1. Поэтому второй вопрос выглядит следующим образом.
Вопрос 2. Для каких пар чисел (X Т)
(Т> 0, 0 <Х< 1) существует хотя бы одно решение q из интервала X < q < 1 + к - 2Х квадратного уравнения q2 - (2 + к)/ +1 + 4Х + К = 0 ?
Здесь к = Т, к = Т 1 - 5Х
q + 2гт = 1 + к , (6)
где к - параметр из первого из равенств (5).
Равенство (6) является линейной комбинацией связей (2). В левой его части, когда т Ф 0, коэффициент 2т при г отличен от нуля; ^ (М ) = 0 . Поэтому ранг матрицы М равен единице, и система связей при т Ф 0 равносильна
(1+ Х )2 (1+ Х )2
Множество точек плоскости (X Т), для которых ответ на последний вопрос положителен, обозначим через О .
Рассмотрим q2 - (2 + к^ +1 + 4Х + К как полином от q и обозначим его через ; к , К рассматриваем как рациональные функции от Х, Т . Замкнутый интервал [Х,1 + к - 2Х ] обозначим через I. Введём также обозначения: 0о=о(х) , О = 0(1 + к - 2Х) - значения полинома 0(д) в левом и правом концах интервала I соответственно.
Если числа 00, отрицательные, то оба корня полинома Од) вещественные, но лежат за
пределами интервала I. Если Q0 = 0, то q=X является корнем полинома 0^) из интервала I. Если 01 = 0, то д = 1 + к — 2X является корнем полинома 0^) из интервала I. Если числа 00, 01 разного знака, то полином 0^) имеет корень в интервале I. Если числа 00, 01 положительные, то полином 0^) имеет корень из интервала I тогда и только тогда, когда интервал I не пустой, дискриминант квадратного уравнения 0^) = 0 не отрицательный, и центр корней лежит на интервале I.
Отсюда видно, что полезно знать, при каких (х,Т) функции 00 (Х,Т), 01 (Х,Т) положительны, а при каких отрицательны.
Вычислим функции 00 (Х,Т), 01 (Х,Т):
(1+ Х )2
где = (— 6Х + Х2 +1)Т + (1 + Х )4 ;
01 = 2 X-
-, где = —(3 — X)Т + 2(1+ Х)3 .
0 < —
— 1 + Х + 5 X2 + 3 X3 — Т + ТХ
(1 + Х )2
или
0<(1 — Х)Т + 1 — X — 5Х2 — 3Х3 .
Таким образом, 0 < (1 — X)Т — (3Х —1)(1 + Х)2
р(х)< Т, где р(Х) = (3Х —1)1+ Х)2 (здесь
или
1 — X
X < 1, а значит, 1 — X > 0).
В каком случае полином 0^) имеет вещественные корни, или когда дискриминант квадратного уравнения 0^) > 0 ? Для этого вычислим этот дискриминант. В результате получим неравенство — 16Х — 4К + 4к + к2 > 0 . Подставляя (5) для к в последнее неравенство, получим
> 0.
(1 — X )2 Т2 +16Х (1 + X )2 Т — 16Х (1 + X )4
(1+Хт
Другими словами дискриминант й(Т) > 0
ного уравнения й(Т) = 0 вещественные, причём один из них положительный, а другой отрицательный. Значит, неравенство й(Т) > 0 равносильно тому, что Т не меньше, чем положительный корень квадратного уравнения й(Т) = 0, что равносильно неравенству: Б(Х) < Т, где
В(Х ) = 4(— 2 X + (1 + Х Х/Х)[ 1+Х ]2.
Изобразим теперь на плоскости (х, Т) на одном графике (рис. 1) кривые р(х) = Т (она пересекает горизонтальную ось вблизи X = 0,3), (Х,Т) = 0 (слева вверху), (Х,Т) = 0 (справа
вверху), б(х) = Т (внизу) при 0 < X < 1, Т> 0.
(1 + Х )2
При Х> 0 и при любом Т числа 0г (Х,Т), qi (Х,Т) одного знака (г = 1,2).
Когда интервал I не пустой, то есть когда X < 1 + к — 2Х или 0 < 1 + к — 3Х ? Раскрывая выражение (5) для к, получим
(й(Т) = (1 — X)2 Т2 +16Х(1 + Х)2 Т — 16Х(1 + Х)4 ), что и требовалось доказать.
При X ф 0 полином й(т) имеет степень 2 и положительный старший коэффициент. Если X < 0, то свободный коэффициент полинома й (т) отрицательный. Поэтому оба корня квадрат-
0.4 0.6
X
Рис. 1. Кривые Р(Х) = Т, q0(X, Т) = 0, Б(Х) = Т
Неравенство р(х)< Т равносильно тому, что точка (Х,Т) лежит выше и левее кривой р(х) = Т. Неравенство б(х)< Т равносильно тому, что точка (х,Т) лежит выше кривой ^(х) = Т .
Полином (Т) = —(3 — X )Т + 2(1 + X )3 при фиксированном X < 1 с увеличением Т уменьшается. Поэтому точки над кривой (Х,Т) = 0 - это точки, для которых (Х,Т)< 0.
Полином (Т) = (— 6 X + X2 + 1)т + (1 + Х )4
имеет первую степень по Т . Его старший коэффициент - полином от X . Он имеет ровно два вещественных корня: Х1 » 0,17 , X2 » 5,82 . Оба они положительные. Меньший корень из интервала 0 < X < 1, а больший корень больше единицы.
Таким образом, при 0 < X < Х1 полином
— 6Х + Х2 +1 принимает положительные значения, а при х1 < X < 1 - отрицательные.
Поэтому при 0 < X < X1, Т > 0 полином 00 (Т) принимает строго положительные значения;
иркутский государственный университет путей сообщения
при фиксированном X из промежутка Х1 < X < 1 и при увеличении параметра Т значение полинома g0 (Т) уменьшается.
Становится ясным, что при 0 < X < 1, Т > 0 множество точек над кривой g0(Х,Т) = 0 -это в точности множество точек таких, что g0(Х,Т)< 0.
Точки (х,Т) при g0 (Х,Т) < 0, g1 (Х,Т) < 0
не принадлежат области О, то есть в области О не лежат точки выше кривых g0 (Х,Т) = 0,
g1 (Х,Т) = 0 одновременно.
Остаются неисследованными точки ниже и левее кривой g0 (ХТ) = 0 (включая её саму), и выше и левее кривых р(х) = т, -О(х) = т . Среди них точки выше кривой g1 (Х,Т) = 0 подходят для анализа: ведь для них значения полинома 0^) в разных концах интервала I имеют разные знаки. Точки на кривой g1 (Х,Т) = 0 (слева до пересечения с кривой р(х) = т) также подходят.
Осталось изучить область между кривыми g1 (Х,Т) = 0, Б(Х) = Т (ограниченную слева вертикальной осью, а справа - кривой р(х) = т). В этой области значения полинома 0^) в обоих концах интервала I положительны, интервал I не пустой и корни полинома 0^) вещественные. Так как при этом полином 0^) имеет степень 2 и положительный старший коэффициент (равен единице), то на интервале I корень полинома 0^) существует в случае, когда центр корней полинома 0^) лежит в интервале I.
Центр корней полинома 0^) - это параметр
1 + к /2 (половина коэффициента при степени 1 со знаком минус). Центр корней полинома 0^) ле-
X < 1+к/2,
жит
интервале
I:
0 <(1 - X)
0 <-
2 X2 +4Х + 2 + Т
(1+ Х )2
- Т + ТХ + 4 X + 8 X2 + 4 X3
(1 - X )Т - 4X(1 + X)2 > 0 или
X < 1. Полином из левой части последнего неравенства обозначим через Т1 (X). Добавим к последнему графику кривую Т = Т1 (X) (новая кривая на рис. 2 проходит через начало координат).
1 + к/2 < 1 + к - 2Х или 2 + к - 2Х > 0, к - 4Х > 0. Подставляя значение коэффициента к из (5), получим:
(1+ Х )2
Нетрудно видеть, что первое из последних двух неравенств выполняется всегда (при 0 <Х< 1, Т> 0). Выполнение второго же неравенства при X ф -1 равносильно тому, что
4 X (1+ Х )_ ----- —^-< Т при
(1 - X )
0.4 0.6 0.8 1
X
Рис. 2. Кривые Р(Х) = Т, q0(X, Т) = 0, q1(X, Т) = 0, Б(Х) = Т, Т = Т1(Х)
Неравенство Т > Т1 (X) от области ниже кривой g1 (Х,Т) = 0 оставляет только точки выше кривой Т = Т1 (X).
Теперь можно описать область О. Она ограничена слева вертикальной осью; снизу и справа - кривой ^(х) = Т (до пересечения с кривой Т = Т1 (X)) и кривой g1 (Х,Т) = 0 (от её пересечения с кривой Т = Т1 (X) до пересечения с кривой g0 (Х,Т) = 0); справа и частично сверху - кривой g0(Х,Т) = 0 (до её пересечения с кривой ql (Х,Т) = 0).
Вспомним, что нас интересует наибольшая степень устойчивости, то есть наибольшее X (при каждом значении параметра Т), то есть правая граница области О . А эта граница состоит из трёх частей кривых £>(х) = Т , g1 (Х,Т) = 0, g0(Х,Т) = 0 .
В чём смысл этих частей границы? В точках кривой g0(Х,Т) = 0 имеем / =Х , то есть для этих
точек комплексная пара на правой вертикали вырождается, и корни на правой вертикали «слипаются» в четырёхкратный вещественный корень. В точках кривой g1 (Х,Т) = 0 параметр q достигает своего верхнего предела: q = 1 + к - 2Х, а это равносильно тому, что г = т, то есть все пять корней находятся на одной вертикали и образуют трёхкратный корень и комплексную (возможно, вырожденную) пару.
В «реализуемых» точках вблизи кривой
д(х) = Т для каждой точки существует два решения д , и при приближении к кривой ^(х) = Т эти два решения «сливаются» в одно.
В точке пересечения кривых д1 (Х,Т) = 0, д0 (Х,Т) = 0 существует пятикратный корень. Вычислим значения X,Т в этой точке.
Сначала запишем уравнение д1 (Х,Т) = 0 в
виде
Т = 2
(1+ Х )3
3 — X
(8)
С помощью последней формулы из уравнения д0 (Х,Т ) = 0 получим
22Х3 +14Х2 + 7 X4 — X5 — 5Х — 5 = 0, или —(х 2 — 10х + 5)1+ х )3 = 0.
При X > 0 необходимо вычислить корни квадратного уравнения X2 — 10Х + 5 = 0, которое имеет решения: X = 5 — 2^/5 » 0,528,
X = 5 + 2л/5 » 9,472 . Так как имеет место ограничение X < 1, то второе решение не подходит. Итак, X = 5 — 2л/5 » 0,528 . Теперь по формуле (8) вычисляется параметр Т = 16(5л/5 —11)» 2,886.
Вычислим координаты точки пересечения кривых п(х) = Т , д1 (Х,Т) = 0 . Для этого с помощью формулы (8) из уравнения й (Х,Т) = 0 получим
(X2 — 6Х + 1
)2 (1-х )4
0 или X2 — 6Х + 1 = 0.
(3—X )2
Решения последнего уравнения:
Х = 3 — 2ур2 » 0,17, Х = 3 + 2л/2 » 5,83 . Из-за ограничения X < 1 второе решение не подходит. Итак, Х = 3 — 2у[2 » 0,17. Затем по формуле (8) вычислим значение параметра Т :
Т = 16(5л/2 — 7)» 1,137. Теперь область О можно описать набором ограничений по параметру Т : х> 0, Т> 0,
Т < 16(5^/2 — 7)» 1.14^ 4(— 2X + (1 + ХУХ)д—^ < т 1,14»16^/2 — 7)<Т< 165В —11)»2,89^2(1 + Х)
3 — X
0,7 » 3 — 2л/2 <Х ^ Т < —
(1+ Х )4
X2 — 6Х + 1
Полученный результат сформулируем в виде теоремы 1.
Теорема 1. Для любого Т > 0 существуют устойчивый полином , удовлетворяющий
обеим связям ПИД-регулирования, для которого
4(— 2 Х + (1+ Х У[Х Ц
Т.
на правой вертикали находятся двукратный вещественный корень и комплексная пара. Среди этих полиномов существуют такие, что:
1) при Т < 16(5^/2 — 7)» 1,137 наибольшая степень устойчивости у полинома Е^) однозначно определяется следующими свойствами: его правая вертикаль х лежит в интервале
— 0.414 » 1 — л/2 < х < 0, где х = —/X ; Х- единственное положительное число такое, что
'1 + Х4~ I — X ,
2) при 1,137 » 16(5л/2 — 7) < Т < 16(5л/5 —11)» 2,886;
наибольшая степень устойчивости достигается у полинома Е^), у которого все корни находятся на одной вертикали и образуют трёхкратный вещественный корень и комплексную пару;
3) при 2,886 » 16(^/5 —11) < Т наибольшую степень устойчивости имеет полином, у которого на правой вертикали находится четырёхкратный корень.
3. Результаты исследования двухмассовой системы
Вернёмся теперь к рассмотрению двухмас-совых систем.
Рассмотрим произвольную двухмассовую систему как одноканальную.
Утверждение 2. Пусть регулируемой величиной является отклонение от положения равновесия той же массы, на которую действует управляющая сила. Тогда существует ПИД-регулятор с наибольшей степенью устойчивости, для которого на правой вертикали характеристического полинома замкнутой двухмассовой системы находятся двукратный вещественный корень и комплексная пара.
Применим сформулированную выше теорему 1 для двух изучаемых случаев (в зависимости от того, на какую массу действует управляющая сила).
В первом случае, когда управляющая сила действует на первую массу, при поиске наибольшей степени устойчивости требуется измерять только один параметр объекта Т = ш2 / ш1, а затем корни характеристического полинома определять через другой параметр А = у/к2 / ш2 .
Следствие 1 теоремы 1. Пусть управляющая сила действует на первую массу и регулируемой величиной является отклонение этой же массы от положения равновесия. Тогда в классе ПИД-регуляторов согласно утверждению 1, найдутся такие, что:
1) при ш2/ш1 < 16(^72 — 7)» 1,137 наибольшую степень устойчивости обеспечивает ПИД-
регулятор со следующими свойствами: правая вертикаль характеристического полинома замкнутой двухмассовой системы есть т^к2 / т2 , где т - вещественное число из интервала -0.414»1 -42< т<0, т = -4ХХ; X- единственное положительное число такое, что
\2
4 (-2Х + (1 + Х )4Х 1+
тп
т,
2) при
1,137»16(5^2 -7)<т2 /т1 < 16(5^5 -11)»2,,
наибольшую степень устойчивости обеспечивает ПИД-регулируемая замкнутая двухмассовая система, у которой все корни характеристического полинома находятся на одной вертикали и образуют трёхкратный вещественный корень и комплексную пару;
3) при 2,886 »16(5у[5-11) < т2 / т1
наибольшую степень устойчивости обеспечивает ПИД-регулируемая двухмассовая система, у которой характеристический полином имеет на правой вертикали четырёхкратный корень.
Во втором случае, когда управляющая сила действует на вторую массу, при поиске наибольшей степени устойчивости требуется измерять только один параметр объекта
Т = (т1 / т2 )(к2 / к)2 , а затем корни характеристического полинома вычислять через параметр А = у/к / т1 , где к = к1 +к2 .
Следствие 2 теоремы 1. Пусть управляющая сила действует на вторую массу, и регулируемой величиной является отклонение этой же массы от положения равновесия. Тогда в классе ПИД-регуляторов, согласно утверждению 1, найдутся такие, что:
1) при (т1 /т2)(к2 /к)2 < 16(5^2 -7)» 1,137
наибольшую степень устойчивости обеспечивает ПИД-регулятор со следующими свойствами: правая вертикаль характеристического полинома
замкнутой двухмассовой системы есть т^к / т1 , где т - вещественное число из интервала -0.414»1 - л/2< т< 0, т = -4ХХ; X- единственное положительное число такое, что
у х 2
. „ ,—ч { 1+ X
4 (-2Х + (1 + .
,(-2Х + (1+Х )4Х)[ 1+Х )
т,
т
2 Ч
2) при
(к \
1,137»16(5л/2-7)<т < 16(^Т?-11)»2,886
т2 Ч к )
наибольшую степень устойчивости обеспечивает ПИД-регулируемая замкнутая двухмассовая система, у которой все корни характеристического
полинома находятся на одной вертикали и образуют трёхкратный вещественный корень и комплексную пару;
3) при 2,886 »16 ( 545 -11) < (т1 / т2 ) (к2 / к )2
наибольшую степень устойчивости обеспечивает ПИД-регулируемая двух массовая система, у которой характеристический полином имеет на правой вертикали четырёхкратный корень.
Заключение
В заключение автор благодарит профессора Александра Александровича Воеводу за постановку интересной и содержательной задачи.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. ПИД-регуляторы [Электронный ресурс] // Энциклопедия АСУ ТП. ИКЬ: http://bookasutp.ru/Chapter5_1.aspx (Дата обращения 22.09.2014).
2. Первозванский А.А. Курс теории автоматического управления : учеб. пособие. М. : Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. 616 с.
3. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. М. : Наука, 2002. 303 с.
4. Воевода А.А. Чехонадских А.В. Оптимизация расположения полюсов системы автоматического управления с регулятором пониженного порядка // Автометрия. 2009. Т. 45, № 5. С. 113-123.
5. Грязина Е.Н. Поляк Б.Т., Гремба А.А. Современное состояние метода D-разбиения // Автоматика и телемеханика. 2007. № 12. С. 3-40.
6. Исследование оптимальных по степени устойчивости решений при ПИД управлении. Ч. 1.. / А.М. Шубладзе и др. // Управление большими системами. 2008. Вып. 22. С. 86-100.
7. Исследование оптимальных по степени устойчивости решений при ПИД управлении. Ч. 2. / А.М. Шубладзе и др. // Управление большими системами. 2008. Вып. 23. С. 39-54.
8. Корюкин А.Н. Максимизация степени устойчивости двухмассовой системы с ПИД-регулятором // Сб. науч. тр. НГТУ. 2014. № 1 (75). С. 5-21.
9. Корюкин А.Н. Предел устойчивости по Гурвицу двухмассовой системы с ПИД-регулятором. Ч. 1 // Сб. науч. тр. НГТУ. 2012. № 3 (69). С. 71-104.
10. Корюкин А.Н. Предел устойчивости по Гурвицу двухмассовой системы с ПИД-регулятором. Ч. 2 // Сборник научных трудов НГТУ. 2012. № 4 (70). С. 13-44.
11. Корюкин А.Н. Предел устойчивости двухмассовой системы с обобщённым ПИД-регулятором // Науч. вестн. НГТУ. 2012. № 3(48). С. 178-184.
12. Корюкин А.Н. Наибольший запас устойчивости для одноканальной двухмассовой системы с обобщённым ПИД-регулятором // Науч. вестн. НГТУ. -2012. -№ 4(49). -С. 178-185.
13. Корюкин А.Н. Обобщённый ПИД-регулятор двух-массовой системы с наибольшим запасом устойчивости // Науч. вестн. НГТУ. 2013. № 3(52). С. 10-17.
