Особенности анализа качества при проектировании систем с передаточными функциями дробного порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.515

ОСОБЕННОСТИ АНАЛИЗА КАЧЕСТВА ПРИ ПРОЕКТИРОВАНИИ СИСТЕМ С ПЕРЕДАТОЧНЫМИ ФУНКЦИЯМИ ДРОБНОГО ПОРЯДКА

В статье изложена методика построения области модальности на комплексной плоскости корней характеристического полинома аргумента в дробного порядка, кратного 1/2. Границы области модальности строятся на комплексной плоскости в соответствии с корневыми показателями качества - степенью устойчивости и степенью колебательности, которые связаны с заданным временем регулирования и колебательностью в системе. Предложена аппроксимация границы степени устойчивости, существенно упрощающая её аналитическое описание.

Ключевые слова: системы автоматического управления дробного порядка; корневые методы анализа качества; степень устойчивости; степень колебательности.

Введение

Проектирование автоматических систем управления тепловыми объектами (нагревательными установками, сушильными камерами, плавильными и обжиговыми печами и т. п.) предполагает наличие их математических моделей. Так как параметры теплового объекта управления являются распределенными в пространстве, то получение его математической модели сопряжено с решением краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных. При решении таких задач в области комплексного переменного Лапласа s = а + jrn для многих тепло-массообменных и

диффузионных процессов математические модели содержат различные функции аргумента , например, гиперболические синус или косинус [1], [2].

Традиционный подход, заключающийся в аппроксимации такого решения дробно-рациональной передаточной функцией, во многих случаях не даёт конструктивных результатов при выборе управляющего устройства из-за низкой адекватности принятой математической модели реальному объекту. В качестве альтернативы возможно представление объекта управления и системы в целом дробноиррациональной передаточной функцией в виде отношения полиномов дробной степени комплексной переменной s, кратной 1/2, (такие системы относятся к классу систем дробного порядка) [2], [3].

Применение многих корневых методов анализа качества и синтеза систем в классической теории автоматического управления основано на выделении области комплексной плоскости s, в которой должны располагаться доминирующие корни характеристического полинома замкнутой системы D(s), обладающей требуемыми показателями качества. Границы области, как правило, определяются косвенными показателями качества по степени устойчивости п и степени колебательности ц, что соответствует на комплексной плоскости корней прямой линии, параллельной мнимой оси и смещённой относительно неё влево на п, и двумя лучами, расположенными во II-м III-м квадрантах и выходящими из начала координат под углами = arctg л симметрично к действительной оси.

Проблематика и построение границ модальности на комплексной плоскости корней для системы дробного порядка

Проблема применения корневых методов анализа качества для анализа и синтеза систем дробного порядка состоит в том, что область модальности, построенная

В.В. МИШУНИН11 В.Г. РУБАНОВ21

1) Белгородский

государственный

университет

e-mail: [email protected]

Белгородский государственный университет им. В.Г. Шухова

для характеристического полинома обыкновенной системы D(s) не является соответствующей областью модальности для D (Vs ). Требуется построить и формализовать

границы области модальности, отвечающей заданным показателям качества, для характеристического полинома от аргумента Vs . Решение поставленной задачи неочевидно и требует достаточно глубокого анализа зависимости между расположением корней D (VS) на комплексной плоскости и прямыми показателями качества переходного процесса.

Построение границ области модальности для системы, представленной передаточной функцией дробного порядка, целесообразно производить с точки зрения простоты вычисления её полюсов в плоскости корней комплексной переменной

и -yfs , являющейся аргументом характеристического полинома D (*Js ) такой системы. Конформное отображение границ области модальности комплексной плоскости корней s на плоскость и приведёт к изменению их конфигурации, да и характер расположения корней в пределах этих границ будет иным. Так действительный полюс передаточной функции классического вида отобразится на плоскость и парой чисто мнимых сопряжённых корней, а любая пара комплексно-сопряжённых корней плоскости s отобразится на плоскость и в виде двух пар комплексно-сопряжённых корней, симметричных относительно мнимой оси. Так как модальная структура корней D(u) в силу особенностей систем дробного порядка может быть несимметричной относительно мнимой оси плоскости и, то логично предположить, что и характер переходного процесса таких систем будет отличным от классического представления. Перечисленные аспекты показывают неочевидность построения искомой области путём простого отображения границ модальности комплексной плоскости корней s на плоскость и и создают предпосылки для проведения дополнительных исследований.

При построении границы модальности будем рассматривать влияние на показатели качества системы расположения на комплексной плоскости доминирующей пары комплексно-сопряжённых корней. Лучи, ограничивающие область расположения корней на комплексной плоскости s по степени колебательности, можно описать

± jln-pu)

как е v ц, что на комплексной плоскости и соответствует двум лучам в I-м и IV-м

, чт

! п

Ч 2 2 у

квадрантах: e v у и симметричным им относительно мнимои оси двум лучам во

± {п 'ЧI

II-м и III-м квадрантах: e v 7. Левые корни характеристического полинома D(u) привносят монотонные затухающие составляющие во временную функцию системы, а значит, их расположение окажет влияние на время регулирования tp и не окажет никакого влияния на колебательность в системе [4]. Отсюда следует, что граница области модальности, ограничивающая колебательность в системе, представляет собои

Г п

± j| 2 2 , ~ гр

два луча: e v 7, расположенные в правой полуплоскости и. То есть если все корни D(u) будут находиться слева от этих лучей, то колебательность в системе будет не хуже заданной.

Построение области модальности на левой полуплоскости и предполагает выявление характера и степени влияния расположения доминирующей пары комплексно-сопряжённых корней Äk,k+i на время регулирования. Чем меньше отношение вещественной и мнимой координат корней, тем ближе переходная функция системы дробного порядка будет к переходной функции обычного инерционного звена:

hk к+1 (t) = 1 - e-n , когда Хк к+1 = ± jд/п , (рис. 1, кривая 1). При увеличении этого отноше-

ния характер переходного процесса системы будет меняться и для предельного случая, когда Хк к+1 = -«, переходная функция будет иметь вид (рис. 1, кривая 2):

hk к+1 {*)=1 - "i1 - 2^2{) ■ •еггс^^^ •

2Г)•е«2

Обе функции за время регулирования Ьр = 180 мин. достигают уровня Нк к+1 (^р) = 1 - А, где статическая ошибка А лежит в пределах ± 0.05. Несмотря на то,

что эти функции имеют одно время переходного процесса, характер их нарастания существенно отличается: кривая 2 в начальный момент времени нарастает так стремительно, что почти достигает своего установившегося значения за сравнительно малый промежуток времени, дальнейшее нарастание функции происходит всё более «вяло» - в течение несравнимо большего интервала времени. Необходимо отметить, что такой затяжной характер переходного процесса в области больших значений времени отвечает данным, полученным экспериментально для многих теплотехнологических объектов управления.

Рис. 1. Переходные функции звена: 1 - Х

к ,к+1

= ± jyjп ;2 - Хк к+1 =

Между значениями п и ^ существует жёсткая связь: а = ^Д/п = const, следовательно, степень устойчивости системы характеризует как значение п, так и Из аналитических выражений рассматриваемых переходных функций (рис. 1) для заданных t = tp и А можно выразить а в неявном виде:

f (а) = 2а^—+ (1 + 2а2 • In а) • е-а ln А • erfc (а V- In А) - А = 0.

Значение а можно найти численным методом. Быструю сходимость (всего за 3..6 итерации) и низкую погрешность (менее 1 • 10-8 %) обеспечивает метод Ньютона, основанный на аналитическом определении производной функции Ла):

f'(а) = -2а • ln А 2а J А-(1 - 2а2 • ln а)^ е-а ln А^ erfc (а^ -ln А)),

что обусловлено характером изменения кривой 2 (рис. 1) в точке t = tp. Значение а на г+1 шаге итерации определяется как

а,

+1 = а - f (а )/f '(а) •

Построение границы модальности в левой полуплоскости и, характеризующей возможные расположения доминирующей пары комплексно-сопряжённых корней D(u) общего вида Хк k+1 = а ± jß , основано на определении переходной функции этого

динамического звена. Тогда для t = tp и заданного А получим выражение:

2jß

(а + jß)е-2]aßtp • erfc(-(a - jß)JtP) -(a - jß)Є2]aßtp • erfc(-(a + jß)^fP)

- A = 0.

Задаваясь значениями а из диапазона -£ < а < 0, можно определить соответствующие значения в методом Ньютона, как описано выше. Полученная таким образом граница практически совпадает с окружностью (стандартное отклонение - менее

0.7%), проходящей через три найденные ранее точки и = ±д/П, - £ . Окружность,

4ІЇ

центр которой смещен относительно начала координат влево на х £2 +П

радиус R =

2^

Аналогично можно построить окружность в правой полуплоскости плоскости и, представляющую собой границу степени устойчивости и ограничивающую время переходного процесса системы. Таким образом, корни D(u), расположенные вне этих окружностей, при удовлетворении ограничениям по колебательности привнесут составляющие в переходный процесс системы с временем затухания меньше заданного tp. На рис. 2 штриховкой выделена область модальности комплексной плоскости корней и, соответствующая заданным корневым показателям качества системы (прямые 1 -граница степени колебательности; кривые 2 - граница степени устойчивости).

Рис. 2. Область модальности на комплексной плоскости корней и

Оценка качества функционирования системы на основе применения методов анализа устойчивости предполагает определение такого смещённого характеристического полинома, при котором граница модальности полинома В ) соответствует

границе устойчивости его смещённого аналога. Граница устойчивости на комплексной плоскости и представляет собой две биссектрисы 1-го 1У-го квадрантов (рис. 2, прямые з) [4].

Получение смещённых полиномов, описывающих границы модальности на комплексной плоскости корней

Смещённый полином, описывающий границу колебательности, может быть получен путём замены в исходном полиноме:

п-к

В (V*) = £ а,э 2 (1)

к=0

вида:

_ .Рм

^=Т±7■^ • е_7 2,

где соответствует повороту границы устойчивости на угол ±(п/4 - рм/2). Здесь знак

плюс для поворота верхнего луча границы устойчивости, а минус - нижнего. Смещённый полином имеет следующий вид:

п п-к

:(^) = ХА/ , (2)

В

где коэффициенты для верхней полуплоскости и определяются по формуле:

А -¿Г* ■ е-Лп-к) 2 ■ а„; (3)

и для нижней полуплоскости и:

Ак ->/“/

.(п-к)-

п-к '■' 2

е 2 ■ а.

к

Так как корни характеристических полиномов вида (1) всегда располагаются на комплексной плоскости симметрично относительно вещественной оси, то можно ограничиться описанием границы модальности лишь в верхней полуплоскости (3)

Определим смещенный полином Вп (ф*П), соответствующий границе степени

устойчивости в левой полуплоскости и. Вначале совместим границу устойчивости с мнимой осью путём поворота её на угол +п/4, что равносильно умножению аргумента полинома Вп (фп ) на у[] . Далее воспользуемся билинейным преобразованием,

трансформирующим мнимую ось в окружность единичного радиуса так, чтобы правая полуплоскость отобразилась на площади этой окружности, а затем полученную окружность промасштабируем (умножением на Я) и сместим влево на величину

х--4Я -П . Такое многоэтапное преобразование соответствует замене в исходном полиноме В (V*) вида:

/X -1 „ ПТ

Коэффициенты многочлена Вп (ф^ ) трудно выразить аналитически, поэтому допустимы лишь частотные методы анализа его устойчивости, основанные на замене ^ ¿ю, ю - 0... + да. Аналогично можно определить смещённый полином, описывающий границу степени устойчивости в правой полуплоскости комплексной плоскости корней и.

Приближенное описание границы модальности

Оценка качества системы с помощью смещённого полинома Вп (ф^) для инженерных расчётов сопряжена с достаточно громоздкими расчётами комплексных величин. Поэтому возникает необходимость в разработке приближенного описания

Серия История. Политология. Экономика. Информатика. 13g

2010. № 1 (72). Выпуск 13/1

границы области модальности более простого с аналитической точки зрения, с помощью которого можно получить грубую оценку качества системы с использованием аналитических критериев устойчивости. Для этого проанализируем взаимное влияние на время регулирования расположения на комплексной плоскости нескольких пар комплексно-сопряжённых полюсов передаточной функции системы дробного порядка.

Переходный процесс динамического звена с полюсами Хх 2 = -а ± jß, расположенными в левой полуплоскости и, подобно кривой 2 (см. рис. 1) с ростом интервала времени протекает всё более «вяло», т. е. имеет место как бы «ползучесть» в сторону увеличения функции h(t) (рис. 3, кривая 1). А переходный процесс динамического звена с полюсами Я3 4 = а ± jß , расположенными в правой полуплоскости и симметрично полюсам Хг,2 относительно мнимой оси, наряду с колебательностью будет иметь в области больших значений времени «ползучесть» в сторону уменьшения функции h(t) (рис. 3, кривая 2). Переходная функция системы, имеющей эти четыре корня характеристического полинома D(u) одновременно Хх 2 3 4 = ±а ± jß , не обладает свойством «ползучести» в области больших значений времени за счёт взаимной компенсации левой и правой пар комплексно-сопряжённых корней и полностью соответствует обыкновенному колебательному звену классического вида с корнями характеристического полинома D(s): \ 2 = а2 - ß1 ± j2aß при условии ß > а .

1S

Iß

1.4.

12

« 1 .=

0S 0.5 0Л 02 0

0 1 0 30 Э0 40 5 0 60

Брели, t (мин)

Рис. 3. Переходные функции звеньев: 1 - 2 = -а ± jß ; 2 - Л3 4 = а ± jß

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Компенсация «ползучести» h(t) также возможна и в случае несимметричного расположения левой и правой пар комплексно-сопряжённых корней D(u) относи-

0 äi Вл , , ^

тельно мнимой оси, в случае, когда —1— = —2— (аг- - модуль вектора fa), или

cos (рх cos р2

af + Ä2 о , ч тх

—-----— = const для этих пар корней (рис. 4). Из последнего соотношения следует, что

ai

вектор, проведенный из начала координат к fa, является хордой окружности 1 или 2, т. е. левые и правые пары комплексно-сопряжённых корней должны располагаться на соответствующих окружностях 1 и 2 радиусом R. Из рис. 5 видно, что переходная

функция системы с полюсами передаточной функции 21,2,3,4, расположенными как показано на рис. 4 несимметрично относительно мнимой оси, не имеет «ползучести».

red

Рис. 4. Иллюстрация несимметричного расположения левой и правой пар корней, при котором переходная функция не обладает «ползучестью»

В случае если, например, левая пара полюсов расположена на окружности

1, а правая пара Аз,4 - вне окружности 2, то такой системе присуща лишь частично скомпенсированная «ползучесть» возрастающей составляющей и развитие функции h(t) будет происходить в сторону её «вялого» увеличения, а если правая пара Аз,4 будет расположена внутри окружности 2 - то будет иметь место обратная картина, т. е. будет преобладать «ползучесть» в сторону уменьшения h(t).

Рис. 5. Переходная функция системы с полюсами Ак:

2,3,4

В ряде практических случаев достигается частичная или полная компенсация «ползучести», особенно, когда корни характеристического полинома D(u) располагаются вблизи мнимой оси. Напротив, при наличии левых вещественных корней или близких к вещественным корням компенсация «ползучести» в сторону увеличения функции h(t) практически невозможна из-за требований устойчивости и качества.

В силу вышеизложенного справедлива следующая аппроксимация границы степени устойчивости, упрощающая её аналитическую запись. Проведём два луча на

комплексной плоскости корней и, выходящие из точки 4$ = -% действительной оси и проходящие через точки 4$ = ± j^n мнимой оси, как показано на рис. 6, лучи 2. В

правой полуплоскости и область модальности ограничивается пересечением этих лучей 2 с лучами, определяющими степень колебательности (рис. 6, лучи 1). Заштрихованная зона на рис. 6 является приближённой областью модальности.

Ой

осе

001

ош

-ОЙ

-ом

-0«

■осе

і 1т

1 1 : : 1

; 4 / Ке

V -г- V і г |

-н [\ .1 Л.

*

і — 1 м 1+ч ,.\ .0-

1 Б

425

-0,2

-А 15

-С I

-505

0 05

Рис. 6. Приближенное описание области модальности на комплексной плоскости корней и

Получение смещённых полиномов для приближенного описания границы модальности

Смещённый полином Ву (4^), соответствующий приближенному описанию границы степени устойчивости, может быть получен путём замены в исходном полиноме В (4я) вида:

^=41 - ег - $,

„ ( п \ 4п

что соответствует повороту границы устойчивости на угол — + у I, где у = агйе-—,

I 4 ) $

и смещению её на -$. Для определения коэффициентов полинома Ву (4^) рассмотрим смещение и поворот раздельно. Обозначим 4$$ = 41 '4^г ■ е]г, тогда в полиноме В (4я) произведём замену, описывающую смещение границы устойчивости на -$: 4^ = 4$$ - $ . Полином, соответствующий этому смещению, имеет вид:

В$ №) = ±В.

к=0

п-к

где коэффициенты определяются по одной из формул:

Вк =

1

(п - к)!

дп-кВ (4$)

д4я

і-к

, или Вк =Е(-1)

к-і

(п - і)!

і=0

(к - і)!(п - к)!

к-і

Затем, в полученном полиноме произведём замену вида = 4~] 'е1, тогда

имеем:

п п-к

Яг ) = Е Скзг 2 , (5)

к=0

Ск =4(-.I)п-к ■ е,(п-к>’ ■ Вк = 'е'("-к'Г(-')к-'("-$“> ■ (6)

Применение частотных методов для анализа смещённого характеристического полинома (5), (6) предполагает замену я7 ^ ® = 0... + да , тогда:

___ n n-k

Dy wT®) = t ck ( J®)» (7)

k=0

где

eJ(n-k)r k , (n - i)!

e 'ST / 1 \k-i \ )! gk-i

Ck -(n-ï)it(-1) (¡Л)!

Выделяя вещественную и мнимую части (7) Dy (JJ®) = UY (®) + JVY (®), получим

J’y'

n n-к n n-k

Uy (®) = t ReCk® 2 , Vy (®) = t ImCk® 2 ,

k=0 k=0

где вещественные и мнимые части коэффициентов можно определить по формулам:

Re с = t (-i)k-' TT-I ^-' »

(n - k)! ¿=0 (k - i)!

sin ( n - k )y * k-i ( n - i )! k-i

Imck =—^^—t (-1) -7----f-a -tk .

(n - k)! i=0 (k - i)!

Выполнение условий устойчивости смещённых полиномов DM (уЦ) и

Dy (,JsY) гарантирует исходной системе показатели качества, определяемые заданной

областью модальности. Эти смещённые характеристические полиномы, в отличие от

полинома Dn ), коэффициенты которого невозможно выразить в явном виде,

допускают согласно (3) и (6) применения аналитических методов (например, метода D-разбиения), которые можно использовать не только для анализа качества функционирования системы дробного порядка, но и для выявления влияния параметров дробно-иррациональной передаточной функции на показатели качества управления.

Выводы

1. Анализ характера расположения корней характеристического полинома системы дробного порядка на комплексной плоскости и позволяет дать физическое толкование развития переходного процесса.

2. Выполнение условий устойчивости смещённых полиномов DM (уЦ) и

Dn (фп ) или Dy (Js^ ) гарантирует исходной системе показатели качества, определяемые заданной областью модальности.

3. Представление смещённых полиномов по степени колебательности

DM (уЦ ) и степени устойчивости Dy (Js^ ) в виде (2), (3) и (4), (5) позволяет использовать аналитические критерии устойчивости для оценки качества системы дробного порядка.

4. Упрощённое представление области модальности на комплексной плоскости и (рис. 6) с достаточной для практики точностью определяет желаемое расположение корней характеристического полинома реальной системы, отвечающей требуемому качеству.

5. Полученные смещённые характеристические полиномы DM (Js^) и

Dy (л/^) можно использовать не только для анализа качества функционирования

системы, но и для решения задачи параметрического синтеза закона управления, например на основе теории .D-разбиения или методом корневого годографа.

Литература

1. Бабенко, Ю.И. Тепломассообмен: Метод расчёта тепловых и диффузионных потоков [Текст] /Ю.И. Бабенко. - Л.: Химия, 1986. - 144 с.

2. Воронов, А.А. Основы теории автоматического управления: Особые линейные и нелинейные системы. 2-е изд. перераб. [Текст] / А.А. Воронов. - М.: Энергоиздат, 1981. - 304 с.

3. Автоматическое управление электротермическими установками [Текст] / Под ред. А. Д. Свенчанского. - М.: Энергоатомиздат, 1990. - 416 с.

4. Рубанов, В.Г. О модификации критериев устойчивости для систем с передаточными функциями, содержащими дробную степень комплексного переменного [Текст] / В.Г. Рубанов, В.В. Мишунин // Современные проблемы строительного материаловедения: Материалы седьмых академических чтений РААСН. - Ч. 2. - Белгород, 2001. - С. 263-267.

FEATURES OF THE QUALITY ANALYSIS AT DESIGNING SYSTEMS WITH TRANSFER FUNCTIONS OF THE FRACTIONAL ORDER

V.V. MISHUNIN V. G. RUBANOV2

1)Belgorod State University e-mail: [email protected]

2) Belgorod Shuknov State Technological University after V.G. Shukhov

The technique of construction of modality area on a roots complex plane of a characteristic polynom of argument s of the fractional order, multiple 1/2. Borders of modality area are under construction on a complex plane Vs according to root parameters of quality - stability degree and fluctuations degree, which are depended to regulation time and attenuation of fluctuations in system. Approximation of border of stability degree simplifies its analytical description.

Key words: automatic control systems of the fractional order; root methods of the analysis of quality; stability degree; fluctuations degree.