УДК 681.515
ОСОБЕННОСТИ АНАЛИЗА КАЧЕСТВА ПРИ ПРОЕКТИРОВАНИИ СИСТЕМ С ПЕРЕДАТОЧНЫМИ ФУНКЦИЯМИ ДРОБНОГО ПОРЯДКА
В статье изложена методика построения области модальности на комплексной плоскости корней характеристического полинома аргумента в дробного порядка, кратного 1/2. Границы области модальности строятся на комплексной плоскости в соответствии с корневыми показателями качества - степенью устойчивости и степенью колебательности, которые связаны с заданным временем регулирования и колебательностью в системе. Предложена аппроксимация границы степени устойчивости, существенно упрощающая её аналитическое описание.
Ключевые слова: системы автоматического управления дробного порядка; корневые методы анализа качества; степень устойчивости; степень колебательности.
Введение
Проектирование автоматических систем управления тепловыми объектами (нагревательными установками, сушильными камерами, плавильными и обжиговыми печами и т. п.) предполагает наличие их математических моделей. Так как параметры теплового объекта управления являются распределенными в пространстве, то получение его математической модели сопряжено с решением краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных. При решении таких задач в области комплексного переменного Лапласа s = а + jrn для многих тепло-массообменных и
диффузионных процессов математические модели содержат различные функции аргумента , например, гиперболические синус или косинус [1], [2].
Традиционный подход, заключающийся в аппроксимации такого решения дробно-рациональной передаточной функцией, во многих случаях не даёт конструктивных результатов при выборе управляющего устройства из-за низкой адекватности принятой математической модели реальному объекту. В качестве альтернативы возможно представление объекта управления и системы в целом дробноиррациональной передаточной функцией в виде отношения полиномов дробной степени комплексной переменной s, кратной 1/2, (такие системы относятся к классу систем дробного порядка) [2], [3].
Применение многих корневых методов анализа качества и синтеза систем в классической теории автоматического управления основано на выделении области комплексной плоскости s, в которой должны располагаться доминирующие корни характеристического полинома замкнутой системы D(s), обладающей требуемыми показателями качества. Границы области, как правило, определяются косвенными показателями качества по степени устойчивости п и степени колебательности ц, что соответствует на комплексной плоскости корней прямой линии, параллельной мнимой оси и смещённой относительно неё влево на п, и двумя лучами, расположенными во II-м III-м квадрантах и выходящими из начала координат под углами = arctg л симметрично к действительной оси.
Проблематика и построение границ модальности на комплексной плоскости корней для системы дробного порядка
Проблема применения корневых методов анализа качества для анализа и синтеза систем дробного порядка состоит в том, что область модальности, построенная
В.В. МИШУНИН11 В.Г. РУБАНОВ21
1) Белгородский
государственный
университет
e-mail: Mishunin@bsu.edu.ru
Белгородский государственный университет им. В.Г. Шухова
для характеристического полинома обыкновенной системы D(s) не является соответствующей областью модальности для D (Vs ). Требуется построить и формализовать
границы области модальности, отвечающей заданным показателям качества, для характеристического полинома от аргумента Vs . Решение поставленной задачи неочевидно и требует достаточно глубокого анализа зависимости между расположением корней D (VS) на комплексной плоскости и прямыми показателями качества переходного процесса.
Построение границ области модальности для системы, представленной передаточной функцией дробного порядка, целесообразно производить с точки зрения простоты вычисления её полюсов в плоскости корней комплексной переменной
и -yfs , являющейся аргументом характеристического полинома D (*Js ) такой системы. Конформное отображение границ области модальности комплексной плоскости корней s на плоскость и приведёт к изменению их конфигурации, да и характер расположения корней в пределах этих границ будет иным. Так действительный полюс передаточной функции классического вида отобразится на плоскость и парой чисто мнимых сопряжённых корней, а любая пара комплексно-сопряжённых корней плоскости s отобразится на плоскость и в виде двух пар комплексно-сопряжённых корней, симметричных относительно мнимой оси. Так как модальная структура корней D(u) в силу особенностей систем дробного порядка может быть несимметричной относительно мнимой оси плоскости и, то логично предположить, что и характер переходного процесса таких систем будет отличным от классического представления. Перечисленные аспекты показывают неочевидность построения искомой области путём простого отображения границ модальности комплексной плоскости корней s на плоскость и и создают предпосылки для проведения дополнительных исследований.
При построении границы модальности будем рассматривать влияние на показатели качества системы расположения на комплексной плоскости доминирующей пары комплексно-сопряжённых корней. Лучи, ограничивающие область расположения корней на комплексной плоскости s по степени колебательности, можно описать
± jln-pu)
как е v ц, что на комплексной плоскости и соответствует двум лучам в I-м и IV-м
, чт
! п
Ч 2 2 у
квадрантах: e v у и симметричным им относительно мнимои оси двум лучам во
± {п 'ЧI
II-м и III-м квадрантах: e v 7. Левые корни характеристического полинома D(u) привносят монотонные затухающие составляющие во временную функцию системы, а значит, их расположение окажет влияние на время регулирования tp и не окажет никакого влияния на колебательность в системе [4]. Отсюда следует, что граница области модальности, ограничивающая колебательность в системе, представляет собои
Г п
± j| 2 2 , ~ гр
два луча: e v 7, расположенные в правой полуплоскости и. То есть если все корни D(u) будут находиться слева от этих лучей, то колебательность в системе будет не хуже заданной.
Построение области модальности на левой полуплоскости и предполагает выявление характера и степени влияния расположения доминирующей пары комплексно-сопряжённых корней Äk,k+i на время регулирования. Чем меньше отношение вещественной и мнимой координат корней, тем ближе переходная функция системы дробного порядка будет к переходной функции обычного инерционного звена:
hk к+1 (t) = 1 - e-n , когда Хк к+1 = ± jд/п , (рис. 1, кривая 1). При увеличении этого отноше-
ния характер переходного процесса системы будет меняться и для предельного случая, когда Хк к+1 = -«, переходная функция будет иметь вид (рис. 1, кривая 2):
hk к+1 {*)=1 - "i1 - 2^2{) ■ •еггс^^^ •
2Г)•е«2
Обе функции за время регулирования Ьр = 180 мин. достигают уровня Нк к+1 (^р) = 1 - А, где статическая ошибка А лежит в пределах ± 0.05. Несмотря на то,
что эти функции имеют одно время переходного процесса, характер их нарастания существенно отличается: кривая 2 в начальный момент времени нарастает так стремительно, что почти достигает своего установившегося значения за сравнительно малый промежуток времени, дальнейшее нарастание функции происходит всё более «вяло» - в течение несравнимо большего интервала времени. Необходимо отметить, что такой затяжной характер переходного процесса в области больших значений времени отвечает данным, полученным экспериментально для многих теплотехнологических объектов управления.
Рис. 1. Переходные функции звена: 1 - Х
к ,к+1
= ± jyjп ;2 - Хк к+1 =
Между значениями п и ^ существует жёсткая связь: а = ^Д/п = const, следовательно, степень устойчивости системы характеризует как значение п, так и Из аналитических выражений рассматриваемых переходных функций (рис. 1) для заданных t = tp и А можно выразить а в неявном виде:
f (а) = 2а^—+ (1 + 2а2 • In а) • е-а ln А • erfc (а V- In А) - А = 0.
Значение а можно найти численным методом. Быструю сходимость (всего за 3..6 итерации) и низкую погрешность (менее 1 • 10-8 %) обеспечивает метод Ньютона, основанный на аналитическом определении производной функции Ла):
f'(а) = -2а • ln А 2а J А-(1 - 2а2 • ln а)^ е-а ln А^ erfc (а^ -ln А)),
что обусловлено характером изменения кривой 2 (рис. 1) в точке t = tp. Значение а на г+1 шаге итерации определяется как
а,
+1 = а - f (а )/f '(а) •
Построение границы модальности в левой полуплоскости и, характеризующей возможные расположения доминирующей пары комплексно-сопряжённых корней D(u) общего вида Хк k+1 = а ± jß , основано на определении переходной функции этого
динамического звена. Тогда для t = tp и заданного А получим выражение:
2jß
(а + jß)е-2]aßtp • erfc(-(a - jß)JtP) -(a - jß)Є2]aßtp • erfc(-(a + jß)^fP)
- A = 0.
Задаваясь значениями а из диапазона -£ < а < 0, можно определить соответствующие значения в методом Ньютона, как описано выше. Полученная таким образом граница практически совпадает с окружностью (стандартное отклонение - менее
0.7%), проходящей через три найденные ранее точки и = ±д/П, - £ . Окружность,
4ІЇ
центр которой смещен относительно начала координат влево на х £2 +П
радиус R =
2^
Аналогично можно построить окружность в правой полуплоскости плоскости и, представляющую собой границу степени устойчивости и ограничивающую время переходного процесса системы. Таким образом, корни D(u), расположенные вне этих окружностей, при удовлетворении ограничениям по колебательности привнесут составляющие в переходный процесс системы с временем затухания меньше заданного tp. На рис. 2 штриховкой выделена область модальности комплексной плоскости корней и, соответствующая заданным корневым показателям качества системы (прямые 1 -граница степени колебательности; кривые 2 - граница степени устойчивости).
Рис. 2. Область модальности на комплексной плоскости корней и
Оценка качества функционирования системы на основе применения методов анализа устойчивости предполагает определение такого смещённого характеристического полинома, при котором граница модальности полинома В ) соответствует
границе устойчивости его смещённого аналога. Граница устойчивости на комплексной плоскости и представляет собой две биссектрисы 1-го 1У-го квадрантов (рис. 2, прямые з) [4].
Получение смещённых полиномов, описывающих границы модальности на комплексной плоскости корней
Смещённый полином, описывающий границу колебательности, может быть получен путём замены в исходном полиноме:
п-к
В (V*) = £ а,э 2 (1)
к=0
вида:
_ .Рм
^=Т±7■^ • е_7 2,
где соответствует повороту границы устойчивости на угол ±(п/4 - рм/2). Здесь знак
плюс для поворота верхнего луча границы устойчивости, а минус - нижнего. Смещённый полином имеет следующий вид:
п п-к
:(^) = ХА/ , (2)
В
где коэффициенты для верхней полуплоскости и определяются по формуле:
А -¿Г* ■ е-Лп-к) 2 ■ а„; (3)
и для нижней полуплоскости и:
Ак ->/“/
.(п-к)-
п-к '■' 2
е 2 ■ а.
к
Так как корни характеристических полиномов вида (1) всегда располагаются на комплексной плоскости симметрично относительно вещественной оси, то можно ограничиться описанием границы модальности лишь в верхней полуплоскости (3)
Определим смещенный полином Вп (ф*П), соответствующий границе степени
устойчивости в левой полуплоскости и. Вначале совместим границу устойчивости с мнимой осью путём поворота её на угол +п/4, что равносильно умножению аргумента полинома Вп (фп ) на у[] . Далее воспользуемся билинейным преобразованием,
трансформирующим мнимую ось в окружность единичного радиуса так, чтобы правая полуплоскость отобразилась на площади этой окружности, а затем полученную окружность промасштабируем (умножением на Я) и сместим влево на величину
х--4Я -П . Такое многоэтапное преобразование соответствует замене в исходном полиноме В (V*) вида:
/X -1 „ ПТ
Коэффициенты многочлена Вп (ф^ ) трудно выразить аналитически, поэтому допустимы лишь частотные методы анализа его устойчивости, основанные на замене ^ ¿ю, ю - 0... + да. Аналогично можно определить смещённый полином, описывающий границу степени устойчивости в правой полуплоскости комплексной плоскости корней и.
Приближенное описание границы модальности
Оценка качества системы с помощью смещённого полинома Вп (ф^) для инженерных расчётов сопряжена с достаточно громоздкими расчётами комплексных величин. Поэтому возникает необходимость в разработке приближенного описания
Серия История. Политология. Экономика. Информатика. 13g
2010. № 1 (72). Выпуск 13/1
границы области модальности более простого с аналитической точки зрения, с помощью которого можно получить грубую оценку качества системы с использованием аналитических критериев устойчивости. Для этого проанализируем взаимное влияние на время регулирования расположения на комплексной плоскости нескольких пар комплексно-сопряжённых полюсов передаточной функции системы дробного порядка.
Переходный процесс динамического звена с полюсами Хх 2 = -а ± jß, расположенными в левой полуплоскости и, подобно кривой 2 (см. рис. 1) с ростом интервала времени протекает всё более «вяло», т. е. имеет место как бы «ползучесть» в сторону увеличения функции h(t) (рис. 3, кривая 1). А переходный процесс динамического звена с полюсами Я3 4 = а ± jß , расположенными в правой полуплоскости и симметрично полюсам Хг,2 относительно мнимой оси, наряду с колебательностью будет иметь в области больших значений времени «ползучесть» в сторону уменьшения функции h(t) (рис. 3, кривая 2). Переходная функция системы, имеющей эти четыре корня характеристического полинома D(u) одновременно Хх 2 3 4 = ±а ± jß , не обладает свойством «ползучести» в области больших значений времени за счёт взаимной компенсации левой и правой пар комплексно-сопряжённых корней и полностью соответствует обыкновенному колебательному звену классического вида с корнями характеристического полинома D(s): \ 2 = а2 - ß1 ± j2aß при условии ß > а .
1S
Iß
1.4.
12
« 1 .=
0S 0.5 0Л 02 0
0 1 0 30 Э0 40 5 0 60
Брели, t (мин)
Рис. 3. Переходные функции звеньев: 1 - 2 = -а ± jß ; 2 - Л3 4 = а ± jß
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Компенсация «ползучести» h(t) также возможна и в случае несимметричного расположения левой и правой пар комплексно-сопряжённых корней D(u) относи-
0 äi Вл , , ^
тельно мнимой оси, в случае, когда —1— = —2— (аг- - модуль вектора fa), или
cos (рх cos р2
af + Ä2 о , ч тх
—-----— = const для этих пар корней (рис. 4). Из последнего соотношения следует, что
ai
вектор, проведенный из начала координат к fa, является хордой окружности 1 или 2, т. е. левые и правые пары комплексно-сопряжённых корней должны располагаться на соответствующих окружностях 1 и 2 радиусом R. Из рис. 5 видно, что переходная
функция системы с полюсами передаточной функции 21,2,3,4, расположенными как показано на рис. 4 несимметрично относительно мнимой оси, не имеет «ползучести».
red
Рис. 4. Иллюстрация несимметричного расположения левой и правой пар корней, при котором переходная функция не обладает «ползучестью»
В случае если, например, левая пара полюсов расположена на окружности
1, а правая пара Аз,4 - вне окружности 2, то такой системе присуща лишь частично скомпенсированная «ползучесть» возрастающей составляющей и развитие функции h(t) будет происходить в сторону её «вялого» увеличения, а если правая пара Аз,4 будет расположена внутри окружности 2 - то будет иметь место обратная картина, т. е. будет преобладать «ползучесть» в сторону уменьшения h(t).
Рис. 5. Переходная функция системы с полюсами Ак:
2,3,4
В ряде практических случаев достигается частичная или полная компенсация «ползучести», особенно, когда корни характеристического полинома D(u) располагаются вблизи мнимой оси. Напротив, при наличии левых вещественных корней или близких к вещественным корням компенсация «ползучести» в сторону увеличения функции h(t) практически невозможна из-за требований устойчивости и качества.
В силу вышеизложенного справедлива следующая аппроксимация границы степени устойчивости, упрощающая её аналитическую запись. Проведём два луча на
комплексной плоскости корней и, выходящие из точки 4$ = -% действительной оси и проходящие через точки 4$ = ± j^n мнимой оси, как показано на рис. 6, лучи 2. В
правой полуплоскости и область модальности ограничивается пересечением этих лучей 2 с лучами, определяющими степень колебательности (рис. 6, лучи 1). Заштрихованная зона на рис. 6 является приближённой областью модальности.
Ой
осе
001
ош
-ОЙ
-ом
-0«
■осе
і 1т
1 1 : : 1
; 4 / Ке
V -г- V і г |
-н [\ .1 Л.
*
і — 1 м 1+ч ,.\ .0-
1 Б
425
-0,2
-А 15
-С I
-505
0 05
Рис. 6. Приближенное описание области модальности на комплексной плоскости корней и
Получение смещённых полиномов для приближенного описания границы модальности
Смещённый полином Ву (4^), соответствующий приближенному описанию границы степени устойчивости, может быть получен путём замены в исходном полиноме В (4я) вида:
^=41 - ег - $,
„ ( п \ 4п
что соответствует повороту границы устойчивости на угол — + у I, где у = агйе-—,
I 4 ) $
и смещению её на -$. Для определения коэффициентов полинома Ву (4^) рассмотрим смещение и поворот раздельно. Обозначим 4$$ = 41 '4^г ■ е]г, тогда в полиноме В (4я) произведём замену, описывающую смещение границы устойчивости на -$: 4^ = 4$$ - $ . Полином, соответствующий этому смещению, имеет вид:
В$ №) = ±В.
к=0
п-к
где коэффициенты определяются по одной из формул:
Вк =
1
(п - к)!
дп-кВ (4$)
д4я
і-к
, или Вк =Е(-1)
к-і
(п - і)!
і=0
(к - і)!(п - к)!
к-і
Затем, в полученном полиноме произведём замену вида = 4~] 'е1, тогда
имеем:
п п-к
Яг ) = Е Скзг 2 , (5)
к=0
Ск =4(-.I)п-к ■ е,(п-к>’ ■ Вк = 'е'("-к'Г(-')к-'("-$“> ■ (6)
Применение частотных методов для анализа смещённого характеристического полинома (5), (6) предполагает замену я7 ^ ® = 0... + да , тогда:
___ n n-k
Dy wT®) = t ck ( J®)» (7)
k=0
где
eJ(n-k)r k , (n - i)!
e 'ST / 1 \k-i \ )! gk-i
Ck -(n-ï)it(-1) (¡Л)!
Выделяя вещественную и мнимую части (7) Dy (JJ®) = UY (®) + JVY (®), получим
J’y'
n n-к n n-k
Uy (®) = t ReCk® 2 , Vy (®) = t ImCk® 2 ,
k=0 k=0
где вещественные и мнимые части коэффициентов можно определить по формулам:
Re с = t (-i)k-' TT-I ^-' »
(n - k)! ¿=0 (k - i)!
sin ( n - k )y * k-i ( n - i )! k-i
Imck =—^^—t (-1) -7----f-a -tk .
(n - k)! i=0 (k - i)!
Выполнение условий устойчивости смещённых полиномов DM (уЦ) и
Dy (,JsY) гарантирует исходной системе показатели качества, определяемые заданной
областью модальности. Эти смещённые характеристические полиномы, в отличие от
полинома Dn ), коэффициенты которого невозможно выразить в явном виде,
допускают согласно (3) и (6) применения аналитических методов (например, метода D-разбиения), которые можно использовать не только для анализа качества функционирования системы дробного порядка, но и для выявления влияния параметров дробно-иррациональной передаточной функции на показатели качества управления.
Выводы
1. Анализ характера расположения корней характеристического полинома системы дробного порядка на комплексной плоскости и позволяет дать физическое толкование развития переходного процесса.
2. Выполнение условий устойчивости смещённых полиномов DM (уЦ) и
Dn (фп ) или Dy (Js^ ) гарантирует исходной системе показатели качества, определяемые заданной областью модальности.
3. Представление смещённых полиномов по степени колебательности
DM (уЦ ) и степени устойчивости Dy (Js^ ) в виде (2), (3) и (4), (5) позволяет использовать аналитические критерии устойчивости для оценки качества системы дробного порядка.
4. Упрощённое представление области модальности на комплексной плоскости и (рис. 6) с достаточной для практики точностью определяет желаемое расположение корней характеристического полинома реальной системы, отвечающей требуемому качеству.
5. Полученные смещённые характеристические полиномы DM (Js^) и
Dy (л/^) можно использовать не только для анализа качества функционирования
системы, но и для решения задачи параметрического синтеза закона управления, например на основе теории .D-разбиения или методом корневого годографа.
Литература
1. Бабенко, Ю.И. Тепломассообмен: Метод расчёта тепловых и диффузионных потоков [Текст] /Ю.И. Бабенко. - Л.: Химия, 1986. - 144 с.
2. Воронов, А.А. Основы теории автоматического управления: Особые линейные и нелинейные системы. 2-е изд. перераб. [Текст] / А.А. Воронов. - М.: Энергоиздат, 1981. - 304 с.
3. Автоматическое управление электротермическими установками [Текст] / Под ред. А. Д. Свенчанского. - М.: Энергоатомиздат, 1990. - 416 с.
4. Рубанов, В.Г. О модификации критериев устойчивости для систем с передаточными функциями, содержащими дробную степень комплексного переменного [Текст] / В.Г. Рубанов, В.В. Мишунин // Современные проблемы строительного материаловедения: Материалы седьмых академических чтений РААСН. - Ч. 2. - Белгород, 2001. - С. 263-267.
FEATURES OF THE QUALITY ANALYSIS AT DESIGNING SYSTEMS WITH TRANSFER FUNCTIONS OF THE FRACTIONAL ORDER
V.V. MISHUNIN V. G. RUBANOV2
1)Belgorod State University e-mail: Mishunin@bsu.edu.ru
2) Belgorod Shuknov State Technological University after V.G. Shukhov
The technique of construction of modality area on a roots complex plane of a characteristic polynom of argument s of the fractional order, multiple 1/2. Borders of modality area are under construction on a complex plane Vs according to root parameters of quality - stability degree and fluctuations degree, which are depended to regulation time and attenuation of fluctuations in system. Approximation of border of stability degree simplifies its analytical description.
Key words: automatic control systems of the fractional order; root methods of the analysis of quality; stability degree; fluctuations degree.