Определение настроек линейных регуляторов, обеспечивающих апериодические переходные процессы в системах с интервальноaопределенными параметрами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.5

ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАСТРОЕК ЛИНЕЙНЫХ РЕГУЛЯТОРОВ, ОБЕСПЕЧИВАЮЩИХ АПЕРИОДИЧЕСКИЕ ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМАХ С ИНТЕРВАЛЬНО-ОПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

С.А. Гайворонский, М.С. Суходоев

Томский политехнический университет E-mail: smike@aics.ru

Определяются настройки робастных ПИ- и ПИД-регуляторов, обеспечивающих апериодический характер переходных процессов в системах при всех возможных значениях интервально-определенных параметров объекта управления. Разработанные процедуры параметрического синтеза регуляторов основаны на задании границ доминирующего вещественного корня характеристического полинома системы, разделении параметров регулятора на зависимые и свободные и применении метода D-разбиения для систем в вершинах многогранника интервальных коэффициентов полинома.

Ключевые слова:

Система автоматического управления, синтез параметров регулятора, корневой метод, интервально-определенные параметры, апериодический переходный процесс, D-разбиение, гарантированные корневые показатели качества.

Key words:

Automatic control system, the synthesis of the controller parameters, the root method, interval-defined parameters, aperiodicity transition, D-partition, guaranteed root quality indicators.

Введение

Среди промышленных систем автоматического управления существуют такие (прокатные станы, бумагоделательные машины, антенные установки и т. д.), в которых по технологии функционирования необходимо обеспечивать апериодический характер переходных процессов. В качестве регуляторов в указанных системах обычно используются промышленные ПИ- или ПИД-регуляторы. Главной их задачей является уменьшение колебательности и перерегулирования в системе, приводящее переходные процессы к апериодическому виду.

Объекты управления указанных систем, как правило, имеют характерную особенность, которую необходимо учитывать при параметрическом синтезе регуляторов. Речь идет о наличии у объекта управления интервально-определенных параметров, значения которых точно неизвестны или изменяются в определенных пределах по заранее неизвестным законам в процессе функционирования системы.

В связи с этим актуальна разработка процедур определения настроек ПИ- и ПИД-регуляторов, придающих системе свойство робастной апериодичности [1]. Оно заключается в обеспечении в системе апериодического характера переходных процессов при любых значениях интервально-определенных параметров объекта управления.

1. Постановка задачи

Для параметрического синтеза линейных робастных регуляторов указанных типов предлагается использовать подход, основанный на желаемом расположении областей локализации корней характеристического уравнения системы [2, 3]. Известно, что условием апериодического переходного процесса для стационарной системы является такое расположение корней, при котором ближай-

шим к мнимой оси является вещественный корень и выполняется условие его доминирования по отношению ко всем остальным корням [6]. Заметим, что указанный подход хорошо разработан для параметрического синтеза линейных регуляторов стационарных систем. В частности, существуют методики [4, 5] определения параметров регулятора пониженного порядка, обеспечивающих требуемое расположение доминирующих (предписанных) и остальных (свободных) корней уравнения. В качестве доминирующих могут быть заданы как комплексно-сопряженные, так и вещественные корни.

При наличии в объекте управления интервально-определенных параметров каждый корень характеристического уравнения может мигрировать по комплексной плоскости, образуя свою область локализации. Очевидно, что в таком случае для обеспечения в системе апериодического переходного процесса достаточно, чтобы мигрирующий в отрезке вещественный корень оставался доминирующим при любых значениях интервально-определенных параметров системы.

Согласно [6-8], для анализа и синтеза систем с интервально-определенными параметрами можно применять метод корневого годографа. При этом предлагается использовать разработанные в [9, 10] методики, основанные на отображении некоторых проверочных вершин параметрического многогранника полинома на плоскость корней и позволяющие по образам этих вершин находить предельные корневые показатели качества системы (минимальную степень устойчивости и максимальную степень колебательности).

Непосредственно для определения параметров регулятора, обеспечивающих выполнение требований к расположению областей локализации корней интервального уравнения, предлагается использовать метод робастного Б-разбиения. На его

основе в работе [11] при параметрическом синтезе регулятора для системы с интервально-определенными параметрами проводится построение границ искомой параметрической области по четырем вершинам, соответствующим четырем полиномам Харитонова. В нашем случае для повышения точности при параметрическом синтезе линейного регулятора предлагается применять Б-разбиение не для четырех, а для всех проверочных вершин многогранника полинома, определяющих корневые показатели качества системы. Методика выбора таких вершин приведена в [10].

Таким образом, для параметрического синтеза ПИ- и ПИД-регуляторов, гарантирующих апериодический характер переходных процессов в системе при интервальной определенности параметров объекта управления, необходимо разработать процедуры на основе комбинирования метода Б-раз-биения и вершинного анализа определения границ областей локализации корней интервального уравнения. При этом предлагается разделять параметры регулятора на 2 группы. Параметры первой группы должны гарантировать желаемое расположение отрезка доминирующего вещественного корня, а параметры второй группы - обеспечивать расположение остальных корней характеристического уравнения в заданной области.

2. Прообразы границ отрезка доминирующего

вещественного корня

Пусть характеристическое уравнение системы имеет вид:

(1)

Si

Из рис. 1 видно, что доминирующий вещественный корень s* должен быть локализован на заданном отрезке [s1, s2] вещественной оси, а остальные свободные корни локализованы в определенной области Г. Границы этой области задают максимально допустимую степень колебательности и обеспечивают выполнение принципа доминирования. Для параметрического синтеза регулятора представляется целесообразным найти соотношения, связывающие его параметры с границами отрезка корня s*. Для этого установлено, что если областью локализации одного из корней интервального уравнения является отрезок вещественной оси и правее него нет других вещественных корней, то правая граница отрезка является отображением вершины с коэффициентами c0-c2c3..., а левая граница - отображением вершины с коэффициентами c"0c1c"2c3...

3. Основные соотношения для определения настроек ПИ-регулятора

Пусть линейный регулятор описывается передаточной функцией ПИ-регулятора

Wftr (s) = ,

s

где k1, k2 - параметры регулятора, а передаточная функция объекта управления имеет вид:

A(s)

Woy (s) =

B(s)

где -<с<-- минимальное значение /-го коэффициента; - - его максимальное значение. Допустим, что в коэффициенты с, /=0,п линейно входят параметры регулятора и интервально-определенные параметры объекта. При этом с1 образуют параметрический многогранник Р, вершины которого определяются крайними значениями коэффициентов. Данный многогранник отображается на плоскость корней в виде областей их локализации. Пусть для обеспечения апериодического переходного процесса границы областей локализации корней интервального уравнения имеют вид, показанный на рис. 1.

Границы областей локализации корней

где A(s) = ^ a/ ; B(s) = ^ bjsI, bj < bj < bj, n > m.

i=0 j= 0

Тогда интервальный характеристический полином системы может быть записан в виде

D(s) = (k, + k2s) ■ A(s) + s ■ B(s). (2)

Пусть набору коэффициентов -bb2b3... соответствует вершина V1. При данных пределах интервальных коэффициентов имеем вершинный полином Bn(s). Приравняв (2) к нулю и подставив значение вещественного корня s1 (рис. 1) и координаты V1, получим соотношение

(k + k2s,) ■ A(s¡) + s, ■ BV'(s,) = 0, (3)

связывающее настраиваемые параметры ПИ-регулятора с задаваемым корнем s1. Разделим параметры регулятора на зависимый k1 и свободный k2 и на основании (3) выразим k1 через k2

k, = (-s, ■ BV'(s,)- A(s,)■ k1sl)l A(s,). (4)

Подставляя (4) в (2), получаем характеристический полином с одним варьируемым параметром k2

A(s) -s'BVl(s) - A(si)k2s, + sB(s) = 0. (5)

A(s,) + k2 s

Далее на основе (5), применяя метод D-разбиения в плоскости параметра k2, необходимо обеспечить размещение областей локализации свободных

i=0

корней уравнения (1) в желаемой области Г для всех проверочных вершин многогранника P. С этой целью в (5) делаем подстановку границы области локализации свободных корней s=-8(a>)+jm и пределов интервальных коэффициентов полинома B(s), соответствующих координатам проверочной вершины V. В результате получаем функции к/'(ет), задающие границы D-разбиения в плоскости параметра к2 для каждой проверочной вершины. Заметим, что для определения координат вершин V следует воспользоваться методикой [10, 12].

После получения в результате D-разбиения для каждой вершины V интервалов параметра k2 находится область их пересечения. Из этой области выбирается искомое значение свободного параметра к2 и далее по выражению (4) рассчитывается значение зависимого параметра k1.

4. Основные соотношения

для определения настроек ПИД-регулятора

Пусть в системе используется ПИД-регулятор с передаточной функцией

W^ (s) = í±í¿±í¿,

s

где k1, k2, k3 - параметры регулятора. Тогда интервальный характеристический полином системы имеет вид

D (s) = (kj + k2s + k3s2) A(s) + sB (s). (6)

Пусть левая граница s2 заданного доминирующего отрезка [s1, s2] вещественного корня есть прообраз вершины V2, координатами которой, согласно доказанному выше утверждению, являются коэффициенты c0c1c2c3... При данных пределах коэффициентов имеем вершинный полином BV2(s). Подставляя в (4) сначала значение корня s1 и соответствующие ему координаты V1, а затем значение корня s2 и координаты V2 в (6), запишем следующие соотношения

(kj + k2 sj + k3sj2) A(sj) + sjBV '(sj) = 0, (7)

(kj + k2 s2 + k3s2) A(s2) + s2BV 2(s2) = 0. (8)

Данные соотношения связывают настройки ПИД-регулятора с задаваемыми границами отрезка вещественного корня и интервалом допустимой степени устойчивости. Разделим параметры регулятора на зависимые k1, k2 и свободный k3 и выполним следующие преобразования. Выразим параметр k1 из (7) и (8):

kj = (~slB¥ j(sj) - A(sj)(k2 sj + k3 sj2))/A(sj). (9)

k' = (-s2BV2(s2)-A(s2)(k2s2 + k3s22))/A(s2). (10)

Исключим из рассмотрения k1, для чего приравняем правые части выражений (9) и (10). Из полученного в результате выражения легко определить зависимость k2(k3). Далее, подставляя выражение k2(k3) в (7) или (8), получаем зависимость k1(k3).

Конечной целью проводимых преобразований является получение характеристического полинома с одним варьируемым параметром к3. Для этого в (5) следует подставить полученные выражения к1(к3) и к2(к3). Дальнейшее определение свободного параметра к3 проводится по аналогии с рассмотренным выше нахождением параметра к2 для ПИ-регулятора по всем проверочным вершинам многогранника характеристического полинома. После выбора к3 по выражениям к1(к3) и к2(к3) рассчитываются значения зависимых параметров к1 и к2 ПИД-регулятора.

5. Параметрический синтез ПИД-регулятора с гарантированным апериодическим видом переходного процесса

Рассмотрим в качестве примера передаточную функцию разомкнутой системы стабилизации с единичной отрицательной обратной связью:

5 Ь^3 + Ь2 s2 + + Ь0’

где к1, к2, к3 - настраиваемые параметры ПИД-ре-гулятора; к0=1 - постоянный коэффициент передачи объекта управления; Ь3, Ь2, Ьь Ь0 - интервально-определенные параметры объекта управления; Ь3=[0,00002;0,00013]; Ь2=[0,03;0,034]; Ь1=[0,1;0,2]; Ьо=[1;4].

Необходимо определить настройки ПИД-регу-лятора, гарантирующие апериодический переходный процесс с доминирующим вещественным корнем, находящимся в интервале от ^=-4 до з2=-6, и остальными корнями, лежащими в области, ограниченной минимальной степенью устойчивости 53=-14 и максимальной степенью колебательности Ф=30°.

Приведем характеристическое уравнение данной системы к виду:

С4 54 + С35 3 + С2 5 2 + С15 + С0 = 0,

где с4=Ь3; с3=Ь2; Сх=Ь! +к3; с{=Ь0+к2; с0=к{.

На основании вышеописанной методики проведен параметрический синтез регулятора и получены следующие настройки регулятора: ^=64,0391; к2=15,9586; к3=1,0299. Области локализации корней интервального характеристического уравнения с найденными настройками ПИД-регу-лятора представлены на рис 2.

Построим на одной плоскости координат графики переходных процессов замкнутой системы стабилизации при единичном входном воздействии в каждой из вершин многогранника Р, отображающихся на границу областей локализации Уг, рис. 3.

Как видно из рис. 2 и 3, графики переходных процессов замкнутой системы в граничных вершинах многогранника Р носят желаемый характер, а корни характеристического уравнения локализованы в заданной области Г.

Рис. 2.

h

1,2

1

0,8

0,6

0,4

0,2

0

Рис. 3.

Области локализации корней системы с интервально-определенными параметрами с полученными настройками ПИД-регулятора

t,c

0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

Переходные процессы в проверочных вершинах Vr

Заключение

Разработанная процедура параметрического синтеза ПИ- и ПИД-регуляторов позволяет определять их настройки, гарантирующие апериодический характер переходных процессов в системе с интервально-определенными параметрами. Поскольку интервально-определенные параметры объекта могут содержаться как в знаменателе, так и в числителе его передаточной функции, то коэффициенты характеристического полинома могут зависеть от нескольких интервально-определенных параметров объекта. В этом случае характеристический полином имеет аффинную неопределенность, и его следует привести к интервальному типу на основе правил интервальной арифметики. При этом делается допущение: одни и те же интервально-определенные параметры объекта, входящие в различные коэффициенты, могут изменяться независимо. В результате для дальнейшего параметрического синтеза регуляторов также можно использовать многогранник полинома с вершинами, образованными минимальными или максимальными значениями его коэффициентов.

Для практического применения полученных результатов в пакете МаЛаЬ разработаны программы параметрического синтеза ПИ- и ПИД-регуля-торов. Решены числовые примеры определения настроек рассматриваемых типов регуляторов, обеспечивающих апериодический характер переходных процессов в системах с интервальными объектами управления.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Поляк Б.Т., Цыпкин Я.З. Частотные критерии робастной устойчивости и апериодичности линейных систем // Автоматика и телемеханика. - 1990. - № 9. - С. 45-54.

2. Гусев Ю.М., Ефанов В.Н., Крымский В.Г., Рутковский В.Ю. Анализ и синтез линейных интервальных динамических систем (состояние проблемы). Анализ с использованием интервальных характеристических полиномов // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. - 1991. - № 1. - С. 3-23.

3. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. - М.: Наука, 2002. - 303 с.

4. Скворцов Л.М. Интерполяционный метод решения задачи назначения доминирующих полюсов при синтезе одномерных регуляторов // Известия РАН. Теория и системы управления. -199б. - № 4. - С. 10-13.

5. Вадутов О.С., Гайворонский С.А. Решение задачи размещения полюсов системы методом D-разбиения // Известия РАН. Теория и системы управления. - 2004. - № 5. - С. 23-27.

6. Удерман Э.Г. Метод корневого годографа в теории автоматического управления. - М.: Наука, 1972. - 448 с.

7. Римский Г.В. Корневой метод решения задач устойчивости интервальных систем // Вести АН Белоруси. Сер. физ.-техн. наук. - 1994. - № 4. - С. 80-85.

8. Корневые методы исследования интервальных систем / под ред. Г.В. Римского. - Минск: Институт технической кибернетики НАН Беларуси, 1999. - 186 с.

9. Гайворонский С.А. Вершинный анализ корневых показателей качества системы с интервальными параметрами // Известия Томского политехнического университета. - 2006. - Т. 309. -№ 7. - С. 6-9.

10. Гайворонский С.А. Вершинный анализ локализации корней интервального полинома в заданном секторе // III Междунар. конф. по проблемам управления: Пленарные доклады и избранные труды. - М.: Институт проблем управления, 2006. -С. 180-186.

11. Петров Н.П., Поляк Б.Т. Робастное Б-разбиение // Автоматика и телемеханика. - 1991. - № 11. - С. 41-53.

12. Суходоев М.С., Гайворонский С.А., Замятин С.В. Параметрический синтез линейного регулятора интервальной системы с гарантированными корневыми показателями качества // Известия Томского политехнического университета. - 2007. -Т.311. - № 5. - С. 10-13.

Поступила 28.10.2009 г.