Необходимые и достаточные условия существования выпуклой области устойчивости в пространстве коэффициентов характеристического многочлена Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вывод

Предложенные алгоритмы являются быстродействующими, высокоточными для генерации гармонических сигналов (синуса и косинуса, а также при необходимости - эллипса), не требующие дорогих и сложных микропроцессоров (т.е. без команд умножения и деления); область применения этих алгоритмов - научные исследования в области гармонического анализа, при реализации вибросейсмических методов поиска полезных ископаемых, в других применениях микроэлектронной техники.

Одним из основных подходов при исследовании устойчивости нелинейных динамических систем является исследование устойчивости по первому линейному приближению, т.е. изучение устойчивости линейной части этих систем.

Часто на практике коэффициенты характеристических полиномов исходной системы зависят от к технических параметров а ^ моделируемого объекта, которые могут быть модифицированы в процессе проектирования, изготовления и эксплуатации и, следовательно, образуют целое множество возможных значений коэффициентов характеристических полиномов а^ (а 1,..., ак), / = 0,...,п .

Решение вопроса о том, является ли заданное множество возможных значений коэффициентов характеристического полинома множеством коэффициентов полинома Гурвица, всегда достаточно сложен. Если бы удалось найти или каким-либо образом достаточно просто описать всё множество значений коэффициентов полиномов Гурвица, то задача исследования асимптотической устойчивости стационарных систем была бы решена полностью.

Теорема Харитонова, в сильной степени, помогает решить эту проблему робастной устойчивости [5], однако она касается только семейств интервальных полиномов, т. е. того случая, когда выпуклое множество коэффициентов полиномов Гурвица задано в виде п-мерного прямоугольного параллелепипеда.

Для того чтобы в дальнейшем выяснить свойства произвольного выпуклого множества коэффициентов полинома Гурвица, приведем новое доказательство теоремы Харитонова, опирающееся на критерий Михайлова.

Литература

1. Булатникова И.Н. и др. Обобщенный алгоритм цифровой интерполяции // Новые информационные технологии. М., 2004. С. 6-8.

2. Анишин Н.С., Тивков А.М. Оптимальный алгоритм цифровой линейной информации// Изв. вузов СССР. Приборостроение. 1983. № 8. С. 56-59.

3. Байков В.Д., Смолов В.Б. Аппаратурная реализация элементарных функций в ЦВМ. Л., 1974.

4. Однокристальные микропроцессоры комплекта БИС серии К1801 / В.Л. Дшхунян и др. // Микропроцессорные средства и системы. 1984. № 4. С. 12-18.

2004 г.

Определение 1. Интервальным полиномом называется множество полиномов вида

Р = {/ (X) = а0 + а{К + а2X 2 +... + ап-1К п-1 + К п },(1)

где а ^ - действительные числа, удовлетворяющие неравенствам а ^ < а ^ < а ^ , 0 < / < п .

Определение 2. Интервальный полином является полиномом Гурвица, если любой полином, принадлежащий этому множеству, является полиномом Гурви-ца.

Введем в рассмотрение четыре «угловых» полинома:

/1(К) = а0 + а 1К + а2К 2 + а3К3 + а4К 4 +... + К п ,

/2(Х) = а0 + а1К + а2К 2 + а3К3 + а4К 4 +... + К п,

Г _ _ Г (2)

/3(Х) = а0 + а1К + а2К 2 + а3К3 + а4К 4 +... + К п} ,

/4(Х) = а0 + а1К + а2К 2 + а3К3 + а4К 4 +... + К п} .

Теорема Харитонова. Для того чтобы интервальный полином был полиномом Гурвица необходимо и достаточно, чтобы четыре «угловых» полинома (2) являлись полиномами Гурвица [5].

Доказательство. Необходимость. Так как четыре «угловых» полинома (2) принадлежат множеству полиномов (1), то они являются полиномами Гурви-ца, если интервальный полином (1) является полиномом Гурвица.

Достаточность. Покажем, что доказательство непосредственно вытекает из критерия Михайлова.

Кубанский государственный технический университет, г. Краснодар 6 декабря

УДК 517.929

НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ВЫПУКЛОЙ ОБЛАСТИ УСТОЙЧИВОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО МНОГОЧЛЕНА

© 2005 г. Л.Д. Блистанова, Г.А. Зеленков, Е.В. Стрюк

Рассмотрим годограф Михайлова для любого полинома, представимого в виде (1)

/ (/ю) = Я (ю) + /к(ю), (3)

где g(ю) = а0 - а2ю2 + а4ю4 - а6ю6 +...; к(ю) = а 1ю- а3ю3 + а5ю5 - а7ю 7 +....

Из критерия Михайлова следует, что для того чтобы стандартный полином с положительными коэффициентами /(А) степени п являлся полиномом Гурвица, необходимо и достаточно, чтобы полиномы g(ю) и к(ю) имели в сумме п неотрицательных корней, которые не совпадают и перемежаются [5]:

0 = ю 1 <ю2 <ю3 <ю4 <...<юп , к(ю1) = 0,g(ю2) = 0, к(ю3) = 0, g (ю 4) = 0,..., р(ю п) = 0,

Гк(ю „), п = 2к +1,

Р(ю п) Ч , , ,, Ig (ю п), п = 2к.

Покажем, что из того, что четыре «угловых» полинома (2) являются полиномами Гурвица, следует, что любой полином / * (А) степени п, принадлежащий множеству (1), обладает тем же свойством, т.е.

* *

полиномы g (ю) и к (ю) имеют в сумме п неотрицательных корней, которые не совпадают и перемежаются. Тогда полином / *(А) будет являться полиномом Гурвица и, следовательно, интервальный полином (1) также будет полиномом Гурвица.

Действительно, введём в рассмотрение полиномы:

к(ю), к(ю), £(ю), g(ю); к(ю) = аа3ю3 + а5ю5 - а7ю7 +...; к(ю) = а^-а3ю3 + а5ю5 - а7ю7 +...; (4) g(ю) = а0 - а2ю 2 + а4ю4 - а6ю6 +...;

g (ю) = а 0 - а 2 ю 2 + а 4 ю 4 - а 6 ю 6 +....

Нетрудно видеть, что в силу покомпонентных неравенств в полиномах (4) для любых полиномов

**

g (ю) и к (ю), определяемых формулами (3), где а / < а / < а / , 0 < / < п , при ю> 0 выполняются неравенства:

g_(ю) < g *(ю) < £(ю), к(ю) < к * (ю) < к(ю). (5)

Не ограничивая общности, рассмотрим случай, когда п = 2к . Так как полиномы / (А), /2 (А), /3 (А) и /4 (А) являются полиномами Гурвица, то для поли-

номов И(ю), , g(o>), g(ю) справедливо следующее расположение их неотрицательных корней:

0 = ю1 <ю2 <ю3 <ю4 <...<ю„; h(0) = 0, g(ro 2) = 0, h(m 3) = 0;

g (ю 4) = 0,..., g (ю п) = 0; 0 = ю1 <ю2 <юз <ю4 <... <ю„; h(0) = 0, g (ю 2) = 0, к(ю з) = 0,

£(ю 4) = 0,^, £(ю п) = 0; (6)

0 = ю1 <ю2 <ю3 <ю4 <...<ю„ ; h(0) = 0, g(ro 2) = 0, h(m 3) = 0;

g (ю 4) = 0,..., g (ю п) = 0;

0 = ю1 <ю 2 <юз <ю 4 <... <ю„ ; h(0) = 0, £(ю 2) = 0, к(ю 3) = 0;

g (ю 4) = 0,..., g (ю п ) = 0.

Обозначая корни полиномов g *(ю) и h *(ю) через ю * и используя неравенства (5) и (6), а также последовательную смену знаков полиномов ^ю), ^ю), g(ff>), g(ю), получим следующие соотношения для этих корней:

0 = ю1 = ю* = ю1 <ю2 <ю2 <ю2 <ю3 ^ю<юз <

<ю4 <ю44 <ю4 <ю5 <ю5 <ю5,... .

Итак, мы показали, что „ неотрицательных корней ю * полиномов g *(ю) и h *(ю) не совпадают и

перемежаются. Согласно сделанному выше замечанию это и доказывает теорему.

Замечание 1. Очевидно, что теорема Харитонова справедлива и для полиномов, у которых ап Ф1.

Введем в рассмотрение множество коэффициентов полинома „ -го порядка X = (а0,а 1,...,ап-1)Т е Еп и напомним некоторые определения и основные свойства выпуклых множеств.

Определение 3. Множество □ с Еп называется выпуклым, если для любых двух векторов X1 и X 2, принадлежащих этому множеству, и любых чисел А1 >0, А2 >0, A1 + А2 = 1 вектор X * =A1 X1 +А2 X 2 также принадлежит этому множеству.

Замечание 2. Нетрудно видеть, что точка X * лежит на отрезке, соединяющем точки X1 и X 2. Действительно, так как А1 + А 2 = 1, то можно написать

Х * =Х1Х 1 + К2Х 2 = аХ 1 +(1 _а)Х 2 = Х 2 +а(Х1 _Х 2), ае [0,1].

Определение 4. Пусть заданы к точек Х1,Х2,...,Хк е Еп . Выпуклой линейной комбинацией этих точек назовем выражение

Х = Е а Х ,

г=1

к

где Еа г- = 1, а 1 > 0.

г=1

Определение 5. Угловой точкой выпуклого множества □ с Еп называется точка Х, которую нельзя представить в виде выпуклой линейной комбинации других точек этого множества.

Теорема 1. Если Х1,...,Хк - все угловые точки замкнутого, ограниченного выпуклого множества □ , то любая точка Х * этого множества может быть представлена в виде выпуклой линейной комбинации этих точек [3].

Определение 6. Будем называть выпуклое множество коэффициентов Х е и с Еп полиномов п-й степени выпуклым множеством полиномов Гурвица, если для любой точки Х е и полином

/(г) = а0 + а1 г +... + ап-1гп_1 + гп,

Х = (а 0, а 1,..., ап_1)Т

является полиномом Гурвица.

Справедлива теорема.

Теорема 2. Для того чтобы множество □ с Еп было выпуклым множеством полиномов Гурвица, необходимо и достаточно, чтобы для любых точек этого множества Х = (а 0,а1,..., а п-1)Т и Х = (а0,а 1,...,ап-1)Т полиномы

/ (I) = а 0 + а 1 г +... + а п_1 гп-1 + гп,

/ (I) = а 0 + а1 г +... + ап_1 -1 + гп являлись полиномами Гурвица, а полиномы

а£+ (1 _а)g(м>), ак(м>) + (1 _а)к(м>), (7) ае [0,1], ^е [0,

не имели общих положительных корней.

Здесь через g(w), g(м>) и И^), Иобозначе-ны действительная и мнимая части годографов Михайлова полиномов /(г) и /(г).

Доказательство. Необходимость. Пусть □ с Еп -выпуклое множество полиномов Гурвица. Возьмем две произвольные точки этого множества X = (а0,а 1,...,ап-1)Т и Х = (а0,а 1,...,ап-1)Т и рассмотрим полином

Ра(г) = а/(г) + (1 -а)/(г), ае [0,1],

Очевидно, что полином Ра (г) является полиномом Гурвица, так как его коэффициенты Х а = аХ + (1 _ а) Х при а е [0,1] принадлежат выпуклому множеству коэффициентов полиномов Гурвица. Таким образом, этот полином не имеет чисто мнимых корней и, следовательно, его годограф Михайлова при w е [0,

не обращается в ноль.

Как известно, годограф Михайлова полинома Ра (г) имеет вид

Ра (™) = а/ 0>) + (1 _ а) / (1м>) =

= аg+ (1 + г(ак^) + (1 _а)к(м>)), (8)

ае [0,1], ^е [0, .

Предположим, что для некоторого w е [0, он становится равным нулю, тогда это утверждение можно переписать в виде системы уравнений

аg (м>) + (1 _ а) g (м>) = 0; ак(м>) + (1 _ а)к(м>) = 0,

а е [0,1], w е [0, . (9)

Так как Ра^) Ф 0 , ае [0,1], w е [0, , то система уравнений (9) не имеет решений, а это означает, что полиномы (7) не имеют общих положительных корней.

Достаточность. Пусть Х = (а0,а2,...,апЧ)Т и Х = (а 0, а 1,..., а пЧ)Т произвольные точки множества □ с Еп и для них выполняются условия теоремы 2. Тогда система уравнений (9) не имеет решений и, следовательно, годограф Михайлова полинома Ра (г) не обращается в ноль при ае [0,1], wе [0, .

Из непрерывной зависимости корней г ^ (а) полинома Ра (г) от вещественного параметра а и того, что непрерывные кривые г^(а) при ае [0,1], начинаясь в левой полуплоскости (Р0 (г) = / (г), Яе (0) < 0), не пересекают мнимую ось (годограф Михайлова (8) полинома Ра(г) при ае [0,1] не обращается в ноль) вытекает, что полином Ра (г) при ае [0,1] является полиномом Гурвица. Это означает, что множество □ с Еп является выпуклым множеством полиномов Гурвица. Теорема 2 доказана.

Замечание 3. Нетрудно видеть, что система (9) имеет решение лишь в том случае, когда векторы (g(w), к(w))Т и (gИ^))т имеют противоположные направления, т. е. когда для некоторого w е [0, существует положительная величина

к > 0, такая, что выполняются условия

g(м) = -к§(м), к(м>) = -кк(м).

Очевидно, что если определитель системы (9) отличен от нуля

к(м)g(м) - к(м)g(м) ф 0 при м е [0, ,

то полиномы (7) не имеют общих положительных корней.

Замечание 4. Для практических приложений наиболее интересной является задача определения границ множества возможных значений коэффициентов полиномов Гурвица, т.е. задача построения замкнутого множества этих коэффициентов.

Используя известные свойства замкнутых, ограниченных выпуклых множеств [3], можно сформулировать следующую теорему.

Теорема 3. Пусть задано замкнутое, ограниченное и выпуклое множество □ с Еп , имеющее конечное число угловых точек Х1,Х2,...,Хк . Для того чтобы это множество было выпуклым множеством полиномов Гурвица необходимо и достаточно, чтобы «угловые» полиномы fi (2)

А (2) = «Ю + ал 2 + ... + ат-12 "-1 + 2п ,

Х г = (а г 0, а i1,.", а гп-1) Т , г = 1,2,..., к

являлись полиномами Гурвица, а полиномы

1 а ig г (м), 1 а гкг (м), 1 а г = 1, а г > 0 (10)

г=1 г=1 г=1

не имели общих положительных корней. Здесь (м) и кг (м) - вещественные и мнимые части годографа Михайлова полиномов fi (г).

Доказательство этой теоремы можно провести с использованием годографа Михайлова полинома

Fa

(z) = E« f (z), Eaг = 1, aг >0

i=1

i =1

2

2

' k у i k

Ea igi(w) | +1 Ea ih(w) | ^ min,

. i =1 ! I i =1

Eai = 1, ai >0. i=1

Очевидно, что если эта задача имеет решение min > 0, то изучаемое выпуклое множество является выпуклым множеством коэффициентов полиномов Гурвица. В противном случае min = 0 - изучаемое выпуклое множество не является выпуклым множеством коэффициентов полиномов Гурвица.

Замечание 7. Для проверки условий теоремы 3 можно использовать теорему Харитонова, взяв достаточно «грубую» оценку на коэффициенты полиномов (10). Очевидно, что для этих коэффициентов справедливы оценки

ai = min ait- < E aiaij- < max

i = 0,1,...,n _1.

y" 1<7<k ij

(11)

по полной аналогии с доказательством теоремы 2.

Замечание 5. Для замкнутых, ограниченных и выпуклых множеств известны алгебраические признаки определения угловых точек и методы их поиска [3].

Замечание 6. Легко видеть, что с помощью теоремы 3 удалось перейти от решения континуальной задачи к задаче условной оптимизации, для которой существуют хорошо разработанные аналитические критерии и вычислительные алгоритмы поиска решений [1,4].

Вместо условий теоремы 3 можно, например, рассмотреть задачу условной оптимизации

В этом случае замкнутое ограниченное и выпуклое множество и принадлежит интервальному полиному (1) с границами, определяемыми левыми и правыми равенствами из условий (11). Однако этот подход дает лишь достаточные условия устойчивости, так как не для всякого выпуклого множества полиномов Гурвица существует его покрытие интервальным полиномом Гурвица.

Так как условие (10) теоремы 3 на практике трудно проверить, сформулируем эквивалентную ей теорему.

Теорема 4. Пусть задано замкнутое, ограниченное и выпуклое множество □ с Еп , имеющее конечное число угловых точек Х1,Х2,...,Хк. Для того чтобы это множество было выпуклым множеством полиномов Гурвица, необходимо и достаточно, чтобы «угловые» полиномы fi (г)

fi (z) = аю + anz +... + ain_lz"~l + zn,

Х г = (а г 0 , а г: — а гп-1) , г = 1Д.-к

являлись полиномами Гурвица, а полиномы

аgг (м) + (1 -а)gj (м), акг(м) + (1 -а)к; (м), (12)

г ф ) , г,) = 1,2,...,к, ме [0; , ае [0,1]

не имели общих положительных корней. Здесь g г (м) и кг (м) - вещественные и мнимые части годографа Михайлова полиномов ^ (г).

Доказательство этой теоремы имеет простой геометрический смысл. Оно непосредственно следует из того, что годограф Михайлова полинома

Fa

(z) = Ea f (z), Eai = 1, ai >0

i=1

как вектор комплексной плоскости при любом м е [0; лежит между годографами Михайлова

полиномов f (г) + f (г), выбранных при данном

м е [0; из «угловых» полиномов fi (г) так, что

i =1

вектор /имеет наименьший угол поворота против часовой стрелки, а вектор / (ш) - наибольший.

Замечание 8. В работе [2] (теорема 1.20) также были получены необходимые и достаточные условия существования выпуклого множества полиномов Гур-вица, заключающиеся в том, что все полиномы вида:

а/ (г) + (1 _а) /}- (г), I Ф ], г, ] = 1,2,..., к, ае [0,1],

являются полиномами Гурвица. Очевидно, что эти условия, согласно теореме 2, эквивалентны условиям (12). Однако для приложений и те и другие условия достаточно сложно проверить, хотя условия (12) более просты для анализа. Следующая теорема показывает, что при предлагаемом нами подходе путь такой проверки может быть тривиален.

Теорема 5. Пусть задано замкнутое, ограниченное и выпуклое множество □ с Еп , имеющее конечное число угловых точек Х1,Х2,...,Хк . Для того чтобы это множество было выпуклым множеством полиномов Гурвица, достаточно, чтобы «угловые» полиномы

/г (г)

/г (г) = аю + а|1 г +... + аш_1 г п_1 + г п,

Хг = (а 10, аг1,..., агп_1) Т , 1 = к

являлись полиномами Гурвица, а полиномы

к] gi (w) _ кг (w)g] (w) Ф 0 при w е [0; ,

г ф ], г,] = 1,2,...,к, (13)

т.е. не имели положительных корней. Здесь gi (w) и к( (w) - вещественные и мнимые части годографа Михайлова полиномов /{(г).

Доказательство этой теоремы следует из того, что в замечании 3 установлена эквивалентность условий типа (12) и (13).

Замечание 9. Нетрудно видеть, что условия (13) легко проверить с помощью построения рядов Штурма для всех полиномов вида

И; (W)gг (W) _ Иг (W)(W)

и анализа числа перемен знаков в этих рядах при w е [0; , что достаточно легко сделать даже «вручную».

Теорема 5 остается справедливой, если условие (13) заменить на условие g g 2(w) + И1(w)к 2(w) Ф 0 при w е [0; . В этом случае замечание 9 остается в силе с заменой полиномов к}^г _ к^ ^ на полиномы

gгgJ + ИгИ] .

Литература

1. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М., 2002.

2. Жабко А.П., Прасолов А.В., Харитонов В.Л. Сборник

задач и упражнений по теории управления: стабилизация программных движений. М., 2003.

3. Карманов В.Г. Математическое программирование. М., 2000.

4. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М., 1975.

5. Харитонов В.Л. Асимптотическая устойчивость семейст-

ва систем линейных дифференциальных уравнений // Диф. уравнения. 1978. Т. 15. № 11. С. 2086-2088.

6. Блистанова Л.Д., Зубов И.В., Зубов Н.В., Северцев Н.А. Конструктивные методы теории устойчивости и их применение к задачам численного анализа. СПб., 2002.

Новороссийская государственная морская академия

8 февраля 2005 г.

УДК

АДАПТИВНЫЙ ДИНАМИЧЕСКИЙ РЕГУЛЯТОР ДЛЯ УПРАВЛЕНИЯ ОБЪЕКТОМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ ПО СОСТОЯНИЮ

© 2005 г. А.Н. Клименко

Введение

В данной статье рассматривается синтез адаптивной системы управления для линейного объекта с запаздыванием по состоянию, когда прямому измерению доступны только регулируемая переменная и управляющее воздействие.

Для решения задачи управления при доступности для измерения только скалярных входа и выхода предложено множество способов: метод расширенной

ошибки, шунтирования и др. Обзор этих методов представлен в [1].

В статье предлагается использовать динамический регулятор для решения задачи стабилизации. Динамический регулятор подобного типа рассматривался в [3], в данной статье предлагается расширить область применения динамического регулятора, применив его для объекта с запаздыванием по состоянию.