О робастной устойчивости матриц линейных динамических систем первого приближения Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА, МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

УДК 517.929

О РОБАСТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ МАТРИЦ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПЕРВОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ

© 2006 г. Г.А. Зеленков, Е.В. Стрюк

A new approach to the learning of spectra's link of a matrix's system and its Ermit's part with Jordan's matrix is offered. Same conditions of the existence of stable matrix's multitudes, which have a final quantity of corner points, were proved.

При исследовании задач робастной устойчивости нелинейных динамических систем по первому линейному приближению чаще всего исследуют устойчивость их характеристических полиномов, коэффициенты которых определяют некоторое заданное множество. Одним из лучших достижений в исследовании устойчивости интервальных полиномов является теорема Харитонова [1]. Задача определения границ изменения элементов матрицы системы первого приближения XX = A(t)X, t > 0 для сохранения устойчивости системы относится к матричной устойчивости.

Рассмотрим задачу определения границ изменения элементов матрицы A(t), при которых ее собственные числа остаются слева от мнимой оси без построения характеристических полиномов и исследования множеств изменения их коэффициентов, при которых они остаются устойчивыми. Таким образом, исследование задач робастной устойчивости систем первого приближения в некоторых случаях сводится к изучению робастной устойчивости матрицы A(t) системы без обычного построения характеристиче -ских полиномов и их последующего изучения на робастную устойчивость.

Определение 1. Множество U с Enn квадратных матриц порядка n называется выпуклым, если для любых двух матриц A 1(t) и A2(t), t > 0, принадлежащих этому множеству, и любых чисел А1 > 0, Х2 > 0, А1 + Х2 = 1 матрица A(t) = À1A1(t) + À2À2(t) также принадлежит этому множеству.

Определение 2. Пусть заданы к точек A1(t), A2(t), ..., Ak(t) е Enn, t> 0. Выпуклой линейной комбинацией этих точек назовем выражение к к A(t) = £ aiAi (t), где £ а = 1, at > 0.

г=1 г=1

Определение 3. Угловой точкой выпуклого множества U с Enn называется точка A(t), t > 0, которую нельзя представить в виде выпуклой линейной комбинации других точек этого множества.

Теорема 1. Если A1(t), A2(t), ..., Ak(t) - угловые точки замкнутого, ограниченного и выпуклого множества U, то любая точка A(t) этого множества

может быть представлена в виде выпуклой линейной комбинации этих точек [2].

Определение 4. Назовем выпуклое множество V с Enn квадратных матриц порядка n выпуклым устойчивым матричным множеством, если для любой матрицы A(t) е V, t > 0 ее собственные числа X,(t) находятся в

левой полуплоскости Re Ài(t) < 0, i = 1, n.

Теорема 2. Для того чтобы система первого приближения X = A(t)X была экспоненциально устойчивой при t > 0, достаточно, чтобы матрица A(t) + AT(t) была отрицательно определенной при t > 0, и выполнялось неравенство для ее собственных чисел /и()

sup /ui (t) < 0, i = 1, n. (1)

t >0

Доказательство. Предположим, что для некоторой матрицы A(t) A(t) + AT(t) является отрицательно определенной. Рассмотрим линейную систему

X = A(t)X. (2)

Заметим, что функция Z = XTX = X2 удовлетворяет уравнению

Z = XT (A(t) + AT (t)) X, (3)

так как

(XTX) = 2XTA(t)X = XT (A(t) + AT (t))).

Для симметричной матрицы A(t) + A (t) всегда существует неособенная ортогональная матрица S(t), для которой выполняется равенство Л(0 = ST(t)(A(t) + AT(t)) S(t), где Л(t) - диагональная матрица, на диагонали которой располагаются собственные числа fi(t) матрицы A(t) + AT(t). Кроме того, fi(t) < 0, i = I, п.

Рассмотрим неособенное линейное преобразование Y = ST(t)X для линейной системы (2). Тогда Y2 = YTY = XTS(t) ST(t)X = XTX = X2 = Z и уравнение (3) перепишется в виде [3]

Z = (Y2 )'= (X2 )'= XT (A(t) + AT (t)) X =

= XTS\STX = YT AY = u y2 +^2 +... + ипу1 Обозначим u = max sup ui (t), где f < 0 по условию. Тогда (4) дает нера-

Ш<п t>0

венство Z < uZ, из которого получим оценку

Z(t) < Z(t0)eu(t-to), t > t0 > 0 . (5)

Из (5) легко видеть, что для любого начального значения Z(t0) выполняется неравенство Z(t) = Y2(t) = X2(t) < X2(t0)eu(t-t0). Таким образом, любое решение линейной системы (2) экспоненциально стремится к нулю при t ^ да.

Замечание 1. Для асимптотической устойчивости системы (2) не достаточно устойчивости матрицы A(t) при каждом t [4] или отрицательной определенности матрицы A(t) + AT(t). Однако для экспоненциальной устойчивости систем с постоянной матрицей условие (1) можно снять.

Очевидно, что для того чтобы матрица A(t) + AT(t) была отрицательно (положительно) определенной, необходимо и достаточно, чтобы матрица A(t) тоже была отрицательно (положительно) определенной. Это следует

из того, что для любого вектора X е En выполняются равенства XTA(t)X = = XT AT(t)X = 2XT A(t)X = XT (A(t) + AT(t)) X.

Рассмотрим замкнутое ограниченное и выпуклое множество V с Enn с конечным числом угловых точекAj(t), A2(t), ..., Ak(t), t> 0.

Теорема 3. Для того чтобы V было устойчивым матричным множеством,

достаточно, чтобы при t > 0 матрицы A(t) (i = 1, k) были отрицательно оп-

T

ределенные, а собственные числа матриц Ai(t) + Ai (t) отделены от нуля.

Доказательство следует из теоремы 1 и свойств квадратичных форм.

Замечание 2. В теореме 1 экспоненциальная устойчивость системы (2) сохраняется, если условие (1) ослабить следующим образом. Собственные

T

числа ßi(t) матрицы Ai(t) + Ai (t), оставаясь отрицательными, могут стремиться к нулю так, чтобы

œ _

J / (t)dt = -œ, i = 1, n . (6)

t

Условия, подобные (6), можно предложить для усиления теоремы 2.

Замечание 3. Теорема 2 является только достаточной, так как из того, что все собственные числа матрицы A (t) локализованы в левой (в правой) полуплоскости, не следует, что матрица A(t) является отрицательно (положительно) определенной. Если же A(t) положительно определенная, то A(t) - неустойчивая матрица и все ее собственные числа находятся в правой полуплоскости [5].

Утверждения, аналогичные теоремам 1-2, можно привести, когда матрица А зависит не только от времени, но и (или) от пространственных координат, и (или) от вектора параметров.

Далее будем искать достаточные условия для того, чтобы матрица A(t) была отрицательно определенной. Ниже везде предполагаем, что собственные числа матрицы A(t) находятся слева от мнимой оси. Нас интересуют дополнительные условия на собственные числа матрицы A(t), при выполнении которых A(t) будет отрицательно определенной.

Как известно [5], для любой квадратной матрицы A(t) имеет место представление A(t) = S(t) J(t) STl(t), где J(t) - вещественная каноническая форма Жордана ; S(t) - невырожденная матрица перехода к базису, образованному объединением базисов корневых подпространств этой матрицы. Однако, если матрица A(t) является отрицательно определенной, то ее матрица J(t) может и не быть знакоотрицательной, и наоборот, так как обе

матрицы - подобные, но, вообще говоря, не эквивалентные. Если же S(t) -ортогональное преобразование, то A(t) и J(t) - эквивалентные и сохраняется их одинаковая знакоопределенность. Поэтому, если A(t) ортогонально подобная своей Жордановой матрице J(t), то исследование знакоопределенности A(t) очевидно проще провести для J(t).

Замечание 4. Из двух матриц с одинаковыми спектрами одна может быть ортогонально подобная своей матрице Жордана, а другая - только подобная ей же. Если же A(t) отрицательно определенная, но ее матрица Жордана J(t) таковой не является, то A(t) и J(t) не являются ортогонально подобными (эквивалентными).

Такие матрицы существуют, например, для любого ортогонального преобразования S и произвольной матрицы того же порядка с клетками Жордана. На диагонали можно взять матрицу A = STJS. В общем случае существование такой связи (ортогональное подобие) между матрицами A(t) и ее Жордановой матрицей J(t) следует из системы линейных уравнений

fS (t ) A(t ) = J (t) S (t )

ST (t ) S (t) = E '

если она совместная.

Предположим, что характеристический полином матрицы A(t) с вещественными элементами имеет вид

f (M ) )= П (-M (t) ) П(t) )2 +в (t)

k=1 j=1 Lv

где Xk(t) < 0 (k = 1, m)- вещественные собственные числа матрицы A(t) с

кратностями rk; jt) = aj(t) ± ijt) ( j = 1, s)- пары комплексных собственных чисел той же матрицы с кратностями pj (aj < 0, в > 0). Тогда вещественная форма Жордана [5] состоит из диагональных клеток вида

1

(t)

0 4 (t)

aj (t )

-ß (t ) 0

0

0

0 0

ßj (t )

aj (t ) 0 0

0 •■■ 1 '■.

0 4 (t)

0 1 0

aj (t) -ßj (t )

0

0

0 1

4 (t).

0 •■■

1 0

ßj (t) ■■■

a (t) 0

aj (t ) -ß, (t )

0 0

0 1

ßj (t ) aj (t )

(7)

Так как матрицы J(t) и J(t) + J (t) являются отрицательно определенными одновременно, то рассмотрим вторую матрицу как более удобную для изучения в силу симметрии. Легко видеть, что для (7) соответствующие матрицы имеют вид:

0 ••• 0 А

1

(2а j (t)

Г 24 (t) 1

0

v 0 0

2а j (t) 0 1

0

1

24 (t)

1 24 (t)

0 1 0

2аj (t) 0

0

1

0 1

24 (t ).

0 1 0

2а j (t) 0

2а, (t)

0 0

0 1 0

2а, (t )

(8)

Из (8) ясно, что собственные числа матрицы J(t) + J (t) не зависят от чисел Pj(f).

Таким образом, матрица J(t) + JT(t) - отрицательно определенная одновременно с матрицами вида (8), являющимися ее диагональными клетками. Будем искать условия для чисел 4(t), oj-(t), которые обеспечат отрицательную определенность матриц вида (8).

Сначала рассмотрим матрицы (8) первого вида, обозначив ¡i(t) = 2 4(t).

Вычислим определитель матрицы Фк(м(ф, разлагая его по первой строке. Легко получить рекуррентное соотношение

Ф (M))| = ^Фk_i (M(t))|_Фk-2 (M))|, k = 3,4,... (9)

По критерию Сильвестра для отрицательной определенности матрицы &dP-(t)) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства

(-1)' |Ф, (M(t))|> 0, l = (10)

Очевидно, собственные числа pk(t) матриц Фк(м(t)) подчиняются условию

det (Ф k (M(t )) _ Рк (t) E ) = |Ф k ((t) _ Pk (t)| = 0.

Нетрудно видеть из (9), что полиномы Ф^) имеют k вещественных симметричных корней, а для нечетных k один из корней является нулевым. Действительно, для четных k Ф^-МО) = Фл(ЖО)

, а для нечетных

k Ф^—u(t))| = - Ф;((и(ф|. Так что для любого k можно указать минимальный отрицательный корень полинома —Ak, для всех корней t) которого

выполняется неравенство -Ak < ^¡(t) < Ak, i = k. Для ju(t) < -Ak верны неравенства (-1)1 \<&i(^(t))\ > 0, а для n(t) < Ak \Ф1(^(())\ > 0, где I = 1, rk. Таким образом, мы получили две теоремы.

Теорема 4. Если при fi(t) = 2 Xk(t), k = 1, ш, выполняются неравенства

(10), то все диагональные клетки (8) первого вида являются отрицательно определенными матрицами.

Теорема 5. Пусть при fi(t) = 2 Xk(t), k = 1, ш, выполняется неравенство

МО < -4г (f(t) > Ad), d = rk,

где -Ad - наименьший (Ad - наибольший) из корней полинома

К Иt)))

Тогда все диагональные клетки (8) первого вида являются отрицательно (положительно) определенными матрицами.

Замечание 5. Условия теоремы 3 можно ослабить - потребовать выполнение условий (10) при d, совпадающим с максимальным размером диагональной клетки вещественной формы Жордана первого вида, соответствующей собственному числу Xk(t) (геометрическая кратность числа

т).

Аналогичное замечание справедливо и для теоремы 5. Заметим, что нетрудно выписать коэффициенты полинома Ф^^)) в общем виде, исходя из рекуррентной формулы (9), и уточнить полученные выше оценки.

Рассмотрим теперь диагональные клетки вещественной формы Жордана (8) второго вида, имеющие всегда четный порядок. Введем для удобст -ва обозначение ¡i(t) = 2а().

Вычислим определитель матрицы, разлагая его по первой строке. Легко получим рекуррентное соотношение

det Y k (/u(t)) = M(t) | Y k-1 (M(t ))| - M(t) | Y k-3 (M(t ))| +

+|^k_4 (M0)|, k = 5,6,...

Можно доказать, что |Y2k (¿u(t))| > 0. Из критерия Сильвестра следует,

что матрица t)) будет отрицательно определенной если и только если выполняются соотношения

(-1)1 Yi (M(t))> 0, I = \d. (12)

С другой стороны собственные числа pk(t) этих матриц удовлетворяют условию

det(Yk (M(t))-Pk (t)E) = |Yk (M(t) -Pk (t))| = 0. (13)

Заметим, что многочлены

Фмо) k-го порядка имеют k вещественных симметрических корней. Это следует из рекуррентного соотношения

(11) и симметричности матрицы. Таким образом, для любого k можно указать минимальный по величине отрицательный корень этого полинома -Ak

так, что все его корни удовлетворяют двухстороннему неравенству

-Ai < M(t) < Ak и (-1/ |ВД/))| > 0 при /u(t) < -Ль > 0 M(t) > Л*

Теорема 6. Если при = 2а/(/), ] = 1,5, выполняются неравенства (12) при ё = р5, то все диагональные клетки (8) второго вида являются отрицательно определенными матрицами.

Теорема 7. Если при м(() = 2а,(/), ] = 1,5, выполняется неравенство

ные клетки (8) второго вида являются отрицательно определенными матрицами.

Замечание 6. Условия теоремы 6 являются, вообще говоря, слишком жесткими. Достаточно потребовать выполнения условий (12) при числе d, совпадающим с максимальным размером диагональной клетки вещественной формы Жордана, соответствующей собственному числу aj(f) ± ifij(t) (максимальной высоте корневого вектора, соответствующего этому собственному числу).

Это же замечание по поводу величины d касается и теоремы 7. Кроме того, нетрудно выписать коэффициенты полинома fe(M(t))| в общем виде, исходя из рекуррентного соотношения (11), и уточнить полученные выше оценки. Например, можно показать, что Ad < 2, и эту оценку улучшить нельзя.

Справедлива теорема.

Теорема 8. Если выполняются условия теорем 4 и 6 (5 и 7), а матрица A(t) и ее Жорданова матрица ортогонально подобные, то A(t) является отрицательно определенной.

Доказательство теоремы следует из того, что все диагональные клетки матрицы J + JT являются отрицательно определенными матрицами.

1. ХаритоновВ.Л. // Диф. уравнения. 1978. Т. 15. № 11. С. 2086-2088.

2. Карманов В.Г. Математическое программирование. М., 2000.

3. ЗубовВ.И. Лекции по теории управления. М., 1975.

4. ПолякБ.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. М., 2002.

5. КурошА.Г. Курс высшей алгебры. М., 1971.

Новороссийская государственная морская академия 3 июня 2005 г.

/u(t) < -Ad, d = ps, где -Ad - наименьший из корней полинома Ф

, то все диагональ-

(14)

Литература