Адаптивный динамический регулятор для управления объектом с запаздыванием по состоянию Текст научной статьи по специальности «Математика»

вектор f имеет наименьший угол поворота против часовой стрелки, а вектор f (/>) - наибольший.

Замечание 8. В работе [2] (теорема 1.20) также были получены необходимые и достаточные условия существования выпуклого множества полиномов Гур-вица, заключающиеся в том, что все полиномы вида:

а/г (х) + (1 -а/ (х), г * ], г, ] = 1,2,..., k, а е [0,1],

являются полиномами Гурвица. Очевидно, что эти условия, согласно теореме 2, эквивалентны условиям (12). Однако для приложений и те и другие условия достаточно сложно проверить, хотя условия (12) более просты для анализа. Следующая теорема показывает, что при предлагаемом нами подходе путь такой проверки может быть тривиален.

Теорема 5. Пусть задано замкнутое, ограниченное и выпуклое множество □ с Еп , имеющее конечное число угловых точек Х1,Х2,...,Х1(. Для того чтобы

это множество было выпуклым множеством полиномов Гурвица, достаточно, чтобы «угловые» полиномы

/г (*)

f1 (z) = а го + ап z +... + ат_г z + zn,

Х г = (а 10, а г1,..., а гп-1 ) Т , г = 1,2,..., k

являлись полиномами Гурвица, а полиномы

к] (w)gг - кг (w)g] (w) * 0 при w е [0; ,

г * ], г,] = 1,2,...,k , (13)

т.е. не имели положительных корней. Здесь gг (w) и кг (w) - вещественные и мнимые части годографа Михайлова полиномов /г (х).

Доказательство этой теоремы следует из того, что в замечании 3 установлена эквивалентность условий типа (12) и (13).

Замечание 9. Нетрудно видеть, что условия (13) легко проверить с помощью построения рядов Штурма для всех полиномов вида

к; (W)gг (W) - кг (W)gJ (W)

и анализа числа перемен знаков в этих рядах при w е [0; , что достаточно легко сделать даже «вручную».

Теорема 5 остается справедливой, если условие (13) заменить на условие g g 2(w) + к1(w)к 2(w) * 0 при w е [0; . В этом случае замечание 9 остается в силе с заменой полиномов к}^г - к^ ] на полиномы

gгgJ + кгк ] .

Литература

1. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М., 2002.

2. Жабко А.П., Прасолов А.В., Харитонов В.Л. Сборник

задач и упражнений по теории управления: стабилизация программных движений. М., 2003.

3. Карманов В.Г. Математическое программирование. М., 2000.

4. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М., 1975.

5. Харитонов В.Л. Асимптотическая устойчивость семейст-

ва систем линейных дифференциальных уравнений // Диф. уравнения. 1978. Т. 15. № 11. С. 2086-2088.

6. Блистанова Л.Д., Зубов И.В., Зубов Н.В., Северцев Н.А. Конструктивные методы теории устойчивости и их применение к задачам численного анализа. СПб., 2002.

Новороссийская государственная морская академия

8 февраля 2005 г

УДК

АДАПТИВНЫИ ДИНАМИЧЕСКИМ РЕГУЛЯТОР ДЛЯ УПРАВЛЕНИЯ ОБЪЕКТОМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ ПО СОСТОЯНИЮ

© 2005 г. А.Н. Клименко

Введение

В данной статье рассматривается синтез адаптивной системы управления для линейного объекта с запаздыванием по состоянию, когда прямому измерению доступны только регулируемая переменная и управляющее воздействие.

Для решения задачи управления при доступности для измерения только скалярных входа и выхода предложено множество способов: метод расширенной

ошибки, шунтирования и др. Обзор этих методов представлен в [1].

В статье предлагается использовать динамический регулятор для решения задачи стабилизации. Динамический регулятор подобного типа рассматривался в [3], в данной статье предлагается расширить область применения динамического регулятора, применив его для объекта с запаздыванием по состоянию.

1. Постановка задачи.

Рассмотрим объект управления, уравнение динамики которого выглядят следующим образом:

X(t) = AX(t) + DX(t -т) + Bu(t), Y — LX , (1)

начальные условия: X (t1) = ф(^), если 0 < t1 < т,

где Xе Rn, Y,u - скалярные выход и вход соответственно; A, D, B - матрицы соответствующих порядков, элементы которых неизвестны и зависят от вектора неизвестных параметров ^еа ; L=[1 0 ... 0] ; т -неизвестное время запаздывания.

Для данного объекта будем решать задачу стабилизации:

lim Y (t) = 0 .

t

Предположения:

1. Числитель передаточной функции объекта управления W(А) = L(Xln - A - De "Ят)-1B — а(А)/ст(А) гур-вицев для любых ^еа .

2. Известны порядки полиномов degа(А) = n, deg а(А) = m, n > m +1.

2. Адаптивная система стабилизации. Структуру управляющего устройства зададим следующим образом:

Z(t) = FZ(t) + B0CTYP , u — dTZ .

(2)

Xp — [XT, ZT ]

нения (1), (2), объединив их в одну систему:

X p — (Ap + BpC T0Lp) Xp + DpXp (t-т) + Bp (C - C 0) TYp

Yp — LpX p ,

где

Ap —

" A bdT" , D p — ' D 0" , B p — " 0 "

0 F 0 0 _ B 0 _

Lp —

L0

0 In

матрице алгебраических дополнений) был гурвицев степени 2n-1 для любых ^еи , то, как доказано в [2],

любой из следующих алгоритмов:

С (t) — -J0VYpYpds + C (0);

C(t) — -gTYpYp - \yYpYpds + C(0)

обеспечивает выполнение условия lim X p (t) — 0.

t ^^

Также можно в (2), в правой части уравнения, вместо СTYp взять XgTYp, получим один настраиваемый параметр х со следующими алгоритмами настройки:

х — -k 1Ю (gTYp }2 ds + х(0); (3)

х — -к2(gTYp)-k 1J0(gTYp)2ds + х(0),

что тоже обеспечит выполнение условия

Xp (t)-> 0 .

p w t ^^

Для обеспечения гурвицевости квазиполинома представим его в виде:

где 1 е Я , ^ - гурвицева матрица в форме Фробе-

ниуса, В0Т =[0,___,0,1], Ур = [У, 1Т], ё - числовой

вектор (условия его выбора будут указаны позже), С -вектор настраиваемых параметров, I > п (в данной статье для определенности возьмем I = п ).

Введем расширенный вектор состояния что позволяет нам переписать урав-

вектор С0 обеспечивает гурвицевость матрицы Ар + В рС 1Ьр, в силу неопределенности матрицы А компоненты С0 неизвестны.

Для полученной структуры обобщенного настраиваемого объекта задача стабилизации решена в [2]. Если XР ^ 0, то, очевидно, и У ^ 0.

Если векторы ё и g выбрать так, чтобы квазиполином gTLP (XI 2п - АР - Бе _Хт) * ВР (здесь и далее звездочка означает переход к транспонированной

gJLp (XI 2п - Ар - Вре~А Т Вр = Р(Х) + б(Х)е "Лт . (4)

Для гурвицевости квазиполинома (4) достаточно выполнения следующих двух условий [5]:

1. Р(X) - гурвицев для любых ^еН .

2. М |Р(]м>)\ > |0(]м>)\.

5еН §еН

3. Пример.

Рассмотрим объект управления, описываемый уравнением:

(Р3 + а1Р2 + а2Р + а3)У + (кхР2 + к2Р + к3)У(/-т) = Ьи.

Класс неопределенности Н задается следующими неравенствами: -1 < а1 < 1, 1 < к1 < 2, 1 < Ь < 2, I = 1,2,3 . Запишем квазиполином (4) для данной системы:

gTLp (XI6 - Ар - Бре "Хт )* ВР =

= g 4Р 5 + ^ 3 + g 4а1)Р 4 + (g 2 + g 3а1 + g 4а 2)Р 3 + 2а1 + g3а2 + g4а3 + g 1Ьёз)Р 2 + 2 + g 2а 2 + g 3а 3) Р + g 1Ьё 1 + g 2а 3 + +(g4к1 Р4 + (g3к1 + g4к2)Р 3 + ^2к1 + g3к2 + g4к3)Р 2 + +(g2к2 + g3к3)Р + кЗg2)е "ХТ.

Если взять ёТ = [14; 12; 10], gT = [50;100;10;0.5], то данный квазиполином гурвицев для любого ^еН ,

и, таким образом, задача стабилизации для (1) решена.

Результаты моделирования получены при следующих условиях: ХТ (/1) = [1;1;1], при -т < < 0 , а^ = 1; а2 = 1; а3 = 0; к1 = 2; /' = 1,2,3; Ь = 1,5; и =ХЯТУР ; т= 2, при использовании первого из алгоритмов настройки (3).

Полностью система управления при этих условиях запишется следующим образом:

(Р3 - Р 2 - Р)7(/) + 2(Р 2 + Р +1)7(/ - 2) = = 1,5(14 х! + 12х 2 + 10х 3),

^ — [ X1, X 2, X 3] , ( 0 1 0 ^ (0 ^

Z =

0 0 1 -6 -11 -6

Z +

Заключение

Для решения задачи стабилизации в условиях доступности для измерения только скалярного входа и выхода в статье был использован динамический регулятор, что позволило сделать систему управления очень простой (используется только один настраиваемый параметр с простым алгоритмом настройки).

и — х(507 + 100х 1 +10X2 + 0,5х3),

í

X — (507 +1002! +10х 2 + 0,5х 3)2 Ж .

0

Результаты моделирования приведены на рис. 1

3

2

1

0

- 1

- 2

- 3 - 4

0 9 10 11 t

Рис. 1

Литература

1. Мирошник И.В., Никифоров В.О., Фрадков А.Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. СПб., 2000.

2. Цыкунов А.М. Квадратичный критерий абсолютной устойчивости в теории адаптивных систем. Фрунзе, 1990.

3. Запопадько В.В. Критерий устойчивости динамических нестационарных систем и его применение в задачах адаптивной стабилизации. Фрунзе, 1990. Рукопись деп. в ВИННТИ. 1990. № 3020-В90.

4. Запопадько В.В. Построение алгоритмов адаптивного управления для нелинейных нестационарных объектов с одним входом и выходом // Адаптивные и самоорганизующиеся системы управления. Бишкек, 1992. С. 39 - 47.

5. Животовский Л.А. Абсолютная устойчивость решений

дифференциальных с несколькими запаздываниями // Тр. семинара по теории диф. уравнений с отклоняющимся аргументом. М., 1969. Т. 7. С. 82 - 91.

Астраханский государственный технический университет

23 декабря 2004 г.