Синтез полныхмодальных регуляторов методом доминирующих корней Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.513.5

СИНТЕЗ ПОЛНЫХ МОДАЛЬНЫХ РЕГУЛЯТОРОВ МЕТОДОМ ДОМИНИРУЮЩИХ КОРНЕЙ

Е.М. Васильев

Рассматривается проблема построения полных модальных регуляторов при наличии свободных собственных чисел желаемой характеристической матрицы синтезируемой системы. Выявлены причины получения коэффициентов регулятора с неограниченно широким диапазоном своих значений. Сформулирована задача математического программирования, позволяющая осуществить расчёт регулятора с минимально возможным диапазоном значений коэффициентов и продемонстрированы результаты её решения

Ключевые слова: система автоматического управления, модальный регулятор, метод доминирующих корней

Практический синтез модальных регуляторов Я, осуществляющих в наиболее общем виде управление по и-мерному состоянию объекта, сталкивается с проблемой чрезвычайно большого диапазона значений своих коэффициентов Я=\г1 г2 ... ги], затрудняющей реализацию этих регуляторов в микропроцессорных системах \1,2].

Наибольшую актуальность эта проблема приобретает при синтезе полных регуляторов методом доминирующих корней желаемого характеристического полинома системы, при котором число к доминирующих корней удовлетворяет неравенству к<и, и появляется возможность выбора п-к оставшихся свободных корней системы таким образом, чтобы обеспечить:

во-первых, достаточную удалённость свободных корней Sj от доминирующих например, не

менее, чем в Ь раз по вещественной оси:

Яе < Ь ■ тт(Яе si) I = 1, к; ] = к +1, п ;

во-вторых, наименьшее отношение коэффициентов регулятора:

тах( г! |г2|,..., к I) .

d = -

-> min

Ш.. \гп\!

Многоальтернативный характер решения этой задачи покажем на примере объекта: х = Вх + Щ;

У = Ах,

для которого известны: В - характеристическая матрица, [пхп]; N - матрица управления, [пх1]; А - выходная матрица, [1хп]; g(t) - задающее воздействие; у(і) - регулируемая величина; х(ґ) - вектор координат состояния, [пх1].

Матрица В определена в форме Фробениуса:

0 1 0

В = 0 0 1

-10000 - 2000 - 200

матрица управления:

N =

Васильев Евгений Михайлович - ВГТУ, канд. техн. наук, ст. науч. сотрудник, e-mail: [email protected], тел. 84732437776

выходная матрица: А = [1 0 0].

Формируя систему автоматического регулирования (САР) по структуре, представленной на рис. 1, получим уравнение движения системы:

у(р) = А(рЕ - В + ЖЯ)-1 ^(р), где р - оператор изображения по Лапласу; Е - единичная матрица размером \ихи].

Рис. 1. Общая структура САР с модальным управлением

Корни характеристического полинома рЕ-В\=р3+200р2+2000р+10000 исходного объекта имеют значения: р1=-189,74; р2=-5,13+5,13/; р3=-5,13-5,13/.

Варианты регулятора Я с желаемым расположением корней ^=-10+10/'; «2=-10-10/ и различными значениями корня 53 характеристического полинома рЕ-В+^| системы представлены в таблице.

Варианты коэффициентов модального регулятора с разным расположением свободного корня 53 (^=-10+10/; «2=-10-10/')

№ •S3 R d

1 -40 [-2000 -1000 -140] 14,3

2 0 іл - [-4,62-10-5 -800 -130] 1,73 -107

3 -53,64 [727,3 -727,3 -126,4] 5,76

4 0 - [8000 -1,72-10-6 -90] 4,65-109

5 -100 [10000 200 -80] 125

6 -150 [20000 1200 -30] 666,7

7 -250 [40000 3200 70] 571,4

Анализ таблицы показывает, что при постепенном удалении свободного корня 53 от доминирующих корней 51 и 52 значение критерия С изменяется в широких пределах и немонотонно (см. также \1]).

Причину этого явления раскроем на примере систем низкого порядка.

Пусть для системы третьего порядка заданы

два корня 5* и 5*, а третий корень 53 остаётся свободным. В соответствии с первой теоремой алгебры желаемый характеристический полином может быть представлен в виде:

, *w *w 4 3 , * * 42

(5 - s^s - S2)(s - S3) = s - (Sj + S2 + S3)S +

+ (s* s* + 5*53 + 5*53 )s - s* 5*53 = 0.

Почленно сопоставляя (1) с характеристическим полиномом системы90

113 2

\pE - B + NR\ = p + (Г3 - pi - p2 - p3)p +

(2)

+ (г2 + Р1Р2 + Р1Р3 + Р2Р3 )Р + г1 - Р1Р2Р3 = 0 где Р1, Р2, р3 - собственные числа матрицы В исходного объекта, получим выражение для искомых коэффициентов регулятора Я:

г1(5з) = Р1Р2Рз - 5*525з;

г2(53) = -Р1Р2 - Р1 Рз - Р2Рз + 5*5*+ ()53; (3)

г3(53) = Р1 + Р2 + Рз - 5* - 5* - 53-

Из общего вида решения (3) следует, что в зависимости от исходного расположения корней Р1, Р2,

Р3 объекта и желаемых значений 5*, 5* корней системы при изменении положения корня 53 значения коэффициентов г1, г2, г3 регулятора могут проходить через нуль в критических точках (рис. 2):

Р1Р2 Рз .

53кр1 :

53кр2

** s1 s2

pip2 + pip3 + p2 p3 - s1 s2 . ** s1 + s2

5зкрз = Р1 + Р2 + Рз - 51 - 52, т.е. в общем случае критерий С(«з) может претерпевать 0...и бесконечных разрывов в указанных точ-

5кр1, ■ 100

> «крп (рис. 3).

-100

-200.

>r3(s s) r1(s3)

/4. J 53кр3 Х,і3кр2 53кр1

s N

-з00 -200 -100 0 5з

Рис. 2. Возникновение критических точек в системе третьего порядка

Рис. з. Иллюстрация бесконечных разрывов критерия с в критических точках Таким образом, условие:

Re 53 < b • min (Re si); i = 1,2; можно выполнить с существенно различными значениями критерия d (см. таблицу и рис. 3).

Проведя аналогичные выкладки для системы четвёртого порядка, для которой по-прежнему примем, что два корня s* и s2 заданы, а корни s3 и s4 свободны, получим:

r1( Sb s4) = - Р1Р2 Рз Р4 + s*s* S3S4;

r2 (s3, s4) = Р1Р2Рз + Р1Р2Р4 + Р1 РзР4 + Р2 РзР4 -

- s*s*S3 - S*S*S4 - (S* + S*)S3S4;

r3(s3, s4) = -Р1Р2 - Р1Р3-Р1Р4 - Р2Р3 - Р2Р4 -

* * * *

- Р3Р4 + S1 S2 + (S1 + S2)(S3 + S4) + S3S4;

r4 (s3, s4) = Р1 + Р2 + Р3 + Р4 - s* - s* - s3 - s4-

Нелинейный вид и двухмерность решения (4) обусловливает бесконечное количество критических значений S3 и S4, расположенных на кривых:

s ( _ ) = Р1Р2 Р3 Р4 .

54кр 1( s3) = —* ;

S1 s2 s3

s ч Р1Р2 Р3 + Р1Р2 Р4 + Р1Р3 Р4 ,

54кр2 (s3) = ~ : : +

(4)

s1 s2 + (s1 + s2)s3 p2 p3p4 - s*s* s3 .

* * * * ’

51 52 + (51 + 52)53

(5)

„ ( „ ) Р1Р2 + Р1Р3 + Р1Р4 + Р2 Р3 + Р2 Р4 ,

54кр3(53) = * * +

51 + S2 + Sз * * * * + Р3Р4 - 51 52 - (51 + 52)53 .

**

51 + 52 + 53

54кр4(53) = Р1 + Р2 + Р3 + Р4 - - 52 - 53-

В том случае, если будет зафиксировано три корня 5*, 52, 5* , а 54 остаётся свободным, критические линии (5) стянутся в точки. Очевидно, что полученные выводы можно распространить на систему любого порядка.

В результате, задача синтеза модальных регуляторов методом доминирующих корней может быть сформулирована как задача математического программирования [3]:

шах(и, И,...,к I) .

d = ■

min (і п|, |Г2|.

si = si, i = 1, k;

-> min;

i

(6)

Re sj < b minRe si; j = k +1, n.

Решение этой задачи для рассмотренной выше системы третьего порядка дало коэффициенты регулятора Я=\727,з -727,з -126,4] и значение критерия С=5,76, совпадающее с минимумом функции С(«з) на

рис. з.

Полученное решение является оптимальным по критерию с в некоторой исходной, как правило, физической системе координат х. Рассмотрим возможность улучшения этого решения путём перехода к другой системе координат ~ с помощью линейного преобразования ~ = Тх :

r

0

r

n

~ = В • ~ + N • g;

У = А • ~, где В = ТВТ_1; N = TN ; А = АТ_1.

Уравнение движения замкнутой САР с модальным регулятором Я в новой системе координат получит вид:

У( Р) = А( рЕ - В + N • Я)-1 N • g ( р),

с характеристическим полиномом |рЕ- В + N • я| ,

сопоставление которого с исходным полиномом приводит к равенству:

pE - TBT _1 + TNR

= pE - B + NR

из которого получаем искомую матрицу регулятора Я , обеспечивающего заданное расположение корней характеристического полинома системы.

Для обратного перехода к исходной системе

координат используются выражения: В = Т~^ВТ ;

N = Т~1Ы ; А = АТ ; Я = ЯТ . Соотношение Я = ЯТ указывает на возможность определения преобразующей матрицы Т по исходному регулятору Я и его желаемому виду Я .

Проанализируем эту возможность на разрешимость. Приняв

d =-

max

- = 1.

шт1| Г1И к2|,...,| кп\)

т.е., задавшись равными коэффициентами регулятора Я =С[1... 1], где С - константа, получим выражение для Т:

,п-1

T = (RTR)~l RTR = C

- R~tr ,

очевидно указывающее, что матрица Т вырожденная, т. е. линейное преобразование Т должно быть особым \4]. Таким образом, для практической реализации регулятора Я без использования особого преобразования целесообразно задаваться критерием С = 1 + е, в котором величину невязки е можно выбрать сколь угодно малой.

Тогда, определив Т = (ЯТЯ)-1 ЯТЯ , где, например, Я = 100 ■ \1 1 1,01], сформируем систему

уравнений, обеспечивающих линейность преобразования Т координат х в новую систему ~ при сохранении желаемого расположения корней характеристического полинома:

Я = ЯТ;

• ТВ = ВТ; (7)

В - TNЯ = В - т

Решение задачи (7) позволяет по известным матрицам В, N, Я, Я найти преобразующую матрицу Т и характеристическую матрицу объекта В в новой системе координат ~х .

Для рассматриваемого примера системы третьего порядка синтезированный указанным способом регулятор Я со значением критерия ё = 1,01 обеспечил расположение корней характеристического полинома: 512= -10+10/'; 53= -50, хорошо совпадающее с желаемым (см. таблицу).

Получение оценок новых координат 5?, необходимых для функционирования модального регулятора Я осуществляется с помощью наблюдателя

~ = (В - К • А)~ + ^ + Ку ,

в котором К - матрица ошибок размерностью [пхп], выбираемая из желаемых требований к характеристическому полиному |рЕ - В + К • а| наблюдателя.

Литература

1. Слепокуров Ю.С. Проблема синтеза модального регулятора систем автоматического управления / Ю.С. Слепокуров, О.В. Белоусова // Критические технологии вычислительных и информационных систем. Сб. трудов. - Воронеж: МИКТ, 2011. - С. 24-34.

2. Методы классической и современной теории автоматического управления / Под ред. Н.Д. Егупова. Т.2. - М.: МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2000. - 736 с.

3. Кузин Л.Т. Основы кибернетики. Т.1. / Л.Т. Кузин. -М.: Энергия, 1973. - 504 с.

4. Хорн Р. Матричный анализ / Р. Хорн. - М.: Мир, 1989. -656 с.

Воронежский государственный технический университет

SYNTHESIS OF FULL MODAL REGULATORS BY THE METHOD

DOMINATING ROOTS

E.M. Vasiljev

The problem construction of full modal regulators is considered at presence of free own numbers a desirable characteristic matrix of synthesized system. The reasons of reception of factors a regulator with beyond all bounds wide range of the values are revealed. The task of the mathematical programming is formulated, allowing to carry out calculation of a regulator with minimally possible range of values factors and results of its decision are shown

Key words: system of automatic control, a modal regulator, a method of dominating roots