CC BY
9
УДК 514.18
О.В. ВОРОНЦОВ, Л.О. ТУЛУПОВА
Полтавський нащональний техшчний ушверситет iMeHi Юрiя Кондратюка
1.В. ВОРОНЦОВА
Полтавський коледж нафти i газу Полтавського нацiонального TexHÎ4Horo унiверситету iMeHi Юрiя Кондратюка
ДИСКРЕТНА 1НТЕРПОЛЯЦ1Я ГЕОМЕТРИЧНИХ ОБРАЗ1В СУПЕРПОЗИЦ1ЯМИ ДВОВИМ1РНИХ ТОЧКОВИХ МНОЖИН ФУНКЦЮНАЛЬНИХ ЗАЛЕЖНОСТЕЙ
У cmammi проведено до^дження визначення полiнома двох змтних n-го степеня довшьними дискретними значеннями. Виведено формули обчислення коефiцieнтiв суперпозицш двовимiрних точкових множин, що дозволяють визначати аналтичт вирази дискретних аналогiв двовимiрних геометричних образiв у загальному виглядi.
Ключовi слова: дискретна ттерполящя, геометричний апарат суперпозицш, коефщенти суперпозици, двовимiрнi точковi множини, числовi послiдовностi.
О. В. ВОРОНЦОВ, Л.А. ТУЛУПОВА
Полтавский национальный технический университет имени Юрия Кондратюка
И.В. ВОРОНЦОВА
Полтавский колледж нефти и газа Полтавского национального технического университета имени Юрия Кондратюка
ДИСКРЕТНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБРАЗОВ СУПЕРПОЗИЦИЯМИ
ДВУМЕРНЫХ ТОЧЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ
В статье проведено исследование определения полинома двух переменных n-й степени произвольными дискретными значениями. Выведены формулы вычисления коэффициентов суперпозиций двумерных точечных множеств, позволяющие определять аналитические выражения дискретных аналогов двумерных геометрических образов в общем виде.
Ключевые слова: дискретная интерполяция, геометрический аппарат суперпозиций, коэффициенты суперпозиции, двумерные точечные множества, числовые последовательности.
O.V. VORONTSOV, L.A. TULUPOVA
Poltava National Technical Yuri Kondratyuk University
I.V. VORONTSOVA
Poltava Petroleum Geological College of PoltavaNational Technical Yuri Kondratyuk University
DISCRETE INTERPOLATION OF GEOMETRIC IMAGES BY SUPERPOSITIONS OF TWO-DIMENSIONAL POINT SETS OF FUNCTIONAL DEPENDENCES
In the article, the definition of a polynomial of two variables of the nth power was studied by arbitrary discrete values. Formulae for calculating superposition coefficients of two-dimensional point sets were found. These formulae define an analytic form of discrete analogues of two-dimensional geometric images in the general case.
Keywords: discrete interpolation, geometric apparatus of superpositions, superposition coefficients, two-dimensional point sets, numerical sequences.
Постановка проблеми
Управлшня формою дискретних моделей геометричних образ1в (поверхонь, явищ, процеав) вимагае четкого уявлення про зм1ст процесу формування, параметри форми моделей, можливосп оперативного змшення ходу розрахуншв модельовано1 поверхш. Кр1м того формування дискретних моделей геометричних образ1в (ГО) передбачае залучення метод1в, що вимагають використання значних обчислювальних ресурс1в. Тому необхвдно проводити дослвдження нових метод1в формування ГО, яш дозволяють забезпечити ттмальт витрати на отримання результату.
Ефектившсть методик формування ГО у великш м1р1 залежить в1д ефективносп алгоршшв переходу ввд неперервно1 форми представлення геометричних образ1в до 1х дискретних аналопв i навпаки.
Вищеназваш алгоритми розроблeнi у [1] за допомогою математичного апарату числових посл1довностей. Координати вузл1в модельованих дискретних аналогiв кривих визначаються за вiдомими координатами сумiжних вузл1в. Дискретно прeдставлeнi кривi (ДПК) подаються координатами вузлiв iз рiвномiрним кроком по ос1. Геометричний апарат суперпозицш дозволяе тдвищити ефектившсть даних алгоритмш за рахунок економи обчислювальних ресурав при формуванш ДПК вузлами 1з довшьними кроками по ос за даними координатами дов1льних вузл1в.
Дослвдження геометричного апарату суперпозицш у поеднанш 1з класичним методом сшнчених р1зниць, статико-геометричним методом, математичним апаратом числових послщовностей сприятиме подальшому розвитку 1 удосконаленню математичних моделей у процес конструювання.
Аналiз останнiх дослвджень i публiкацiй Питаниям дослвджень дискретного моделювання ГО суперпозищями одновим1рних числових послщовностей присвячеш роботи [2, 3, 4] автор1в дано! статл.
Формулювання мети досл1дження Метою дано! роботи е дослвдження питань дискретно! штерполяцп ГО двовим1рними числовими послвдовностями за координатами вузлових точок взятих 1з дов1льними кроками по координацшних осях, а саме - визначення полшома двох змшних и-го степеня дов1льними дискретними значеннями; зокрема -виведення формул обчислення коефщенпв суперпозицш двовим1рних точкових множин, що дозволяють визначати аналггичш вирази дискретних аналопв двовим1рних геометричних образ1в у загальному вигляд^
Виклад основного матерiалу досл1дження В основ1 класичного методу ск1нчених р1зниць, на який спираються найпрост1ш1 способи дискретно! штерполяцп, лежить або полшом одше! змшно! и-го степеня :
у = а0 + а1х + а2х2 + а3х3 + —+ акхк + —+ апхп , що може бути дискретно визначений несшнченною одновим1рною числовою послщовшстю
у = а0 + а11 + а212 + а313 + —+ ак1к + —+ апЬп . Або полном двох змшних и-го степеня
г = а00 + аюх + а01у + а.20х2 + ацху + а02у2 +
+ - + ап0хп + акп-кхкуп-к + а0пуп , (1)
що може бути дискретно визначений несшнченною двовим1рною числовою послдовтстю
^ = аоо + а.101 + а01] + а2012 + ацу + ат]2 +
+ - + ап01п + акп-к1к]п-к + а0п]'п . (2)
Враховуючи результати дослщжень роботи [2], виведемо формули обчислення коефщенпв суперпозицш двовим1рних точкових множин що дозволяють визначати аналггачш вирази дискретних аналопв двовим1рних ГО у загальному вигляд^ Ц формули також можуть бути використаш для дискретного моделювання двовим1рних ГО числовими послщовностями вищеназваних аналггачних залежностей без складання 1 розв'язання систем лшшних р1внянь.
Координати будь-яко! точки двовим1рного ГО можуть бути визначеш як суперпозици координат чотирьох заданих довшьних точок даного образу за формулою [3]:
__и0 = к1Щ + к2Щ + кзщ + (1 -к1-к2- кз)щ ,
де щ (I = 0,4) - узагальнене позначення вщповщно! координати.
Замкнена форма числово! послщовносп, довшьний член яко! обчислюеться за формулою (2), визначае двовим1рну числову послвдовшсть п-го степеня (1). При п=1 послвдовшсть (2) мае вигляд:
% = а00 + а^ + а01] (3)
Таку послщовнють, у свою чергу, можна визначити рекурентною залежшстю [5]
4г1] = 21-1,] + 21+1,] + 21,]-1 + 21,]+1, (4) що буде дискретним представленням полшому двох змшних 1-го степеня.
Рекурентна формула (4) одержуеться додаванням двох рекурентних формул (5) 1 (6)
2г1 = г-1 + г+1, (5)
2г] = г]-1 + г]+1, (6) яш дискретно представляють дв1 числов1 послщовносп
г; = а0 + а11, (7)
= Ь0 + Ъ1). (8) Рекурентн1 формули, що зв'язують значення концевого ряду дов1льних член1в посл1довностей (7) 1 (8) матимуть вигляд [4]:
21+Р = + к-2г1+р2, (9)
2]+т = ^12]+т1 + к-22]+т2, (10)
Додаванням (9) 1 (10) одержимо рекурентш залежносп, що зв'язують значення кшцевого ряду дов1льних член1в посл1довност1 (3):
2г1+р,]+т = к-121+р1,]+т + к-221+р2,]+т + ^121+р,]+т1 + ^2г1+р,]+т2, (11)
де к1 + к2 = 1, або:
г1+р,]+т = к-121+р1,]+т + к-221+р2,]+т + ^121+р,]+т1 + ^2г1+р,]+т2, (12)
де к1 + к2 = 0,5.
Щдставляючи (3) у (12) одержимо рiвияния, розчшляючи яке за змшними / та ], зможемо скласти систему визначальних рiвиянь:
13=1 к1 - 2
[к1[а1о(р1 + р) + ао1(т1 + т)] + к2[аю(р21 + р) + ао1(т2 + т)] - а^р + ао^т Розв'язуючи (13) за методом Крамера, знайдемо визначники А, А1, А2, у виглядг
А- а1о (Р2 - Рг) + ао1(т2 -А1-2ат(Р2 - р) +1ао1(т.2 - т);
А2- 1 а1о(Р - Р1) + ~ао1(т -
(13)
Звщси:
^ - А± - 1 . а10(р2-р) + а01(т2—т)
1 А 2 а10(р2-р1) + а01(т2-т1)
к2 - Ц --
1 а10(Р—Р1) + а01(т—т1)
2 а10(р2-р1) + а01(т2-т1) '
Крiм того, осшльки числова послiдовнiсть (3) розпадаеться на суму двох (7) i (8) [6], то рекурентна формула, що зв'язуе значения концевого ряду и довiльних членiв може бути представлена у виглядг
де к[ + к12 -1.
-'ь+р^+т •,) -
к1 т..
1^1+р1,]+т
+ к2г1
+ к17
+Р2,] + т п-1*'1+р,]+т1
+ к2г1
■
2 1+р,]+т2 ■>
к1 + к-2 — 1.
Враховуючи результати роботи [4], зможемо записати:
„ _ ?2-Р
-*1+р,]+т
Р2-Р1
. Р—Р1 . ^2—т . ш—т.1
т2-т1
т2-т1
(14)
(15)
При п=2 послiдовнiсть (2) мае вигляд :
- аоо + а^ + ао1] + а2о12 + а-цЦ + ао2Г
(16)
Рекурентна формула, що зв'язуе значення шнцевого ряду дов№них члешв послiдовностi (16) може бути записана у виглядг
г1+р,]+т - к-121+р1,]+т + к2г1+р2,]+т + ^321+р,] + т1 + ^4г1+р,]+т2. (17)
Пiдставляючи (16) у (17), одержимо рiвняння, розчiпляючи яке за змiнними i та ] у рiзних степенях, зможемо скласти систему визначальних рiвнянь (18):
ъиь -1
а11(к2р2 + к1р1 + к4р + к3р -р) + 2а02(к4т2 + к3т1 + к2т + к1т - т) - 0 2а20(к2р2 + к1р1 + к4р + к3р -р) + а11(к4т2 + к3т1 + к2т + к^т - т) - 0 а20(к2р% + к1р\ + к4р2 + к3р2 - р2) + а11(к2тр2 + к1тр1 + к4т2р + к3т1р - тр) + ' а10(к2р2 + к1р1 + к4р + к3р - р) + а02(к4т2 + к3т2 + к2т2 + к1т2 - т2) + +а01(к4т2 + к2т + к1т + к3т1 -т) - 0 Розв'язуючи дану систему за методом Крамера, знаходимо визначники А, А1: А2, А3, А4 у
виглядг
А- (т.1 - Ш2)(Р2 - Р1){а2о(Р - Р1)(Р - Р2) + Яо2(т - ™.1)(™-2 - ™)У;
А1- а-02(т1 - т)(Ш2 - т)(т.2 - Ш1)(Р2 - р);
А2- -ао2(т1 - т)(т2 - т)(т.2 - т1)(р1 - р);
А3- -а2оЫ2 - т)(р1 - р)(р2 - Р)(Р2 - Р1У;
А4- а20(т1 - т)(Р1 - Р)(Р2 - Р)(Р2 - Р1)-
(18)
Звщси:
к1 - ^ -
1А
к2 - ^ -
2А
к3 - А-3 -
3 А
к - — -П-4 — —
а02(т-т.1)(т2-т)(р2-р)
(.Р2-Р1){а20(Р-Р1')(р-Р2') + ао2(™-™1')(™2-™')} '
_а02(т1-т) (т.2-т) (р1-р)_.
(Р2-Р1)(а2о(р-Р1)(р-Р2) + ао2(т-т1)(т2-т)} '
_а2оЫ2-т)(р-р1)(р2-р)_.
(т1-т2){а20(р-р1)(р-р2) + а02(т-т1)(т2-т)} '
_а2о(™-1-™)(Р1-р)(Р2-р)_
(т1-т2){а2о(р-р1)(р-р2) + ао2(т-т1)(т2-т)} '
У самому загальному випадку рекурентна формула, що зв'язуе значення шнцевого ряду дов№них члешв послвдовносп (16) матиме вигляд:
г1+р,]+т - ^■1г1+р1,]+т1 + к.221+р2^+т2 + к-321+р3,]+т3 + ^421+р4,]+т4. (19)
Щдставляючи (16) у (19) одержимо рiвияния, розчшляючи яке за змшними i та ] у рiзних степенях, зможемо скласти систему визначальних рiвнянь (20):
ъиь =1
а20 Т4=1 Р2 + а10 Т4=1 + &02 Т4=1 кьШ2 + а01 Т4=1 + а00 Т4=1 +
+ац Т,4=1 к1т1р1 = а.2оР2 + аыр + ао2т2 + 0.01т + аоо + ацтр
2а2014=1 кьрь + аю 14=1 К + ап Т4=1 К т1 = (20)
= 2а20р + а10 + а11т
2а20 Т4=1 + а10 Т4=1 + аи Т4=1 т1 =
= 2а02т + а01 + а11р
Переписуючи И у виглядi (21)
= 1
Т4=1~к-1 = (а2ор!2 + а.юР1 + ао2т2 + ао^ + аоо + ацт1р1) = = а2оР2 + а.1оР + ао2т2 + ао1т + аоо + ацтр
!4=1~к1 (2а.2оР1 + аю + ацть ) = , (21)
= 2а2оР + аю + ацт
(2ао2т1 + ао1 + ацрь) = = 2а02т + а01 + а11р
i розв'язуючи за методом Крамера, знаходимо вирази для обчислення визначнишв А, Д1, А2, А3, А4 :
А= -4(ао2а2о - а21) • [А4(М21Р1 + М^ + М^) +
+А3(М12Р4 + М41Р2 + М24Р1) + А2(М31р4 + М14р3 + М4зР1) + ^1(^2зР4 + М42Рз + Мз4Р2) + а11(^21т4 + ^^3)^4 + р^ + +ац(М1зт4 + Мз1Ш2)(Р2Р4 + Р1Рз) + ац(Мз2т4 + М2зт1)(р1р4 + Р2Р3)} ; А1= -4(ао2й2о - а.11) • [А4(М2оРз + М03Р2 + М32Р) + +А3Ш02Р4 + М40Р2 + М24Р) + А2Ш30Р4 + М04Р3 + М43Р) +
Ао(М2зР4 + М42Р3 + Мз4Р2) + ац(М20Ш4 + Мо2Шз)(РзР4 + РР2) + а11(Мо3т4 + МзоШ2)(Р2Р4 + РРз) + аиШз2т4 + М23™-)(Р2Рз + РР4)} ; А2= 4(а02й20 - аЫ • ^(МюРз + М03Р1 + М31Р) + +А3Ш02Р4 + М40Р1 + М14Р) + А1Ш30Р4 + М04Р3 + М43Р) + Ао(М1зР4 + М41Р3 + Мз4Р1) + ац(Мют4 + Мо^з )(РзР4 + РР1) + а11(Мо3т4 + МзоШ1)(Р1Р4 + РРз) + ац(Мз1т4 + М13Ш)(РР4 + Р1Рз)} ;
Аз= -4(а02й20 - аЫ • {А4Ш10Р2 + М02Р1 + М21Р) +
+А2(Мо1Р4 + М40Р1 + М14Р) + А1(М20Р4 + М04Р2 + М42Р) +
Ао(М12Р4 + М41Р2 + М24Р1) + ац(Мют4 + Мо1Ш2 )(Р2Р4 + РР1) +
а11(Мо2т4 + М2оШ1)(Р1Р4 + РР2) + ац(М21т4 + М12Ш)(РР4 + Р1Р2Я ;
А4= 4(а02й20 - аЫ • [Аз(МюР2 + М02Р1 + М21Р) + +А2(Мо1Рз + М30Р1 + М13Р) + А1(М2оРз + МозРз + М32Р) + \W12P3 + М31Р2 + М2зР1) + ац(МюШз + Мо1Ш2)(Р2Рз + РР1) +
аи(Мо2тз + М20Ш1)(Р1Р3 + РР2) + ац(М21тз + М12т)(ррз + р^} .
де А1 = а20р2 + а02т2 , М^ = т^-т^ , а вирази для обчислення величин коефщенпв суперпозицп к1г к2, к3, к4 будуть одержат в результата розв'язання системи рiвнянь (21) за формулами :
к5 = 5 = 14 .
5 А'
Для перевiрки справедливосп виведених формул визначення координат будь-яко! точки двовимiрного ГО, що заданий формулою (16) як суперпозицп координат чотирьох заданих довшьних точок даного образу, розглянемо два приклади iз конкретними вихщними даними. Приклад 1 (рис. 1).
а00=5; а01=-3; а10=1; а11=2; а02=4; а20=-1; р=-2; р1=1; р2=2; р3=-1; р4=4; т=1; т1=0; т2=-1; т3=5; т4=3; 1=2; ¡=1.
Рекурентна формула (19) матиме вигляд
го2 = к-12з1 + к-2^40 + кзг16 + к4гм .
Звщси:
202=15; 231=6; 240=-7; 216=143; 2б4=-75; к1=166/57; к2=-31/19; к3=2/19; к2=-22/57;
15= 166 • 6 --• (-7) + -• 143 --• 75 = 15 .
57 19 19 57
Рис. 1. Дискретний каркас двовим1рно'1 числово!" послвдовносп гу = 5 + I- 3] -I2 + И) + .
Приклад 2 (рис. 1).
a00=5; a01=-3; a10=1; a11=2; a02=4; a20=-1; p3; p1=5; p2=0; pз=-2; p4=-1; m=5; m1=-1; m2=3; m¡=2; m4=-4; i=4; ]=5.
Рекурентна формула (19) матиме вигляд
г7,10 = &1г94 + к2г48 + к3г27 + к4г31 .
Зввдси:
z7,10=473; z94=57; z48=289; z27=206; zs1=6;
¿¡=-266/1287; 1355/429; k3=-893/429; 167/1287;
473 = - — • 57 + — ■ 289 - — • 206 + — 6 = 473 .
1287 429 429 1287
Висновки
Для дискретного моделювання ГО можуть бути застосоваш даш дослвдження визначення полiномiв двох змшних и-го степеня за довiльними дискретними значеннями. Одержанi в данiй статтi формули обчислення коефiцieнтiв суперпозицiй двовимiрних точкових множин дозволяють визначати аналiтичнi вирази дискретних аналогiв двовимiрних ГО у загальному виглядi.
Список використано! лггератури
1. Пустюльга С. I. Дискретне визначення геометричних об'eктiв числовими послвдовностями : дис. докт. техн. наук : 05.01.01 / Пустюльга Сергш 1ванович - КНУБА, 2006. - 316 с.
2. Воронцов О. В. Дискретна iнтерполяцiя геометричних образiв об'еклв будiвництва одновимiрними числовими послвдовностями iз нерiвномiрним кроком / Олег Вжторович Воронцов // Збiрник наукових праць "Будiвництво та техногенна безпека". Сiмферополь. Нацiональна академiя природоохоронного та курортного будiвництва. - 2013. - №48. - С. 43-49.
3. Воронцов О. В. Властивосп суперпозицш точкових множин. / Олег Вжторович Воронцов. // Прикладна геометрiя та шженерна графiка. - К.: КНУБА.. - 2010. - №86. - С. 345-349.
4. Воронцов О. В. Моделювання об'екпв будiвництва та машинобудування довшьними дискретними значеннями числових послвдовностей / Олег Вiкторович Воронцов. // Збiрник наукових праць (галузеве машинобудування, будiвництво) / Полтав. нац. техн. ун-т iм. Юрiя Кондратюка. - Полтава: ПолтНТУ. - 2013. - №4. - С. 25-35.
5. Инженерная геометрия с элементами теории параметризации / В. Е.Михайленко, С. Н. Ковалев, Н. И. Седлецкая, В. А. Анпилогова. - Киев: УМК ВО, 1989. - 84 с.
6. Ковальов С.М., Гумен М.С., Пустюльга С.1., Михайленко В.£., Бурчак 1.Н. Прикладна геометрiя та iнженерна графжа. Спещальш роздши. Випуск 1. — Луцьк.: Редакцшно-видавничий вiддiл ЛДТУ, 2006. — С. 118-176.
