CC BY
16
ПРИМЕНЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО АППАРАТА СУПЕРПОЗИЦИЙ В ДИСКРЕТНОМ МОДЕЛИРОВАНИИ ОБЪЕКТОВ СТРОИТЕЛЬСТВА И
МАШИНОСТРОЕНИЯ
Воронцов Олег Викторович
канд. техн. наук, доцент ПолтНТУ им. Юрия Кондратюка, Украина,
г. Полтава
E-mail: uaag.polta va2012 @gmail. com Усенко Валерий Григорьевич
канд. техн. наук, доцент ПолтНТУ им. Юрия Кондратюка, Украина,
г. Полтава
E-mail: uaag.polta va2012 @gmail. com
GEOMETRICAL SUPERPOSITION SET APPLICATION IN DISCRETE
GEOMETRICAL OBJECT DESIGN IN CIVIL ENGINEERING AND
MACHINE BUILDING
Oleg Vorontsov
candidate of Technical Sciences, Associate Professor of Poltava National Technical
University of the name of Yuriy Kondratyk, Ukraine Poltava
Valery Usenko
candidate of Technical Sciences, Associate Professor of Poltava National Technical
University of the name of Yuriy Kondratyk, Ukraine Poltava
АННОТАЦИЯ
В статье рассмотрены задачи, выполнены обобщения и обоснована целесообразность системных исследований геометрических свойств аппарата суперпозиций и определения на их основе главных аспектов нового направления дискретного формирования геометрических образов объектов машиностроения и строительства.
ABSTRACT
The tasks of discrete geometric modeling have been considered and generalizations made in this article. The expediency of geometrical superposition set systematic studying has been reasoned. On its basis the new direction within main aspects of discrete geometric models for construction and machine building objects formation has been determined.
Ключевые слова: прикладная геометрия; дискретное геометрическое моделирование; метод конечных разностей; статико-геометрический метод;
математический аппарат числовых последовательностей; геометрический аппарат суперпозиций.
Key words: applied geometry; discrete geometric modeling; method of finite differences; statistic-and- geometric method; the body of mathematics for numerical sequences; geometrical superposition set.
Постановка проблемы. Развитие производства и усовершенствование технологических процессов ставят перед наукой новые задачи по созданию адекватных моделей объектов процессов и явлений для их эффективного анализа, расчета, оптимизации и прогнозирования. Современное состояние проектирования криволинейных объектов машиностроения и строительства нуждается в учете как можно большего количества выходных данных и требований для обеспечения соответствующей точности модели. При геометрическом моделировании выходными данными, как правило, выступают геометрические характеристики и условия, чаще всего представленные в числовой форме (координаты или значения параметров), массивы которых могут быть достаточно большими. В этих условиях методы глобального непрерывного моделирования, когда отыскивается единственное решение, оказываются неэффективными, потому что обычно требуют использования достаточно сложных математических алгоритмов и не могут обеспечить необходимую адекватность модели. Отмеченных недостатков лишены методы дискретного геометрического моделирования [11].
Геометрический объект произвольной формы всегда может быть представлен упорядоченным множеством точек по определенному закону так, чтобы можно было определить координаты любой точки внутри контура (области). Вопросом является лишь необходимая плотность исходной информации, затраты на ее получение, обработку и хранение.
Поэтому очевидной является необходимость проведения исследований дискретного формирования геометрических объектов, которые в своей основе обеспечивали бы необходимую точность построения модели геометрического
образа при рациональном уменьшении объема исходной информации и минимальных затратах на получение конечного результата.
Анализ последних исследований. Наиболее перспективным направлением развития прикладной геометрии в современный период является дискретное геометрическое моделирование. Среди самых распространенных направлений в области дискретного моделирования поверхностей является метод конечных элементов, базирующийся на дискретном представлении поверхности в виде совокупности отдельных элементов, которые взаимодействуют между собой в конечном количестве узловых точек.
Метод конечных разностей выгодно отличается от метода конечных элементов простотой, но проигрывает в универсальности и точности результатов, которые получают при решении инженерной задачи.
На основе статической интерпретации метода конечных разностей профессором С.М. Ковалевым [9] создан статико-геометрический метод формообразования дискретных геометрических образов с определенными свойствами, который является наиболее наглядным и понятным методом дискретного моделирования непрерывных образов и в целом ряде случаев учитывает статическую особенность разных объектов.
Последующему развитию статико-геометрического метода, расширению его формообразующих свойств на основе анализа рекуррентных формул числовых последовательностей для дискретного моделирования и формирования дискретных образов объектов машиностроения и строительства посвящена докторская диссертация проф. С.И. Пустюльги [10], работы проф. С.Н. Ковалева [6, 8], а также ряд других работ. Результаты, полученные в этих исследованиях, показали новые возможности дискретного геометрического моделирования, в частности возможность простого перехода от дискретно представленного образа к его непрерывному аналогу и наоборот. В статьях [2, 3, 4] проведены исследования свойств и обобщение перехода от непрерывных зависимостей к рекуррентным формулам задания дискретных числовых последовательностей путем замены дискретными непрерывных
параметров классов элементарных функциональных зависимостей обратных к ним, а также тех, которые получают из этих функций с помощью четырех арифметических действий и суперпозиций, примененных определенное количество раз.
Каждый из названных методов имеет свои преимущества и недостатки относительно решения конкретных практических задач. Поэтому их исследование, обогащение новыми эффективными алгоритмами, изучение возможности их компиляции, а на этой основе расширения множества исходных данных является актуальными. Также актуальным является последующее развитие и совершенствование вышеназванных методов в целом. При этом, с одной стороны можно обогатить известные методы дискретного геометрического моделирования новыми алгоритмами, усовершенствовать их моделирующие возможности, а с другой — расширить круг практических задач и оптимизировать создаваемые для их реализации модели.
В статье [5] профессор С.М. Ковалев определил понятие «суперпозиции» в прикладной геометрии на основе функционального сложения как суперпозиции множеств, между точками которых установлено определенное соответствие.
Постановка задания работы заключается в определении подходов к созданию новой теории дискретного моделирования геометрических объектов с помощью геометрического аппарата суперпозиций. Конкретно — необходимо, на первом этапе, разработать алгоритмы определения дискретных геометрических образов с использованием геометрического аппарата суперпозиций одномерных точечных множеств.
Изложение основного материала исследования.
Обобщая понятие «суперпозиции» на основе функционального сложения, можно говорить о суперпозиции множеств, между точками которых установлено некоторое соответствие. С такой точки зрения суперпозиция соответственных точек п множеств в ^-пространстве в декартовой системе координат определяется системой уравнений [9]:
щ =к, и % +к, м% 9 +...+к, и . +...+к, и%
1 1,1 1,1 1,2 1,2 1,п 1,п
и. =к. и , +к. м. 0 +...+к. и . + ...+к. и.
1 1,1 1,1 1,2 1,2 1,п 1,п
и =к м +к м 0 + ...+к м . + ...+к и
т т,1 т,1 т,2 т,2 ту тт,п т,п
где: 1 — номер координатной оси;
у — номер исходного множества суперпозиции; ку— коэффициент суперпозиции.
Суперпозиция В п совпавших соответственных точек в1=в2=...=вп
совпадает с этими точками, если сумма коэффициентов суперпозиции равна единице (рис. 1) .
Рисунок 1. Совмещенные поля точек
На рис. 2 дискретно представлена кривая линия точками с равномерным шагом Ь=1 вдоль оси Ох: х.+1 = х.+Ь .
Эта кривая может быть определена конечными разностями: правыми — Л у = у.+1 - у. , левыми - V у = у.- уили центральными; например
У I
О 12 1-2 1-1 • ¡+1 ¡+2 п-1 п
Рисунок 2 Дискретная модель параболы второго порядка
центральная разность четвертого порядка будет симметричной относительно узла
В1: д4 = у -4у 6у -4у + у , а правая конечная разность п-го порядка
1-2 1-1 1 1 + 1 1 + 2
имеет вид Лпу = Лп-1у+1- Лп-1 у, или
Лпу = у .+1 - С1 у¡+п1 + С2у+п 2 +... + (-1)"у , где Ск - число соединений из п по к [10].
Числовая последовательность, произвольный член которой определяется формулой в замкнутой форме у ¡= а0 + а11 + а212 + а313 +...+ап1п, описывает параболу п-го порядка у=а0 + а}х+ а2х2 + а3х3 + ...+апхп. Например, рекуррентная формула числовой последовательности: у. =а0 + а11 + а2Р имеет вид - 2а1 + а1+1 = 2а2 и является дискретным аналогом параболы второго порядка (рис. 1).
Для построения представленной на рис. 1 дискретной модели кривой с равномерным шагом 11=1 вдоль оси Ох, которая проходит через точку
А(хА=3;уА=4), в(хв=5;ув=0), С(хс=7;ус=4), статико-геометрическим методом необходимо составить и решить систему уравнений равновесия внутренних узлов
Ул-2у4 + ув+кР4=0
< у4-2ув + у6+кР5 = 0 (2)
Ув-2Уб + Ус+кР=0
6
При kP4 = kP5 = kP6 = kP получим у4 = 1 , у6 = 1 , kP=-2 .
Выше были рассмотрены примеры дискретного определения полинома второй степени тремя известными методами.
Во всех известных методах дискретного геометрического моделирования координаты узлов моделируемых дискретных аналогов кривых определяются по известным координатам смежных узлов. Дискретно представленные кривые (ДПК) задаются координатами узлов с равномерным шагом по оси.
Данные алгоритмы могут быть значительно эффективнее за счет экономии вычислительных ресурсов при формировании ДПК узлами с произвольными шагами вдоль оси по данным координатам произвольных узлов.
Дискретно определить представленную на рис. 2 кривую можно, используя следующее свойство [1]:
Координаты любой точки параболы п-го порядка являются суперпозицией (4) координат других точек этой параболы.
x=k1x1 +к2х2 + ...+кп1хп-1 + (1-к, -^-...-К^К
у=ку +ку + ...+кп1уп_1 + (1-К -кг-...-кп_гуп_г)уп
Запишем систему уравнений для точек заданной кривой
у0=к1уР+к2ув + (^1-к1-к2)уК х0 =k1xF +k2xв + (1-^1 -к2)хы
Найдем коэффициенты суперпозиции к1, к2, решив данную систему
ь _ (Уа-Ум) (хБ- хм)-(Уи~ Ум) (ха- хм) . 1 ' (Уг-Уы) (ХБ-хы )- (хр - ХЫ )(уБ - Уы)
. _ 6г- Ум ) (ха )-(Уа-Ум) (хр-хм) 2 ' УР- уЫ) (хБ - хЫ
)- (хр - хм )(Уб-Ум)
Результаты вычислений коэффициентов суперпозиции точек р, Б, м для определения точек кривой с равномерным шагом И_1 вдоль оси Ох, представленной на рис. 1 приведены в таблице 1.
Таблица 1.
Значения коэффициентов суперпозиции
ха 1 2 3 4 6 7 8 9
Уа 16 9 4 1 1 4 9 16
к1 0,72 0,48 0,28 0,12 -0,08 0,12 -0,12 -0,08
к2 0,36 0,64 0,84 0,96 0,96 0,96 0,64 0,36
кз _ 1 - к1 -к2 -0,08 -0,12 -0,12 -0,08 0,12 -0,08 0,48 0,72
Рассмотрим возможности перехода от аналитических выражений полиномов разных степеней к рекуррентным формулам задания дискретных числовых последовательностей, определяя рекуррентную зависимость между произвольными членами числовой последовательности, взятыми с неравномерным шагом вдоль оси с помощью геометрического аппарата суперпозиций.
Числовая последовательность, произвольный член которой определяется формулой в замкнутой форме
а. _т0+ т^+т£2+т^3 + ...+тп1п , (6)
определяет полином п-й степени
у=шп + ш,х+ш0х2+ш0х3 + ...+т хп . (7)
0 1 2 3 пу/
При п=1 последовательность имеет вид
а. =шп + шл . (8) 1 0 1 х 7
Такую последовательность, в свою очередь, определяет рекуррентная зависимость
а+1=а1+ш1, (9)
что является дискретным аналогом полинома первой степени. Рекуррентная зависимость между последовательными членами последовательности второго порядка, взятыми с равномерным шагом, имеет вид
а. 1-2а.=а. ,=2ш0 (10) 1-1 1 1+1 2 у 7
и так далее — до п-го порядка [7] .
Определим рекуррентную зависимость между непоследовательными членами числовой последовательности, взятыми с неравномерным шагом. Для последовательности первого порядка (рис. 3)
а. =шп+шл 10 1
а. =шп+ш(1+р) 1+р 0 1х
а1+Р1 =тд+т10+р1)
а1+р2=то+т1(1+Р2);
а. = ка + ка =
1+р 1 1+Р1 2 1+р2 (и)
= к1 (тд + т1 (1 +р1))+к2 (тд + т1 (1 + р2 )); к1+к2=1
к1(тд+т1р1)+к2(тд+т1р2)=тд+т1р
л Лк к к? .
V " Л ' к2= Л ;
Р? -Р. и Р-Рг ;
Р2 -р/ л, — , 2 Р2-Р1
1+р ..........1+1*1 ■■■• 1+Р 2 .....
Рисунок 3. Последовательность 1-го порядка
а. ; (15)
1+Р Р2-Р1 1+Р1 Р2-Р1 1+Р2
а. =ка +к0а.
1 + Р 1 1+Р1 2 1+Р2
Аналогично для последовательности второго порядка
а. =т0+ т11 + т^
а. =ка. к0 + а. +к0а. ; (16) 1+р 1 1+р1 2 1+р2 3 1+Р3
Получаем выражения для определения к1, к2, к3:
кз =
А, к1 2т\ (Р2 - Р)(Р3 - Р)(Р3 - Р2 ) (Р-Р2)(Р-Р3)
А ' 2т2(Р2-Р1)(Р3~Р1)(Р3~Р2) (Р2-Р1)(Р3-Р1)
К 2т2 (Р-Р1 )(Р3-Р1 )(Р3-Р) (Р-Р^)(Р-Рз)
А ' 2т2(Р2-Р1)(Р3-Р1)(Р3-Р2) (РГР2)(РЗ-Р2)
А3 2т22(Р2-Р1)(Р-Р1)(Р-Р2) (Р-Р1)(Р-Р2)
А ' 2т1(Р2-Р1 )(Р3-Р1 )(Р3-Р2 ) (Р1-РЗ)(Р2-РЗ)
к,
к^= к? = "'"2 У Н1/КН3 Н1/КН3 и/ = V Н1/КН из/ ; (17)
И потому рекуррентная зависимость будет иметь вид
а = (Р-Р2)(Р-РЗ) а + (Р-Р1)(Р-Р3) а + 1+Р (Р2-Р1)(РзР1) 1+Р1 (РГР2НР3-Р2) 1+Р2 (18) + (Р~Р1)(Р~Р2) а # (РГРЗ)(Р2'РЗ) 1+?3
Проверим верность выведенных формул на конкретном примере. Рассмотрим определение аналитического выражения полинома второй степени:
у=тп + тх+т0х2
^ и 1 2
по трем заданным точкам А, В, С с такими координатами:
А (1, 5); В (2,1) ; С (5, 3).
Для нахождения т0, т1, т2 необходимо решить систему
5=т0 + т1+т2 1 = т0 + 2т1 + 4т2 3=т0 + 5т1 + 25т2
Л
тп =
тп 136.
0 Л 12
т. =
т^ -90.
тп =
1 Л 12' 2 Л 12
Получаем аналитическое выражение данного полинома:
¥_136 90х+14х2 у_ 12 -12х+ 12х
¥_34 15 7 2 (19) у_ 3 - 2х+6х , (19)
и, соответственно, числовой последовательности:
'гЧ-Ч'+б1*.(20)
Ряд значений этой последовательности приведен в таблице 2.
Таблица 2.
►начения числовой последовательности
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
а.1 11,33 5 1 -0,67 0 3 8,33 16 26 38,33 53 70
Определим а+р по таким данным: р=1; р1=3; р2=7; р3=10.
а (7-1)(10-1) , (1-3)(10-1) : (1-3)(1-7) а
а. 1— а. 0+ а. 7+ а. 1П
1+1 (7-3)(10-3) 1+3 (7-3)(10-7) 1+7 (10-3)(10-7) 1+10
7 3 4
^ ^ , = а, 0 - а, „+ а, 1П . 1+1 1+3 2 1+7 7 1+10
При 1=0
3 4 а1 = 14аз-2а7 + 7а10 .
Согласно данных, приведенных в таблице 1 а1=5; а3=-0,67; а7=16; а10=53 поэтому
27 2 3 4 5=—(-2)-316 + 453 ^5=5 .
14 3 2 7
При 1=1
27 3 4
а2= ыа4-2ав + 7а11 .
Согласно данных, приведенных в таблице 1 а2=1; а4=0; а8=26; а11=70 поэтому
27 3 4 1=—0-°26+470 ^1 = 1 .
14 2 7
Для последовательности п-го порядка
а. =т0+ т11+т^2 + т^3 + ...+тп1п
рекуррентная зависимость имеет вид
a. =кя +к0а.
l+p 1 1+р1 2 1+р2
+к а. +к я
п 1+Рп п+1 1+Рп+1
+ка.
3 1 + Рз
+
+к а
к 1+рк
+ ...+
Коэффициенты суперпозиции, которой определяются аналогично.
Выводы. В статье приведены результаты определения дискретных образов кривых линий с использованием геометрического аппарата суперпозиций одномерных точечных множеств. Для геометрического моделирования дискретных образов объектов строительства и машиностроения, могут быть применены разработанные алгоритмы перехода от замкнутой к рекуррентной форме задания числовой последовательности произвольными дискретными значениями.
Фундаментальные системные исследования геометрических свойств аппарата суперпозиции для формирования дискретных образов в сочетании с классическими численными методами, известными методами дискретного моделирования и преобразований позволят открыть новые возможности при решении конкретных прикладных задач в разных областях науки, техники и производства.
Список литературы:
1. Воронцов О.В., Радченко Г.О. Дискретне визначення кривих на основi рiзних методiв геометричного моделювання / О.В. Воронцов, Г.О. Радченко // Прикладна геометрiя та шженерна графжа. К.: КНУБА, — 2011. — Вип. 88. — С. 116—120.
2. Воронцов О.В. Дослщження рекурентних форм представлення елементарних функцюнальних залежностей / О.В. Воронцов, Г.О. Радченко // Прикладна геоме^я та iнженерна графжа. К.: КНУБА, — 2011. — Вип. 87. — С. 98—101.
3. Воронцов О.В. Замша неперервних форм елементарних функцюнальних залежностей рекурентними формулами задання дискретних числових послщовностей / О.В. Воронцов // Геометричне та комп'ютерне моделювання: збiрник наук. праць. Харюв: ХДУХТ, — 2010. — Вип. 27. — С. 57—62.
4. Воронцов О.В. Рекурентш аналоги клашв елементарних функцш / О.В. Воронцов, Г.О. Радченко // Прикладна геоме^я та шженерна графжа. К.: КНУБА, — 2010. — Вип. 83. — С. 136—139.
5. Ковалев С.Н. О суперпозициях / С.Н. Ковалев // Прикладна геометрiя та шженерна графжа. К.: КНУБА, — 2010. — Вип. 84. — С. 38—42.
6. Ковалев С.Н. Прикладная геометрия и геометрическая статика / С.М. Ковальов, В.А. Вязанкин // Прикладна геометрiя та шженерна графжа. К.: КНУБА, — 2007. — Вип. 78. — С. 41—43.
7. Ковальов С.М., Гумен М.С., Пустюльга С.1., Михайленко В.в., Бурчак 1.Н. Прикладна геометрiя та шженерна графжа. Спещальш роздши. Випуск 1. Луцьк.: Редакцшно-видавничий вщдш ЛДТУ, 2006. — С. 118—176.
8. Ковальов С.М. Рекурентш формули числових послщовностей у формуванш дискретно визначених геометричних образiв / С.М. Ковальов, С.1. Ботвшовська // Прикладна геометрiя та шженерна графжа. К.: КНУБА, — 2006. — Вип. 76. — С. 30—37.
9. Ковалев С.Н. Формирование дискретных моделей поверхностей пространственных архитектурных конструкций: Дис. ... доктора техн. наук: 05.01.01 / С.Н. Ковалев. М., 1986 — 348 с.
10. Пустюльга С.1. Дискретне визначення геометричних об'екпв числовими послщовностями: Дис. ... доктора техн. наук: 05.01.01 / С.1. Пустюльга. К., 2006. — 322 с.
11. Самостян В.Р. Вплив геометричних вимог на процеси дискретного моделювання криволшшних об'екпв будiвництва: Дис. ...канд. техн. наук: 05.01.01 / В.Р. Самостян. К., 2011. — 182 с.
