CC BY
11
УДК 514.18
О.В. ВОРОНЦОВ, Л.О. ТУЛУПОВА
Полтавський нацюнальний техшчний ушверситет iMeHi Юрiя Кондратюка
1.В. ВОРОНЦОВА
Полтавський коледж нафти i газу Полтавського нацюнального техшчного унiверситету iMeHi Юрiя Кондратюка
ВИЗНАЧЕННЯ ОДНОВИМ1РНИХ ГЕОМЕТРИЧНИХ ОБРАЗ1В ЛАНЦЮГОМ ПОСЛ1ДОВНИХ СУПЕРПОЗИЦ1Й 13 ВРАХУВАННЯМ ВЕЛИЧИНИ РЕКУРЕНТНО1 3АЛЕЖНОСТ1
В po6omi проведено до^дження орган1заци ланцюга по^довних суперпозицш пар точок для дискретного моделювання одновимiрних геометричних о6разiв i3 врахуванням величини рекурентно'1 залежностi, що е прообразом зовтшнього формоутворюючого навантаження у статико-геометричному спосо6i дискретного геометричного моделювання.
Ключовi слова: статико-геометричний спо^б, геометричний апарат суперпозицш, величина рекурентно'1 залежностi, коефiцiенти суперпозицИ.
О. В. ВОРОНЦОВ, Л.А. ТУЛУПОВА
Полтавский национальный технический университет имени Юрия Кондратюка
И.В. ВОРОНЦОВА
Полтавский колледж нефти и газа Полтавского национального технического университета имени Юрия Кондратюка
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОДНОМЕРНЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБРАЗОВ ЦЕПЬЮ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ СУПЕРПОЗИЦИЙ С УЧЕТОМ ВЕЛИЧИНЫ РЕКУРРЕНТНОЙ
ЗАВИСИМОСТИ
В работе проведено исследование организации цепи последовательных суперпозиций пар точек для дискретного моделирования одномерных геометрических о6разов с учетом величины рекуррентной зависимости, которая является прообразом внешней формообразующей нагрузки в статико-геометрическом способе дискретного геометрического моделирования.
Ключевые слова: статико-геометрический способ, геометрический аппарат суперпозиций, величина рекуррентной зависимости, коэффициенты суперпозиции.
O.V. VORONTSOV, L.A. TULUPOVA
Poltava National Technical Yuri Kondratyuk University
I.V. VORONTSOVA
Poltava Petroleum Geological College of PoltavaNational Technical Yuri Kondratyuk University
DETERMINATION OF ONE-DIMESIONAL GEOMETRIC IMAGES BY A CHAIN OF SUCCESSIVE SUPERPOSITIONS CONSIDERING A VALUE OF RECURRENT DEPENDENCE
In the article we have investigated an organization of a chain of successive superpositions ofpairs of some points for discrete modeling of one-dimensional geometric images, considering a value of recurrent dependence. This dependence is a prototype of some external forming load in the static - geometrical method of discrete geometrical modeling.
Keywords: static-geometric method, geometrical apparatus of superpositions, value of recurrent dependence, superposition coefficients.
Постановка проблеми
Формування дискретних моделей геометричних образ1в статико-геометричним способом, зокрема моделей просторових покритпв, на стадп есшзного проектування, керування формою модельованих поверхонь, змша окремих параметр1в вимагае повторно! операци складання i виршення великих систем лшшних рiвнянь. Залучення математичного апарату числових послвдовностей i геометричного апарату суперпозицш для формування геометричних образ1в значно розширюе можливосп статико-геометричного способу дискретного моделювання.
Анат останшх дослщжень i публшацш
Дослщженню властивостей суперпозицш дискретних точкових множин присвячено дисертацш [1], у якш, зокрема, було розглянуто можливють керування формою розтягнутих сток на основ1 функцюнального додавання, статп [2-4], в яких доведено ряд властивостей вищезазначених суперпозицш та зроблено висновок про перспектившсть всеб1чного дослвдження геометричного апарату суперпозицш. У статп [5] показано, що суперпозиц1я n точок може бути замшена ланцюгом послщовних суперпозицш.
Актуальними е дослвдження можливих варшнпв ланцюпв суперпозицш з метою виведення аналггичних залежностей визначення координат довшьного вузла двовим!рного геометричного образу, як суперпозици координат заданих вузл1в.
Формулювання мети дослвдження
Метою дано! роботи е дослщження оргашзацп ланцюга послвдовних суперпозицш пар точок для дискретного моделювання одновим1рних геометричних образ1в, оск1льки властивосп, як1 мае одновим1рна множина точок, можуть бути узагальнеш до двовим!рно! множини, що формуеться за тими ж законами, якщо одновим1рну множину розглядати як складову каркаса двовим1рно!. Властивост! дискретно! модел1 двовим1рного геометричного образу також можуть бути одержат узагальненням ввдповщних властивостей одновим1рного.
Викладення основного матерiалу досл1дження
Одним з принцитв статико-геометричного способу конструювання кривих лшш (одновим1рних геометричних образ1в) е управлшня формою криво! шляхом змши типу розподшу зовшшнього формоутворюючого навантаження.
При формуванш дискретних образ1в на основ! геометричного апарату суперпозицш формоутворюючою величиною е величина рекурентно! залежност!, що тотожна зовшшньому навантаженню у статико-геометричному способ!.
Розглянемо можливють формування дискретного каркасу задано! функцюнально! залежност! шляхом замши суперпозици п заданих точок ланцюгом посл!довних суперпозиц!й пар точок !з врахуванням формоутворюючо! величини рекурентно! залежност!.
Суперпозиция 2 пари точок 1 [ 3 числово! посл!довност!
У. =0,212 , (1)
що показана на рис. 1, може бути представлена у вигляд! [2]:
-13
и
2
7 1
и ■ к 1 2
и
3
К)
+ Р2
(2)
де и - узагальнене позначення вщповвдно! координати, що одержана в результат! суперпозици точок 1 [ 3, к1 - перший !з двох коефщенпв суперпозиц!!' точок 1 ! 3 для точки 2,
Р2 -
величина рекурентно! залежност!, що е аналогом дискретно! величини зовшшнього
формоутворюючого навантаження, прикладеного до вузлово! точки 2.
Суперпозищя трьох точок послщовносп (1) запишеться у вигляд!:
У1-3-5 = к у +к у +(1-кт-к- ) '4 11 Г3 \ 1 Ч 5
Покажемо, що при певнш залежност! м!ж коеф!ц!ентами, суперпозиц!ю (3) можна одержати як послщовнють двох суперпозиц!й:
Ус
(3)
У.
,1-3 к У, 2
, 3-5
У =к у 4 4 7 3
1з (4):
(1'к23 + (I1)
2
У+Р4
(4)
(5)
У,
1-к„
1-3
( У2-к123У1-р )
(6)
Пвдставляючи (6) до (5), одержимо:
У,
1-3 3-5 -к 2 к4
1-к„
1-3
3-5
1-к
1-3 У2
{1-к:5 )
Р
I
3-5 2
к4 Р
1-к
1-3
(7)
де
а
1
P
3-5
P.
3-5 2
кз P
1-k„
1-3
Рис. 1. Дискретний аналог числово!' послвдовносп y = 0,2i , як ланцюг посждовних суперпозиц1й: 1-3, 3-5, 5-7,...
Порiвнюючи (7) i3 (3), де вщповщш коефiцieнти суперпозицй' повиннi бути рiвними, можна записати:
с
( 4 ).
1-3 3-5 -k2 k4
1-k„
3-5
1-3
1-3 k1
(4)
,( 4 ) ,v4 C2 =—l-J 1-k21-3
2 (4 )
(8)
де k1 - перший i3 двох коефiцieнтiв суперпозицiï точок 1 i 3 для точки 2, k^ 5 - перший i3 двох
,( 4 )
коефщенпв суперпозицп точок 3 i 5 для точки 4, k^ - перший i3 трьох коефiцieнтiв суперпозицiï точок
,( 4 )
1, 3 i 5 для точки 4, k^ - другий i3 трьох коефщенпв суперпозицiï точок 1, 3 i 5 для точки 4.
За умови (8) пара суперпозицш (4) i (5) буде тотожною суперпозицп (3). Суперпозицш чотирьох точок послщовносп (1):
y1'3'5'7 = k y +k y +k y ( 1-k,-k~ -k, ) y J6 Г1 T3 3'5\ 1 2 3)J7
можна одержати як ланцюг трьох пар послщовних суперпозицш:
y2=kl13y1+ (1-kV ) У3+р2
(9)
(10)
y = k3-5y + (l-k3'5 ) y +P4
J4 4 2 \ 4 15 i
1з (11):
5 3-5
1-k4
Пвдставляючи (13) до (12), одержимо:
3-5 5-7 5-7
-k4 k6 ^ k6
y =-y +-У
6 1-3 ^3 3-5 4
(1-k35 ):
H'7 )■
1 3-5 4
Ус=—TT^4-k4 y3-Pi j
y = k5-7y + ( l-k5'7 Iy +P6 . J6 6 J5 \ 6 ¡7 i
l-k
2
l-k„
(1-k")'
5-7 4
P6 k5 P
i 3-5
1-k4
де
57
5-7 4
6 k6 P
P - u '
i 3-5
1-k4
величина рекурентно! залежност! .
Дат, за аналопею i3 (8), одержимо:
Г 3-5 5-7
k k г
(6 )
4 6
Ч
1-k,
5-7
3-5
3-5 k1
(6)
,(6) ^6
с2 =—Ц5 1-k„
4 \ (6 )
г >
(11) (12)
(13)
(14)
(15)
Узагальнюючи вищевикладене, можемо записати формули залежностi коефiцiентiв суперпозицiï n-го числа точок послвдовносп (1) для дано'' органiзацiï ланцюга суперпозицiй. 1-3-...-( n-2 )-
^2n
,(6) J6)
k y +k y +k v+... + k y + ( 1-k1-k~-...-k ) y Г1 T 3 Г 5 n 2n-1 \ 1 2 n )J2n+1
ky 7 = k
1 2
(4) (4)
k1 +k2
k ( » ) =k (6.\ ( » )
1 2 2
' (4) (4)
k2 ,+k) >-1
=k (6 )k ( » )+k (6 )k ( » )
2 2 2 2
k( )+k( )
,(10 ) (» )k (1» ) +k (6 )k ( » )k (1" )-k (6 )k (» )k (1° )
1 2 2 2 2 2 2 2 2
k( )+k( )
k
де: n
( 2m ) = (
k(4) + + (-Г ,.2
s=1 i=2s+1
(\m-1 1 m ( 2i) i \m 2
-1) I П k(2i> + (-1) £ П
4=3
(2i)
=1 i=2s+2
1
, n^ - / . Символ «: » означае цшочисельне дшення, ta = 4- частку
bu цшочисельного дшення 0 на 'J .
Формула обчислення величини рекурентно'' залежносп у загальному виглядi для дано'' оргашзацп ланцюга суперпозицш матиме вигляд (16):
k3-5P2 р3-5 =р4 _ 4 i
1 1-k1-3
р
5-7
р6 _ 6
k5-7P4
1 1-k3-5
2
4
( 2m-l)-( 2m+l)
p(2m-1)-(2m+1) = p2m __2m_р(2m-2) . (16)
2m i (2m-3)-( 2m-1) i
( 2m-2 )
BipHiCTb виведених формул нескладно nepeBipnra поставивши KOHKpeTHi числовi значения послщовносп (1).
Висновки
У статп показано, що суперпозицiя n точок дискретного аналогу задано! числово! послвдовносп може бути замiнена ланцюгом послвдовних суперпозицiй i3 врахуванням величини рекурентно! залежиостi. Встановлено залежиiсть м1ж коефщентами суперпозицй' ланцюга пар точок i коефiцieнтами суперпозицп n точок. Дослвдження рiзних варiантiв органiзацü' ланцюпв суперпозицш дозволять вивести аиалiтичнi залежиостi для визначення координат довiльних вузлiв двовимiрних геометричних образiв, як суперпозицп координат заданих вузлiв.
Список використаноТ лггератури
1. Чан Хонг Хай. Управление формой растянутых систем на основе функционального сложения: дис. ... канд. техн. наук: 05.01.01. / Ч.Х. Хай. - К., 1994. - 124 с.
2. Ковалев, С.Н. О суперпозициях / С.Н. Ковалев // Прикладна геометрiя та iнженерна графша : зб. наук. праць - Вип. 84. - К.: КНУБА, 2010. - С. 38-42.
3. Воронцов, О.В. Властивосп суперпозицш точкових множин / О.В. Воронцов // Прикладна геометрiя та шженерна графша : зб. наук. праць - Вип. 86. - К.: КНУБА, 2010. - С. 345-349.
4. Воронцов, О.В. Определение дискретных аналогов классов элементарных функций суперпозициями одномерных точечных множеств [Электронный ресурс] / О.В. Воронцов, Л.О. Тулупова // Universsum: Технические науки: электрон. научн. журн. - 2014. - №3(4). - Режим доступа: http: // 7universsum. Com /ru/ tech/ archive/ item/1135.
5. Вязанкин, В.А. Замена суперпозиции конечного числа точек цепью последовательных суперпозиций пар точек / В.А. Вязанкин, А.В. Мостовенко // Прикладна геометрiя та шженерна графжа : зб. наук. праць - Вип. 84. - К.: КНУБА, 2010. - С. 296-300.
