Сравнение решений нелинейных дифференциальных уравнений с нагруженными множествами уровня Текст научной статьи по специальности «Математика»

www.volsu.ru

DOI: https://doi.org/10.15688/jvolsu1.2016.6.8

УДК 517.95 ББК 22.1

СРАВНЕНИЕ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С НАГРУЖЕННЫМИ МНОЖЕСТВАМИ УРОВНЯ

Борис Ефимович Левицкий

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теории функций,

Кубанский государственный университет

bel@kubsu.ru

ул. Ставропольская, 149, 350040 г. Краснодар, Российская Федерация

Андрей Эдуардович Бирюк

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теории функций,

Кубанский государственный университет

abiryuk@kubsu.ru

ул. Ставропольская, 149, 350040 г. Краснодар, Российская Федерация

Аннотация. Рассматривается обобщение известных теорем сравнения решений дифференциальных уравнений с частными производными на случай уравнений с дивергентной главной частью, содержащей весовой функциональный коэффициент.

Ключевые слова: теоремы сравнения, р-эллиптические уравнения, вырождающиеся нелинейности.

~ Введение

сч

ф Теоремы сравнения для эллиптических уравнений с частными производными начи-

^ нают появляться в научной литературе как отдельное направление в изучении свойств

^ решений дифференциальных уравнений с частными производными с середины 70-х гг.

оэ XX столетия, особенно после того, как Таленти получил свой, ставший уже давно клас-

ы сическим результат [15]. Позже были получены разнообразные обобщения этого ре-

^ зультата на широкий класс уравнений, включая нелинейные р-эллиптические и другие

§ уравнения [7; 10; 11; 14]. В данной работе теоремы сравнения распространяются на класс

Ц нелинейных уравнений с дивергентной главной частью с весовым коэффициентом, зави-

^ сящим от меры множества уровня решения. Такие дифференциальные уравнения будем @ называть уравнениями с нагруженными множествами уровня.

Пусть П С Мт — произвольная область конечного фиксированного объема |П|. Пусть Ь°(П) обозначает векторное пространство измеримых по Лебегу вещественнознач-ных функций, заданных в области П. Рассмотрим семейство пар (С, П), где

т о о

Си = - ^ (д(х, и) • |Уи|р-2-к|Уи|9

dxj\ ' дху

р, q и к — вещественные числа, такие, что р > 1, q е (0,р] и к ^ 0; отображение g : П х L°(Q) ^ [0, удовлетворяет неравенству:

д(х, и) ^ Ф(meas {х е П : и(х) > и(х)}),

где Ф — непрерывная неотрицательная функция.

Пусть и — слабое неотрицательное решение уравнения

Си = f(x)

в области П с нулевыми граничными условиями Дирихле, где f е LX(Q). Через f* : : [0, |П|) ^ R обозначим убывающую равноизмеримую перестановку функции f: П ^ R [9]. Пусть П* — шар, равнообъемный области П и f* : П* ^ R — симметризация Шварца функции f [4]. Функции f* и f * связаны соотношением

f*(x) = f(umlxlm) для х е П*,

где шт — объем т-мерного шара единичного радиуса. Аналогичное соотношение связывает функции и* и и*.

Через hmax обозначим максимальное решение интегрального неравенства

(. ч

s-1+1 /ш . h( s ) VS 1/тМ ds, уе [0, |П|). тшт Ф(5) /

Для x е П* положим

™ = í р^г' (^ о

Шт\х\гЛ^; V ф(s) j

В семействе пар (С, Q) рассмотрим пару (С0, Q*), где

m р. р.

Сои = - Е {?0(х, и) • |Vu|-2^) - fc|Vu|*,

3=1 3 3

и д0(х,и) = Ф(meas [х G Q* : и(х) > и(х)}) — неотрицательный функционал, определенный на прямом произведении Q* х L0(Q*). В работе установлено:

1) и* < V в области Q*.

2) JQ |Vu|pdx < JQ, |VVlpdx при условии, что интеграл в правой части имеет смысл.

3) Определены достаточные условия, при которых функция V(х) является слабым (неотрицательным) решением уравнения

CoV = f*(x) (2)

в области Q*, удовлетворяющим нулевым граничным условиям Дирихле.

1. Основные определения и главные результаты 1.1. Равноизмеримые перестановки функций и их свойства

В этом разделе П С Мт — произвольное измеримое множество конечной меры, и : П — М — произвольная измеримая функция. Функцией распределения функции и называется отображение ц : М — [0, то), определяемое формулой:

ц(г) = |П4|, где П = {у Е П : и(у) > г].

Убывающей перестановкой функции и назовем функцию и* : [0, |П|) — М, определенную для каждого у Е [0, |П|) формулой

и*(у) = вир^ Е М : ц(г) > у].

Как функция ц, так и функция и* являются монотонно невозрастающими непрерывными справа функциями. Непосредственно из определения следует, что для каждого т > essinfu выполнено:

и*(ц(т)) < т

и для каждого у Е [0, |П|) выполнено

ц(и*(у)) < у. (3)

В случае если и Е С(П) или и Е Ш 1;1(П), то функция и* — непрерывна, функция ц — строго монотонно убывает и для каждого т > essinfu выполнено равенство

и*(ц(т)) = т. (4)

В (3) возможно строгое неравенство, если функция и принимает одно из своих значений на множестве положительной меры. Эти и другие свойства равноизмеримых перестановок функций подробно рассмотрены, например, в [9; 13].

Пусть П* обозначает шар в Мт, с центром в начале координат, объем которого равен |П|. Обозначим через шт = 1) — объем единичного шара в Мт. Здесь

Г(-) — гамма-функция Эйлера: Г(£) = /0 хг 1е Определим функцию и* : П* — М формулой и*(х) = и*(шт|х|т).

1.2. Интегральные неравенства

Пусть / Е Ь1(П) и вещественное число к ^ 0. Функцию к : [0, |П|) — М и и назовем локально ограниченной справа, если для каждой точки у0 Е [0, |П|)

cуществуют М > 0 и 6 > 0 такие, что 8ируе[уо уо+5] к(у) < к(у0) + М. Пусть р > 1 и д Е (0,р] — вещественные числа. Пусть Ф(-) — неотрицательная функция, определенная на промежутке [0, |П|); к+ = тах{к, 0].

Лемма 1. В классе локально ограниченных справа функций к : [0, |П|) — М и ,

удовлетворяющих неравенству

д

%) ^ Г Г ( ^ )й 8 + к Г( 8 "1+1^як+( 8ЛР 1 й8, УЕ [0, |П|), Jo <)0 \тш11тФ(з) )

:уе [0.1П|). (5)

0 \ тШт Ф(з)

существует наибольшая функция ктах (ктах ^ к). Для этой функции в неравенстве (5) имеет место равенство.

Доказательство. Отметим, что множество решений неравенства (5) не пусто. Например, одно из решений дается функцией h(y) = /0 /*( s)ds. Определим функцию hmax : [0, |П|) ^ R U следующим образом:

hmax(y) = {suph(y) : h — локально ограниченное справа решение неравенства (5)}.

Очевидно, что функция hmax мажорирует любое решение h неравенства (5), то есть h < hmax. Покажем, что функция hmax удовлетворяет неравенству (5). Обозначим символом F (нелинейный) оператор h м- Fh, определенный следующим образом:

д

is"1+1 h—(s)V~1 Fh(s) = f*(s) + k -i-T/^-f .

\ mw; Ф(з) J

Отметим, что оператор F (не строго) монотонно зависит от h. Зафиксируем у Е [0, |П|). Для каждого е > 0 найдется локально ограниченная справа функция h, удовлетворяющая (5), такая, что hmax(y) < h(y) + е. Тогда

ГУ ГУ

hmax (у) - е < h(y) ^ Fhds ^ Fhmaxds.

В силу произвольности е > 0 мы получаем неравенство hmax(y) < J02/Fhmaxds. Это означает, что hmax удовлетворяет (5). Докажем, что функция hmax удовлетворяет равенству в (5). Для этого достаточно убедиться, что справедливо противоположное неравенство Зафиксируем у0 Е [0, |П|). Положим

hmax (У) при у = Jfo,

J(f°FhmaxdS при у = уо.

Тогда h — решение неравенства (5), но из определения hmax имеем hmax(y0) ^ h(y0). Лемма доказана.

1.3. Определение оператора L и основные результаты

Пусть L0(П) обозначает пространство всех измеримых функций П ^ R. Пусть Ф : [0, |П|) ^ [0, — неотрицательная полунепрерывная снизу функция. Напомним, что полунепрерывность снизу означает:

lim inf Ф(4) = Ф(х).

6^0 £,е[ж-6,ж—6]

Пусть (нелинейное) отображение д : П х L0(H) ^ R удовлетворяет условию:

д(х,и) ^ Ф(|{уЕ П:и(у) >и(х)}|). (6)

Рассмотрим дифференциальный оператор L, который обобщает следующее дифференциальное выражение:

т р. р.

L" = - £ U9(х-и)1^иГ2Ц).

h(y)

Определение 1. Пусть дана функция и € Ш1,1 (П) такая, что отображение х м- д(х,п) |(Уи)(х)|р-1 принадлежит L1(П). Предположим, что существует Ф € L1(П) такая, что Уф € С£°(П) (с компактным носителем) выполнено интегральное тождество

m ß^ q ^

> q(x,u)\Vu\р-2-—-— dx = Ф(ж)ф(ж)dx. Jn^^ ' " 1 ßxbßxb Jn V ' k= 1

ßxkßxk

В этом случае говорят, что и € DomL, a функция Ф называется образом функции и при отображении L и обозначается Lu.

Пусть даны число к € К, функция $ € L1(П) и функция и € Ш1,9 такая, что отображение х м д(х,и) |(Уи)(х)|р-1 принадлежит L1 (П). Будем говорить, что уравнение

£_(,(х,и)|УиГ2^) = / + к|УиГ (7)

выполнено в слабом смысле, если Уф € С^(П) (с компактным носителем) выполнено интегральное тождество

т Я Я

Г V д(х, и)|Уи|р-2=\ (/(х) + к|(Уи)(х)|9)ф(х)с1х. (8)

^П бхк 0хк ^

Отметим, что выполнение в слабом смысле уравнения (7) эквивалентно условию

Lu = / + к|Уи|9. (9)

Определение 2. Пусть С — открытая область в Кт и пусть и € С (С). Положим

С' = {х € С : Зе > 0 : и € С1(В,(х)) и (Уи)(х) = 0},

где Ве(х) = {^ € Кт : — х| < е}. Будем говорить, что для функции и выполнено условие Сарда, если мера множества и(С \ С') равна нулю.

Образ множества С \ С' при отображении и назовем критическими значениями функции и или просто критическими точками в К. Если точка не является критической, то будем называть ее регулярной (регулярное значение).

Теорема 1. Пусть П С Кт — ограниченная открытая область. Пусть к ^ 0 и пусть 0 < q < р, р > 1, / € L1(П), функция Ф : [0, |П|] м [0, +то] — полунепрерывна снизу. Пусть дана функция и € С(П, [0, то]) такая, что и|да = 0. Предположим, что мера множества = и-1 (то) равна нулю. Кроме этого, предположим, что функция и непрерывно дифференцируема почти всюду, что для нее выполнено условие Сарда и и € DomL, к|Уи|9 € L1(П) и выполнено (9) (то есть уравнение (7) выполняется в слабом смысле). Предположим, что выполнено условие (6). Пусть функция / € L1(П) обладает следующим свойством для каждого Ь € К:

Г f(х)dх ^ 0. (10)

Л {х:га(х)=1]

Тогда неравенство (5) имеет неотрицательное решение К и справедливо неравенство и*(у) < V(у) для любого у € П*, где функция V определена в (1).

Отметим, что при «разумных обстоятельствах» условие (10) не является ограничительным, так как часто выполнено «автоматически». Например, оно выполнено, если каждое множество уровня функции и измеримо по Жордану (см. [1, т. 2, гл. XI]). В самом деле, в этом случае граница каждого множества уровня функции и имеет нулевую лебеговую меру, следовательно интеграл по границе множества уровня равен нулю. Во внутренних точках множества уровня функция и является константой, поэтому там / обращается в нуль в силу уравнения (9).

Лемма 2. Предположим, что 0 < q < р-1, к ^ 0, функция f е L1(Q) и для измеримой функции Ф : [0, |П|] ^ [0, +<о) выполнено

р|П| (1 -m)q q

J к sm(p-1) Ф р-1 (s) ds < ОО.

При q < 1, а также при к = 0 потребуем выполнения следующего условия:

г N 1

У у G (0, |П|) выполнено ^ ф1/(р_ ^ ) d s < О.

Тогда максимальное решение неравенства (5) ограничено:

sup |kmax| < О.

Для функции V, определенной в (1), имеем V е С^П* \{0}), на границе шара П* она обращается в ноль и для нее выполнено условие Сарда.

Теорема 2. Пусть выполнены условия леммы 2. Предположим, что неравенство (5) имеет неотрицательное решение. Тогда функция V, определенная в (1), удовлетворяет уравнению (2) в слабом смысле. При дополнительном условии f е С(П), Ф е С 1(0, |П|), функция V удовлетворяет уравнению (2) в классическом смысле при х е П* \ {0}.

Заметим, что если Ф является полунепрерывной снизу, то можно применить теорему 1 и заключить, что V будет максимальным решением задачи Дирихле для уравнения

LoV = f* + k|VV ^.

2. Доказательство теоремы 1

Рассмотрим функцию h : [0, |П|) ^ R, определенную тождеством

h(y) = Ludx. (11)

у)

Справедливо следующее тождество:

Ludx = Л,(ц(т)) при всех т > 0. (12)

J Nt

В самом деле, при т > ess sup и как левая, так и правая часть в (12) равны нулю. При т е (0, esssupu] (12) получается из (11) подстановкой у = ц(т) с использованием равенства (4).

Лемма 3. Предположим, что р > 1, и е С(П, [0, +то]), и|дп = 0, для и выполнено условие Сарда и и е DomL. Предположим, что выполнено (6) и функция Ф ^ 0 — полунепрерывна снизу. Тогда для почти всех Ь> 0 выполнено

Г Ludx ^ Ф(ц(*)) Г |Vu|p-1 da

JQt JdQt

Доказательство. По условию Сарда, для почти всех t > 0, функция u непрерывно дифференцируема в окрестности точки x, если u(x) = t, причем (Vu)(x) = 0. Зафиксируем одно из таких t > 0. Тогда по теореме о неявной функции множество dQt является С 1-гладким многообразием. Кроме того, поскольку область Q ограничена, многообразие дQt является компактным. Существует е > 0 такое, что u G С 1(Qt-e \ Qt+e). Возьмем 6 < е и

Фб(х) = — (min{i + 6, max{u(x), t — 6}} — t + 6). 26

По лемме 6 в интегральное тождество определения 1 можно подставлять функцию ф = = ф6. Следовательно, имеет место интегральное тождество:

т du д ф

g(x, u)|Vu|p-2 Е —— —— dx = (Lu)(x) ф6(x) dx. Qt-s\Qt+s fc=1 Qt-s

Используя неравенство (6), которое можно переписать в виде g(x,u) ^ Ф(|(u(x))), заключаем, что для любого фиксированного положительного 6о < е, при 6 G (0,6о) выполнено следующее неравенство:

inf Ф(|(т)) -1 f |Vu|pdx < f (Lu)(x) ф6(x) dx.

T€[i-6o,i+6o] 26 J J

Qt-s\Qt+5 Qt-s

Переходя к пределу при 6 м 0, получаем:

inf Ф(ц(т)) Г |Vu|p-1da < f (Lu)(x) dx.

Теперь утверждение леммы следует из того, что 60 произвольно, отображение т м |(т) непрерывно в точке т = t (поскольку t — регулярное значение функции u), а функция Ф ^ 0 полунепрерывна снизу. Лемма доказана.

Используя теорему Кронрода — Федерера [5], получаем, что функция т м- |(т) дифференцируема в каждой регулярной точке т (регулярном значении функции u) и

-|'(т)= г (13)

JöQT |Vu|

(см. также [12; 13]). Зафиксируем регулярное значение т функции u. Применим неравенство Гёльдера:

1 р-1

^ = L, V|£-1 V| 1-1 da 4 k |V"|P-Id^ '(к |Vu|-'d^ ' ■

Возводя это неравенство в степень и используя (13), получаем, что при р > 1 справедливо неравенство:

1

|ШТ|^ ^ (/ж^ |УиГ-1 (¡а)*-1 (-ц'(т)). (14)

В силу классического изопериметрического неравенства [6]

| Шт | >тш1/тц(т) ^, (15)

где шт — объем единичного шара в Мт. Применяя последовательно результат леммы 3, неравенства (14) и (15), получаем следующую цепочку неравенств:

1 , 1

1 (LT Lu dx\p-1 1 (LT Ludx\p-1 (-ц'(т)) <

v фw (c ,vu|p-iv/(p-1) v Фит))У ^

ФЦ(т^ (/ш |Vu|p-^1/(P-1) V Ф|Шт1

<

(

1

L TLudx\p-1 (-ц'(т))

Ф ц(т)) / (rnuUm) ^ (ц(т))

Используя тождество = 1 + и обозначение кт = 1/(тшЦт), перепишем послед-

= 1 + -1 р-1 р

нее неравенство в следующем виде

1

, , 1+ 1 ( кт(ц(т)) 1+m L Ludx \ р 1 , ч 1 «Ыц(т))-1+- ( "ЛЦ( 'ф(ц(т))Пт-) (-ц'(т)). (16)

Это неравенство справедливо для почти всех т е [0, ess sup u].

Лемма 4. Пусть q > 0. Предположим, что функция u является непрерывно дифференцируемой почти всюду, JQ |Vu|9dx < о и для функции u выполнено условие Сарда. Тогда для любого t ^ 0

fOO г-

>u\qdx = |Vu|9-1

Г |Vu|9dx = Г Г |Vu|9-1 dadx.

JQt Jt JdQ T

Доказательство. Заметим, что отображение Ь м |Vu|qdx дифференцируемо в каждой регулярной точке Ь (то есть регулярном значении функции и, следовательно, из-за условия Сарда, почти всюду) и

- Г \Vи\qdx = - \ |Уи|^-1 (17)

Осталось показать, что отображение Ь м ^ |Уи|9^х абсолютно непрерывно. Определим множества

Прег = {х € : и(х) — регулярное значение}

и

= {х С : и(х) — критическое значение}.

Очевидно, что эти множества не пересекаются и что П = Прег и П^р. Равенство (17) означает, что

Г ег №и1Чх = ИГ |Уи|9-1 ¿с ¿т.

Осталось показать, что /Пкр \^и1чйх = 0. Разделим множество Пр на три части:

Пкр = П,кр'0 и ПГ0 и П,кр'=,

где П^'® состоит из точек, в которых функция и не является непрерывно дифференцируемой. Множество П4кр'° состоит из точек, в которых производная равна нулю. Множество П,кр'= состоит из точек, в которых функция является непрерывно дифференцируемой и производная в которых не равна нулю. Поскольку по условию функция и — непрерывно дифференцируема почти всюду, то |Пкр'0| = 0. Очевидно, что /Пкр,о ^и^йх = 0. Остается заметить, что в силу условия Сарда мера критических значений равна нулю и, следовательно, |Пкр' = | = 0.

Лемма 5. Пусть 0 < д < р, р > 1. Предположим, что функция и является непрерывно дифференцируемой почти всюду, что и е Ш1'<1(П), что для нее выполнено условие Сарда. Тогда для любого Ь ^ 0 выполнено неравенство:

|Уи|^х ^ (кт ц(т)-1+— |УиГ ^с) Р-1 (-ц'(т)) ¿т. Здесь кт = —\п—, шт — объем т-мерного единичного шара.

тш—

Доказательство. Пусть т е М+ — регулярное значение функции и. Применяя неравенство Йенсена, получаем, что при д ^ р справедливо следующее неравенство

1 1 д—1

Г IV иГЧс < (Г |Уи|р-1 ¿с)Р—:1 Jsпт 1 1 V Шт -'дПт )

|дQтpöQx 11 " V|дQт|

Умножая это неравенство на неравенство (14) и деля обе части произведения на |<9Пт|р—1 получаем, что при 0 < д ^ р, р > 1 справедливо следующее неравенство:

Г ivu|q-1da <( 1 Г ivu|p-1daV-1 Г da

■J dQ т VldQJJöQ^^ / JöQT

|<9Пт| .Ьпх ) ^Пт |Vu|'

В силу классического изопериметрического неравенства ^ ^тц(т)-1+——. Кроме

того, поскольку т — регулярное значение функции и, то ц'(т) = — /ап . Таким образом:

|Vu|¿с ^ (кт ц(т)-1+— ^иГ^с)"1 (—ц'(т)).

Доказательство леммы завершается интегрированием последнего неравенства на интервале т е (£, с использованием леммы 4.

Сочетая леммы 3 и 5, мы получаем, что для любого Ь ^ 0 выполнено неравенство:

1 ч

с г ж ( кт ц(т)"1+т Г0 Ьийх\*~1 , , ч

/о,™'"" «I ( ( »(цм^'-) (-ц'мк- (18)

По условию теоремы 1 выполнено уравнение (9). Проинтегрировав его по Qt и применив неравенство (18), получаем:

1 ч

Г Г Г ж (кт ц(т)"1+т /п Ьийх\*~1 ^

Ьи(1х « f(x)dx + к-т , , т- -ц(тН^т.

Jпt Л \ Ф(ц(т)) /

Подставим сюда £ = и*(у). Используя функцию (11) и свойство (12), получим:

« /о..м Лх) - + к ¡^ (*' (-Ц'(т» *

Применяя лемму о замене переменных в интеграле Лебега, лемму 7, получаем:

(1 \ -Ч-

кт 5"1+т ВД\Р_1 , йз.

ф( 5 ) )

Для оценки второго интеграла в правой части воспользуемся неравенством (3) (в котором равенство достигается, в частности, если и*(у) — регулярное значение) и неотрицательностью подынтегрального выражения. Первый интеграл в правой части оценивается с помощью неравенства по лемме 8. В итоге получаем:

ч

ад«Р *(•>*+»^(^тт1

1 я.^ ■

О \ ф( 5 )

Далее мы заметим, что к — ограниченная функция. В самом деле: Ъ(у) « | Lи\ с1х, а последний интеграл конечен в силу условия и € ОошЬ. Следовательно, применима лемма 1, из которой следует, что

%) « ктах(у). (19)

Интегрируя (16) на [0, ¿], получаем:

1, , . х / кт (ц(т)) 1+т /п Lиdx^ * 1

««1„к-< ц(т»-1+т I ^ .^г- 1 (-ц'м).

Используя (12) и применяя лемму 7, получаем:

¡И кт8_1+т /

ф( )

Подставим в это неравенство t = и*(у):

и*(у) С f kms-'+i(^MVk, УУ! ^ -W(y)) m ^ Ф(в) у

Используя непрерывность функции и*, получаем

i

и™ с j:--

В самом деле, сначала замечаем, что это неравенство выполнено во всех точках у, в которых и* не постоянна, так как для таких точек у = ц(и*(у)). По непрерывности заключаем, что оно справедливо всюду.

Отсюда для функции и*(х) = и*(^т|х|т) с использованием (19) получаем:

и» С Г' , k..-'+± (^Л. =: V-(X).

>шт\х\т у Ф(^)

Теорема 1 доказана.

i

3. Вспомогательные утверждения

Отметим, что по теореме Радемахера (см., например, [5, § 3.1]) липшицева функция дифференцируема почти всюду. Кроме того, полученная производная является слабой производной в смысле обобщенных функций.

Лемма 6. Пусть П — открытое множество в Rm Пусть функции 4, {4k}fc=i е L1^) таковы, что интегральное тождество

т г\

j-. __/"Í ("п J-.

/ 4fc(х)^—(x)dx = 4(xW(x)dx Jn^ Oxk Jn

k=1 k

справедливо для любой функции ф е С0°(П). Тогда это интегральное тождество также справедливо для любой липшицевой функции с условием ф|ап = 0.

Доказательство. Сначала рассмотрим случай 1: функция ф — липшицева функция, носитель которой компактно вложен в П. Пусть фе обозначает стандартное сглаживание функции ф, то есть фе — ф * фе. Здесь ф£(х) = е тф(х/е), а неотрицательная функция ф : Rm ^ R является бесконечно гладкой функцией, носитель которой вложен в шар радиуса 1 и JRm ф(х^х =1, е < dist (supp ф,ОП). Имеем, что фе(х) сходится к ф(х) в каждой точке х. Кроме того, в каждой точке (Фреше) дифференцируемости функции ф имеем lime^0 Vфе(x) = Уф(х). Применяя теорему Радемахера, мы заключаем, что эта сходимость наблюдается почти всюду. Теперь по теореме Лебега о предельном переходе под знаком интеграла Лебега в тождестве

т г\

J-. __("П J-.

(х)^—1 (x)dx = ^(х)фе(х^х

Jn oxk Jn

k

можно перейти к пределу е ^ 0 и завершить случай 1.

Случай 2: общий случай. Пусть ф — липшицева функция с условием ф|дп = = 0. Построим последовательность фj(x) = з1§п(ф(х)) тах{|ф(х)| — 1, 0}, ] = 1, 2,.... Теперь общий случай сводится к случаю 1 при помощи перехода к пределу при ] ^ то с использованием теоремы Лебега о предельном переходе под знаком интеграла Лебега.

Лемма о замене переменных в интеграле Лебега. Лемма 7. Пусть Р : М ^ М — неотрицательная функция, а ц — монотонная не возрастающая функция, тогда

/У (ц^»(-¿^»¿з « Р(у) ¿у.

Доказательство. Для Р = 1 результат стандартен (см., например, [2, гл. VI, § 4], [3, гл. VIII, § 2]). Для произвольной функции Р результат получается стандартной процедурой аппроксимации, например, ступенчатыми функциями.

Лемма 8. Пусть и : П ^ М — измеримая функция, а функция / € L1(П) обладает следующим свойством для каждого Ь € М:

Г ¡(х)ё.х ^ 0.

Л \х:га(х)=1\

' {х:и(х) =}

Тогда для каждого у € [0, |П|) справедливо неравенство:

\ /(х)<Ь « Г Г(з)с1 з.

Доказательство. По свойствам (невозрастающих) равноизмеримых перестановок, для любого множества А С П такого, что |А| = у выполнено неравенство

I Лх^х « Гй

с13.

Это доказывает лемму в случае, когда |{х € П : и(х) = и*(у)}\ = 0. Если |{х € П : : и(х) = и*(у)}| > 0, то найдется множество В С {х € П : и(х) = и*(у)} такое, что |Пи*(у) и В| = у и §в /(х) ¿х ^ 0. Получаем, что:

Г !(х)йх « \ /(х) йх « Г Г(з)йз.

Лемма доказана.

4. Достаточные условия ограниченности функции Нт

Ч 1 ч

Вводя а = и Р(в) = к кт 1 ^ ) * , мы можем переписать неравенство (5) в виде неравенства Бихари [8]:

к(г) « £ /*( 5 )ё,з + £ Р(з)ка(з)(1 з. (20)

Лемма 9. Пусть а е (0,1], функции /* и Р измеримы и Р ^ 0. Тогда максимальное решение неравенства Бихари (20) меньше бесконечности в точке Т > 0, если оба интеграла /0ТР(з)Сз и /0Т¡*(з)йз конечны.

Доказательство. Для доказательства можно заметить, что в силу неравенства На < < 1 + Н решения неравенства Бихари мажорируются решениями неравенства Гронвалла. Лемма доказана.

Таким образом, при д ^ р — 1 и к > 0 достаточное условие можно сформулировать

так:

1 \ -2-

-,(-1 +1 ) \ Р-1

1 т' \

т . . , ¿в < оо. Ф( ^ )

С|П| / g (-1+£) V

Jo V Ф( в ) )

5. Неравенство для градиента

Докажем, что

|Уи|рСх ^ |УУ 1Чх. (21)

Применяя лемму 3 и лемму 4 с д = р, получаем неравенство

г Г ж Го РисСх

Используя неравенство (16), получаем следующее неравенство:

1 ч -Р-

,-1 + т Г Т 7 \ Р-1

г г ж I кт( ц(т)) т L Ludx \ Р , ч

Вводя функцию 'ф по формуле (11) и учитывая (12), по лемме о замене переменных, лемме 7, получаем:

р

j>i -x < r( )рр-

Далее мы используем неравенство (19) и тождество

кт8 1+т Ншах(§)

/;(JjWNx. (22)

Неравенство (21) доказано, осталось проверить лишь тождество (22). Производя замену 5 = штгт и учитывая, что кт = —\/рт, получаем:

1 \ _р_ кт s-1+™ hmax(s)\P-\ CR( rl-mhmax(oümrm)\P-1 m-Kl

1 ds = II -—-— mumr' 1dr,

Ф( S) ) Jo V müüm^(oümrm)

где Д = (|П|/шт)1/т — радиус шара П*. Из определения V (см. (1)) следует, что

|(У V )(х)| = (|

тштФ(^т|х|т) )

Остается заметить, что если V : [0, Д] ^ М, то

Г г>(|х|)йх = Г тштгт~1у(г)йг. Взяв функцию V такую, что ^(|х|) = |(У V)(х)|Р, мы приходим к (22).

6. Доказательство теоремы 2

Пусть Д — радиус шара, равнообъемного области П. Пусть /* € L1(0, |П|). В этом разделе не предполагается, что ¡* — это перестановка какой-либо функции, однако мы используем это обозначение, поскольку результаты этого раздела будут применяться к случаю, когда * — невозрастающая перестановка функции . Предположим, что для неотрицательной, локально ограниченной справа функции И : [0, |П|] ^ [0, выполнено следующее интегральное тождество:

У'кта ад И<8^ *" ^ (23)

и(у)=/; го»+к ¡у( )

для любого у € [0, |П|]. Здесь кт = —. Заметим, что любая такая функция обладает

тшт'

свойством: если И(у0) = то для любого у > у0 выполнено И(у) = Если у0

наименьшее такое число, то на интервале [0, у0) П [0, |П|] она будет непрерывной (а на компактных подынтервалах — абсолютно непрерывной). Кроме того, И(0) = 0.

Пусть L0 обозначает следующий дифференциальный оператор, заданный на функциях, определенных в шаре П* радиуса Д = (|П|/шт)1/т:

L-■ = - £ £ (фо*»о^г£).

Здесь г = (х^ + ... + х^). Определим функцию

А(г) = к„ Г ± () ^ [0,Д] (24)

и положим

V (х) = А(|х|). (25)

Лемма 10. Пусть /* € ^(0, |П|), Ф — неотрицательная измеримая функция и И — неотрицательное решение уравнения (23). Предположим, что У у € (0, |П|) справедливо

1

( 5 ) \ *-1

'У \Ф(5),

г( ц) « -

Тогда функция V, определенная формулой (25), является слабым решением уравнения

Ь oV = ¡* + Iя (26)

в шаре П*. Здесь /*(х) = /*(шт|х|т).

Доказательство. Для любой функции ф е С 1[0,Д], такой, что ф = 0 в некоторой окрестности точки К выполнено

1 ГЕ , ГК , !

т т т 1

Ги , Ги , 1

h(iümrmW(r)dr = ti(üJmrm)rm-\(r)dr. (27)

тшт J о Jo

Здесь был использован факт, что Н(0) = 0 и что Н — абсолютно непрерывна. Заметим, что для каждого е е (0, |П|) функция А является абсолютно непрерывной на [е, |П|] и

(rl-m h(Um rm)\v-1 А (г) = — -—-г почти всюду.

Проверим, что (26) выполнено в слабом смысле. То есть для любой функции ф е е С1 (П*) с компактным носителем выполнено

J Ф^х |m) I (V V )(x) \ р-2 £ (x) ^(x)dx = J (/*(x) + k\(VV )(x)\q) Mx)dx.

Поскольку V — сферически симметрическая функция, то

^dV()0ф() dV( )0ф( )

£ dxj(x) dxj(x) = Tr (x)Tr(x). j = 1 3 3

Здесь -ТГ- обозначает производную вдоль радиуса, которая определена следующим обра-

дг

зом:

<0ф •s^.xjdty 4(x + 5x/|x|) — 4(x) у 4(x + 6x) — 4(x)

dr ( ) j=l r dx3 ( 5-5-0 6 5-5-0 5|x| '

Таким образом, достаточно доказать, что

J* Ф^ЩА' (r)\p-1 ^ Yr(°)d°dr = С (/* (^mTm) + k\A (r)\9) ^ ф(а)Л

Введем функцию ф(г) = -¿г Js ф(о")<^а = Js Тогда

ф(г) = 11ш-Г (ф((г + 6W) — ф(га)Ыа = Г ^(гаЫа = r1-m Г ^(аЫа. dr 6-0 6 Jsi 44 v Js1dr Jsr dr

Таким образом, достаточно доказать, что

— ^ Ф^Г^А' (r^V^V^f = ^ (/*(üümrm) + к\А' (г)^) Г^ф^Г. Используя тождества

Ф^ rm) \ А (Г) \ P-1Tm-1 = — h( Um Tm) и h'(üJm Tm) = /* Tm) + k \ А (Г) \ (28)

mum

мы сводим проверку последнего интегрального тождества к (27). Лемма доказана. ISSN 2222-8896. Вестн. Волгогр. гос. ун-та. Сер. 1, Мат. Физ. 2016. № 6 (37) 95

Замечание. Из определения функции V следует, что V(ж) = 0 при |ж| = Я и V(ж) > 0 при |ж| < Я.

Лемма 11. В условиях леммы 10, при дополнительных предположениях непрерывности функции /* и непрерывной дифференцируемости функции Ф, функция V будет удовлетворять уравнению (26) в классическом смысле при 0 < |ж| < Я, Я = (Щ/шт)1/т.

Доказательство. Используя формулу = А(г)^ и тот факт, что з1§пА' < 0, мы находим, что

т я

1 »V = Е ^ (Ф(-^т)1А(ОГ Ж) .

3 = 1 3

Нетрудно вычислить, что:

д ( г-т \ / , г-т \ г

/ r—m \ X ( г—т \ г—т

-h(Umrm)xA = х2 h'(Umrm)--h^mO + -h^Um^).

\тШт J Г2 V Um J mUm

i luyyjm1 / 3 I о \ y^m1 ) iby-vm1 j I i '^y^m

uXj \mwm ) rz \ um ) mum

Применяя это тождество совместно с (28), получаем:

m Й / r-m \

LaV = - V — -h(Umrm)x^ = h'(Umrm) = f* (¡Um^) + ЦА! (г)

^ OXj \r~- -

3 = 1 J 4

Ед ( г

( . ^(1мт1 )жз I — 1и (мт' ) — 3 (мт

=

Учитывая определение функции f*, получаем утверждение леммы.

Для завершения доказательства теоремы 2 остается заметить, что неравенство (5) имеет неотрицательное решение тогда и только тогда, когда его максимальное решение неотрицательно.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Зорич, В. А. Математический анализ / В. А. Зорич. — М. : МЦНМО, 2007. — 1458 с.

2. Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. — М. : Наука, 1989. — 624 с.

3. Натансон, И. П. Теория функций вещественной переменной / И. П. Натансон. — М. : Наука, 1974. — 480 с.

4. Полиа, Г. Изопериметрические неравенства в математической физике / Г. Полиа, Г. Сеге. — М. : ФМЛ, 1962. — 336 с.

5. Федерер, Г. Геометрическая теория меры / Г. Федерер. — М. : Наука, 1987. — 760 с.

6. Хадвигер, Г. Лекции об объеме площади поверхности и изопериметрии / Г. Хадви-гер. — М. : Наука, 1966. — 416 с.

7. Alvino, A. Risultati di simmetrizzazione per soluzioni di disequazioni variazionali / A. Alvino, S. Matarasso, G. Trombetti // Le Matematfche. — 1999. — Vol. 54, № 3. — P. 15-28.

8. Bihari, I. A generalization of a lemma of Bellman and its applfcation to uniqueness problems of differential equations / I. Bihari // Ada Math. Acad. Sd. Hungar. — 1956. — Vol. 7, № 1. — P. 81-94. — DOI: http://dx.doi.org10.1007/BF02022967.

9. Chong, K. M. Equimeasurable Rearrangements of Fundions. Queen's Papers in Pure and Appl. Math — No. 28 / K. M. Chong, N. M. Rke. — Kingston, Ontario, Canada : Queen's University, 1971. — vi+177 p.

10. Comparison results for solutions of elliptic problems via symmetrization / A. Alvino, G. Trombetti, P. L. Lions, S. Matarasso // Annales de l'IHP Analyse non lineaire. — 1999. — Vol. 16, № 2. — P. 167-188. — DOI: http://dx.doi.org/10.1016/S0294-1449(99)80011-0.

11. Elliptic equations and Steiner symmetrization / A. Alvino, G. Trombetti, J. I. Diaz, P. L. Lions // Communications on pure and applied mathematics. — 1996. — Vol. 49, № 3. — P. 217-236.

12. Fleming, W. H. An integral formula for total gradient variation / W. H. Fleming, R. Rishel // Archiv der Mathematik. — 1960. — Vol. 11, № 1. — P. 218-222. — DOI: http://dx.doi.org/10.1007/BF01236935.

13. Kesavan, S. Symmetrization and applications / S. Kesavan. — New Jersey : World Scientific, 2006. — xii+148 p.

14. Maderna, C. Dirichlet problem for elliptic equations with nonlinear first order terms: a comparison result / C. Maderna, S. Salsa // Annali di Matematica pura ed applicata. — 1987. — Vol. 148, № 1. — P. 277-288. — DOI: http://dx.doi.org/10.1007/BF01774293.

15. Talenti, G. Elliptic Equations and Rearrangements / G. Talenti // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, Cl. Sci., IV. Ser. — 1976. — Vol. 3, № 4. — P. 667-718.

REFERENCES

1. Zorich V.A. Matematicheskiy analiz [Mathematical Analysis]. Moscow, MCCME, 2007. 1458 p.

2. Kolmogorov A.N., Fomin S.V. Elementy teorii funktsiy i funktsionalnogo analiza [Introductory Real Analysis]. Moscow, Nauka Publ., 1989. 624 p.

3. Natanson I.P. Teoriya funktsiy veshchestvennoy peremennoy [Theory of Functions of a Real Variable]. Moscow, Nauka Publ., 1974. 480 p.

4. Polya G., Szego G. Izoperimetricheskie neravenstva v matematicheskoy fizike [Isoperimetric Inequalities in Mathematical Physics]. Moscow, FML Publ., 1962. 336 p.

5. Federer H. Geometricheskaya teoriya mery [Geometric Measure Theory]. Moscow, Nauka Publ., 1987. 760 p.

6. Hadwiger H. Lektsii ob obyeme ploshchadi poverkhnosti i izoperimetrii [Vorlesungen Über Inhalt, Oberflache und Isoperimetrie]. Moscow, Nauka Publ., 1966. 416 p.

7. Alvino A., Matarasso S., Trombetti G. Risultati Di Simmetrizzazione Per Soluzioni Di Disequazioni Variazionali. Le Matematiche, 1999, vol. 54, no. 3, pp. 15-28.

8. Bihari I. A Generalization of a Lemma of Bellman and Its Application to Üniqueness Problems of Differential Equations. Acta Math. Acad. Sci. Hungar, 1956, vol. 7, no. 1, pp. 81-94. DOI: http://dx.doi.org10.1007/BF02022967.

9. Chong K.M., Rice N.M. Equimeasurable Rearrangements of Functions. Queen's Papers in Pure and Appl. Math — No. 28. Kingston, Ontario, Canada, Queen's University, 1971. vi+177 p.

10. Alvino A., Trombetti G., Lions P.L., Matarasso S. Comparison Results for Solutions of Elliptic Problems Via Symmetrization. Annales de l'IHP Analyse non linéaire, 1999, vol. 16, no. 2, pp. 167-188. DOI: http://dx.doi.org/10.1016/S0294-1449(99)80011-0.

11. Alvino A., Trombetti G., Diaz J.I., Lions P.L. Elliptic Equations and Steiner Symmetrization. Communications on pure and applied mathematics, 1996, vol. 49, no. 3, pp. 217-236.

12. Fleming W.H., Rishel R. An Integral Formula for Total Gradient Variation. Archiv der Mathematik, 1960, vol. 11, no. 1, pp. 218-222. DOI: http://dx.doi.org/10.1007/BF01236935.

13. Kesavan S. Symmetrization and applications. New Jersey, World Scientific, 2006. xii+148 p.

14. Maderna C., Salsa S. Dirichlet Problem for Elliptic Equations with Nonlinear First Order Terms: a Comparison Result. Annali di Matematica pura ed applicata, 1987, vol. 148, no. 1, pp. 277-288. DOI: http://dx.doi.org/10.1007/BF01774293.

15. Talenti G. Elliptic Equations and Rearrangements. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, Cl. Sci., IV. Ser., 1976, vol. 3, no. 4, pp. 667-718.

COMPARISON OF SOLUTIONS OF NONLINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS

WITH LOADED LEVEL SETS

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Department of Function Theory, Kuban State University bel@kubsu.ru

Stavropolskaya St., 149, 350040 Krasnodar, Russian Federation

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Department of Function Theory, Kuban State University abiryuk@kubsu.ru

Stavropolskaya St., 149, 350040 Krasnodar, Russian Federation

Abstract. We extend well-known comparison results to a class of partial differential equations with a divergent principal part containing a weight coefficient that depends on the measure of a level set of solution. Let Q C Mm be an open set with finite volume. Let g0(x,u) = $(meas (x e Q : u(x) > u(x)}), where $ is a continuous nonnegative function. Let u : Q ^ [0, to) be a weak solution to

subject to homogeneous boundary conditions, where g(x,u) > g0(x,u), k> 0 and f G We prove that under certain assumptions there is a weak nonnegative

solution V : Ü* ^ [0, to) to homogeneous Dirichlet problem for

such that u* ^ V and JQ |Vu|pdx < |VVlpdx. Here Q* is the open ball whose volume coincides with the volume of Q and u* is the Schwarz symmetrization of u.

Key words: comparison theorems, p-elliptic equations, degenerate nonline-arities.

Boris Efimovich Levitskiy

Andrei Eduardovich Biryuk