СРАВНЕНИЕ МОДУЛЕЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ И ГЛАДКОСТИ ФУНКЦИЙ И ОЦЕНКИ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517. 5

А.-Р.К. Рамазанов, В.Г. Магомедова, Б.М. Ибрагимова

Сравнение модулей непрерывности и гладкости функций и оценки полиномиальных приближений

Дагестанский государственный университет, [email protected]

Получены достаточные условия эквивалентности модулей непрерывности и гладкости непрерывной функции, оценки снизу модулей гладкости сингулярных функций. Приведены приложения этих оценок в наилучших полиномиальных приближениях функций.

Ключевые слова: модули непрерывности и гладкости, сингулярная функция.

Sufficient conditions of equivalence of the modulus of continuity of the first and second degree of continuous function, estimates from below of the modulus of smoothness of the singular functions are obtained. Applications of these estimates for the best polynomial approximations functions are resulted.

Keywords: modulus of continuity and smoothness, singular function.

В различных вопросах анализа, в частности в теории приближения функций, важную роль играют модули непрерывности и модули гладкости функций, которые называются также модулями непрерывности первого и второго порядков соответственно, и соотношения между ними. Как определения, так и основные свойства модулей непрерывности функций, непрерывных на данном отрезке, и 2p -периодических непрерывных функций вполне аналогичны друг другу. В случае, скажем, функций f (х), непрерывных на данном отрезке [a, b], модули непрерывности и гладкости определяются при 8 > 0 соответственно равенствами: « (8, f) = «2 (d, f, [a, b]) = sup{I f (х + h) + f (х - h) - 2f (х) :0 < h < 8; , f) = «(8, f, [a,b]) = sup{| f (х + h) - f (х) :0 < h < 8; х, х + h e [a,b]}, х - h, х + h e [a, b]}. Очевидно, при всех 8 > 0 выполняется неравенство

«2 (8, f )< «8, f) .(1)

Более сложным является вопрос оценки сверху «(8, f) через «2 (8, f). Приведем извест-

1

ные в этом направлении неравенство Маршо [1] «8,f )<M8Jt 2«2(t,f )dt

8

и неравенство Р.М. Тригуба [2, с. 303-306] max{ю(82,f)о2(8,f)}<Mrn2(8,f) (если «2(8, f) > 0при8 > 0; M > 0 не зависит от 8 e [0,1]).Эти неравенства приводят к задаче: можно ли получить оценки вида

«(8, f )< M«2 (8, f) ,(2)

где M > 0 не зависит от8 e [0,80 ] (80 > 0 -некоторое фиксированное число), с помощью дополнительных ограничений на скорость стремления к нулю модуля непрерывности «(8, f ).

Как показали Д.М. Галан и В.Д. Галан [3, с. 30-50], Р. Нессел и Э. Виккерен [4, Р. 221-238], в любом классе Гельдера H[°ab] = {f e C[ab] (8, f )< «(8)} существует функция f (х) , для которой неравенство вида (2) не выполняется. Значит, по одной лишь скорости стремления к нулю модуля непрерывности произвольной непрерывной функции нельзя судить о точной (хотя бы по порядку) скорости стремления к нулю модуля гладкости этой функции. Нужны дополнительные условия на саму функцию (а не на скорость стремления к нулю модуля непрерывности).

Легко получить следующее простое по форме достаточное условие: если для функции f e C[a,b] выполняется неравенство

' lim «24<2, (3)

t ®+0 G)(t, f )

то имеет место соотношение

«2 (t, f) •• ((t, f) (t ®+0). (4) Действительно, если x — h, x + h e [a, b] (h > 0), то для конечных разностей первого и

второго порядков выполняется равенство 2Ä1h (f, x) = ä| (f, x — h) + A12h (f, x — h). Отсюда следует неравенство 2«(d, f ) < «2 (d, f) + (O(2d, f) (d > 0).

Из (3) следует, что найдутся числа do > 0 и q < 2, для которых при0 < d < do получим w(2d, f )< qw(d, f ).

Отсюда и из предыдущего неравенства при 0 < d < d0 имеем (2 — q)«(d, f )< ( (d, f). Чтобы получить требуемое соотношение (4), остается применить также неравенство (1). Заметим, что легко привести примеры функций f (x), для которых условие (3) не выполняется, но соотношение (4) имеет место, например, f (x) = | x |, x e [—1,1].

Ниже получены более содержательные достаточные условия, обеспечивающие соотношение (4). Для непрерывной на данном отрезке [a, b] функции f (x) через

an = an (f), bn = bn (f) (n = 1, 2, • ) обозначим пары точек из [a, Ь]с an < bn таких, что bn — an, убывая, стремится к нулю при n ® ¥, и выполняется равенство

\f (an) — f (bn )| = ((bn — an, f). Всюду ниже будем придерживаться также обозначений аn = аn (f) = an —(bn — an), ßn = ßn (f) = bn + (bn — an) (n = 1,2, • ).

Теорема 1. Пусть для непрерывной на данном отрезке [a, b] функции f (x) числа

an = an (f), bn = bn (f), an = an (f X ßn = ßn (f) обладают двумя свойствами:

1) существует число A > 0 такое, что bn+1 — an+1 > A (bn — an) (n = 1,2, • );

2) среди четырех последовательностей упорядоченных троек

(an, an, bn), (ßn, bn, an), (bn, an, «n), («n, bn, ßn) найдется такая последовательность

(xn , Уп , zn ), что

lim f (xnf (yn) < 1.(5)

n®¥ f (Уп ) — f (zn )

Тогда на отрезке [a, b] имеет место соотношение

(2 (d, f) •• w(d, f) (d ® 0) (6)

Доказательство. Из (5) следует существование номера П0 и положительного числа q < 1, для которых при всех n > n0 выполняется неравенство

f (xn f (Уп ) < q (7)

f (Уп ) — f k )"". (7)

Рассмотрим четыре возможных варианта значений (xn, yn, zn ) и докажем, что при n > П0 и dn = bn — an выполняется неравенство

((dп , f )< M(2 (dп , f) ,(8)

где M > 0 не зависит от n .

Заметим, что ниже при доказательстве неравенства (8) условие 1) из теоремы 1 не используется. 1) Пусть xn = ап , Уп = an, zn = bn и выполняется (7).

Если f (bn ) > f (an ), то приM = —1— из (7) получим:

1 — q

f (a„) — f (а „ )< MM—1 [f (b„) — f (a„)],

откуда /(Ьп)-/(ап)<М[/(Ьп) + /(ап)-2/(ап)]<Мщ(Ьп -ап,/),

и неравенство (8) выполняется с М =-.

1 - д

Если /(Ьп ) < /(ап ), то приМ =-аналогично из (7) получим (8).

1 - д

2) Пусть хп = Ьп, уп = Ьп, гп = ап ивыполняется (7). Тогда, обозначив М = , из (7) по

1 - д

аналогии с предыдущим случаем 1) получается (8).

3) Пусть хп = Ьп, Уп = ап, 2п = ап и выполняется (7).

Определим М в зависимости от знака произведения Р = [/(Ьп )- /(ап )]• [/(ап )- /(ап )], а именно, положим М = 1, если Р < 0, и М = д , если Р > 0.

1 - д

Тогда: если Р < 0 и при этом /(Ьп ) > /(ап ) и /(ап ) < /(ап ), то, очевидно,

о < /(Ьп) - /(ап) < /(Ьп) - / (ап) + /(ап) - /(ап) < «2 (5п, /);

если же / (Ьп ) < /(ап ) и /(ап ) > /(ап ) , то

о < / а)-/ (Ьп )< / (ая)-/ (Ья)+/ (ап)-/ (а п )< «2 (8„, /);

значит, в обоих этих случаях выполняется (8) с М = 1.

Если Р > 0 и при этом / (Ьп )> / (ап ) и / (ап )> / (ап ), то приМ = —— из (7) получим:

1- д

(М +1)[/ (Ьп) - / (ап)] < М [/ (ап) - / (ап)],

0 < / (Ьп) - / (ап) < М [2 / (ап) - / (Ьп) - / (а п)] < М« 2 (8я, /);

если же /(Ь ) < /(а ) и /(ап ) < /(ап ), то снова приМ = —д— из (7) аналогично получим:

1 - д

0 < / (ап) - / (Ьп) < М [/ (ап) + / (Ьп) - 2 / (ап)] < Мщ (8п, /),

из которого следует (8) с М =-.

1 - д

4) Пусть, наконец, хп = ап, уп = Ьп, zn = /Зп и выполняется (7). Тогда по аналогии с предыдущим случаем 3) получается неравенство (8), если коэффициент Мопределить в зависимости от знака произведения Q = [/(ап)- /(Ьп )]•[/(Ьп)- /(Ьп)] следующим образом:

М = 1, если Q < 0, и М , если Q > 0.

1 - д

Пусть теперь п > п0 и 8п+1 < 8 < 8п. Тогда в силу неравенств (1), (8) и монотонности

мо-

дулей непрерывности первого и второго порядков получим

«(8п+ь /)< М«2 (8п+1з /)< М«2 (8, /)< 2М«(8, /). При этом в силу условия 1) теоремы

имеем 8п+1 > А8п > А8, а значит, по свойствам модуля непрерывности

«(8п+1, / )> ЩА8, / )> ААТ «(8, /).

Следовательно, при всех 0 < 8 < 8п0 выполняются неравенства

-щАц «(8, /) < «2 (8, /) < 2® (8, /),

и требуемое соотношение (6) доказано.

В теореме 1 найдены условия на функцию, которые позволяют получить двусторонние оценки модуля гладкости этой функции через ее модуль непрерывности. Ранее нами показано

[5, с. 39-45], что подобные оценки вытекают также из некоторых «глобальных» характеристик функций, а именно, сингулярности функций.

Напомним [6], что функция f (х) называется сингулярной на данном отрезке, если она на этом отрезке отлична от постоянной, непрерывна, имеет ограниченную вариацию и почти всюду f'(х) = 0. В случае периодических сингулярных функций сингулярность должна выполняться на отрезках длины периода. Функция называется сингулярной канторовского типа, если ее спектр (т.е. множество всех ее точек роста) является совершенным нигде не плотным множеством лебеговой меры нуль.

Как показано в [5], для любой сингулярной на отрезке [0, l] функции f (х) канторовского

типа существует неограниченная сверху в правой окрестности нуля функция A(d) (d > 0) такая, что

w2 (d, f, [0, l]) > A(d)d (0 < d < l); (9) при этом для любой функции типа модуля непрерывности w(d ) со сколь угодно медленной

скоростью стремления 1 со(d)®+» (d ®+0) существует сингулярная на отрезке [0, l] функция

d

f (х), для которойпри B(d ) = 4 w(d ) имеем

С(d,f,[0, l])<2w(d,f,[0, l])<B(d)d ^0< d < 2w- [2]] . (10)

Ниже получена оценка снизу модуля гладкости для сингулярных функций произвольного спектра.

Теорема 2. Если функция f (х) определена на некотором промежутке I числовой оси и хотя бы на одном его подотрезке J монотонна и сингулярна, то существует последовательность dn ^ 0 (n ® да) такая, что С(dn,f,l)>Mdn, где M >0 не зависит отn (n = l, 2, • ).

Доказательство. Допустим, что для функции д(х) выполняется соотношение ®2 (d, f, I) = o(d) (d ® 0). Тогда сужение функции f(.х)на подотрезке J e I будет равномерно гладким. Для определенности пусть f(.Заявляется неубывающей на J. В силу леммы Лузина [7] о приближении непрерывных функций сингулярными функцию ^х)на J можно представить [8]

¥

в виде суммы равномерно сходящегося на J ряда f (х) = ^ fn (х), в котором каждая из функций

n=l

дп(х)(п = l, 2, является на отрезке Jсингулярной неубывающей функцией канторовского типа.

Т. к. функций ^(х^счетное множество, а производная каждой из них и функции f (х) равна

нулю почти всюду на отрезке J, найдется точка a внутри J, в которой fn(a) = 0 для всех n = l, 2, ..., а также f '(a) = 0. Поскольку функции дп(х)(п = l, 2, ...)являются неубывающими функциями канторовского типа, найдется также точка ß > a такая, что ß e J и f (х) f (ß)

lim ^ -^^ = +¥ (в качестве такой точки ß можно взять левый конец интервала посто-

х ® ß - 0 х - ß

янства функции f (х), относительно которого на числовой оси точка a расположена левее).

Тогда, т. к. функции f (х) и fn (х) (n = l, 2, • ) являются неубывающими на отрезке J, при х e J и х < ß получим:

f (х)- f (ß ) fn (х)-fn (ß ) > fl (х)- fl (ß )

х - ß n=l х - ß х - ß

lim f (х)-f (ß ) а значит, также lim ---= +¥.

х ® ß - 0 х - ß

Следовательно, для гладкой по допущению функции f (x) существуют точки a, ß е J та__f(x)_ f (ß )

кие, что a < ß, f '(a) = 0 и lim -= +¥ . Поэтому по D -свойству гладких функ-

x®ß_0 X_ß

ций [9] для любого положительного числа C должна существовать точка x0 е (a, ß) с f '(xo ) = C . С другой стороны, такая точка xo не может существовать.

Действительно, функции канторовского типа fn (x) (n = 1, 2, • ) не могут иметь конечные производные f'n(x), отличные от нуля, т. к. в противном случае они имели бы конечные симметрические производные, отличные от нуля, чего не может быть. Рассмотрим другие возможные варианты производных чисел функций fn (x) и покажем, что для них также приходим

к противоречию с существованием конечной f '(xo ) = C > 0 . В самом деле, рассмотрим равенство

f (x)_ f (xp ) = g fn (x)_ fn (xQ ) ,(11)

x _ x0 n=1 x _ x0

справедливое при x е J, x Ф xp; напомним, что функции f (x) и fn(x) (n = 1, 2, • ) - неубывающие на отрезке^

Если бы fn(xo )= 0 при всех n = 1, 2, • , то переходя в равенстве (11) к верхнему пределу, получили бы

lim f (x)_ f (xp ) lim fn (x)_ fn (xp ) .

x ® xp x _ xp n=1x ® xp x _ xp

В силу существования производных (по допущению) отсюда получим C £ 0, что противоречит неравенству C > 0.

Если же при некотором n = 1, 2, • выполняется неравенство

lim fn(x)_fn(xp)>c,(12)

x ® x0 x _ xp то из (11) для этого значенияnпри x е J и x Ф xp получим

f (x)_ f (xp) > fn(x)_ fn(xp) . x xp x xp

Переходя в этом неравенстве к верхнему пределу приx ® x0, придем к противоречию:

C > C.

Остается заметить, что для неубывающей функции канторовского типа fn (x) (n = 1, 2, • ) и точки x0 изJ, не принадлежащей интервалу постоянства функции fn (x) ,выполняется условие

lim fn (xo +h)_ fn (xo _h)=+да, h ®+o 2h

а поэтому одновременно два неравенства

limm fn(x)_fn(xq)£c, lim fn(x)_ fn(xq) <с

x®xq q x _ xq x ® x0 + 0 x _ x0

не могут выполняться, т.е. снова приходим к неравенству (12), которое приводит к противоречию. Теорема 2 доказана.

Заметим, что из легко проверяемого неравенства (1) вытекает: если на данном отрезке модуль непрерывности функции /(^удовлетворяет соотношению w(5, f )= O(d) (d ® 0), то ее модуль гладкости также удовлетворяет соотношению w2 (d, f) = O(d) (d ® 0).

Как доказал Зигмунд [9] и как следует из приведенного выше неравенства Маршо, если для непрерывной на данном отрезке функции /("^выполняется соотношение с2 (8, /) = О(8) (8 ® 0), то на этом отрезке с(8, /) = 0(81п 8) (5 ® 0).

Естественно возникает обратная задача: существует ли функция типа модуля непрерывности (С(8), для которойпри8 ® 0 имеем

с(8)®+¥ С8)

+¥, —® 0

8 ' 81п 8

и при этом на данном отрезке [а, Ь]из с(8, /) = 0(с(8)) (8 ® 0) всегда следует

с 2 (8, / ) = О (8 )(8 ® 0) ?

Отрицательный ответ на этот вопрос вытекает из (9) и из следующего утверждения, доказанного в [5]: для любой функции типа модуля непрерывности с(8) с®+» (8 ® 0) существует сингулярная функция канторовского типа /(х) на данном отрезке [а, Ь], для которой на этом отрезке с(8, /) = 0(с(8)) (8 ® 0).

Зная скорости стремления к нулю модулей непрерывности и гладкости данной функции /(х), с помощью теорем Джексона и Ахиезера об оценке наименьших полиномиальных уклонений функции через ее модули непрерывности и гладкости можно получить оценки сверху для наилучших полиномиальных приближений этой функции; причем, если функция /(х)является 2ж -периодической, то речь идет о приближении тригонометрическими полиномами; если же функция /(х)определена лишь на некотором отрезке, то речь идет о ее приближении алгебраическими полиномами.

Заметим, что приведенные выше результаты и результаты из [5] легко распространяются на периодические функции.

Как доказал Зигмунд [9], если функция/(х)является 2ж -периодической непрерывной и

Еп (/ ) = М|шах| /(х) - Рп (х) |: Рп е Рит }

(здесь инфимум распространяется на множество Р^г всех тригонометрических полиномов порядка не выше п = 0, 1, 2, • ) ее наилучшие приближения тригонометрическими полиномами, то имеют место следующие эквивалентности:

1) Еп(/) = Ор-] (п ®х)«. (2(8,/) = 0(8) (8 ® 0),

V п 0 -

2) Еп (/) = (п (2 (8,/) = 0(8) (8 ® 0). Отсюда из (9) и теоремы 2 вытекает:

1) ни для одной 2р -периодической сингулярной функции канторовского типа /(х)не может выполняться соотношение

Еп (/) = о( 10 (п ®¥);

2) ни для одной 2р -периодической сингулярной функции /(х)(включая и строго монотонные функции) не может выполняться соотношение

Еп(/) = (п ®¥).

При этом, как следует из (10) и первой теоремы Джексона о полиномиальных приближениях, для любой числовой последовательности Вп, стремящейся к + ¥ сколь угодно медленно, существует сингулярная функция/(х), для которой выполняется соотношение

Еп(/) = ок1] (п®¥).

Литература

1. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. -М.: Наука, 1977.

2. Тригуб Р.М. Приближение функций с данным модулем гладкости на внешности отрезка и полуоси // ДАН СССР. 1960. Т.132, №2.

3. Галан В.Д., Галан Д.М. О степенях гладкости, модулях непрерывности и классификации непрерывных функций // Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1987. Т.180, №3.

4. Nessel R.J., Van Wickeren E. Some negative results in connection with Marchaud-type inequalities // Inter. SeriesofNumericalMath. BrikhauserVerlagBasel. 1984. V. 71.

5. Рамазанов А.-Р.К., Магомедова В.Г., Ибрагимова Б.М. Оценки модулей непрерывности первого и второго порядков для сингулярных функций // Вестник ДГУ. 2011. Вып. 1.

6. Сакс С. Теория интеграла. - М.: ИЛ, 1973.

7. Лузин Н.Н. Интеграл и тригонометрический ряд. - М.: Гостехиздат, 1951.

8. Кац И. С. К вопросу о структуре сингулярных функций ограниченной вариации // УМН. 1953. Т.8. Вып. 5.

9. Зигмунд А. Тригонометрические ряды.- М.: Наука, 1965.Т.1.

Поступила в редакцию 29 августа 2011 г.