РАЦИОНАЛЬНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ С ИНТЕРПОЛЯЦИЕЙ НА РАВНОМЕРНЫХ СЕТКАХ УЗЛОВ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.5

А.-Р.К. Рамазанов, В.Г. Магомедова, Б.М. Ибрагимова

Рациональная аппроксимация непрерывных функций с интерполяцией на равномерных сетках узлов

Дагестанский государственный университет; [email protected]

Построены рациональные операторы для аппроксимации непрерывных на отрезке функций с интерполяцией на равномерных сетках и дана оценка скорости их сходимости через модуль гладкости для произвольной непрерывной на отрезке функции, а также получена оценка такой скорости для сингулярной функции Кантора.

Ключевые слова: аппроксимация с интерполяцией, рациональные функции, модули непрерывности и гладкости.

We construct rational operators for the approximation of continuous functions on the interval with interpolation on equidistant points and the degree of approximation for arbitrary continuous function on the segment respect to the module of smoothness is obtained, as well as the estimate for Cantor singular function is obtained.

Keywords: approximation with interpolation, rational functions, modules of continuity and smoothness.

Как следует из теоремы Чебышева об альтернансе (см., напр., [1, с. 66]), последовательность рациональных функций наилучшего равномерного приближения непрерывной на данном отрезке функции является для нее последовательностью интерполяционных рациональных функций. Другими словами, если rn(x) - рациональная функция степени не выше n (n=0, 1, 2,* ) наилучшего равномерного приближения данной непрерывной на некотором отрезке [a, b] функцииf(x), то существует треугольная таблица узлов x(n),x-2nx^+x (n = 0,1,2,...)

такая, что при k = 1,2,..., 2 n + 1 имеем rn {x[n ) )= f (x(n ) ) ( n = 0,1,2,...) .

Однако вопрос об отыскании для каждой непрерывной на данном отрезке функции ее таблицы рациональной интерполяции, обеспечивающей наилучшее равномерное приближение этой функции, является чрезвычайно сложным и нерешенным.

Аналогично обстоит дело в случае наилучших приближений непрерывных функций полиномами. Более того, как показал Г. Фабер (см., напр., [2, с. 121]), не существует универсальной таблицы узлов, обеспечивающей равномерную сходимость интерполяционных полиномов каждой непрерывной функции по этой таблице к самой функции.

Поэтому представляет интерес вопрос сходимости интерполяционных процессов для различных систем узлов, в частности, для простой по структуре треугольной таблицы, составленной из равномерных сеток узлов.

С.Н. Бернштейн показал (см. [3, с. 525]), что даже для функции | x | ее интерполяционные полиномы по равномерным сеткам узлов отрезка [—1,1] расходятся во всех точках этого отрезка, кроме точек — 1, 0,1.

Иначе обстоит дело в случае рациональных интерполяций. В [4] с использованием интерполяционных цепных дробей найдены оценки с точными константами скорости сходимости интерполяционных рациональных дробей к функции | x | на отрезке [—1,1] для равноотстоящих

узлов. Так, для произвольной последовательности неотрицательных чисел b0,b^..., bn ,... построена цепная дробь, подходящая дробь R 2 ( x ; B ) порядка 2n ( n = 1, 2 , * ), которая представляет собой четную рациональную функцию степени < 2n, интерполирующую функцию | x | на множестве Bn = {±b0,±b1,..,±b2n}.

( л к

В частности, установлено, что если Ап = {ао, ± Щ, ± а2,...,±а2п} с ак =_

2п

(к = 0,1,* ,2п), то для всех натуральных п, начиная с некоторого п0, выполняется неравенство

ехр(-^ < шах||х|-^2п(х;Ап)| о еХр(-1)

2п 1п(2п +1) -1<х<1 п ' 2п 1п(2п +1)'

где t - решение уравнения ехр( [)(/ -1) = 1.

Эффективному использованию нулей синус- и косинус-дробей в качестве систем узлов для рациональной аппроксимации и интерполяции функций посвящен ряд работ В.Н. Русака, Е.А. Ровбы и их учеников (см., напр., [5-7]).

Естественно, возникает задача о рациональной интерполяции непрерывных на данном отрезке функций для «явных сеток узлов», в частности, для равномерных сеток узлов.

Ниже исследована некоторая модификация этой задачи. А именно: для произвольной не-

прерывной на отрезке [0,1] функции f (x) и таблицы равноотстоящих узлов x(n) = —

k

k

n

(k = 0,1,• , n; n = 1,2,...) построена равномерно сходящаяся на [0,1] к функции

f (X) последовательность рациональных функций Rn (x; f) (deg Rn ~ n )с

Rn (xkn); f )= f (xkn)) ( k = 0,1, • , n ) и получена оценка скорости сходимости этой последовательности. Это утверждение непосредственно вытекает из доказанной ниже теоремы 1 -аналога одной леммы И. Марцинкевича (см., напр., [3, с. 528]) о полиномиальной аппроксимации непрерывной на отрезке функции с интерполяцией (без согласования степени аппроксимирующего полинома с числом узлов интерполяции).

Отдельно получена оценка скорости сходимости рациональных функций Rn (x;s) к сингулярной функции Кантора s (x). Зная поведение модуля гладкости ¿^(5 ,S), некоторую оценку этой скорости можно легко получить из общей теоремы 1. Но отдельное исследование вопроса для индивидуальной функции s (x) позволило учесть особенности ее структуры и существенно уточнить оценку скорости сходимости за счет уменьшения степени рациональных дробей Rn (x;s ).

Наилучшие приближения сингулярных функций посредством рациональных дробей изучены А.А. Пекарским ([8]).

Приводимые ниже результаты для краткости получены для функций, определенных на отрезке [0,1] с использованием свойств их модулей непрерывности, и легко распространяются с

помощью линейной замены аргумента на произвольный отрезок [a, b]. Напомним, что для непрерывной на отрезке [a,b] функции f (x) модуль непрерывности (первого порядка) определяется при 5 > 0 равенством

w(5, f) = sup{| f (x + h) - f (x) |: 0 < h < 5; x,x + h e [a,b]}, а модуль гладкости (модуль непрерывности второго порядка) - равенством

w2 (5, f) = sup{ f (x + 2h) - 2 f (x + h) + f (x) |:0 < h <5; x, x + 2h e [a, b]}.

Как видно из доказательства, в следующем утверждении фактически речь идет о некоторых рациональных операторах над пространством непрерывных функций С[0,1]. В этих операторах степень рациональной дроби не полностью определяется числом узлов интерполяции, оставляя часть свободных коэффициентов этой дроби для усиления ее аппроксимативных свойств.

Теорема 1. Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [0,1], f (x) = f (0) при x < 0 и пусть w2(5, f) - модуль гладкости f (x) на отрезке [-1,1]. Тогда при любом целом n > 2 для

k

системы равноотстоящих узлов xk = — (k = 0,1, • , n) на отрезке [0,1] существует рацио-

n

нальная функция Щп (х) = Щп (х; /) степени не выше п(п + 41п2 п + 2) такая, что Щп (хк ) = / (хк ) (к = 0,1,..., п ) и при всех х е [0,1] выполняется неравенство

\/(х) -Я„(х)| < 57^2^ 1, /^.

Доказательство теоремы 1. Для данных натуральных п и т пусть множество В состоит из следующих точек:

Ь0 = 0, ±Ък = ±к (к = 1,2,...,п- 1) ±ъп+к = ±ехрГ—к= 1 (к = 0,1,...,т-1).

п ^ у/т 0

Тогда рациональная функция

п+т-1 п+т-1

П (Ък+х) - П (Ък- х) (1)

щх- В) = х к=1_—_

v ' ' п+т-1 п+т-1

П (Ък + х) + П (Ък - х) к=1 к=1

степени < п + т четная и интерполирует функцию | х |, в частности, в точках ±Ък (к = 0,1,... п ).

В силу четности функции | х | -щ(х; В) имеем тах 11 х | -Щ(х; В)| = тах| х - Щ(х; В)|, а

-1<х<1 0<х<1

поэтому достаточно оценить правую часть этого равенства. Если обозначить

и-1 Ъ - х т-1 Ъ - х

Ж х) = П Ък-х. Рг( х) =П . (2)

к=1 Ък + х к=0 Ъп+к + х

то при 0 < х < 1 из (1) получим -щ(х. В) = 2хР1(х)р2(х) , отсюда I -щ( В) < 2х | Р2(х) |

1 ' } 1 + Рх{х)Р2{х) 1 1 ' ;|"1-|Р2(х)|-

По лемме 2 Ньюмана ([9]) при ехр(-л/т)< х < 1 и т > 4 имеем | Р2(х) |< ехр(-л/т), а значит |х - Щ(х; В) < 3 ехр(- 4т).

Положим т = [41п2 п] +1 при п > 2. Тогда т > 4 и ясно, что Ък > ехр(- 4~т) при к = 1,2,..., п + т -1. Поэтому при 0 < х < ехр(- 4т ) и п > 2 получим

0 < Щ (х; В) < х < ехр(-л/от ) • Следовательно, при -1 < х < 1 и п > 2 имеем

11 х | -Щ(х;В) < 3 ехр(- 4^) = 3 ехр(-д/[41п2 п] +1 )< -3. (3)

п

Из (1) ясно, что рациональная функция г (х. в) =1 щ( х- В) +1 х

' 2 ' 2

имеет степень < п + т +1 и интерполирует функцию . (х) =11 х | +1 х

2 2

во всех точках = ±Ък (к = 0,1,..., п), что следует из равенств

г ^; В) = 2 Щк; В) +1 tk = -2-1 | + 2 tk = ). При этом в каждой точке х е [-1,1] выполняется равенство

|.(х)-г(х;В)| Л||х|-Щ(х,В)|. (4)

Фиксируем теперь натуральное п > 2 и возьмем на отрезке [0,1] равномерную сетку узлов

х^ = к (к = 0,1, * , п). По этим узлам и заданной непрерывной на [0,1] функции f (х) постро-кп

им ломаную Ьп(х; f) с вершинами (хк, f (хк)) (к = 0,1, * , п), которая, как хорошо известно ([2]), задается уравнением

п-1

Ьп (х; /) = / (Хо) + X ск'(х - хк)'

к=0

а коэффициенты ск определяются из равенств:

I-1

К (Х1; /) = /(Хо) +1 Ск (Х, - хк ) = /(х,) ( , = 1' 2 п )-

к=0

Если для краткости обозначить Ук = /(Хк) (к = 0,1,* , п), то легко последовательно найти все ск • Имеем

Со = = п(У -Уо);

Х1 - Хо

Ск = ^^^-= п(Ук+1 -2Ук + Ук) (к = 1,2,* , п - 1). Хк ±1 - Хк Хк - Хк-1 Значит, если учесть, что /(х) = /(Хо ) = /(0) при Х £ 0, то получим

(1 1

| ск |£ п С0211, /I (к = 0,1, • , п - 1). (5)

V п 0

Рассмотрим теперь рациональную функцию

п-1

К(Х) = / (Х0) + X скг (Х - Хк;В)•

к=0

2 , Ее степень £ п(п + т +1) £ п(п + 41п2 п + 2). При этом для каждого узла Х. =_

1 п

(1 = 0,1, * , п ) равномерной сетки имеем

п-1 п-1

Яп(Х1) = /(Х0) + X скг(Х1 - Хк;В) = /(Х0) + X ск'(Х - Хк) =

к=0 к=0

1-1

= / (Х0) + X Ск (Х1 - Хк ) = / (Х) •

к=0

Остается оценить |/(Х) - Яп (х)| при х е [0,1], для чего воспользуемся неравенством

\/(Х) - Яп (х)| £ |/(х) - Ьп (х; /)| + \1п (х; /) - Яп (х)|. (6)

Если теперь х е [Х,^,х,] (1 = 1,2,...,п), то Ьп(х;/) линейна и интерполирует функцию /(х) в точках х,- и х,. Поэтому по результатам Уитни ([10]) при х е [х,-1, х, ] выполняется неравенство

I/(х) - Ьп (х; /)| £ 55« Г1, /1. (7)

Из соотношений (3-5) при п > 2 получим

\Ьп (х; /) - Яп (х)| £XlСkl|•( х - Хк) - г( х - Хк; В)| £ п • псг [ I, /) | Л = | «2 ({, / ]. Этим с учетом (7) и (6) завершается доказательство теоремы 1.

Следующее утверждение показывает, что степень рациональной функции Яп (х) = Яп (Х; /) может быть уменьшена за счет учета структурных особенностей функций в случае приближения индивидуальных функций / (х). В нем рассматривается сингулярная функция Кантора

С (х), с конструкцией которой можно ознакомиться, напр., в [11].

Т. к. легко показать, что «(5 с) = 0(да) (при а = и 8 ® 0) и «2(8,С) = С(8,С)

' _ 1п3

при 8 = 3 п (п = 1,2,...), то некоторую оценку величины С(х) -Яп(х;С)| (Х е [0,1]) можно получить из теоремы 1.

Теорема 2. Для матрицы равноотстоящих узлов вида укп) = к (к = 01 3п' п = 12 ) и

к 3п

сингулярной функции Кантора О (х) существует последовательность рациональных функций

0п(х) с аевдп < (2п+1 - 1)(3п + 2), ап(хкп))= О(хкп)) (к = 0,1,...,3п; п = 1,2,...) и

О (х) - ап (х) < (х е [0,1]).

Доказательство теоремы 2. При фиксированном п = 1,2,... возьмем на отрезке [0,1] равноотстоящие узлы хк = к (к = 01 3п) и по ним построим ломаную £ (х о) с вершинами

к 3п

(хк, Ук ) при у = О (хк ) (к = 0,1,...,3п). Тогда, как и выше, получим

3п-1 ! !

£п (х; О ) =Х Ск' (х - хк ), где ' (х) = 2|х|+ 2 х, с0 =

к = 0 2 2 х1 - х0

Ск = Ук+1 - Ук - Ук - Ук-1 (к = 1,2,...,3п -1). хк+1 - хк хк - хк-1 По структуре функции о(х) при каждом к = 1,2,...,3п -1 в силу выбора узлов хк из любых двух соседних приращений функции Ук+1 - Ук и Ук - Ук-1 хотя бы одно равно нулю, причем каждый из отличных от нуля коэффициентов Ск, очевидно, принимает одно из двух значений

' 3 Г и _( 3

2

2

Равные нулю коэффициенты Ск соответствуют узлам хк , расположенным на подотрезках постоянства функции о (х) . В данном случае число этих коэффициентов соответственно равно: 3п-1 -1 для узлов хк с отрезка длины 2(3п-2 -1) для узлов хк с двух отрезков длины

3

2п-2(31 -1) для узлов хк с 2п-2 , . , 32 3п-

2; 2п 2(31 -1) для узлов хк с 2п 2 отрезков длины _1__Значит, число нулевых коэф-

32 3п-1

фициентов Ск равно ^^к_1(3п-к _ 1) = 3п _ 2п+1 +1, а поэтому число отличных от нуля коэффи-

к=1

циентов ск равно 3п - (3п - 2п+1 +1) = 2п+1 -1.

Пусть теперь множество В для N = 3п и натурального т состоит из точек

Ъ0 = 0, ±Ък =±к (к = 1,2,..., N - 1 ), 0 к N

' к Л

± ^+к =± ехр

(к = 0,1,..., т - 1 ).

V у/т0

Как и при доказательстве теоремы 1, для этих точек составим рациональную функцию Щ(х; В) по формуле (1). Ее степень < N + т, она четная и интерполирует функцию | х | в равностоящих точках ± Ък (к = 0,1,..., N).

Аналогично теореме 1 показываем, что при ехр(- л/т) < х < 1 и т > 4 выполняется неравенство

|х - Щ(х; В) < 3 ехр(- 4т).

Если выбрать т = [(п 1п6 + 1п)3 ]+1, то при п > 1 (очевидно, тогда т > 4) и к = 1,2,..., N + т -1 получим Ьк > ехр(- 4т ), а значит, при 0 £ х £ ехр(- 4т) и П > 1 выполняются неравенства 0 £ Я(х; В) £ х £ ехр(-л/т). Следовательно, при | х |£ 1 и п > 1 получим

11 х | -Я(х; В) £ 3 ехр(- 4т ) < 3 ехр(-(п 1п6 + 1п3)) = 6-п. (8)

Как и в теореме 1, рациональная функция г(х. в) = 2 х- в) + 2 х степени £ N + т +1 будет интерполировать функцию .(х) = .11 х | +1 х в равноотстоящих точках ± Ьк (к = 0,1,..., N),

2 2

причем при | х |£ 1 выполняется равенство

|-(х) - Г (х; В )| = !Цх|- Л( х; В). (9)

По этой рациональной функции г(х;В) и системе коэффициентов ск (к = 0,1,...,3п -1) со, N-1 ставим рациональную функцию <2п (х) = <2п (х;СТ) =£ скг (х - хк; В), степень которой

к=0

< (2п+1 - 1)(3п + 2) < 4 • 6п. Она, как легко проверить, интерполирует сингулярную функцию

Кантора о(х) в точках х. = к (к = 0,1,...,3п).

к 3п

Если теперь х е [0,1], то по аналогии с доказательством теоремы 1 из (8) и (9) с учетом равных нулю коэффициентов ск получим

\о (х) - в (х)|£ о (х) - 8„ (х;о)| + (х;о) - а (х)|£ ,о) + (2"+1 -10] • 2 • ^ = ^ + (1 - ^ ^ < ^Т • Теорема 2 доказана.

Литература

1. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. - М.: Наука, 1965.

2. Гончаров В.Л. Теория интерполирования и приближения функций. - М.: ГИТТЛ, 1954.

3. Натансон И.П. Конструктивная теория функций. - М.-Л., 1949.

4. Рагимханова Г.С., Рамазанов А.-Р.К. Интерполяционная цепная дробь и две экстремальные задачи о рациональных приближениях | x | // Изв. вузов. Математика. - 2007. - Т. 537, № 2. - С. 35-45.

5. Русак В.Н. Рациональные функции как аппарат приближения. - Минск: БГУ, 1979.

6. Ровба Е.А. Интерполяция и ряды Фурье в рациональной аппроксимации. - Гродно: ГрГУ, 2001.

7. Ровба Е.А., Смотрицкий К.А. Рациональное интерполирование в нулях синус-дробей Чебышева-Маркова // Докл. НАН Беларуси. - 2008. - Т. 52, № 5. - С. 11-15.

8. Пекарский А.А. Рациональная аппроксимация сингулярных функций // Весщ АН БССР. Сер. ф1з.-мат. навук. - 1979. - № 3. - С. 32-40.

9. Newman D.J. Rational approximation to | x | // Mich. Math. Journ. - 1964. - V. 11, № 1. -P. 11-14.

10. Whithey H. On functions with bounded n-th differences // J. math. pures et appl. - 1957. -V. 36, № 9. - P. 67-95.

11. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. - М.: Наука, 1974.

Поступила в редакцию 2 декабря 2011 г.