CC BY
16Рамазанов А.-Р.К., Магомедова В.Г. Рациональные сплайн-функции двух переменных
УДК 517.51
DOI: 10.21779/2542-0321-2020-35-2-43-52 А.-Р.К. Рамазанов1’2, В.Г. Магомедова1
Рациональные сплайн-функции двух переменных
1 Дагестанский государственный университет; Россия, 367000, г. Махачкала,
ул. М. Гаджиева, 43а;
2Дагестанский федеральный исследовательский центр РАН; Россия, 367000,
г. Махачкала, ул. М. Гаджиева, 45; [email protected]
Рассмотрены вопросы интерполяции функций многих переменных посредством рациональных сплайн-функций.
Для функции двух переменных fx,y), заданной на произвольной прямоугольной сетке узлов ANM = {(x у)| a = x0 < x1<. <xN = b, c = y0 < у1<...<ум = d}, из некоторого прямоугольника Q = [a ,b]x[c, d] построена сплайн-функция RN?M?1(x, y, f) на базе трехточечных рациональных интер-полянтов, которая интерполирует функцию fix, у) в узлах сетки AN,M .
Построенная интерполяционная рациональная сплайн-функция RNM1(x, у, f двух переменных x и у является непрерывно дифференцируемой на прямоугольнике Q.
Если функция f(x, у) непрерывна на данном прямоугольнике Q, то для любой системы прямоугольных сеток узлов ANM, диаметры которых стремятся к нулю с ростом M и N, соответствующая последовательность рациональных сплайн-функций RNM1(x, у, f) сходится к самой функции f(x, у) равномерно на прямоугольнике Q.
Получена оценка скорости равномерной сходимости сплайн-функций RN?M?1(x, у, f к функции fix, у) через ее модуль непрерывности на прямоугольнике Q.
Ключевые слова: рациональные сплайн-функции, интерполяционные сплайны, сплайны двух переменных.
Введение
Речь идет о восстановлении функции f (x, у) двух переменных по заданным ее значениям в дискретных точках некоторой плоской области Q с помощью интерполяции посредством некоторой простой по структуре гладкой функции, а также об оценке возможной при этом погрешности аппроксимации в том случае, когда известны определенные структурные свойства функции f (x, у) во всей области Q .
Хорошо известно [1-4], что в случае функций одной переменной в качестве интерпо-лянтов можно брать полиномы или различные сплайн-функции, которые однозначно определяются заданной таблицей дискретных значений функции, когда число узлов интерполяции совпадает с числом неопределенных коэффициентов интерполянта. В случае же функций многих переменных возникают определенные проблемы даже в вопросах существования интерполяционных полиномов или сплайн-функций.
Существование полиномиальных сплайн-функций одного вида, интерполирующих данную функцию f (x, у) на прямоугольной сетке узлов, было доказано де Бором [5].
Вопросы дальнейшего развития теории интерполирования посредством полиномиальных сплайн-функций многих переменных можно найти, напр., в [2-7] и цитированных в них источниках. В частности, доказано, что даже в случае непрерывных на отрезке функций од-
Вестник Дагестанского государственного университета
Серия 1. Естественные науки. 2020. Том 35. Вып. 2
43
Рамазанов А.-Р.К., Магомедова В.Г. Рациональные сплайн-функции двух переменных
ной переменной интерполяционные процессы посредством полиномиальных сплайнов на произвольных сетках узлов могут расходиться.
В случае функций одной переменной рассматривались также вопросы интерполяции посредством рациональных сплайн-функций различных видов [8-13]. В работах [10-11] доказано, что для любой непрерывной на данном отрезке функции одной переменной интерполяционный процесс посредством сплайн-функций по трехточечным рациональным интерпо-лянтам в случае произвольных сеток узлов со стремящимися к нулю диаметрами равномерно сходится.
Ниже вопрос интерполирования посредством рациональных сплайн-функций рассматривается в случае функций многих переменных.
В § 1 доказано, что в случае функции f (x, y), заданной на произвольной прямоугольной сетке узлов из данного прямоугольника Q, существует гладкая на этом прямоугольнике рациональная сплайн-функция, интерполирующая функцию f ( x, y) на такой сетке узлов.
В § 2 получена оценка аппроксимации непрерывной на прямоугольнике Q функции f ( x , y ) посредством интерполяционных рациональных сплайн-функций, построенных в § 1. Из этой оценки, в частности, вытекает, что для произвольной непрерывной на прямоугольнике Q функции f (x, y) последовательность таких сплайн-функций в случае произвольных прямоугольных сеток узлов со стремящимися к нулю диаметрами сходится к функции f ( x , y ) равномерно на этом прямоугольнике.
ui =
§ 1. Построение рациональных сплайн-функций двух переменных
Пусть на прямоугольнике Q = [a, b ] х [c, d ] выбрана произвольная прямоугольная сетка узлов с координатами a = x0 < x1 < ... < xN = b (N > 2), c = y0 < y1 < ... < yM = d
(M > 2).
По этим координатам и произвольным параметрам Л > 0 и ц > 0 выберем два набора полюсов U = { u2,..., uN_j} и V = {vj, v2,..., vM _j}, таких, что для i = 1,2,..., N _ 1 и j = 1,2,..., M — 1 соответственно имеем
xi +1 + Л(xi +1 _ xi) при xi +1 _ xi < xi _ xi_ь xi _1 _ Л(xi _ xi _1) при xi+1 _ xi > xi _ xi _^
yj+1 + ц(yj+1 _ yj) при yj+1 _ yj < yj _ yj—^
yj_1 _ ц(yj _ yj_1) при yj+1 _ yj > yj _ yj_1.
Будем считать, что данная функция f (x, y) в узлах сетки (xi, yj)
(i = 0,1,..., N; j = 0,1,..., M ) принимает некоторые конечные значения f (xi,yj).
Для построения сплайн-функции применим метод частичных сплайнов (ср., напр., с [2]).
Для этого рассмотрим функции f (y) = f (xt,y) (i = 0,1,..., N ), каждая из которых
определена на сетке c = y0 < y1 <... < yM = d, и по каждой тройке узлов yj_1 < yj < yj+1 и
полюсу Vj £ [yj_ 1,yj+1] ( j = 1,2,..., M _ 1) построим рациональную функцию
Qj(y, f ) = Vj + fij(y _yj) + /j~, (11)
y vj
v,.
44
Вестник Дагестанского государственного университета
Серия 1. Естественные науки. 2020. Том 35. Вып. 2
Рамазанов А.-Р.К., Магомедова В.Г. Рациональные сплайн-функции двух переменных
такую, что значения коэффициентов ОС j,Д,уj однозначно определяются условиями
Qj (Ук, f) = ft (Ук) = f(xi, Ук) (к = j -1 Jj j + !)•
Положим также Q 0( У , ft ) = Q 1( У , ft ) и Q M ( y , ft ) = Qm - y , ft )•
Для каждого t = 0,1,...,N на основе рациональных функций (1.1) построим сплайнфункцию RM,1(y, f) = RM,1(y, f ,[c,d],V), такую, что при У е [yj-^yj]
( J = 1,2,..., M ) выполняется равенство
rm ,1( У, f) =
У yj-1 -Qj(у,f)^yL-^Qj-1(y,ft).
(1.2)
yj - yj -1 yj - yj -1
По аналогии с [10] доказываем, что Rm 1(y, f) (t = 0,1,..., N ) является непрерывно дифференцируемой функцией на отрезке [c,d ].
Фиксируем теперь любое ye[c,d] и по значениям RM 1(y, f) (t = 0,1,..., N ), используя тройки узлов xt-1 < xt < xt +1 и полюсы ut £ [xt-1, xt+1] (t = 1,2,..., N - 1 ), построим ин-терполянты вида
1
(1.3)
р (Х y) = ц (y)+Д (y)(x - х) + ft (y)-
х - и
такие, что
Pi(Хт, У) = RM,1(У, fm ) (m = t - 1 ^ г + 1). (1.4)
Будем считать такЖе, что P0 (х, У) = р (х, У) и Pn (х, У ) = Pn-1 (Х, У).
Из (1.3) и (1.4) находим, что для любого у е [c,d] при i = 1,2,..., N - 1 для коэффициентов рационального относительно х интерполянта рt (х, y) выполняются равенства
(х-1 - ut)(х+1 - ut)
Ц (У) = RM ,1( ^ f)
1 -
(х - х-1)(х - х+1)
R (г ч (х-1- и )(х+1- и) R (Г л(хг -1- и )(х+1- и) RM,1(y,St-iK ^ ч RM,1(y,Jt+i)'
(x -1- х )(х-1- х +1)
(х+1- х-1)(х+1- х)
Д ( у)=rm ,1( y, у;-1)
х -1- и
(х -1- х )(х -1- х+1)
+RM ,1( ^ f)
ft(У) =
х - ut
(х - х-1)(х - х+1)
RM ,1( y, ft-1)
+ RM ,1( y, Уг+О'
х+1- и
(х+1- х-1)(х+1- х X
RM ,1( У, f)
(х;-1 - х; )(х;-1 - х;+1 ) (х; - х;-1)(х; - х;+1) RM ,1(y, fi+1)
(х;+1 - х;-1)( х+1 - хг)
(х-1 - иг)(хг - иг)(хг+1 - иг).
Вестник Дагестанского государственного университета
Серия 1. Естественные науки. 2020. Том 35. Вып. 2
45
Рамазанов А.-Р.К., Магомедова В.Г. Рациональные сплайн-функции двух переменных
После того как интерполянты р. (x, y) (j = 0,1,..., N ) найдены, на прямоугольнике Q = [ a, b ] x [ c, d ] определим сплайн-функцию двух переменных
Rnm,i(x,У) = Rnm,i(x,У, f,QU,V), такую, что для каждого i = 1,2,..., N при (x, y ) e [xi_i, xi ] x [c, d] выполняется равенство
RMM ,i( x, y) = x-x^_L P (x, y)PP_i(x, y).
xi _ xi_1
xi _ xi _1
(1.5)
Ясно, что на каждом частичном прямоугольнике Q. j = [x._ -b xi] x [ yj _l, yj]
(i = 1,2,...,N; j = 1,2,...,M) функция Rnm1(x,y) представляет собой рациональную функцию переменных x и y .
Покажем, что сплайн-функция Rnm1(x, y) имеет непрерывные частные производные
на прямоугольнике Q = [ a, b ] x [ c, d ].
Существование непрерывных частных производных первого порядка от функции Rn M 1 (x, y) во внутренних точках прямоугольников вида [ x. _ 1, x. ] x [ c, d ]
(i = 1,2,..., N ) непосредственно вытекает из (1.5) и из приведенных выше явных выражений коэффициентов а. (y), р. (y) и у.(y) рационального относительно переменной x интерпо-лянта р, (x, y), в которых Rm 1(y, fk) (k = i—1,i,i+1) представляют собой непрерывно дифференцируемые на отрезке [c, d ] функции. Поэтому рассмотрим точки отрезков вида
{(xi, y^c ^ y ^ d}.
В принятых выше обозначениях для краткости положим
8 = шт|иг- — xi _ 1, |u — xi+1: i = 1,2,..., N — 1}
и заметим, что функция, определяемая равенством
4 (x y) =
x — x
i—1
xi xi—1
v. — x
P (x, y)+——---------Pi—l(x, У),
xi xi—1
(1.6)
правая часть которого совпадает с правой частью равенства (1.5), фактически имеет непрерывные частные производные первого порядка во всех точках множества Fi = (xi—1 —8, xi +8) x [c,d] (i = 1,2,..., N).
С использованием равенства (1.6) для значений i и i +1 легко найти выражения частных производных от функции At (x, y) при (x, y) e fi и от функции At +1(x, y) при (x, y) e Fi+1, из которых для y e[c,d] получим равенства d4(xi, y) _dPi(xi, y) = SAj+1( xi, y) dAj (Xj, y) = dp (xt, y) = dAt+1( xt, y)
dx
(1.7)
dx dx dy dy dy
При этом отрезок {(x. , y)| c < y < d} включается в пересечение Ft о Ft+1, сплайнфункция Rnm 1 (x,y) совпадает с функцией A.(x,y) на множестве [x.—1, x.] x [c,d ] и с функцией A, +1 (x, y) на множестве [x., x. +1 ] x [c, d ]. Отсюда и из равенств (1.7) имеем, что при y e [c, d] выполняются равенства
dRN, M ,1( xi,y ) = dPi(xi, y) d Rn , M ,1( xi, y ) = d Pj ( xt, y )
dx dx ’ dy dy
(1.8)
46
Вестник Дагестанского государственного университета
Серия 1. Естественные науки. 2020. Том 35. Вып. 2
Рамазанов А.-Р.К., Магомедова В.Г. Рациональные сплайн-функции двух переменных
Используя равенства (1.7), (1.8) и непрерывность частных производных от функций А, (х, у) и A, +1( х, у) на множестве f. n f,+1, получим непрерывность частных производных от сплайн-функции RN м i(X, у) в точках отрезков вида {(х,, у) С < у < d} .
Следовательно, с учетом P0(x,у) = P1(х,у) и PN (х, у) = PN_1(х, у) получим, что сплайн-функция RN M 1 (х, у) имеет непрерывные частные производные первого порядка на прямоугольнике Q = [a, b ] х [c, d ].
§ 2. Аппроксимационные свойства рациональных сплайн-функций двух
переменных
Рассмотрим вопрос оценки скорости сходимости в равномерной метрике сплайнфункций RN M 1(х,у) = RN M 1(х,у, f,Q,U,V) в случае непрерывных на данном прямоугольнике Q = [a,b ] х [c, d] функций f (х,у).
Оценку получим через обычный равномерный модуль непрерывности, который определяется равенством
f) = supjf у1)_ f (x2,у2^: |х1 _х2 < ^ |у _у2\ < Уl),(x2,у2) е Q}.
Пусть, как и выше, сплайн-функция RN M 1(х, у) = RN M 1(х, у, f, Q,U, V) определена через значения функции f (х., Уj) в узлах прямоугольной сетки
a = х0 < х1 < ... < xN = b (N > 2), c = у0 < у1 < ... < уу- = d (M > 2) и наборы полюсов U = {м1, и2,..., uN_1} и V = {v1, v2,..., vM_1} выбраны для произвольных параметров Л> 0 и
F > 0 .
В этих обозначениях имеет место
Теорема. Если функция f (х,у) непрерывна на прямоугольнике Q = [a,b] х [c,d], то при всех (х, у ) е Q выполняется неравенство
\RnM ,1(х, у) _ f (х, у) < 2(1 + max{ 1, /л}^! + 4max{ 1, Д})®(h1, h2, f), где h1 = max {xt _ x,_J i = 1,2,..., N }, h2 = max {y} _ y}_^ j = 1,2,..., M }.
Доказательство. Действительно, если точка (х, у) eQ, то эта точка (у) eQi, j =[ х,- _l, х,-] х [ Уj _1,Уj] при некоторых i = 1,2,..., N и j = 1,2,..., M . Поэтому из (1.5) получим
у)=-х^х_- [p?(x,y) _ f(x,y)]+^XL-J^ ^а^у) _Лх,у)\ (21)
х _ х 1 х _ х 1
I l_1 I 1_1
Чтобы оценить здесь правую часть равенства, предварительно выразим Pt (х, у ) в явном виде через значения функции f(х, у) в узлах сетки.
Для этого заметим, что если некоторая функция F (t) конечна в точках to < tx < t2 и точка т £ [ tо , 12 ] , то для коэффициентов рациональной функции вида
R(t, F) = а + P(t _ t1) +
У
t _т
(2.2)
при условии R (t., F ) = F () (i = 0,1,2) с использованием разделенных разностей первого порядка F (10; t1) и второго порядка F (10; t1; 12 ) получим равенства
Вестник Дагестанского государственного университета
Серия 1. Естественные науки. 2020. Том 35. Вып. 2
47
Рамазанов А.-Р.К., Магомедова В.Г. Рациональные сплайн-функции двух переменных
а = F{tl)-F(t0;tl;t2)(t0-r){t2-т), р = F(t0;t2)+F(t0;tl;t2)(tl-г), у=F(t0;ti;t2)(t0- T)(ti- T)(t2- т)•
Эту рациональную функцию можно представить также в виде
R(t, F) = A + B(t -11) + Ct--1-,
t-т
(2.3)
(2.4)
в котором для коэффициентов A и C получим равенства a = F (t1),
C = -F (10; t1; 12)( t0 - т)( 12 - т), а коэффициент B можно представить двояко:
B = F(t0;ti) + F(t0;t{;t2)(t2 -т), (25)
B = F(ti;t2) + F(t0';ti';t2)(t0 -т)• (2.6)
Ниже для установления скорости сходимости R^ м l(х, У) будут использоваться оба
представления. А именно, если для узлов t0 < ti < t2 выполняется неравенство вида 12 - ti < ti - 10 , то при произвольном Л> 0 в качестве полюса соответствующей рациональной функции R(t, F) берем т = t2 + Л(^2 - ti) и в равенстве (2.4) выражение для коэффициента B берем из равенства (2.5); если же для узлов выполняется неравенство вида ti - t0 < t2 - ti, то в качестве полюса R (t, F) берем т = t0 - Л(^ -10) и в равенстве (2.4)
выражение для B берем из (2.6).
Всюду ниже для сокращения записи приняты также обозначения:
(p(t, т, t0, ti, 12 ) =
t -t
i
Щ((-,т:> ^ ^ t2)
(t - t0)(t2 -т) (t - F)(t2 - t0) J
= (t - ti)(t - t0)(t2 -т)
t0 - ti
(t2 - ti)(t - т')(^2 - t0)
Тогда справедливы следующие леммы.
Лемма 2.1. В зависимости от выбора полюса т в точке 12 + Л(12 - ti) или в точке 10 - л(ti - 10) рациональная функция R(t,F) имеет соответственно два следующих пред-
*0 ^ \li 10
ставления:
R(t, F) = F(ti) + [F(t0) - F^pt^,^, t^) + [F(t2) - Fp^tj, t0, ti, t^), (2.7)
R(t,F) = F(ti) + [F(t2) - F(ti)]<p(t,т,t2,ti,t0) + [F(t0) - F(^)]pt,т,t2,ti,t0). (2.8)
Доказательство леммы 2.1. Равенства (2.7) и (2.8) непосредственно следуют из равенства (2.4), если в выражениях коэффициентов A, B, C разделенные разности F(t0; ti),
F(t\;t2) и F (10; ti; t2) выразить через значения функции F(t0), F (ti), F(t2), при этом для
коэффициента B берем представление (2.5) или представление (2.6), чтобы получить соответственно (2.7) или (2.8).
Лемма 2.i доказана.
Лемма 2.2. Если для некоторого Л > 0 значение т = 12 + Л(12 - ti) при t2 - ti < ti - t0 и т = t0 - Л^1 - t0) при ti - 10 < t2 - ti, то при всех t e [t0,t2] каждое из следующих четырех значений \р*,т,t0,ti,t2), \v(t,r,t0,ti,t2% \<р(,т,t2,ti,Q\, \w(t,r,t2,ti,0| не превосходит значения max {i, Л }.
48
Вестник Дагестанского государственного университета
Серия i. Естественные науки. 2020. Том 35. Вып. 2
Рамазанов А.-Р.К., Магомедова В.Г. Рациональные сплайн-функции двух переменных
Доказательство леммы 2.2. Действительно, в случае 12 - t1 < t1 -10
(т = t2 + A(t2 - t1) ) имеем
1^0,т, t0, ^ t2) =
t - t
t1 t0
1 — т___t2. _t__t_0
T t t2 t0 У
|ИЛТ^^=T —t 1 —t -tl —
\¥(t,т, ^ tl, t2) =
^2 ^1 ^2 *0 T t
T t2 t ti t to
T t t2 t1 t2 t0
< 1 (t e [to,t2]), (t e [to,tl]),
< 1 (^ e [^r2]).
В случае ^ - 10 < t2 - t1 (т = 10 - A(t1 - 10) ) аналогично получим
\p(t,т,^^0| < 1 (t e[t0,t2]),^(t,т,t2,^<1 (t e [t0, t1]), \v(t,т,^^^
02
. e|
(t e [t1,t2]).
Лемма 2.2 доказана.
Чтобы применить теперь эти леммы к функции P.(х,y) (i = 1,2,..., N - 1) из (1.3), заметим, что роль точек ^, ^, t2 играют точки Xt 1, Xi, Xt+1, роль T играет ut, роль t играет X, а в роли значений F(t0), F(t1), F(t2) выступают соответственно значения PM1(y, fi-1),
PM ,1( y, fi), PM ,1(y, fi+1).
Поэтому отсюда и из равенств (2.7) и (2.8) при xi+1 - Xi < Xi - Xi-1 (Uj = х,+1 + Л(х,+1 - Xj) ) и при Xj - Xj-1 < Xj+1 - Xj (uf = Xt-1 - A(Xt - Xt-1)) соответственно
l i
имеем
Pi(х, y) = rm ,1(У, f ) +[ rm ,1(У, f-1) - rm ,1(У, f M х, U, Xi-1, Xi, Xi+1) +
+ [Rm ,1(y, f+1) - RM ,1(^ f M х, U, Xi-1, Xi, Xi+1), (2.9)
Pi(х, y) = RM ,1(y, fi) +[ RM ,1(У, fi+1) - RM ,1(У, fi )]^( х, ui, Xi+1, Xi, Xi-1) +
+ [RM ,1(У, f-1)- RM ,1(У, f )]^(х, U, Xi+b Xi, Xi-1). (2.10)
Чтобы преобразовать PM 1(y, fm) ( m = i - 1, i, i + 1 ), применим равенство (1.2), в котором к рациональным функциям Qj(y, fm) ( j = 1,2,..., M -1) из равенства (1.1) также можно применить равенства (2.7) и (2.8).
При этом в роли 10, t1,12 выступают yj^,yj,yj+1; заменим также T на Vj и t на y , а вместо значений f (10), F (t1), F (12) возьмем соответственно значения f (Xm, yj- 1),
f(Xm, yj X f(Xm, yj+1).
Тогда при yj+1 - yj < yj - yj - 1 ( vj = yj+1 + f2( yj+1 - yj ) ) и при
yj - yj - 1 < yj+1 - yj ( Vj = yj - 1 - JLl( yj - yj - 1) ) соответственно получим
Qj (У, fm ) = f (Xm, yj ) + [ f (Xm, yj-1) - f (Xm, yj My, Vj, yj-1, yj, yj+1) +
+ [ f (Xm, yj+1) - f (Xm, yj )W(У, Vj, yj-1, yj, yj+Д (2.11)
Вестник Дагестанского государственного университета
Серия 1. Естественные науки. 2020. Том 35. Вып. 2
49
Рамазанов А.-Р.К., Магомедова В.Г. Рациональные сплайн-функции двух переменных
Qj (У, fm ) = f(Xm, Уу ) + [ f (Xm, Уj+l) - f(Xm, Уj ЖУ, Vj, У,+1, У,, Уj-l) +
+[ f (Xm, Уу-i) - f (Xm, Уу )M У, vj, Уу+l, Уу , Уу-i)-Тогда при (x,у) еЦ j (i = 1,2,..., N; j = 1,2,..., M ) из (2.1) имеем
(2.12)
j yl
x - X
rnm ,1(x, y) - f (x, y^ < ~ -1 |Pi(x, y) - f (x, y^ + "l
X,- - X
xi- Xi-1
Xi- Xi-1
l^i--1( x, y) - f (x, y^
<
< max |РДx, y) - f (x, y)|:v = i -1, i}, (213)
при i = 1 в правой части V принимает одно значение i.
При этом из (2.9) и (2.10) соответственно получим
\Ру ( x, У ) - f ( x, У ^ < \Rm ,1( У, fv ) - f (x, У ^ +
+ |[ PM ,1( У, fv-1) - f ( XV. У ) + f (XV. У ) - RM ,1( У, fv )]| -\<Р( X, uv> Xv-1. XV. Xv + 0| +
+ |[ PM ,1( У, fv + 1) - f ( Xv, У ) + f ( Xv, У ) - RM ,1( У, fv )]| ‘k( X , Uv, Xv-b Xv, Xv + ^\
(здесь V = i, если i = 1, v = i -1, если i = N, и V принимает два значения i -1 и i, если
2 < i < N - 1),
\Pv (x, У) - f (x, У ^ < \Rm ,1( У, fv) - f (x, У ^ +
+ |[ PM ,1( У, fv+1) - f ( XV. У ) + f ( Xv , У ) - RM ,1( У, fv )]| -\<P( X, uv> Xv + 1. XV. Xv-0| +
+ |[ PM ,1( У, fv-1) - f ( XV. У ) + f (XV. У ) - RM ,1( У, fv )]| ■ И X, Uv, Xv + 1. Xv , XV-1)|.
Из (1.2) при i = 0,1,..., N и y E [y,_l,y, ] (j = 1,2,..., M) имеем
Rm ,1( ^ fi) - f (x, У)
<
У - У,--1
Уу - Уу -1
Qj(^ fi) - f (x, y)
у, - У
Уу - Уу -1
Qj-1( У, fi) - f (x, У)
<
< max |Qy(У, fi) - f (x, У^ \Qy-1(У, fi) - f (x, У)|}, если 2 < j < м -1;
здесь под знаком max берем лишь одно |Q1(y, f.) - f (x, y)|, если j = 1, и лишь одно |QM -l(У, f) - f(x, У^, если j = M .
При этом из (2.11) и (2.12) для (x,y) E Qi, при m = i - 1, i, i + 1 соответственно полу-
чим
|Qy ( У, fm ) - f (X, У ^ < \f ( Xm , У y ) - f (X, У ^ +
+ |f (Xm , Уу-1) - f (Xm , Уу ^ ■ \<Р ( У, Vy , У у-Ь Уу , Уу +1 ^ +
+ |f ( Xm , У y + 1) - f ( Xm , У у ^ ■ \И ( У, Vy , У у-1, У у , У у +1)[
\Qy ( У, fm ) - f (X, У ^ < \f (Xm , У y ) - f (X, У ^ +
+ |f (Xm , Уу +1 ) - f ( Xm , Уу ^ ■ \<Р ( У, Vy , Уу + Ь Уу , Уу-1^ +
+ |f ( xm , У у-1 ) - f ( Xm , У у ^ ■ И ( У, V у , У у + 1, У у , У у -1)|-Вполне аналогично можем оценить Q,_1(y, fim ) - f (X, y) для (X, y) eQ1,,-1 при m = i - 1, i, i + 1.
50
Вестник Дагестанского государственного университета
Серия 1. Естественные науки. 2020. Том 35. Вып. 2
Рамазанов А.-Р.К., Магомедова В.Г. Рациональные сплайн-функции двух переменных
Если теперь для сокращения записи применим обозначения h = max {x - x_j| i = 1,2,..., N}, h2 = max {yy - yyj = 1,2,..., M }
и воспользуемся леммами 2.1 и 2.2, то для (X,y) eQ. j при m = i - 1, i, i + 1 получим
max \Qk (У, /m ) _ f (X, Уh\ : k = j _ 1, j}< p(h1, h2 , /) + 2р(0, h2 , /)maX { M }
Учитывая Q o( У , fm ) - Q 1( У , fm ) и Qm ( У , fm ) = Qm - 1( У , fm Ь при
(x,у) eQi j (i = 1,2,..., N - 1; j = 1,2,..., M - 1) имеем
\Rm ,1( у , f) - f (x, у ^ < p( К ^, f) + 2max I1, мр(0, ^, f). (216)
Ясно, что \rm 1(y, f.) - f (x, y)| не превосходит правой части последнего неравенства и для крайних значений i = 0 и i = N.
Используя неравенства (2. 14)—(2.15) и лемму 2.2, легко можно оценить |RX X, у) - f(x, y) (У = i-1,i) при (x, y) eQi,j, а затем применить неравенство (2.13). В
результате при (x, y) e Q j получим
\Rn,M,1(x, У) - f (x,У)| < {р (2h1,h2, f ) + 2 max {l,p}p(0,h2, f )+ 4 max {l,2})< < 2 (1 + max {1, M })(1 + 4 max {1, A}X( h1, h2, f).
Теорема доказана.
Заметим, что в доказанной теореме в качестве значений параметров можем брать значения Я = 1 и м = 1. Тогда для произвольной непрерывной на прямоугольнике Q = [ a, b ] х [ c, d ] функции f (x, y ) при всех (x, y ) eQ выполняется неравенство
\RnM,1(x,У) - f (x,У^ < 20р(hl,^, f).
Следовательно, для любой системы прямоугольных сеток узлов
anM = l(xi,yj\ a = x0 < x1 <... < xN = b, c = У0 < У1 <... < Ум = d}, диаметры которых стремятся к нулю с ростом M и N , соответствующая последовательность рациональных сплайн-функций Rnm 1 (x, У, f) сходится к самой функции f (x, y)
равномерно на прямоугольнике Q.
Литература
1. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т. 1. - М.: ГИФМЛ, 1962. - 464 с.
2. Алберг Дж., Нилсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. - М.: Мир, 1972. - 319 с.
3. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. - М.: Наука, 1976. - 248 с.
4. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. - М.: Наука, 1980. - 352 с.
5. Carlde Boor. Bicubic spline interpolation // J. Math. Phis. - 1962. - V. 41. - P. 212-218.
6. Де Бор К. Практическое руководство по сплайнам. - М.: Радио и связь, 1985. -
304 с.
7. Васильев А.А. Аппроксимация с интерполяцией сплайнами произвольного дефекта // Мат. заметки. - 2018. - Т. 29, вып. 5. - С. 743-748.
8. SchabackR. Spezielle rationale Splinefunktionen // J. Approx. Theory. - 1973. - Vol. 7, № 2. - P. 281-292.
Вестник Дагестанского государственного университета
Серия 1. Естественные науки. 2020. Том 35. Вып. 2
51
Рамазанов А.-Р.К., Магомедова В.Г. Рациональные сплайн-функции двух переменных
9. Edeoa A., Gofeb G., Tefera T. Shape preserving С 2 rational cubic spline interpolation // American Scientific Research Journal for Engineering, Technology and Sciences. - 2015. - Vol. 12, № 1. - P. 110-122.
10. Рамазанов А.-Р.К., Магомедова В.Г. Безусловно сходящиеся интерполяционные рациональные сплайны // Мат. заметки. - 2018. - Т. 103, вып. 4. - С. 592-603.
11. Рамазанов А.-Р.К., Магомедова В.Г. Сплайны по трехточечным рациональным ин-терполянтам с автономными полюсами // Дагестанские электронные математические известия. - 2017. - Вып. 7. - С. 16-28.
12. Рамазанов А.-Р.К., Магомедова В.Г. О приближенном решении дифференциальных уравнений с помощью рациональных сплайн-функций // Ж-л вычисл. математики и мат. физ. - 2019. - Т. 59, № 4. - С. 579-586.
13. Рамазанов А.-Р.К., Гусейнов И.Г. О приближенном решении рациональными сплайн-функциями дифференциальных уравнений с особенностями // Вестник Дагестанского государственного университета. Сер.: Естественные науки. - 2019. - Т. 34, вып. 4. - С. 72-77.
Поступила в редакцию 11 февраля 2020 г.
UDC 517.51
DOI: 10.21779/2542-0321-2020-35-2-43-52
Rational Spline-functions of Two Variables
A.-R.K. Ramazanov1’2, V.G. Magomedova1
1Dagestan State University; Russia, 367000, Makhachkala, M. Gadzhiev st., 43а;
2Dagestan Federal Research Center of RAS; Russia, 367000, Makhachkala, M. Gadzhiev st., 45; [email protected]
The problems of interpolation of many variables functions by means of rational spline functions are studied in the article.
For discrete function of two variables fix, y) defined on a given rectangular grid ANM = {(x, y)| a = x0 < Xi<...<xN = b, c = y0 < yi<...<yM = d} of some rectangle Q=[a,b]x[c, d] spline-function RNMi(x, y, f) has been constructed on the basis of three-point rational interpolants which interpolates function f(x, y) at the nodes of the grid ANM .
For continuous functions of two variables fix, y) on a given rectangle Q = [a, b]x[c, d] with a rectangular grid we obtain convergence bounds for such rational spline-functions RNM1(x, y, f) with respect to the modulus of continuity.
The sequence of such rational spline-functions RNMl(x, y, f) for each sequence of grids with a diameter tending to zero uniformly on the rectangle converges to the function fix, y) itself.
Keywords: rational spline-functions, interpolation splines, splines of two variables.
Received 11 February 2020
52
Вестник Дагестанского государственного университета
Серия 1. Естественные науки. 2020. Том 35. Вып. 2
