CC BY
8
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2018, том 61, №2_
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
С.Н.Мехмонзода
ПРИБЛИЖЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ СПЛАЙН-ФУНКЦИЯМИ В РАВНОМЕРНОЙ МЕТРИКЕ
Таджикский национальный университет
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 04.12.2017 г.)
В работе для некоторых классов функций двух переменных, задаваемых модулем непрерывности, найдено точное значение верхней грани погрешности приближения интерполяционными сплайн-функциями в равномерной метрике.
Ключевые слова: сплайн-функции, модуль непрерывности, интерполяционный сплайн, решётка узлов.
1. Пусть N - множество натуральных чисел, Z+ :=Ми{0}, () = {(х,у) :0 < х, у <1} -единичный квадрат в первом квадранте плоскости переменных х и у . Обозначим через С(г\0) (г е Ъ+, Сф\0) = С(0)) - множество функций, имеющих непрерывные частичные производные г -го порядка по каждому из переменных х и у :
/(г'0)(х, у) := д/(х, у)/дхг, /(0,г )(х, у) := д/(х, у)/
на квадрате Q . Пусть Ык1 (хк, уг), где хк = к / т (к = 0, т), = г / п, (г = 0, п) (т, п -фиксированные натуральные числа) - система равноотстоящих точек, задающих решётку узлов, делящих квадрат Q на частичные прямоугольники Qk 1 ={ хк_1 < х < хк , у 1 < у < у }, к = 1, т ;
г = 1, п .
Введём в рассмотрение функцию
НЬx) = £(2рIР1 ^(Ь-0р+1, ь>0, 0<X<Ь,
7=0 р!(р - 7)!
являющуюся алгебраическим многочленом степени 2 р +1 на отрезке [0,Ц, обладающую следующими свойствами [1]:
1 - Н (Ь, X) строго убывает на промежутке [0,Ц от 1 = Н (Ь;0) до 0 = Н (Ь; Ь) ;
2 - Н(г)(Ь;0) = Н(Г)(Ь; Ь)(г = 1,2,..., р);
3 - Функция Н (Ь; X) для 0 < X < Ь /2 выпукла вверх, а для Ь / 2 < X < Ь выпукла вниз;
4 - Нр (Ь; X) + Нр (Ь; Ь - X) = 1.
Поставим в соответствие каждой функции / (х, у) е С функцию
Sm,n (/; x У) = f ( xt-1, Уг-1 ) Hp (x - Xt-1, y - Уг-l) +
+f(xt, У-1 )Hp (xt - x У - У-1) + f (xt-1, У,)Hp (x - xt-1, y,- y) +
+f (xk , Уг )Hp (xk - X Уг - У), (1)
где
Hp(u,v)=Hp(h,u)Hp(h,v)(Q<u<h, 0<v<S; h,S> 0, p e N). (2)
Легко проверить, что функция Sm n (/; x, y) G C(p) (Q) удовлетворяет условиям [2] : !) Sm,n (/; , Уг ) = f (Xt, Уг );
SX,/ ;Xk , Уг ) = SU,/ ; ^ , У, ) = 0;
^ = 0,т; i = 0,п; г = 1,2,...,р);
2) на каждом прямоугольнике Qk i функция Sm п (/; х, у) - сплайн-функция степени 2р +1 дефекта р +1 (см., напр.[2], гл.1) по переменной х при фиксированном у и сплайн-функция степени 2р +1 по переменной у при фиксированном х. Функции Sm п (/; х, у) называют сплайн-функциями или просто сплайнами.
Пусть Н® ) - класс функций /(х, у), заданных и непрерывных на квадрате Q , и таких,
рр
что
/ (M ') - / (M " )| <о[рр (M ' , M " ) ],
где рр (M' ,M") -1 (1 < p <œ) - расстояние между точками M '(x', y ') и M"(x", y "), то есть
pp (M', M" ) = p| X ' - x" |p + | y' - y" |p , а со (t) - заданный для 0 < t < p2 модуль непрерывности, то есть неубывающая непрерывная функция, удовлетворяющая соотношениям
0 <o(t") -o(t') <o(t" -1'), 0 < t' < t" < 1, о(0) = 0. В этой заметке мы рассмотрим вопрос отыскания точных верхних граней погрешности
интерполяции функций двух переменных f (x, y), принадлежащих классу H00 (Q) , сплайн-
pp
функциями Smn ( / ; x, y) gC ( r)(Q) при выпуклом модуле непрерывности o(t ) в равномерной метрике.
Таким образом, требуется найти верхнюю грань
е[н?р mSm,n{f)) = s«P{||/-Sm,n{f)||c(e) : / e Я® (Q)]. (3)
Имеет место следующая
Теорема. Пусть со^) - произвольный выпуклый модуль непрерывности. Тогда при любых и 1<р<со справедливы равенства
где Smn (/; х, у) - сплайн-функция, определяемая условиями 1) и 2).
'1-
к 2\ тр пр ;
(4)
Доказательство. Пусть (х, у) е Qki (к = 1,т; / = 1,п) . Положим х — хк_ 1= ¿, у — у._ 1 = г, к = хк — хк_ 1 = 1/ т, ] = yi — у_ 1 =1/ п . Отсюда хк — х = h — yi — у = ] — г. Тогда, воспользуясь представлением (1) и свойством 4 функции Нр (к, t), запишем равенство
/ (х, у) — Sm,n (/; х, у) = = [/ (х, у) — / (хк—!, у—!)] Нр (к; t )Нр (6; г) + +[/(х, у)—/(хк, у—)] Нр (к, к—t)Hp (6; г) + + [/(х, у) — /(хк—1, у)] Нр (к; ОНр (6,6 — г) + + [/(х, у) — /(хк, у,)] Нр (к, к — ОНр (6,6 — г). (5)
Оценивая по абсолютной величине равенство (5) для произвольной функции / е Нс О)
рр
/ (х, у)—Sm,n (/; х, у) <
< Нр (к, Щр (6, г) |/(х, у)—/(хк—!, у—! )| + +Нр (к, к—t )Нр (6; г) | / (х, у)—/ (хк, у—) + +Нр (к, t )Нр (6,6 — г) | / (х, у) — / (хк—!, у, )| + +Нр (к, к — t)Нр (6,6 — г) |/(х, у) — /(хк, у )| <
< Нр (к, t)Нр (6, г) Фр + гр ) + +Нр (к, к — t) Нр (6, г) с () +
имеем
+Нр (к, t)Нр (6,6 — г) с (фр + (6 —г)р ) +
+Hp (h, h -1)Hp (S, S-t) © (p(h -1)p + (S-t) p ). (6)
Из неравенства (6) с учётом выпуклости ©(t) и выпуклости функции (1 < p < да) получаем
\f (x, y) - Sm,n (f; x, y)| < < ©([Hp (h, t)Hp (S,T)(tp ) +Hp (h, h -1 )Hp (S, t) ((h -1)p + Tp ) + +Hp (h, t )Hp (S,S- T)(tp + (S-t) p ) +
+HP (h, h -t) Hp (S, S - T)((h -1)p + (S - t) p)]p) = = ©([tpHp (h, t) + (h -1) pHp (h, h -1) +
+tpHp (S, t) + (S - T) pHp (S, s-t)] p). Обычными средствами анализа легко устоновить, что при любом p е [1, +да] функция
p(t) = tp Hp (h, t) + (h -1)p Hp (h, h -1)
на отрезке [0, h] принимает максимальное значение при t = h / 2, причём
( h Л ( h Y ( 1
max{p(t) : 0 < t < h} = p — I = — I = -
V 2) V 2) V 2m
Совершенно аналогично получаем
■{t"Hp (S,T) + (S-T) pHp (S, S - t):0 <T<S} = Ц
(7)
max {
2n
Из неравенства (7) в силу (8) и (9) получаем
\f (x, y) - s m,n (f; x, y)| <
f
<©
Л
2m J + [ 2n )
v '
(
= 0
Л
IJ-L+J-
V2\mp np )
(8)
(9)
откуда сразу следует оценка сверху величины (3):
i
Е (НС (О), Sm,n (/))
(
<с
Л
-Í-L+-
(10)
Положим
:= {хк—! < х < хк—! +1/ у,— < у < у,—1 +1 / (2п)}; 0к2 : {хк—1 <х <хк—! +1/у,—1 +1 /(2п) <у <у,}; 03 := {хк—1 +1 / < х < хк, у— < у < у— +1 / (2п)};
0к4 := {хк—1 +1 / (2уи) < х < хк, у— +1 / (2п) < у < у,}
и рассмотрим функцию
/0( х у):= 4
с |р | х — хк—1 |р + | у —
с
у — у,—1 Г ), (х, у) е ОкЦ;
(фх — хк—! |р +1у, — у|р), (х,у)еО®;
Г +1 у — у,—1 Г), (х, у) е Ок3];
хк — х|р +1 у, — у|р ), (х, у) е 0(4).
с
с|</| хк — х
Покажем, что функция /0 (х, у) е Нс (0) . Пусть Р(х', у'), 0(х", у") - две произвольные
рр
точки квадрата 0 . Из определения функции /0(х,у) следует, что существуют точки Р(х%,у%) и
О ,, ч
0(х%, у%>), принадлежащие прямоугольнику 01( 1) = {0 < х < 1/ (2m), 0 < у < 1/ (2п)}, такие, что /0(0 О), /0(0) = /о(0) и Рр (Р, 0) <Рр (Р, 0). Тогда имеем:
\Л(Р) — /о(0)| = | /0 (Р) — /о (0) =
с
<с
(^(Л%р + (%р ) — с (р(х%р + (р ) (| р (% р + (%р — ^ (%)р + (р |)
<
<с
(р (|%о- % +|уь- %)) = с[рр (Р, 0)] < с [Рр (Р, 0)].
Таким образом, доказано, что / (х, у) е Нс (0) . Так как Sm п (/о; х, у) = 0 , то для любых
и 1<р<со имеем:
Е (Нрср (0), Sm,n (/))
>
>
||/0 (X у) — Sm,n (/0 ; ^ уЦс(0) = ||/0 (х у)1
Нс (0 )
Сопоставляя неравенства (10) и (11), получаем требуемое равенство (4), чем и завершаем доказательство теоремы.
Отметим, что теорема ранее при p = 2 доказана в [3], а при p = 1 в [6]. Одновременное приближение функций и их частных производных интерполяционными сплайнами приведено в работах М.Ш.Шабозов, С.Б.Вакарчука и Л.Ю.Мыскина [см.4-6 и приведенную там литературу].
Поступило 04.12.2017 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Великин В.Л., Корнейчук Н.П. Точные оценки приближения сплайн-функциями на классах дифференцируемых функций. - Мат.заметки, 1971, т.9, №5.
2. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближения. - М.: Наука, 1984, 352 с.
3. Сторчай В.Ф. Приближение непрерывных функций двух переменных сплайн-функциями в метрике С. - Исследования по современным проблемам суммирования и приближения функций и их приложения. - Днепропетровск, 1972, с.66-68.
4. Шабозов М.Ш. О погрешности интерполяции билинейными сплайнами. - Укр.матем.журнал, 1994, т.46, №11, с.1554-1560.
5. Шабозов М.Ш. Точные оценки одновременного приближения функций двух переменных и их производных билинейными сплайнами. - Мат. заметки, 1996, т.59, №1, с.142-152.
6. Вакарчук С.Б., Мыскин Л.Ю. Некоторые вопросы одновременной аппроксимации функций двух переменных и их производных интерполяционными билинейными сплайнами. - Укр. матем. журнал, 2005, т.57, №2, с.147-157.
С.Н.Мехмонзода
БА Х,АМ НАЗДИККУНИИ ФУНКСИЩОИ БЕФОСИЛАИ ДУТАГЙИРЁБАНДА БО ВОСИТАИ СПЛАЙН-ФУНКСИЩО ДАР МЕТРИКАИ ФУНКСИЩОИ БЕФОСИЛА
Донишго^и миллии Тоцикистон
Дар макола барои баъзе синфхои функсияхои дутагйирёбанда наздиккунии хатогии
ани^и руяи болоии сплайн-функсиядои интерполятсионй, ки ба воситаи модули бефосилагй
дода шуданд, дар метрикаи функсиядои бефосила ёфта шудааст.
Калима^ои калидй: сплайн-функсияуо, модули бефосилагй, сплайни интерполятсионй, гиреууои
панцара.
S.N.Mehmonzoda
APPROXIMATION OF CONTINUOUS FUNCTIONS OF TWO VARIABLES BY
^-SPLINE IN C METRIC
Tajik National University
In this paper for some class of functions with two variables given by module of continuity, the exact upper bounds approximation of functions by interpolation splines were found. Key words: spline functions, module of continuity, interpolation spline, lattice of nodes.
