ОЦЕНКА СКОРОСТИ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ АППРОКСИМАЦИЙ ФУНКЦИЙ В ВАРИАЦИОННЫХ МЕТРИКАХ ЧЕРЕЗ РАЗЛИЧНЫЕ СТРУКТУРНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК517.5

А.-Р.К. Рамазанов, В.Г. Магомедова, Мустафа Б.Г. Али

Оценка скорости полиномиальных аппроксимаций функций в вариационных метриках через различные структурные характеристики

Дагестанский государственный yHueepcumem;[email protected]

Получены оценки наилучших полиномиальных аппроксимаций функций в метрике Ф-вариаций Орлича через модули Ф-абсолютной непрерывности, модули Ф-гладкости и смешанные модули непрерывности.

Ключевые слова:аппроксимация, метрика Ф-вариаций, Ф-абсолютная непрерывность.

The estimates of the best polynomial approximations in terms of Ф-variation by means of the modulus of Ф-absolute continuity, the modulus of Ф-smoothnees and the mixed modulus of confinuity are obtained.

Keywords: approximation, of Ф-variation, Ф-absolute continuity.

Введение

Общеизвестна роль класса абсолютно непрерывных функций в современном анализе. Музелак и Орлич [1] ввели более общие классы функций, сохраняющих многие из важнейших свойств абсолютно непрерывных функций. А именно: пусть функция Ф (u) непрерывна, не убывает и выпукла вниз на [0, + го) и Ф(0) = 0 . Такие функции Ф(u) будем называть допустимыми.

Функция f (x) называется абсолютно непрерывной относительно Ф (u) или Ф-абсолютно непрерывной на отрезке [a, b], если для любого s > 0 найдется такое

8 > 0 , что Хф( f (P) - f(ai )|)< s для всякой конечной системы неперекрывающихся

i=1

гп

интервалов (а{, ) с [a, b] с X Ф(Д- - о,) < 8.

i=1

В случае Ф^) = up (p > 1) Ф -абсолютно непрерывные функции ранее рассматривал Лав [2]. В случае Ф(u) = u получаем обычные абсолютно непрерывные функции. Говорят [1], что функция f е Vф [a, b], если

m

Vф (f) = Vф (f, [a, b]) = sup X Ф( f (X) - f (x-1 )|) < го,

T i=1

где T = {a = x0 < x1 < ... < xm = b}- произвольное конечное разбиение отрезка [a, b]; при этом f е V<**[a, b], если УФ^f, [a, b]j < го при некотором V > 0 . При 8 > 0 положим

m

Vф (8, f) = Vф (8, f, [a, b]) = sup X Ф( f (X-) - f (x-1 )|),

|T|<5 i=1

где | T |= max{xi-x -xj i = 1, 2,..., m}. Б.И. Голубов ([3]) ввел величину

Жф (5, f) = Жф (5, f, [a, b]) = inf J V > 0: V0 (s,f, [a, b]

I V у

< 1!

и дляФ-абсолютно непрерывных функций получил аналоги критериев компактности М. Рисса и А.Н. Колмогорова. При ф(и) = up (p > 1) эту величину ввела Л. Юнг [4], а в полиномиальных аппроксимациях ее использовал А.П. Терехин [5]. Некоторые важные свойства модуля Ф-абсолютной непрерывности Жф (5, f) изучены в [6]. В [3] для функции f (х) периода b — a введена также величина

Жсф1) (5, f) = Жсф1) (5, f ,[a, b]) = sup inf J V > 0: Vф f Í^—L ,[a, b])< 1},

|h|<5 L V У У J

где fh (х) = f (х + h). Заметим, что условие ЖФф1)(5, f) ^ 0 (5 ^ 0)эквивалентно Ф-абсолютной непрерывности функции f (х) на рассматриваемомотрезке [a, b] при любой допустимой функции Ф(и), а условие Жф (5, f) ^ 0 (5 ^ 0)эквивалентно Ф-абсолютнойнепрерывности f (х) на [a, b] при дополнительном условии на допустимую функцию ф (и), а именно: должно выполняться соотношение

ф(и) = О (и) (и ^ 0).

* *

В Уф = Уф [a, b] норму можно ввести следующим образом:

llfLr, HI fL,r ,п = inf JV > 0: Уф f ,[a, b] Ik 11фУ IК НфК,[a,b] I ^ v

считается f1 = f2 e Уф, если f1(х) — f2(х) = const (х e [a, b]).

*

В силу выпуклости ф (и) на [0,+да) пространство Уф полное с нормой ||'||фу, но,

вообще говоря, несепарабельное [1].

*

Метрика в Уф, порожденная нормой ||'||фу, называется метрикой Ф-вариаций Ор-лича.

Легко показать, что для каждой непрерывной на данном отрезке [a, b] функции f (х) найдется хотя бы одна допустимая функция ф (и), для которой

Уф (f ,[a, b]) < да . Значит, если данная функция f е Уф , то естественно возникает вопрос о возможности приближения f (х) в метрике Ф-вариаций полиномами и оценке

скорости стремления к нулю наименьших полиномиальных уклонений функции f (х) в

*

метрике Уф с ростом степени (порядка) полиномов, т.е. оценке относительно n(n = 0,1,2,...) величины УфEn(f,[a,b]) = inf|f — P||фу, где инфимум берется по

множеству всех алгебраических полиномов P (х) степени n с действительными коэффициентами. В случае тригонометрических полиномов P (х) порядка n соответствующее наименьшее уклонение2ж-периодической функции f (х) обозначается

Уф En (f). В [7] для Ф-абсолютно непрерывных функций f (х) в терминах Жф (5, f)

получен аналог первой теоремы Джексона для полиномиальных аппроксимаций в метрике Ф-вариаций.

Ниже определены модули Ф-абсолютной непрерывности и Ф-гладкости высших порядков, изучены соотношения между ними, их связи со смешанными модулями не-

прерывности; через них получены оценки скорости стремления к нулю наименьших полиномиальных уклонений в метрике Ф-вариаций Орлича.

Оценки полиномиальных уклонений через модули Ф-абсолютной непрерывности высших порядков

Для данной функции f е Vф[a, Ь] модуль Ф-абсолютной непрерывности (относительно данной допустимой функции ф(и) ) порядка г (г = 1, 2,...) определим при 8 > 0 через конечную разность АгИ (f, х) порядка г с шагом И, полагая, что

т { 1 Л

1

< 1!

Wфr) (8, /) = вир шД W > 0:вирIФ- АИ (/, х) - А\ (/, хч)

|И|<8 [ i=l V №

внутри фигурных скобок супремум берется по всем разбиениям а = х0 < х1 < ... < хт = Ь (т = I, 2,...) таким, чтобы при каждом И с | И |< 8 разности

10 - "I .......т

Агь(Г, х1) (1 = 0, I, 2,..., т) имели смысл.

*

Для2ж-периодической функции f е Vф ее модульФ-абсолютной непрерывности

№фг)(8, f) порядка г = I, 2,... определяется вполне аналогично.

Ниже существенно используется следующее свойство: при любых 8 > 0 и натуральных г и п для f е Vф выполняется неравенство

№фг)(п8, f) < пг№фг)(8, f). (I)

Действительно, при любых натуральных г и п и шага И имеет место тождество [8, с. 158]

п-1 п-1 п-1

Kh(/x)= е Е...EAh(f>х+hh+ьh+...+irh)•

i1 =0 i2 =0 ir =0

Отсюда, т. к. W<j,r) (8, /) = sup Ah (/, x) , легко получается (1).

|h|<8

ФГ

Из неравенства (I), очевидно, вытекает, что при любых 8 > 0 и Л > 0 имеем

г)(Л8, f) < (I + Л)г№фг)(8, f ).(2)

Это неравенство применяется при оценке наименьших полиномиальных уклонений через модули Ф-абсолютной непрерывности высших порядков, которая содержится в следующем утверждении.

Теорема 1. Если для данной допустимой функции ф (и) 2ж-периодическая функция

f е V*, то при всех натуральных п > г выполняется неравенство

г1 л

VфЕп (f) < М^г) -, f ; (3) V п )

здеськоэффициент Мг > 0 не зависит от п и f, но может зависеть от г, причем (при г = I), а при г > 2

1

M1 < 14

Л _Л7 ТТ

2

Mr <

/ \4r-1 П

v 2 у

J (2r(r +1)y +1)

/ • л sin y

v y у

2r

dy.

Доказательство. Пусть сначала г > 2 и для данных натуральных чисел п > Г рассмотрим ядро типа Джексона [8, с. 129]

Dn, г (7) = ^ Зг

] 7

V 2 У

ч 2г

где

п

означает целую часть —, а величина 3Г не зависит от п и 7 и выбирается из

г

л

условия |ОпГ (7^7 = 1 .Тогда легко проверить, что

-ж

Т(х) = |{(-1)г+1 А (f, х) + f (х) ВГ (7^7

-ж

представляет собой тригонометрический полином порядка не выше п. Ясно, что

ж

Т (х) - f (х) = (-1)Г +1 | А (/, х) ВПГ Г (7 ^7.

-ж

ж (1 Положим, МГ = | (п 171 +1)Г Бп Г (7^7 и возьмем любое Л > МГЖфГ) —, /

V п у

Тогда для произвольного разбиения - ж = х0 < х1 < ... < хт = ж (т = 1, 2,...) полу-

чим

т 1

5 := I ® Т Т (х) - f (х) - Т(х,-1) + f (х,.-1)

Л У

I®

г = 1

г =1 V" ж

(-1)Г+1 |АГг (f, х,. )Dn,г (7^7 - (-1)Г+1 ^ (f, х,. №

т ( ж 1

< I Ф I 1 А' (/, х, ) - А (/, х, -1) Вп г (7

,=1 _ Л

<

, _ , х,-) -А ( /, х,-

,=1 V-ж Л

По неравенству (2) при любом 7 е [-ж, ж] получим

)(| 71,/) < (п 171 +1)ГжфГ)(1,/1 <Л(п 171 +1)Г; Л > )(|7).

V п У Мг (п 171 +1)Г

Тогда при любой интегрируемой функции W(7) > WфГ)(| 7 |,/) (7 е [-ж, ж]), для ко-

„ , MгW(7) торой Л >--—, имеем

(п | 7 | +1)г

т

5 <1® I

(п | 7 | +1)'

Так как I

(п|7|+1)

' =1 V-ж т

г

М(7 )

А (/, х,-) -А (/, х,--1) Вп,г (7 ^7

ж МГ

-ж Г

Оп Г (7^7 = 1и функция ф (и) при и > 0 выпукла вниз, по не-

равенству Иенсена получим

ж

-ж

т i ж i

^ < I ф I ^|а (f, х) - А (f, х-I)

I=1

\-ж

(п | г | +1)г

т

= Цф

-ж г = 1

Ж (г)

А; (/, Хг) -Агг (/, х-I)

" (п | г | +1)

, Мг (п |; | +1)г

Д, г (г

М„

^п, г (; уг <

<

М

Dn,г (гМ = I.

л

Следовательно, при п > г > I Г - f \\ф„ < МгЖ(г) I-, f

I

фг г

а значит, выполняется

V п у

требуемое неравенство (3). Остается оценить сверху Мг .

, получим

Используя неравенство 81И г > — г

ж

2 I ж ^

0 < г < —

2 у

V

2

Мг = 21 (пг +1)г Д,г (г^ = 41 (2пг +1)гБп г (2г^г

4

3

2

| (2пг +1)'

г 0

/§1п Ь ] 2

\ 2г

^п 4

V 2 У

4

dt <—

3,

2г

' ж Л 2

|(2пг +1)г

^1П ] 2

2г

V 2 У

dt.

Произведем замену переменной I

г = у . Тогда при п > г получим 2

2пг +1 = 2п [Цу +1 < 2п — у +1 = тзгУ +1 < 2г(г +1)у +1;

\-г J г г п

Мг (ж) I(2г(г +1)у +1)

жп

| (2г (г +1) у +1)г

0

| (2г(г +1)у +1)

Лг

3г V 2

I Г -|

п

V _ г _

\2т

В1П у ) I

4 I ж) 2г п 2г

3 V 2 у _ г _

4 I ж' 2г п 2г

3 г V 2у _ г _

у

В1П у

0

dy--

ч2г

V у

С • \2г

В1П у

dy <

V у У

dy.

Оценим теперь 3г снизу. Имеем:

3,

■ = /

-ж

ж

2 Г п V

8т ^

V 2 У

2г

dt = 21

*1п["] 2

8т ^

V 2 У

2г

2

dt =41

^1п [п ]г

2г

г2

8т ^

V 2 У

dt >

> 4 I

зт[г] г

\2г

V 81п2 у

dt > 4

^л2г

V ж У

2г

ж

2 Г п

I dt = 4

^Л2г-1

V жУ

2г-I

Следовательно,

I

-ж

Mr < 4

4 •

( 2 ^ 2r-1 n

Кn J _ r _

2r-1

/ \4r-1 +ю n

( n^ 2r n 2r

К 2 J _ r _

J (2r(r +1)y +1)'

2r

sin y

к y j

dy

/

2

л

2r

sin y

К y j

dy,

| (2г(г +1)у + 1)г

V 2 У 0

что доказывает неравенство (3) в случае г > 2.

При г = 1 проводим те же рассуждения, что и выше при г > 2, заменив в них г на 1 всюду, кроме ядра Dn г ^); в качестве ядра возьмем Dn 2 ^).

Тогда 32 > 4 ■

( 2 ^ 3 n

К nJ _ 2 _

поэтому

M1 = 4 J (2nt +1) Dn2(2t )dt

' !X>

J (12 y +1)

<

n 7 4 n

2

J (12 y +1)

f ■ \4 sin y

V

y

dy <

j

/ \ 7 ю n

4

sin y

2

dy < 14 ■

n 7 n

к 2 J

о к у J

Этим завершено доказательство теоремы 1.

Следующее утверждение дает оценку наименьших уклонений непрерывной на отрезке [-1,1] функции f (х) от алгебраических полиномов степени не выше n (n > 2) через модуль Ф-абсолютной непрерывности второго порядка индуцированной функ-циир^) = f (cos t) (р = 3nd f); результат легко распространяется на произвольный конечный отрезок [a, b].

*

Теорема 2. Если для допустимой функции Ф(и) функция f е Уф [-1,1], то при всех натуральных n > 2 выполняется неравенство

(2 Л

VфEn(f,[-1,1])< 11Жфф2) -,3ndf .(4)

К n

Доказательство. Для краткости обозначим ядро Джексо-наD(u) = (sin ™/sin f)4 (n = 1, 2,...) и для данной непрерывнойна отрезке [-1,1] функции f (х) при натуральных n рассмотрим следующий алгебраический полином степени не выше 2n -2 [8, 9]:

1 n

P(х) = J f (cos и)(D(u +1) + D(u -1))du;

0 0

2

здесь считаем cos t = х, So = J D(2u)du . Тогда

о

1 n

P(х) - f (х) =-J( f (cos u) - f (cos t))(D(u +1) + D(u -1))d

1 n 1 n

=-J [f (cos u) - f (cos t )D(u -1 )du +--J [f (cos u) - f (cos t )D(u +1 )du

0 -n 0 -n

1

3

Произведем в последних двухинтегралах замену переменной, взяв v = u — t в первом интеграле и v = u +1 во втором. Тогда с учетом 2ж-периодичности подынтегральных функций получим

1 %

P( x) — f (x) = — J(f (cos(v +1)) — f (cos t) )D(v)dv +

oo<

0 —7

Л Ж Л Ж

+ — Jf(cos(v — t)) — f (cos t))D(v)dv = — J g(t, v)D(v)dv,

0 — Ж 0 — Ж

где для краткости положено g(t, v) = f (cos(t + v)) + f (cos(t — v)) — 2 f (cos t).

С учетом четности подынтегральной функции относительно v и замены переменной v = 2u получим

ж

I % 12

P( x) — f (x) = — J g (t, v) D(v)dv = — J g (t ,2u) D(2u )du.

2Sn

0 0 io0 0 Для индуцированной функции <p(t) = f (cos t) и рассматриваемого n (n = 2,3,...)

и пусть — 1 = x0 < x1 < ... < xm = 1 - произ-

возьмем произвольное A > 11 W((2)

Ф - <

V n j

вольное разбиение отрезка [—1,1]. В силу строгого убывания функции x = cos t на отрезке [0, ж] найдется система точек 0 = tm < tm_1 < ... < ^ < ^ = % такая, что cos t{ = xi (i = 0,1,..., m). Тогда, используя свойства модуляФ-абсолютной непрерывно-

стивторого порядка W(2)(5, <), для каждого фиксированного значения u е

0, %

полу-

чим

W(2) (2u, <) < (2un +1)2 W(2)

'1 ^ ^ n2 A 11 W(2) (2u, <) < (2un +1)—; A >■ Ф v

Vn j

(2),

Возьмемфункцию W = W(u) > W( )(2u,<)

u е

11

0, % 2

(2un +1)

2

такую, что

A>

11W

u е

(2un +1)2

Ж 2

Обозначим также S2 = J (2un +1)2 D(2u)du.

0, % 2

Оценим теперь величину

m

^ = SФ 11 P( x) — f (xf) — (P( x—1) — f (^—1 ))|

A

i=1 v /

i=1

1

2S0 A

Т. к. у нас при u е

V

0, Ж' 2

J(g (ti ,2u) — g (ti—1,2u ))D(2u )du

выполняется неравенство A >

j

11W

(2un +1)2

, получим

2

Е <£ф

i=1

1 }(2ип +1)2

I г у^ш

200

ш

к (7, ,2и) - g (7, _1,2и)|В(2и)^и

/

( 1 Л

т 12 О

^ф к(^,2и) - г(7_1,2м)|(2мп +1)2D(2u^и

I=1 О2 о 22О0ш

1 2

Отсюда, т. к. — | (2ип +1)2 D(2u ^и = 1 , по неравенству Иенсена получим

О2 о

т 1 2

Е <Е ^ 1 ф

,=1 О2 о

О

ч 22О0Ш

к (7,-,2и) _ г _1,2и )|

(2ип +1)2 D(2u )du.

Как известно [8, с. 128], О0 = | D(2u) du = — п(2п2 +1).

2

Легко оценить О2 = 1 (2ип +1)2 D(2u) du < 2100.

0

Значит, учитывая эти соотношения, получим:

Е < —

2т

Г1 Е ф

О2 01=1 V 22Ш

21 | |1 2

г(7,,2и) - г(7, _1,2и) (2ип +1) D(2u)du

У

12 т | 21

7Т 1ЕФ| ^ /(008(7, + 2и)) + /(008(7, -2и))-2/(008)]-

02 0 ,=1 V 22Ш

- [/(008(7,-1 + 2и)) + /(008(7,-1 - 2и)) - 2/(008 -1)]

=^ 1Е ф| 21 '

(2ип +1)2 D(2u ^и =

О2 0 и V 22Ш

А22и (р, - 2и) - А22и (р, -1 - 2и) (2ип +1)2 D(2u)du.

Напомним, что Ш > Шф2) (2и, р)

и е

0,1 2

Так как

А22и (р, 7) = А22и (р, 7 - 2и)

фк

фк

, получим:

12 т /1 Л

Е ^ 1Е ф| - А22и (р, ь - 2и) - А22и (р, 7г -1 - 2и) (2ип +1)2 D(2u)du <

0 2 0 , =1 V ш

1 2

< — 1 (2ип +1)2 D(2u)du = 1.

02 0

Следовательно, в силу произвольности A > 11W(

(i

(2) 1

— выполняется неравенст-

v n )

во||f - PIфК,[-1,1] < 11 ^

о Л

v n J

Отсюда легко получается требуемое неравенство (4).

Оценки через модули Ф-гладкости

Как отмечалось выше, Б.И. Голубов [3] для непрерывных на данном отрезке функций f (х) (для периодических - аналогично) ввел величину Wф (S, f). Используя ее,

определим теперь модули Ф-гладкости высших порядков.

Пусть функция f (х) непрерывна на некотором конечном отрезке [a, b] или является 2ж-периодической непрерывной (и тогда роль отрезка [a, b] играет, например, отрезок [-п, п]).

Модулем Ф-гладкости порядка r (r = 1,2,...) назовем величину Wф,r (S, f) = sup Wф (| h |, A^f) (S > 0).

\h\<S

Заметим, что в силу возрастания функции Wф (S, f) относительно S > 0 выполняется равенство Wф,1(S, f) = Wф (S, f) (S > 0).

*

Оценки наименьших полиномиальных уклонений функций f е Кф через Wф (S, f), а следовательно, через Wф r (S, f) при r = 1, получены в работе [7].

Поэтому представляют интерес такие оценки при r > 2. Оценки, о которых идет речь, при всех r = 1, 2,... вытекают непосредственно из теорем 1 и 2, доказанных выше в §2, и из следующего утверждения.

-.—ж- П *

Теорема 3. Пусть для данной допустимой функции ф (и) функция f е Кф на данном отрезке. Тогда при каждом r = 1, 2,... и всех S > 0 выполняется неравенство Wфr )(S, f) < 2^ф,г (S, f).

Доказательство. Пусть функция f (х) является 2ж-периодической непрерывной. Случай непрерывных на отрезке функций рассматривается вполне аналогично. Пусть \ h \< S и для произвольного s > 0 и данного r = 1, 2,... положим W = 2W^r(\ h \, f) + s .

Возьмем произвольное разбиение - п = х0 < х1 < ... < хт = п (m = 1, 2,...) и для определенности будем считать h > 0 . Рассмотрим сумму

/

S = ^ф 1 ^ (f, X)-Arh (f, хг-1)

i=1

W

и разобьем ее на две части: в Х1 включим все слагаемые суммы S, для которых выполняется неравенство Ах, = х, _ х,_1 < h, а в X2 включим все остальные слагаемые суммы S (для которых Ах, > h). Тогда, применив неравенство Иенсена к выпуклой вниз функции Ф (и) , получим

/ 1

S = XIФ[ ¥ А1, А—1 (/, х _1+h)—ААх, Аг1 (/, х—1)

+

j

+ £2 Ф 1 А/А^1 (I, х ) - а; А;-1 (I, х, )

1 \Г-1,

W

<

( 1 1

<£1 Ф[ р |А1, I, X-1 + И)| + р К а;_1( I, X-1)

+

1

+£2 Ф 1 а;А/ЧI, х) +1А;А;-1(I, х-1)

1

1 к г-1,

2

< 1 £1Ф 2 аА, а;_1( I, х,--1+г +1 £ ф ^ аА, I, х-1)

<

2

1 аГ-1,

2

2

р

+

1 ^ 2 ,1 1ГЛ 1 ^ (2 Л

+2 £ 2 Ф( р АИ А^( I, х,) / 2 £ 2 ф[ р а; АТЧ I, х,-1)

Как и выше, символ суммы £1 (соответственно £2) означает, что эта сумма распространяется на все те индексы - (1 = 1, 2,..., т), для которых Ах, = х, - х,-1 < И (соответственно Ах- > И). Тогда, преобразуя правую часть с учетом значений первых разностей А А. и А1; и переставляя полученные четыре суммы местами, имеем

1 /о Л

2'

2

5 < 1 £1Ф р АГи~1(I, х, + И) - Аги"1(I, х-1 + И)

+

1

/

+ 2 £2 Ф| р АИ (I, х + И) - А/ (I, х)

1 (? Л + 2 £1 Ф[ р |АГИ_1( I, х ) - А/г"1 (I, х-1)

+

1

( 2

2 £2 ф[р | А/1 (I, х-1 + И) - А/-1 (I, х-

В слагаемых первой суммы положим а, := х,, а,-1 := х,-1.

В слагаемых второй суммы для узлов выполняется неравенство х,-1 < х, - И < х,; для них введем новые обозначения: а, := х,, а,-1 := х, - И .

В слагаемых третьей суммы положим: bi := х,, bi-1 := х,-1.

Наконец, в слагаемых четвертой суммы выполняется неравенство х,-1 < х,-1 + И < х,, поэтомудля них введем новые обозначения: Ь, := х,-1 + И,

ь-1 := х,-1.

Объединив эти суммы в новых обозначениях узлов: первую сумму со второй, а третью сумму с четвертой, получим

1 т (2

5 <1 £ Ф^2 А/"1 (I, аг + И) - А/-1 (I, аг _х + И)

2

Ж

,=1 V 1 т ( 2

+

+ 1 £Ф ^ А/"1 (I, Ь ) - А/"1 (I, Ь,-1)

г-1,

2

, =1

При этом выполняются неравенства ai - ai< h, bi - bi< h (i = 1, 2,..., m). Отсюда, т. к. еще W = 2ЖФ r (| h |, f) + s (s > 0 ), получим S < 1. Учитывая произвольность £ > 0, имеем Wфr}(| h |, f) < 2WФ,r (| h |, f).

Для завершения доказательства остается перейти к супремумам при | h |< 5 .

Оценкичерез смешанные модули непрерывности

Смешанные модули непрерывности естественным образом возникают в задачах полиномиальных аппроксимаций функций с интерполяцией в наперед заданных узлах и введены в работе [10]. Оказывается, смешанные модули непрерывности могут эффективно применяться и в задачах теории приближения функций относительно вариационных метрик.

Ниже рассматривается случай периодических функций, а в случае непериодических функций смешанные модули непрерывности определяются несколько иначе [10].

Пусть функция f(x) является непрерывной и 2ж-периодической и пусть r - дан-ноенатуральное число.

Тогда смешанным модулем непрерывности порядка (1, r) функции f (x) при 5 > 0 назовем величину

Ш1,r(f,S) = s-up-jl^A(f, x)|: min|^,l h || < x e [_^]j.

Следующее утверждение посредством доказанных выше теорем 1-3 позволяет получить оценки скорости наилучших полиномиальных аппроксимаций функций в метриках Ф-вариаций Орлича через более простую по структурехарактеристику приближаемой функции, чем модули Ф-абсолютной непрерывности и модулиФ-гладкости, а именно через смешанные модули непрерывности.

Теорема 4. Пусть для данной допустимой функции Ф (и) 2ж-периодическая непре-

*

рывная функция f e Уф и пусть r - данноенатуральное число. Если отношение со1 r (f,5)

—L—1- представляет собой неубывающую функцию при 5 > 0, то имеет место не-

®ir (f ,5)

равенство ^ +1(5, f) < ' (5 > 0). , Ф 1(5)

Доказательство. Пусть 5 > 0, 0 <| h |< 5 и - л = x0 < x1 < ... < xm = л (m = 1, 2,...) - произвольное разбиение с xi - xi_1 <| h | (i = 1, 2,..., m ). Возьмем любое

w mlr (f ,|h|) +

s > 0 и W = —-+ s .

Ф-1(^|)

Тогда дляразбиения - л = x0 < x1 < ... < xm = л (m = 1,2,...) и

| Ах- 1 Ах-

Axi = xi - xi-1(i = 1, 2, ...,m), очевидно, имеем minj—-,| h |j = —- (i = 1, 2, ...,m).

[ 2л J 2л

Поэтому по определению смешанного модуля непрерывности порядка (1, r) получим

m С 1 Л m С 1

S :=Еф ™ A (f, х-)-A (f, x-i) <^Ф - A^ Arh (f, xt_i)

i=i VW J i=i VW 1

<

m

<ЕФ

i=i

W

f,-

x xi -i

2n

JJ

С г ( /, 1)

Воспользуемся тем, что отношение —- неубывающая функция при 1 > 0 , и

Ф -i(t )

Ghr (f ,1 h |) неравенством W > —2—:-. Тогда

Ф-i(l h |)

± r (f ,l h l) Ф-i

W Ф-i(| h |)

s <еф

i=i

x,- - x

Л

i-i

m

<ЕФ

JJ i=i

Ф

-i

x - x

\\

i-1

2^

i.

JJ

Значит, при любом 0 <| h |< S имеем:

Wф,r +i(| h |, f) < W =

®i,r (f ,|h|). (f ,S)

Ф-i(| h |)

+ £ <

ф-i(S)

+ £ .

В силу произвольной малости £ > 0 , переходя к супремуму в левой части, получим требуемое.

Замечание. Ясно, что с1 0(/, 5) = со (5, /) (5 > 0). Поэтому теорема 4 при г = 0 также справедлива; в этом случае утверждение теоремы 4 доказано в [7].

Литература

1. Muzielak J. and Orlitz W. On generalized variations// Studia Math. - i959. - V. i8. -P. ii-4i.

2. Love E.R. A generalization of absolute continuity // L. London Math. Soc. - i95i. -V. 26. - P. i-i3.

3. Голубое Б.И. Критерии компактности множеств в пространствахфункций ограниченной обобщеннойвариации // Изв. АНАрм. ССР. - i968. - №3. - С. 409-4i6.

4. Joung L.C. An inequality of the Holder type, connected with Stieltjes integration // Acta Math. - i936. - V. 67. - P. 25i-282.

5. Терехин А.П. Приближение функций ограниченнойр-вариации // Изв. вузов. Математика. - i965. - Т. 45, №2. - С. i7i-i87.

6. Рамазанов А.-Р.К. Равномерные рациональные приближения функций с производными конечной Ф-вариации // Вестник МГУ. Серия «Математика». - i98i. - №5. -С. i5-i9.

7. РамазановА.-Р.К. On approximation of functionsin terms ofФ-variation // Analysis Mathematica. - i994. - V. 20. - P. 263-28i.

8. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. - М.: Наука, i977.

9. Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. - М.: Физматгиз, i96i.

10. Рамазанов А.К., Рамазанов А.-Р.К. Смешанные модули непрерывности и их применение в полиномиальных аппроксимациях с интерполяцией // AnalysisMathemati-ca. - 2009. - V. 35. - P. 2i3-232.

i

г

Поступила в редакцию 10.12.2012 г.