ОЦЕНКА НАИЛУЧШИХ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ ОГРАНИЧЕННЫХ ФУНКЦИЙ СО ЗНАКОЧУВСТВИТЕЛЬНЫМ ВЕСОМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.51

А.-Р.К. Рамазанов1'2, В.Г. Магомедова1'3

Оценка наилучших полиномиальных приближений ограниченных функций

со знакочувствительным весом

1 Дагестанский государственный университет; Россия, 367001, г. Махачкала, ул. М. Гаджиева, 43 а;[email protected], [email protected] 2Дагестанский научный центр РАН; Россия, 367001, г. Махачкала, ул. М. Гаджиева, 45; 3 Дагестанский государственный университет народного хозяйства; Россия, 367008, г. Махачкала, ул. Атаева, 5

Для ограниченных на отрезке функций построена структурная характеристика (обобщенный модуль непрерывности) относительно знакочувствительного веса и черезнее получена точная по порядку оценка наилучших полиномиальных приближений ограниченных на отрезке функций в метрике знакочувствительного веса, которая учитывает не только абсолютную величину, но и знак погрешности приближения.

Ранее известная оценка была точной на классе непрерывных функций и не отражала существа дела при переходе на более широкий класс всех ограниченных функций.

Более того, из полученного результата как частные случаи получаются ранее известные оценки полиномиальных приближений.

Ключевые слова: полиномиальная аппроксимация, знакочувствительный вес, малый параметр, модули непрерывности, оценка наилучших приближений, полунорма с весом.

По Е.П. Долженко и Е.А. Севастьянову (см., напр., [1, 2]),знакочувствительным весом на множестве E с (—ад,+ад) называется упорядоченная пара

p (х )=(p — (х ), p +(x )) определенных и неотрицательных наЕ функций p— (х) и

Р+(х ).

Будем считать множество^ некоторым отрезком А = [a, b], а компоненты веса p—(х) и p +(х)- ограниченными на А функциями; в этом случае вес p(х)также называется ограниченным. Тогда р-нормой ограниченной на отрезке А функции f (х) называется следующая величина:

\Лр =1 АрЛ= suPf +(х )p +(х)+ f "(х ) p—(х ): х еА};

здесь, как обычно, f+(х) = maxf (х), 0} и f "(х) = (— f (х ))+ - срезки функции f (х).

Легко показывается, что для любых ограниченных на А функций f (х), g(х) и веса p(х) = (p— (х), p+ (х))имеем:

1) Iflp >

2) \tf\p = t\f\p при t > °;

3) If + g| < I f\ + Igl .

' W °\p Kip 1° lp

Следовательно, р-норма является сублинейным функционалом на множестве ограниченных на данном отрезке функций. Если вес p(x) = (p_ (x), p+ (х))таков, что |f | = 0 лишь при f (х) = 0, то р-норма является масштабной функцией или функционалом Минковского.

Функционалы Минковскогов качестве несимметричных норм рассматривали М.Г. Крейн и А.А. Нудельман [3]. Такие нормы соответствуют случаю р-нормы, когда компоненты веса p_(x) и p+(x) непрерывны и строго положительны на А. Однако в этом случае изучение вопросов полиномиального приближения функций в р-норме принципиально мало, чем отличается от их изучения в обычной равномерной норме

If II HIf 1А = sup { f (x)|: x бА|,

которая совпадает с р-нормой \ f\p а в частном случае веса p(x) = (1,1).

В общем же случае, когда допускаются разрывы или обращение в нуль компонент веса, многие вопросы теории приближения имеют нестандартные ответы и требуют другой методики исследований.

Систематическому изучению вопросов приближения функций в р-норме относительно произвольного знакочувствительного веса начало положили работы Е.П. Дол-женко и Е.А. Севастьянова. В частности, ими изучены [1, 2, 4]вопросы существования, единственности и устойчивости элемента наилучшего приближения, введены и исследованы важные характеристики: свобода и жесткость системы "Вес - Аппарат приближения", которые играют существенную роль и в обратных теоремах теории приближения вр-норме. Характеризация полинома наилучшего приближения непрерывной функции вр-норме дана в [5]. Вопросам полиномиальных аппроксимаций в несимметричных нормах, порожденных парой весовых функций, посвящены работы А.И. Козко [6], А.В.Покровского [7], Али Мустафа Б.Г. [13, 15] и др.Аналог неравенства Маршо о связи модулей непрерывности различных порядков для знакочувствительных аппроксимаций получен в работе [8].

Следующая задача о прямых теоремах теории приближения вр-нормепоставлена Е.П. Долженко:найти структурную характеристику(аналог модуля непрерывности) ог-раниченныхфункций f (x)( x g А ) для оценки их наилучших полиномиальных приближений вр-норме относительно ограниченного на Авеса p(x)=(p_(x), p+(x)), т. е.величины

En (f,p, А) = inf (IQ _ f А : Q g Pn J (n = 0,1 ...) .

Если функция f (x)и вес p(x) = (p_(x), p+(x))непрерывны на отрезке А = [а, b], то аналог модуля непрерывности f (^относительно знакочувствительного веса можно определить, как обычно, взяв p -норму приращения функции, т. е. равенством

w(f, p,s) = supfh _ f I А (fh(x) = f (x+h); s > 0).

|h|<5

Будем придерживаться также обозначенийco(f ,S) = supf _f|| ,

|h| <s

a( p ,S) = max {э( p _ ,S), a( p + ,S)J.

Тогда, как показано в [9], прип = 1, 2, ... имеет место неравенство

i и

b — a

En (f, p, А) < бю f, p,- + 8ю f,

V

n

b—a

b—a

ю p,- . (1)

n J V n J

Оценка (1) является неулучшаемой (с точностью до коэффициентов слагаемых правой части) на классах непрерывных функций и весов с заданными модулями непрерывности.

Однако существуют разрывные функции f (х) и веса p (х), для которых ю(f,p,S) не стремится к нулю при 8 — °(для них, очевидно, ю(f ,8^)и co(p,8) также не стремятся к нулюпри 8 — °), и при этом En (f, p, А) — ° при П —> да . В качестве примера можно взять f (х) = sign х (х е [—1,1]), p — (х) = 1при х е [—1,0]и

p— (х) = 0при х е (0,1], p + (х) = 0 при х е [—1,0) и p+ (х) = 1при х е[0,1].

Значит, в случае разрывных функций f (х)и весов p (х )условие для аналога модуля непрерывности o(f, p,8) — 0 (8 — 0) не является даже критерием полиномиальной аппроксимируемости функций в р-норме. Необходимые и достаточные условия-сколь угодно точной аппроксимируемости ограниченной на отрезке функции посредством полиномов вр-норме относительноограниченного знакочувствительного веса получены в [10].

Для адекватных оценок полиномиальных приближений ограниченных функцийв р-норме структурную характеристку функций следует определять по-другому.

В [11] аналог модуля непрерывности ограниченной функции построен путем полунепрерывных регуляризаций этой функции относительно заданного знакочувствитель-ного веса. Ниже дается более простое по формеи для оценок определение этого обобщенного модуля непрерывности в р-норме с использованием малого параметра,и получена новая оценка наилучших полиномиальных приближений ограниченной на отрезке фукции в р-норме относительно ограниченного знакочувствительного веса.

Пусть функция f (х) и вес p(х) = (p.^), p+(х)) ограничены на некотором отрезке А = [a, b].При В > 0 положим

А(p ± > в) = {х е Аp±(х) > в}. Если А(p± > В) Ф 0, то обозначим также

d = inf {х — у\: х е (p— > в), y е А(p + > в)}. Промодуль непрерывности функции f (х) относительно веса p (х) определим сначала для В > 0 с А(p± > в) Ф 0при заданном 8 > 0 равенством

Пв( f, p,8) = sup[f (х) — f (у)]+,

где супремум берется по всем х е А(p_ > в)и у е А(p + > в), для которых

|х — у\ < 8 .

Заметим, что если p — (х) = p + (х) = 1, то при всех 0 < в < 1 имеем А(p— > в) = А(p+ > в) = А. Поэтому для веса p(х) = (1,1) промодуль непрерывности QB (f, p, 8) превращается в обычный модуль непрерывности ю( f ,8) функции f (х) на отрезке А.

Если при заданном £ > 0 хотя бы одно из множеств А(р + > £) пусто, то при всех д > 0 считаем О£ (/, р, д) = 0.

Если между множествами А(р_ > £) и А(р+ > £) расстояние d > 0, то при 0 < д < d (и для этого £ )считаем также О£ (/, р,д) = 0.

Модуль непрерывности функции У(х) относительно веса р(х)определим при

£ > 0 и д > 0 равенством о£(У, р,д) = lim О£(У, р, h).

Н^-д

При фиксированном £ > 0функция о £ (/, р, д ) относительно д > 0 является неотрицательной, неубывающей и полунепрерывнойсверху (может быть разрывной, а также может быть о£ (/, р,0) > 0); при фиксированном д > 0 функция (д£ (У, р, д) относительно £ > 0является невозрастающей.При этом [8] для ограниченных на некотором отрезке А = [а, Ь ] функций У(х)и весов р(х)=(р_(х), р+(х)) условие Еп(У,р, А) ^0(П ^да) эквивалентно выполнению равенства о£ (/,р,0) = 0 при всех д.м. £ > 0.Более того, имеет место

Теорема. Пусть функция у(х) и знакочувствительный вес р(х) = (р_ (х), р+ (х)) ограничены на некотором отрезке А = [а, Ь] и пусть

О(У, А) = sup{ У(х) _ У(у): х, у eА}, ||р|| а = тах{|| р_ ||а ,|| р + ||а} осУ р,0)=0

н^на """'ш^на'н^ + напри всех д.м. £ > 0 .

Тогда при п = 1, 2, ... выполняется неравенство

Г ( Ь _ ал

Еп (/, р, А) < 2МГ О(/, А) -£+|р||А Ш£ У, р,

£>0 [ А

(2)

V п )

Доказательство теоремы. Пусть сначала £ > 0 - любое фиксированное число с А(р + > £) Ф 0.

Для краткости обозначим® (д) = о£ (У, р,д) (д > 0)и построим кусочно-линейную и непрерывную функцию g (х) такую, что: 1) g (х) = О) при t = 0 и t = Ь _ а;

оч (Ь _ а Л Г /ч|

2) g - = 8ир<ю(0 t е

V п ) [

3) g ^) линейна на отрезках

Ь _ а Ь _ а

V п п _ 1 Ь _ а Ь _ а

п п _ 1

при п = 2, 3, .; (п = 2, 3, ...).

„ Ь_а ^Ь_а

Тогда при п = 2, 3, .и-< t <- выполняются неравенства

п +1 п

/ ч ^ / ч ^ (Ь _ аЛ

О) < g ^) < о --

V п _ 1.

Прих е А(р_ > £) определим полунепрерывную сверху функцию

М_(х, £) = 11т sup{У^): t е [х _д,х + д] п А(р_ > £)}.

д^+0

Тогдафункция

р(х) = sup{M — (t, в) — g(х —1|) t е А(p— > в)} будет непрерывной на отрезке А = [a, b], причем при всех х, у е А выполняется неравенство |р(х) — р(у) < g(х — у|). Из результата Н.П. Корнейчука (см., напр., [12]) об оценке наилучших приближений непрерывных 2п -периодических функций тригоно-

b — a b + a

метрическими полиномами с помощью замены переменной х =-cos t +--легко

2 2

следует, что существует алгебраический полином Qn (х) степени не выше п(п = 1, 2, ...) такой, что

f b — a п ^ ^ ~ f b — aЛ

р,—:---- < 2ю

\\Qn - п Д < Я

П-7

V П + 1 у

2 п +1У

Значит, с учетом свойств построенных функций р( х) и g ) при п = 1, 2, .. .получим

ГЬ - (Ь - аЛ

\\Qn -пд < 2s

< 2я

V п +1У V п У Легко доказать также, что при рассматриваемом е > 0 выполняется неравенство

(- /\ А< 20(/, А)е. С использованиемпоследних двух оценок получим

<

Qn- А д < п-А д +Qn-п

< 2q(f, д)£ + || p|| д.| Qn -п <

< 2Q(А, д)s + 21 pli д Я

д V n у

Следовательно, при любом ^ > 0 с Д(p + > s) Ф 0 и п = 1, 2, .. .имеем

Д

Д (b -

Qn - Ад< 2Q( f, Д)г + 2p\\ д Я£ А, p,

b - а

V п У

Пусть теперь при заданному > 0 хотя бы одно из множеств А(р + > е) пусто, а значит, (Ое (/, р, 5) = 0 при всех 5 > 0.

Пусть, например, А(р + > е) = 0, т. е. р + (х) < е при всех х Е А. Возьмем для всех п = 1, 2, .в качестве полинома Qn (х) степени не вышей постоянную

вп (х) = $ир|/(х)| х еА}. Тогда, очевидно, при всех х Е А имеем

¡вп (х) - /(х)]+ < П(/, А), [0п (х) - /(х)]- = 0,

апоэтому

вп - /А = sup([вn (х) - /(х)]+ р+ + [вп (х) - /(х)]- р- (х)) < П(/, А)е.

хеА

Итак, при любом е > 0 существует полином вп (х) степени не вышеп(п = 1, 2, ...), для которого выполняется неравенство

I, „ ( b - аЛ \Qn - f\д — 2П(/, A)s + 2||р||д f, Р,- ,

V n

а значит, при всех s > 0и п = 1, 2, ... выполняется неравенство

( b - а Л

En (f, p, Д) — 2Q(f, A)s + 2 Р д ®s f, Р,- .

||Д V n J

Чтобы получить неравенство (2), остается перейти в правой частик инфимуму по всем

s > 0.

Литература

1. Долженко Е.П., Севастьянов Е.А. Аппроксимации со знакочувствительным весом (теоремы существования и единственности) // Изв. РАН. Сер. матем. - 1998. -Т. 62,№6. - С.59-102.

2. Долженко Е.П., Севастьянов Е.А. Аппроксимации со знакочувствительным весом (устойчивость, приложения к теории ужей и хаусдорфовым аппроксимациям)// Изв. РАН. Сер. матем. - 1999. - Т.63,№3. - С.77-118.

3. Крейн М.Г., Нудельман А.А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. - М.: Наука, 1973. - 552 с.

4. Севастьянов Е.А. О проблеме Хаара для знакочувствительных аппроксимаций // Матем. сборник. - 1997. - Т. 188,№ 2. - С. 95-128.

5. Рамазанов А.-Р.К. Характеризация полинома наилучшего приближения непрерывной функции со знакочувствительным весом // Мат. сборник. - 2005. - Т. 196, № 3. - С. 89-118.

6. Козко А.И. О порядке наилучшего приближения в пространствах с несимметричной нормой и знакочувствительным весом на классах дифференцируемых функций// Изв. РАН. Сер. матем. - 2002. - Т. 66,№1. - С.103-132.

7. Покровский А.В. О наилучшем несимметричном приближении в пространствах непрерывных функций// Изв. РАН. Сер. матем. - 2006. - Т.70, №4. - С.175-209.

8. Рамазанов А.-Р.К., Магомедова В.Г., Ибрагимова Б.М. О взаимосвязи модулей непрерывности со знакочувствительным весом непрерывной на отрезке функции// Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. - 2015. - №2. - С.36-41.

9. Рамазанов А.-Р.К. О прямых и обратных теоремах теории аппроксимации

в метрике знакочувствительного веса// Analysis Mathematica. - 1995. - T.21, №4. -С. 191-212.

10. Рамазанов А.-Р.К. Знакочувствительные аппроксимации ограниченных функций полиномами // Изв. вузов. Серия математика. - 1998. - №5. - С. 53-58.

11. Рамазанов А.-Р.К. Метод малого параметра для знакочувствительных аппроксимаций// AnalysisMathematica. - 2002. - Т.28. - С.205-230.

12. Корнейчук Н.П. О наилучшем приближении непрерывных функций // Изв. АН СССР. Серия матем. - 1963. - Т. 27, №1. - С. 29-44.

13. Али Мустафа Б.Г. Оценки интегральных полунорм производных тригонометрических полиномов относительно знакочувствительного веса // В мире научных открытий. Серия математика. Механика. Информатика. - Красноярск, 2013. - №6 (42). -С. 83-99.

14. Али Мустафа Б.Г. Оценки полиномиальных приближений в метриках вариаций через модули гладкости // Мониторинг. Наука и технологии. - Махачкала, 2013. - № 2 (15). - С. 94-98.

15. Али Мустафа Б.Г. К обратной теореме теории приближения: аналог теоремы С.Б. Стечкина // Матер. VI Всероссийской научно-практической конф. «Научная инициатива иностранных студентов и аспирантов российских вузов». - Томск, 2013. -С. 46-48.

Поступила в редакцию 26 сентября2015 г.

UDC 517.51

Estimate of the best polynomial approximation of bounded functions with sign-sensitive

weight

A.-R.K. Ramazanov1'2, V.G. Magomedova1'3

1Dagestan State University, Russia, 367001, Makhachkala, M. Gadzhiev st., 43 a;[email protected], [email protected]

2Dagestan Research Center of RAS; Russia, 367001. Makhachkala, M. Gadzhiev st., 45 3Dagestan State Institute of National Economy, Russia, 367008, Makhachkala, D. Atayev st., 5

Structural characteristic (the generalized modulus of continuity) with respect to the signsensitive weight for the functions bounded on the interval is introduces, and by means of it exact estimates of best polynomial approximation of functions on an interval in the metric of sign-sensitive weight that takes into account not only the absolute value and sign of the error of approximation has been obtained.

Until now estimate was exact only for the class of continuous functions and did not satisfy the class of bounded functions.

Moreover, estimates of polynomial approximations are obtained from this result as special

cases.

Keywords: polynomial approximation, sign-sensitive weight, small parameter, modulus of continu1(у, estimates of best approximation, seminorm with weight.

Received26September, 2015