Об условиях существования полинома наилучшего приближения в метрике знакочувствительного веса Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.5

ОБ УСЛОВИЯХ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПОЛИНОМА НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ В МЕТРИКЕ ЗНАКОЧУВСТВИТЕЛЬНОГО ВЕСА

© 2008 г. З.А. Рамазанов

Дагестанский государственный университет, Dagestan State University,

367000, Дагестан, г. Махачкала, ул. Гаджиева, 43а, 367000, Dagestan, Makhachkala, Gadjiev St., 43a,

[email protected] [email protected]

Решена одна открытая задача о существовании полинома наилучшего равномерного приближения со знакочувствительным весом для ограниченных функций.

Ключевые слова: условия существования, полином наилучшего приближения, ограниченные функции.

One open problem of existence of the polynomial of best uniform approximation with sign-sencitive weight for bounded functions is solved.

Keywords: conditions of existence, best polynomial approximation, bounded functions.

Знакочувствительный вес на

отрезке Д= |ib определяется как упорядоченная пара неотрицательных функций р_ ( и р+ ( заданных на А . Вес р ( называется ограниченным на отрезке А , если обе его компоненты р_ С и р+ С ограничены на этом отрезке.

Для заданной на отрезке А функции f следуя [1], определим разложение её по знакочувствитель-ному весу где

/+OmaxiO , и означают

соответственно положительную и отрицательную части функции / ( .

Тогда р -норма ограниченной на отрезке А функции / С относительно ограниченного на нем веса р ^ определяется равенством

\АР=\АРЛ=^\]•

Легко заметить, что р -норма обобщает обычную равномерную норму ||/||д = sup ]} х е А (что соответствует случаю веса p4j= (.1). а выбор компонент веса р С позволяет в аппроксимациях относительно p -нормы учесть не только модуль ошибки уклонения приближающих функций от приближаемой, но и знак этого уклонения.

Вопросы существования и единственности элемента наилучшего приближения для знакочувстви-тельных аппроксимаций, в частности, для p -нормы изучены в ряде работ Е.П. Долженко и Е.А. Севастьянова [1, 2]. Существенную роль при этом играет введенная ими характеристика - свобода системы «знакочувствительный вес - приближающие функции», которая в случае множества Нп всех алгебраических полиномов степени не выше п (i = 0.1____ определяется равенством

W = Wf,,H„ > sup Йд ЩрЛ : Q е H„,Q ф 0 .

Для наилучших полиномиальных приближений в р-норме !■:„<[■ шГ $-f\pA:QeHn Jí 0.1....;

известно [1], что если (i - 0.1____, то

для любой ограниченной на отрезке А функции /С существует полином Рп е Нп наилучшего приближения в р -норме, т.е. полином Рп е Нп с

\рп=АрЛ=Еп$>Р>^ Если же то

имеются даже непрерывные на А функции / ^ для которых полином наилучшего приближения в р -норме не существует. Более того, в случае УТф,оо для наличия у каждой непрерывной на отрезке А функции полинома наилучшего приближения (из Hn) в p -норме необходимо и достаточно условие: каждая точка пересечения (замкнутых) носителей компонент веса р_ и р+ (¿^ является изолированной точкой объединения этих носителей.

Однако заметим, что это условие, будучи необходимым условием существования полиномов наилучшего приближения в p -норме для всего класса непрерывных на А функций в целом, не является таковым для индивидуальных непрерывных на А функций.

Действительно, для функции f 4fj=x2 на отрезке |,1_ полином I\ х является полиномом наилучшего приближения первого порядка в р -норме, если в качестве компонент веса взять функции: р { 1 при хе и 0 при хе{},1_,

хотя точка х = 0 принадлежит пересечению носителей компонент веса и при этом является предельной точкой объединения этих носителей.

В случае W НИ ]= у- оставался открытым вопрос о необходимых и достаточных условиях для существования полинома наилучшего приближения ограниченной на отрезке А функции в р -норме относительно ограниченного на А знакочувствительно-го веса

1G

Ниже для решения этой задачи вводится другая характеристика, а именно для ограниченного на отрезке А

веса р С" 3~ 4?- С" У- ^ I и заданного // - 0.1____

полагаем Н п У ¡п Г д , где инфимум берется

по всем полиномам О ^У со + х +... + спх" из Нп с

Ы+Ы+---+Ы=1.

Легко показать, что для данного п = ОД,... и ограниченного на А веса условия 3= 0 и IV 4?. Ни У у- эквивалентны.

Нетрудно увидеть также, что если вес р^ ограничен на А , то при каждом п = ОД,... в силу ограниченности и замкнутости множества точек ^ с |с0| + |с1| + ... + |с„| = 1 в + 1 -мерном действительном пространстве существует полином сй+с\х + ... + с„хп такой, что |с0| + |с1| + ... + |с„| = 1 и \0,\р д = . Назовем его р -экстремальным

полиномом на А.

Для ограниченных на отрезке А функции / ^ и веса р^У будем говорить, что ал-

гебраический полином () ^ доминирует в точке х0 е А над функцией с весом р ^ . если существуют числа д > 0. Я > 0. А и причем В = 0, когда х() служит корнем нечетной кратности полинома Для этих чисел при хеД > 0 (о - д. х() + д и х е А 4> | > 0 ^1 - с). х0 + 5 выполняются соответственно неравенства:

щоцул+въ-хо > О /О- *УЕп К- (1)

3+ О/0+ ОЕ»р,К- (2)

Как обычно, А ^ > 0 для функции ц ^ , определенной на А , обозначает множество всех х е А с д 0: если же при некотором 5 > 0 интервал Со -Л'.л'о + <■> не пересекается с множеством и/или

Л(, >0 . то считаем, что неравенство (1) и/или (2) выполняются с произвольными Л > 0, А и В .

Имеет место

Теорема. Пусть функция /С,, и вес />СЗ~ ограничены на отрезке Д= \.Ь _

и для заданного п ^ = 0.1____ свобода системы

7ГЪ,НпУ со.

Тогда для существования полинома Рп с Н п с \Р„-^рА=Е„<[,необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из р -экстремальных полиномов Оп С" на А не имел нулей или доминировал во всех своих нулях над функцией / ^ с весом р ^ .

Замечание. Как показано в [2], если вес р^У = 4р СЗ ограничен на отрезке А , при заданном

п ^ - 0.1____ свобода системы IV Ни У и для

данной ограниченной на А функции полином

наилучшего приближения Рп е Нп с 1¡'п /] д =

= En f, p,A. существует, то он не единствен.

Доказательство. Необходимость. Пусть для заданного п (¡ - 0.1____ существует Рп е НИ с

\I>n-f\pA аА. и пусть некоторый р-

экстремальный полином Qn е Нп с \Q,\p л =0

(¡Liip.Hп 3= 0. так как по условию W ф. НИ J= х) имеет нули на отрезке А .

Если а е Д является нулем Оп кратности 2т +1 или 2т + 2 при некотором натуральном т , то после деления Оп С" на С' - а 3"' получим полином степени не выше л , для которого а является соответственно простым или двукратным нулем, причем новый полином сохраняет знак полинома Оп С в каждой точке из А, отличной от нулей Оп С" - Разделив при необходимости новый полином на сумму модулей его коэффициентов, получим p -экстремальный полином с нулевой р -нормой на А. Поэтому будем считать, что все нули Х| < х2 <... < x/f к < п полинома Оп на отрезке А являются простыми или двукратными.

Пусть х, 1.2.....к - простой корень полинома

и пусть для определенности 0п(^0 при хе С, .х, +í) и С)И " ПРИ х е - S. х, для некоторого <5 > 0. Тогда из д = 0 вытекает, что

Р+ Р- ^^ 0 ПР11 х е ^ > xi + $^ и Р-

при хе -S,x¡ . Поэтому при л-е -д

получим ['„O/Oi'-O

Следовательно, существует такое число Л> 0, что при х е А > 0 jp 4¡¡ - 5, x¡ + S ^ выпо лняется

неравенство Ю„ <3- ^У [» ^Ур„ 4'i 3 4'У >О En f,РАУ Pn X У откуда непосредственно получается (1) с А = 1'И и В — 0 (так как х, - простой корень Q„ C" J. При необходимости, увеличив Л> 0, для х е А^>+ > Oj^i ~5,Xj +5^ аналогично получим

¿a <->+ <-> /<->+ <->/•;„ <[-р-±уг„ ;>+ <-;;

что дает (2) при = /*„ ^ и В = 0.

Пусть теперь х( 1.2...../г - двукратный корень

полинома Q„ ií . Тогда существует такое § > 0, что либо Оп ^ У 0 при х g -S.xt +с) 3 хт^х-j, а поэтому /) ( 0, ( З5* 0 для таких х, либо

Оп С" 3< 0 при x е ~ xi + ¿33 х ^ хг - И тогда 0. С' З"" 0 • Поэтому в первом случае (когда Оп ^ У 0) существует такое Л> 0, что при

х е А > 0 j^i С"г ~ хг + ^ , имеем С" С' З5"

- fe, <: р„ < у к < > - <->

>/<>_<3-епд> I < >р;гi >-хгX«3

Отсюда получим неравенство (1) при /1 = 1'И _ и

B=PA¿-

Аналогично во втором случае (когда 0И 4~}:- 0) получим неравенство (2) с теми же А и В при х е А4?+ > 0 ^ ^ - х^ + д .

Следовательно, полином ()п 4_ в своих нулях X; 4=1,2,...,к на отрезке А доминирует над функцией / С с весом р4 ■

Достаточность. Если р -экстремальный полином Оп 4, не имеет нулей на отрезке А, например, (1п 4 3" 0 при всех х е А, то р+ 4~У 0 при всех х е А. Так как функция [ 4, ограничена на А, то существует такое Л> О, что Я@п4У /( при всех хеЛ, а поэтому \Ю„ д =0, и АО,, 4, при кадетом таком

Л> 0 служит полиномом наилучшего приближения для функции /^свесом р4 на отрезке А.

Пусть теперь х, <х2 <...<хк4<к<п - все нули р -экстремального полинома О,, 4_ на отрезке А , который доминирует в них над функцией с весом р 4 . Тогда существуют такие числа с), > 0. > О, А1 и Ви что для 7=1,2,...,к при >0^1 Г1 (г ~8,х1-+8 ^ и х е > 0^1 4г + 8 ^ соответственно выполняются неравенства

4 + 4 4- хг >0/ О- * > Еп С (3) +в14-х1^+4У/4%4УЕЛ,РЛ1. (4)

Будем считать <-), > 0 1.2.....к ^ столь малыми,

чтобы интервалы 41~8,,х1+д1 ^ не налегали друг на друга, а числа Яг- > 0 столь большими, чтобы неравенства (3) и (4) выполнялись соответственно при хеДф_ >0^ ,хм+ и

Разумеется, если концы отрезка а и/или Ь не входят в состав нулей полинома О,, 4 , то при выборе чисел Я| и/или л(<; учитываются точки отрезков \,х2-ё2_и \к_х+8к_ъЪ_.

Как и при доказательстве необходимости, можно считать, что нули полинома О,, 4 , на отрезке А являются простыми или двукратными. В противном случае мы перешли бы от нуля нечетной кратности к нулю х1 простому, а от нуля х- четной кратности к

нулю х,- двукратному; в результате получим р -экстре-

Тогда найдется такое число /? > 0, что для 7 = 1,2,...,к при х е А^Р- > \_j_i_ и х е Д ф+ > |г, | + ¿>, 1 • + 8, | _ соответственно имеем

(6)

(напоминаем, что !'>, = 0 для простого нуля х( полинома ()„ 43-

Положим Я = тах • Тогда заменив в

(3) и (4) \ на Я и сложив полученные неравенства соответственно с (5) и (6), получим

с ■+а О- О / О- О е О- О еп с, а а :

при х е > 0 , а при х е Аф+ >

с+о+ о /о+«> в о+ о еп г Р, д

Следовательно, для полинома 1}п ^

— С- + ^^¿п степени не выше « при х е Дф_ > 0 и х е Д 4?+ > 0 соответственно выполняются неравенства 4[4&УРп С" ^ Е„ 41-Р, А ,

^О/О+О^Саа:

Отсюда

1„4У/4^Р-4УЕп4(,Р,А"2хеА4?_>01;

\п О/41Р+ О Еп С, А А> е А> (Г. Так как |<>й

= тах /4Ур+4^„4У/4У.Р-4У,

Т0

С другой стороны, Рп е Ни. поэтому /•.'„

- - /ид' а следовательно, \Р„ = £„

Итак, при каждом с>Я + Ь полином = является полиномом наилучшего

приближения для функции / 4_. на отрезке А с весом р4

Теорема доказана.

Основной результат работы ранее опубликован в [3]. Литература

1. Долженко Е.П., Севастьянов Е.А. Аппроксимации со знакочувствительным весом (теоремы существования и единственности) // Изв. РАН. Сер. матем. 1998. Т. 62. № 6. С. 59-102.

2. Долженко Е.П., Севастьянов Е.А. Аппроксимации со знакочувствительным весом (устойчивость, приложения к теории ужей и хаусдорфовым аппроксимациям) // Изв. РАН. Сер. мат. 1999. Т. 63. № 3. С. 77-118.

3. Рамазанов З.А. К вопросу о существовании полинома наилучшего приближения со знакочувствительным весом // Вестн. Дагест. гос. ун-та. Естеств. науки. 2002. Вып. 4. С. 29-34.

мальный полином, для которого неравенства (3) и (4), очевидно, также будут выполняться.

Рассмотрим алгебраический полином О 4 степени не выше п такой, что для / = 1.2.....к имеем

С) 4, > А,. если х1 - простой нуль полинома Оп 4 ,- и О4, ^,.0'4, к'),. если хг - двукратный нуль полинома Оп

Поступила в редакцию 22 октября 2007 г.