ЕДИНСТВЕННОСТЬ ИНТЕРПОЛЯЦИОННОГО ПОЛИНОМА НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ $L(a, b)$ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2015. Вып. 4. С. 45-48

= Математика =

УДК 517.5

Единственность интерполяционного полинома наилучшего приближения в пространстве Ь(а, Ь)

Ал.А. Привалов

Аннотация. Приводится достаточное условие единственности полинома, наименее уклоняющегося от функции х € С [а,Ь] в пространстве Ь(а, Ь) среди всех полиномов, интерполирующих х в заданных точках отрезка [а, Ь].

Ключевые слова: пространство С[а,Ь], пространство Ь(а,Ь), интерполяционный полином, полином наилучшего приближения, единственность полинома наилучшего приближения.

В пространстве Ь(а, Ь) полином наилучшего приближения, вообще говоря, неединственен. Однако имеет место следующая теорема Д. Джексона.

Теорема Д. Джексона [1, с. 96]. Пусть Фп — система Хаара на [а,Ь] и х € С[а,Ь] . Тогда полином р € Фп, наименее уклоняющийся от функции х в пространстве Ь(а,Ь), единственный.

Напомним, что систему функций Фп С С[а,Ь] называют системой Хаара на [а, Ь], или Н-системой, если любой не равный тождественно нулю полином р по системе Фп имеет не более п — 1 нулей на [а, Ь].

Рассмотрим задачу о единственности полинома наименее уклоняющийся от функции х в пространстве Ь(а, Ь) среди всех полиномов р € Рп — п-мерного подпространства С[а,Ь], интерполирующих х в заданных точках ¿1,... , ^ отрезка [а, Ь], т.е. р (¿^) = ), Э = 1,... ,к, к ^ п. При наличии таких дополнительных условий утверждение, подобное теореме Джексона, перестает быть справедливым. Например, для многочленов первой степени (подпространства Р2) и функции х(Ь) = многочлен, наименее уклоняющийся от х в Ь(—1,1) и удовлетворяющий условию р(0) = х(0), неединственен.

Следуя С. Карлину [2, с.18] назовем систему функций Фп С С[а,Ь] системой Хаара порядка г, г ^ 1, или ЕТ-системой г-го порядка на [а,Ь] , если

Фп = {( € Сг-1[а,Ь], э = 1,...,п}

и определитель

А

Ыь)

<Ри(Ь )

(ЛЬ'п)

рп(Ьп)

отличен от нуля для всех наборов а ^ ^ ... ^ Ьп ^ Ь, где равенство может встречаться в группах не более чем из г последовательных значений Ьг, причем для каждого набора равных Ьг соответствующие им равные столбцы определителя А заменяются столбцами последовательных производных. Например, если а ^ Ь1 = Ь2 = ... = Ьд < Ьд+1 < ... < Ьп-1 = Ьп ^ Ь, то

А

рКЬ) ...(* %)

(п(Ь{) ^п(Ь1) ... (П-1\ь 1) Рп(Ьд+г)

рг(Ьп-1) ([(Ьп) рп (Ь п— 1) Р'п (Ьп)

Целью настоящей заметки является доказательство следующего утверждения.

Теорема 1. Пусть Е [а,Ь] и функция х Е С[а,Ь] дифференци-

руема в этих точках. Рп (к ^ п) — п-мерное подпространство С[а,Ь] , базис которого образует систему Хаара порядка 2. Тогда полином р Е Рп, доставляющий функции х наилучшее в метрике Ь(а, Ь) приближение и интерполирующий ее в точках Ь1,... , единственен.

Для доказательства теоремы нам потребуются три известные утверждения.

Лемма 1 [2, с.35-36]. Пусть Фп — ЕТ-система г-го порядка на [а,Ь]. Тогда число нулей любого нетривиального полинома по этой системе с учетом их кратностей не превосходит п — 1, при этом нули кратности г и выше считаются как г-кратные.

Лемма 2 [3, с.24]. Пусть Фп — Н-система на [а,Ь] и I + 2т ^ п — 1. Тогда для любых непересекающихся наборов точек (Ь1,... ,Ь) и (т1,..., тт) отрезка [а, Ь] существует полином р Е Фп, обращающийся в нуль только в этих точках, причем в точках Ьг, г = 1,... ,1, он меняет знак, а в точках

тз, 3 = 1

, т, не меняет знака.

Теорема Райса [4]. Пусть Р — подпространство Ь(а,Ь). Тогда для того, чтобы функция р0 Е Р доставляла наилучшее в метрике Ь(а, Ь) приближение функции х Е Ь(а, Ь) необходимо и достаточно, чтобы для любого р Е Р выполнялось неравенство

^и(х(г) — ро(г)))р(г)м

<

\р(ь)\м.

Доказательство теоремы 1. Для доказательства теоремы достаточно рассмотреть случай х(Ь^) = 0, 3 = 1,..., к. Пусть существуют два полинома ро и р1 наилучшего приближения удовлетворяющих условиям: ро(Ь]) = р1(Ь]) = 0, 3 = 1,... ,к. Тогда для любого а, 0 ^ а ^ 1, имеем

ь

Единственность интерполяционного полинома наилучшего приближения в Ь(а,Ь) 47

/ \х(Ь) — арг(Ь) — (1 — а)р0(Ь)\М ^

■) а

гЬ гЬ

^ а \х(Ь) — рг(Ь)\сМ + (1 — а) \х(Ь) — ро(Ь)\(М. (1)

аа

Отсюда любой полином ра = арг + (1 — а)ро, а е [0,1], является полиномом наилучшего приближения х, и он удовлетворяет условиям ра(Ьу) = 0, ] = = 1,...,к. Неравенство (1) превращается в равенство, из которого следует, что для всех а е [0,1] всюду на [а, Ь] выполняется неравенство:

(х(г) — рг(г)) ■ (х(г) — ра(г)) > о. (2)

Пусть Г (а) = {Ь е [а, Ь] : х(Ь) = ра(Ь)}. Поскольку два различных полинома не могут совпадать на множестве положительной меры, то для а\ = а2 имеем \Г(а1) П Г(а2)\ = 0. Поэтому для любого е > 0 множество значений а, при которых \Г(а)\ > 0 не более чем счетно. В частности, среди полиномов ра, а е [0,1] найдутся два различных полинома дг и д2 такие, что разности х — дг, г = 1, 2, обращаются в нуль на множестве нулевой меры. Пользуясь теоремой Райса, получим

[ 8%п(х(Ь) — ф))р(1)й1 = 0 (3)

а

для всех р е Рп, р(Ьу) = 0, ] = 1,... ,к, г = 1, 2.

В силу (2) и того, что \{Ь : х(Ь) = дг(Ь)}\ =0, г = 1, 2, разности х — дг и х — д2 меняют знаки в одних и тех же точках. Пусть разности х — дг, г = = 1, 2, меняют знаки в точках тг,... ,тт е {¿г,..., ¿д}, а в точках хг,... ,х\ е е {¿г,..., ¿д} не меняют знаки. Далее, пусть точки уг,... ,уг е {¿1,...,¿г} такие, что в них вышеуказанные разности меняют знаки. Отсюда, и того, что функция х дифференцируема в точках ... имеем х'(ху) = д[(ху), ] = = 1,... ,1, г = 1, 2 и, значит, полином дг — д2 имеет 21 нулей в точках хг,..., х1. Таким образом, у полинома дг — д2 на отрезке [а, Ь] по крайней мере 21 + т + + г нулей. По предположению этот полином нетривиален. Следовательно, в силу леммы 1 справедливо неравенство: 21 + т + г < п — 1. Но поскольку всякая ЕТ-система является одновременно Н-системой, то применяя лемму 2 построим полином р, меняющий знаки в точках тг,... ,тт, уг,...,уг и не меняющий знаки в точках хг,... ,Х1, обращаясь в них в нуль.

Подставим теперь этот полином р в равенство (3), оно, очевидно, нарушится. Получили противоречие. Значит, дг = д2. Теорема доказана.

Замечание. Утверждение теоремы остается справедливым для любых обобщенных систем Чебышева порядка 2 и выше [2, с.45]. В частности, утверждение теоремы имеет место для алгебраических многочленов и тригонометрических полиномов.

Ь

Список литературы

1. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. М.: Наука, 1965.

2. Карлин С., Стадден В. Чебышевские системы и их приложения в анализе и статистике. М.: Наука, 1977.

3. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М.: Наука, 1977.

4. Rice J.R. The approximation of functions. Vol.1. Linear theory. Reading. Mass-London: Addison-Wesley, 1964.

Привалов Александр Андреевич ([email protected]), к.ф.-м.н., доцент, кафедра теоретической информатики и дискретной математики, Московский педагогический государственный университет.

The uniqueness of the interpolation polynomial of best approximation in the space L(a, b)

Al.A. Privalov

Abstract. A sufficient condition for the uniqueness of the polynomial of the best approximation of function x £ С [a, b] in the space L(a, b) by all polynomials interpolating х at given points on the segment [a, b] is given.

Keywords: the space C[a,b], the space L(a,b), polynomial of the best approximation, interpolation polynomial, the uniqueness of the best approximation polynomial.

Privalov Aleksander ([email protected]), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of theoretical computer science and discrete mathematics, Moscow Pedagogical State University.

Поступила 23.09.2015