CC BY
13
4
Научно-технические ведомости СПбГПУ 4' (176) 2013 Информатика. Телекоммуникации. Управление
УДК 517.518.82
П.К. Корнеев, И.А. Журавлёва
построение наилучших среднеквадратических полиномов,
ПРИБЛИЖАЮЩИХ функцию И ЕЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
P.K. Korneyev, I.A. Zhuravleva
CONSTRUCTING BEST MEAN-SQUARE POLYNOMIALS APPROxIMATING
A FUNCTION AND ITS DERIVATIVES
Предложен прямой метод построения полинома m-й степени наилучшего среднеквадратическо-го приближения, аппроксимирующий одновременно и функцию, и ее производные до m-го порядка. Эти полиномы близки к полиномам наилучших равномерных приближений.
АППРОКСИМАЦИЯ. ПОЛИНОМЫ НАИЛУЧШИХ РАВНОМЕРНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ. ПОЛИНОМЫ СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКИХ ПРИБЛИЖЕНИЙ. ЧЕБЫШЁВСКАЯ НОРМА ФУНКЦИЙ.
The paper proposes a direct method for constructing a polynomial of degree m-best mean approximation that approximates both the function and its derivatives up to the m-th order. These polynomials are close to polynomials of best uniform approximations.
APPROXIMATION. BEST UNIFORM POLYNOMIAL APPROXIMATION. POLYNOMIAL APPROXIMATIONS OF THE RMS. CHEBYSHEV NORM FUNCTIONS.
Вопросу приближения функций полиномами наилучшего приближения посвящена журнальная [1], монографическая [2—4], справочная [5—6] и учебная [7] литература.
Алгоритмы построения полиномов наилучшего приближения носят итерационный характер [1, 2, 7]. Но как оказалось, полиномы наилучшего равномерного приближения плохо приближают производные функций [6], а полином наилучшего сред-неквадратического приближения, построенный предлагаемым методом, не только хорошо приближает данную функцию на отрезке, но и ее производные.
1. Пусть аналитически заданную функцию у = /(х), имеющую на отрезке [а, Ь] т производных /'(х), /"(х), ..., /(т)(х) (/ (т)(х) может иметь разрыв первого рода), необходимо приблизить вместе с этими производными при помощи многочлена степени т:
т
рт (х) = Е ajXj • (1)
1=0
Это значит, что функция fx) приближается многочленом (1), производная f(x) приближается производной от многочлена (1), производная f "(x) приближается второй производной от многочлена (1) и т. д. Многочлен, приближающий i-ю производную, будет иметь вид:
m j !
P(i)(x) = У-J--a.xJ-\ (2)
m ¿¡(у + 1 - i)! J
В частности, производная f(m)(x) будет приближаться постоянным числом Pmm)(x) = m! «m-
2. Введем обозначения:
Sj = J(f(J)(x) - PmJ)(x))2dx, J = 1, 2, ..., m, (3)
a
f (0)(x) = f (x), Pj0)(x) = Pm(x); (4) Ф = («0,«1, ., am) = Sj, J = 1, 2, ..., m.
Поставим задачу: среди многочленов m-й степени (1) найти такой, который реализует минимум каждого из выражений (4) одновременно.
Указанный минимум существует, т. к. выражения Ф. как функции от a0, a1, ..., am
представляют собой многочлены второй или степени, кроме того, Ф. > 0.
Для определения тех значений а., при которых Ф. обращается в минимум, составляем следующую систему линейных уравнений:
ЭФ.
. = 0, . = 0,1, ..., т. (5)
|(/(;)(х) - Рт.)(х))йх = 0,
то есть
ь
да.
В развернутом виде система (5) имеет
вид:
дФ да
-2| (/(у)(х) - Р^х)).! йх = 0
' ь ь ь ь
| йх | хйх | х 2йх | х ъйх
а а а а
ь ь ь
0 1! | йх 2| хйх 3| х 2йх
|/(у)(х) йх = |рЫ(х)йх, . = о, 1, ..., т.
а а
Последняя система представляет систему т+1 линейных уравнений относительно параметров а0, а1, ..., ат : Аа = /,
(7)
где матрица
А=
| х 4йх
а
ь
4| х 3йх
0 0 0
0 0 0
^3! - 4! *
йх — I хйх —1 I х йх 1! 2!
4!
— [хйх
1! J
а
ь
4! | йх
т т!
0 0
3! | йх
а 0
(т- 2)!
т !
(т - 3)!
т !
(т - 4)!
| хтйх
а
ь
| хт-1йх ь
• | хт-2йх
а
ь
• | хт-3йх
а
ь
• | хт-4йх
т
Ч йх
является верхней треугольной матрицей и А..Ф 0 (.= 0,1, ..., т);
(ь - а)а0 +
ь2 - а2
■ а = | / (х )йх,
/=
а = [а0, ах, ..., ат]т, ]/(х)йх, ]/'(х)йх, ..., ]/(т)(х)йх
(ь - а)а1 = | /'(х)йх.
Таким образом, система (7) имеет единственное решение а0, а1, ..., ат,, которое будет давать наименьшие значения интегралам Sj (у = (3, 1, ..., т). Подставляя найденное решение в формулу (1), получим искомый полином, решающий поставленную выше задачу.
3. Приведем расчетные формулы определения коэффициентов а0, а1, ..., ат для некоторых частных случаев.
3.1. В случае аппроксимации функции /(х) многочленом первой степени Р1(х) = а0 + а1 х система (7) будет иметь вид
Решая ее, мы получаем искомые коэффициенты а1, а0:
1 ь
а = -— I / '(х )йх,
и — п 1
ь - а'
ь
1ь
а0 = ь-а I / (х )йх
ь + а
3.2. При аппроксимации функции /(х) многочленом второй степени Р2(х) = а0 + а1 х + а2 х2 система (7) будет иметь вид
ь2 - а2 ь3 - а3 ь
(ь - а)а0 +
| / (х)йх,
а
4
Научно-технические ведомости СПбГПУ 4' (176) 2013 Информатика. Телекоммуникации. Управление
и
(Ь - а)а1 + (Ь2 - а2)а2 = //' (х)dx,
а
Ь
2(Ь - а)а2 = |/''(х)dx.
а
Решая ее, мы получим искомые коэффициенты а2, а1, а0:
1 ь
а2 =^Ги-ч/ /' (Х)йХ,
2Ь(Ь - а) а 1 ь
— / /'(х)dx - (Ь + а) • а2,
— п *
Ь - а
ао = А Ь - а
1Ь
— / / (х ^х
Ь + а
Ь2 + Ьа + а2
3.3. При аппроксимации /(х) многочленом третьей степени Р2(х) = а0 + а1 х + а2 х2 + + а3 х3 получим следующие значения коэффициентов а3, а2, а1, а0:
1Ь
| / "(х )dx,
6(Ь - а)
1 Ь 3
-— / Г'(х^х - - • (Ь + а) • а3,
2(Ь - а)
1Ь
а1 =-/ /' (х^х - (Ь + а) х
Ь - аа
ха2 - (Ь2 + Ьа + а2) • а3,
1Ь
ао = т^— | / (х Мх
Ь + а
Ь - а Ь2 + Ьа + а2
(Ь + а)(Ь2 + а2)
3 2 4 3
4. Приведем значения коэффициентов приближающих полиномов для функции
у = 8т(х) на отрезке
а) 8т(х) и Е акхк, ||г||[0. п] < 2,1 • 10
а0 2,0002^ 10-4 а2 —9,б849 10—3
а, 1,0005 а3 —0,1501
4 б) 8ш(х) и Е акхк, к=0 1Н 1[0. п] < 5,5 • 10-5 4 ]
а0 2,93988 10—6 а3 —0,17446
а, 1,00048 а4 0,01554
а2 —1,00011 10-4
в) 8т(х) и Е (
||г|^ ^ < 3 • 10
а0 2,939875^ 10—6 а3 0,166747
а, 1,000007 а4 8,071007-10—4
а2 —1,000112 10-4 а5 7,502623^ 10—3
6 г) 81л(х) и Е акхк, к=0 И 1[0 п! < 5,6 • 10-7 4 ]
а0 4,5352811 10-8 а4 8,358343 10—6
а, 1,0000071 а5 8,7230117 10—3
а2 —1,4703024 10—6 а6 —5,179489340—4
а3 —0,1667472
7 д) 81й(х) и£ акхк, к=0 1Н 1[0 п] < 4,6 • 10-8 '4 ]
а0 4,5352811 10-8 а4 8,3335025 10—6
а, 1,0000001 а5 8,3373575^ 10—3
а2 —1,4703024 10—6 а6 —2,6902553 10—5
а3 —0,1666678 а7 —1,7863419 10—4
Оценим в этом случае качество приближений производных данной функции построенным полиномом седьмой степени.
Пусть / (х) — данная функция; Р (х) — приближающий полином седьмой степени; /'(х), /"(х), /'"(х), //) - производные данной функции; Р' (х), Р( х), Р'"(х), Р <4)(х) — производные приближающего полинома Р(х); г{ = /(,)(х) -Р(,)(х) (I = (3, 1, 2, 3, 4) — погрешности. Тогда
||/' (х) - Р' (х )|| [0 < 3,8 • 10-7,
||/ '(х ) - Р'(х)||| "0.п] < 3 • 10-6,
II/ "(х) - Р'\х )|| [( < 2,5 • 10-5,
\/(4)(х) - Р (4)(х) ¿г 2Д •10-4
5. Сравним качество аппроксимаций полиномом седьмой степени наилучшего приближения и полиномом седьмой степени, построенным описанным выше методом.
Имеем
п
81П | — • х
' 4
Р7(х) = Е Ь2-
х
к =0
а3 =
а2 =
к =0
sin | 4 • х |- p7(x)
= 1,2 • 10-9,
||sin(x) - P7(x)||г n! < 4,6 • 10
Hi]
где р7( х) — полином наилучшего приближения [1]. В нашем случае
Наилучшие среднеквадратические полиномы строятся просто, однако качество приближения в этом случае хуже приближения полиномами наилучшего равномерного приближения примерно на порядок.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Дзядык, В.К. Об эффективном построении многочленов, которые осуществляют близкое к наилучшему приближение функции, г*,
и др. [Текст]/ В.К. Дзядык. — Укр. мат. журн. - 1973. -Вып. 25. - № 4. - С. 435-453.
2. Ремез, Е.Я. Основы численных методов чебышёвского приближения [Текст] / Е.Я. Ремез. - Киев: Наук. думка, 1969. - 623 с.
3. Дзядык, В.К. Введение в теорию приближения функций полиномами [Текст] / В.К. Дзядык. -М.: Наука, 1977. - 512 с.
4. Натансон, И.П. Конструктивная теория функций [Текст] / И.П. Натансон. -М. -Л.: Гос. изд-во технико-теоретич. лит-ры, 1949. - 688 с.
5. Справочная математическая библиотека. Математический анализ. Вычисление элементарных функций [Текст] / Под общ. ред. Л.А. Люстерника, А.Р. Янпольского. -М.: Физматгиз, 1963. -248 с.
6. Справочная математическая библиотека. Элементы теории функций. Функции действительного переменного. Приближение функций. Почти периодические функции [Текст] / Под общ. ред. П.Л. Ульянова, А.Р. Янпольского. - М.: Физматгиз, 1963. - 244 с.
7. Волков, Е.А. Численные методы [Текст] / Е.А. Волков. - 2-е изд. испр. - М.: Наука. Гл. ред. Физматлит, 1987. - 248 с.
REFERENCES
1. Dziadyk V.K. Ob effektivnom postroenii mnogochlenov, kotorye osushchestvliaiut blizkoe k nailuchshemu priblizhenie fUnktsii sinx i dr. / Ukr. mat. zhurn. - 1973. - Vip. 25. -№ 4.
- S. 435-453.
2. Remez E.Ia. osnovy chislennykh metodov chebyshevskogo priblizheniia. - Kiev: Nauk. dumka, 1969. - 623 s.
3. Dziadyk V.K. Vvedenie v teoriiu priblizheniia funktsii polinomami. -Moscow: Nauka, 1977.
- 512 s. (rus)
4. Natanson I.P. Konstruktivnaia teoriia funktsii. Moscow-Leningrad: Gos. Izd-vo tekhniko-teoreticheskoi literatury, 1949. - 688 s. (rus)
5. Spravochnaia matematicheskaia biblioteka. Matematicheskii analiz. Vychislenie elementarnykh funktsii; Pod obshch. red. L.A. Liusternika, A.R. Ianpol'skogo. - Moscow: Fizmatgiz, 1963.
- 248 s. (rus)
6. Spravochnaia matematicheskaia biblioteka. Elementy teorii funktsii. Funktsii deistvitel'nogo peremennogo. Priblizhenie funktsii. Pochti periodicheskie funktsii; Pod obshch. red. P.L. Ul'ianova, A.R. Ianpol'skogo. - Moscow: Fizmatgiz, 1963. - 244 s. (rus)
7. Volkov E.A. Chislennye metody. - 2-e izd. ispr. - Moscow: Nauka. Gl. red. Fizmatlit, 1987.
- 248 s. (rus)
КОРНЕЕВ Петр Кириллович — доцент кафедры прикладной математики и математического моделирования Института математики и естественных наук Северо-Кавказского федерального университета, кандидат физико-математических наук.
355000, Россия, г. Ставрополь, пр. Кулакова, д. 2.
KORNEYEV, Petr K. North-Caucasian Federal University.
355000, prosp. Kulakova 2, Stavropol, Russia.
ЖУРАВЛЁВА Ирина Александровна — доцент кафедры прикладной математики и математического моделирования Института математики и естественных наук Северо-Кавказского федерального университета, кандидат педагогических наук.
355000, россия, г. ставрополь, пр. кулакова, д. 2.
ZHURAVLEVA, Irina A. North-Caucasian Federal University.
355000, prosp. Kulakova 2, Stavropol, Russia.
© Санкт-Петербургский государственный политехнический университет, 2013
