CC BY
54
УДК 330.4
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ В ПРОГНОЗИРОВАНИИ ЭКОНОМИЧЕКСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
Е.М. Романова
гот an ova 1 elena(a)ramb ler. г и
Казанский (Приволжский) федеральный университет, Институт управления, экономики и финансов, г. Казань, Россия
Резюме. Данная статья является обобщением результатов предыдущих работ автора, опубликованных ранее. Это логическое завершение исследования в области методов прогнозирования и применения их в изучении экономических процессов. В статье показано, как можно использовать методы приближенных вычислений и численный анализ при формировании регрессионной модели и дальнейгиего прогнозирования результатов экономического процесса. Приведен алгоритм нахождения степени многочлена, наилучшей с точки зрения аппроксимации. Также в данной статье приводится построение полинома, дающего точную модель прогноза.
Ключевые слова: методы прогнозирования, методы приближенных вычислений, численных анализ, регрессионный анализ, полиномы Чебышева, полином Лагранжа.
NUMERICAL METHODS AND REGRESSION ANALYSIS IN FORECASTING OF
ECONOMIC INDICATORS
E.M. Romanova
romanovalelena&rambler.ru
Kazan Federal University, Kazan, Russia
Abstract This paper is a generalization of the results ofprevious works of the author published earlier. It is the logical conclusion of the research in the field of methods offorecasting and their application in the study of statistical processes. In the article we used the methods of approximate calculations and numerical analysis in the formation of a regression model. We obtained the algorithm for finding degree ofpolynomial, the best from the point of view of approximation. Also, in this article we provided a construction of polynomial which is a perfect forecast model.
Keywords: methods of forecasting, approximation methods, numerical analysis, regression analysis, Chebyshev polynomials, Lagrange polynomial.
Изучение любого статистического процесса можно разбить на следующие этапы, известные из эконометрики [1]:
1) сбор и описание данных изучаемого процесса,
2) оценивание и проверка гипотез,
3) классификация объектов и признаков исследования,
4) восстановление зависимости и выбор наилучшей формы регрессии,
5) прогнозирование статистических решений.
Конечной целью исследования и регрессионного анализа в целом является прогнозирование будущих значений исследуемого показателя. Нахождение возможных прогностических решений - задача непростая и требует индивидуального подхода. Выбор регрессионной модели определяется спецификой фактических данных заданного
142
© Е.М. Романова
экономического процесса. Для определения аппроксимирующей кривой используют либо визуальный подход на основе анализа графического изображения экспериментальных данных, либо метод конечных разностей для построения выравнивающего полинома [1].
Различают семь основных (линейную, квадратичную, степенную, экспоненциальную, модифицированную экспоненту, гиперболическую и логистическую) и три полиномиальных зависимости (степенной полином, экспоненциальный полином и гиперболический полином), которые приводятся в [2; 3]. При использовании регрессионного анализа для построения прогнозирующих функций могут возникнуть некоторые трудности. Например, может отсутствовать четкая выраженность свойств одной из семи типов зависимостей. Здесь требуется сначала выявить тренд (тенденцию развития процесса), и, если он достаточно гладок, то приближение находят в виде выравнивающего полинома некоторой степени [4].
Кроме таких стандартных и широко известных форм регрессий можно рассматривать зависимости обобщенного типа, применяемые в методах приближенных вычислений. В этом случае регрессию результативного признака у от факторного признака х можно записать в виде обобщенного многочлена вида
у*(х)=а0д>0(х)+ а1д>1(х) + ... + а„(р„(х), (1)
где а,ь аь..., а„ - некоторые постоянные, а в качестве базисных функций (р0(х),(р1(х),... ,ср„(х) берется система линейно независимых функций.
Примером такой системы являются известные многочлены Чебышева [5]. Они имеют вид: (р0(х)=1, (р,(х) х, (р2(х)=2х~-1 и общие рекуррентные соотношения
%-+1(х) =2х(р/х) -<ря(х),у=Гп.
Важными вопросами здесь выступают, во-первых, выбор степени п обобщенного многочлена (1) и, во-вторых, нахождение таких значений числовых коэффициентов а о, «/,..., а„, чтобы точность аппроксимации и, следовательно, прогноза была максимальной.
Ответом на эти вопросы служит следующая терема, состоящая из трех предложений:
ТЕОРЕМА.
При степени аппроксимации многочлена п = к - 1 на единицу меньше числа наблюдений к заданного статистического процесса существует и единственна совершенная регрессионная модель в виде обобщенного полинома степени п, позволяющая дать абсолютно точный прогноз исследуемого показателя.
При п < к-1 существует бесчисленное множество аппроксимирующих многочленов, ни один из которых не является абсолютно совершенным, но в случаях ортонормированных и ортогональных систем функций можно явно построить регрессионные модели, дающие наиболее точную аппроксимацию заданного статистического процесса.
При п > к - 1 невозможно построить адекватную регрессионную модель изучаемого процесса.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Предположим, что для изучаемого статистического процесса значения аргумента .г X/ (/ 1. £) установлены точно, тогда по результатам эксперимента можно определить наблюдаемые значения результативного признака у у, . / 1. К Пусть регрессия у от х задается в виде обобщенного многочлена (1), и у,*=у*(х^ - теоретические значения признака у. Погрешности (или ошибки) регрессионной модели - это отклонения наблюдаемых значений результативного признака от теоретических. Обозначим их через е, = V, - >',*. I К Тогда согласно [2; 3] среднегеометрическому критерию расхождения
совершенный (или абсолютно точный) прогноз имеет место быть, если все ошибки отсутствуют, т.е. величины е, = 0, /= 1, к.
Разные серии из к наблюдений дают различные значения коэффициентов разложения О о, О ¡,... , йп . Поэтому число производимых наблюдений целесообразно выбирать большим, чем число подлежащих определению параметров [6], т. е. к > п /, с целью использования избыточной информации для уменьшения влияния ошибок е, и получения наилучших оценок параметров а,, / Ь п
Таким образом, степень обобщенного многочлена должна быть ;? < к-1. Пусть у*=у*(х) - обобщенный многочлен степени /?, выражаемый по формуле (1). Будем подбирать порядок полинома, последовательно повышая его степень. Так как параметры многочлена определяются независимо друг от друга, то для повышения степени от
некоторого т до т+1 достаточно лишь добавить один член ат+1(рт+1(х).
1 '
Введем обозначение величины 5:, =-г". являющейся несмещенной
¿-1И-1 --- ■
оценкой для дисперсии ошибок регрессионной модели. С увеличением степени т величина будет резко уменьшаться и при достижении требуемой степени п практически перестает изменяться, т. е. Лг„_/ ~ ~ Выбранная таким образом степень многочлена п дает наиболее точную аппроксимацию [6].
Неизвестные постоянные а,ь я;,..., а„, являющиеся коэффициентами разложения (1), определяются методом наименьших квадратов. Согласно ему, составляется и дифференцируется по п переменным функция .... £? суммы квадратов
отклонений наблюдаемых значений от теоретических. При этом получается система из п линейных уравнений относительно неизвестных а0, Я/,..., а„ : -1 г 'рд^".] — 0. = 0,л,
Такая система носит название системы нормальных уравнений Гаусса и при увеличении степени ;? может быть вручную трудно разрешимой. Решение такой системы сильно упрощается, если в качестве базисных функций взять ортогональную систему, общие формулы построения которой даются в курсах численного анализа [5; 6].
Наряду с процессом ортогонализации рассматривается также нормирование системы функций. Напомню, что система функций (р0(х),(р1(х),... ,д>„(х) называется ортогональной на множестве точек х„ если для любых двух функций из данной системы выполняется
равенство
?,(*,)?>.(*■) = О V/.; = ОГп.
И система называется ортонормированной, если кроме ортогональности для всех функций системы выполняется условие
2?=1 ?,?(*,) = !•*; = О.
Итак, пусть (р0(х),(р1(х),... ,(р„(х) - ортогональная система функций, то решение системы нормальных уравнений Гаусса можно записать явно в виде
а. = ~=г-^- = 0, п.
Тогда обобщенный полином регрессионной модели примет вид
у W = / —¿ТГГ^А*).
J-О
В случае ортонормированной системы функций аппроксимирующий многочлен сводится к двойной сумме
У'00 = / / У,<Р.(*:)Ф: (*)• 7=0 1=1
Такие модели выбранной степени ;? не дают абсолютно точного прогноза, но являются самыми лучшими с точки зрения аппроксимации.
Рассмотрим теперь предельный случай, когда п = к - 1, т.е. степень аппроксимации многочлена на единицу меньше числа наблюдений исследуемого процесса. В этом случае можно добиться того, что погрешности е, станут нулевыми, т. е. будет получен совершенный прогноз. Уравнение регрессии в этом случае называется квазилинейным и имеет вид
у*(х)=а0<ро(х) + й1(р!(х) + ... + ак-1(рк-1(х) илиу*(х)=а0 + а1х+а.2х~ +...
Применять здесь метод наименьших квадратов для нахождения коэффициентов а,,,а I,..., ( или а о, «/, «_->,...,«/._, ) нерационально, слишком громоздкие вычисления. А с помощью численных методов эта задача аналитически решается проще. Известно, что при;? = к -1 обобщенный многочлен с условием е, = 0, ;=1, к. существует и единственен [7; 8]. Он совпадает с интерполяционным полиномом Лагранжа - это многочлен минимальной степени, принимающий значения {у,} при заданном наборе точек /.г,/:
_ V у (* - - • (* - *:-!)(*•- ••• • (* -
Недостатком его использования является факториальная сложность числителя и знаменателя, что требует применения вычислительных техник.
Таким образом, при п = к -1 можно построить точную регрессионную модель в виде обобщенного многочлена, которая дает совершенный прогноз исследуемого признака. Такой аппроксимацией является полином Лагранжа.
Итак, все три утверждения теоремы доказаны.
Литература
1. Ильченко А.Н. Экономико-математические методы. М: Финансы и статистика, 2006. 288 с.
2. Романова Е.М. Экономико-математические методы прогнозирования. // Вестник Казанского государственного энергетического университета, №3(3), 2009, С. 39-46.
3. Романова Е.М. Прогнозирование экономических показателей. // Вестник Казанского государственного финансово-экономического института, №3(16), 2009, С. 56-60.
4. . John О. Rawlings, Sastry G. Pantula, David A. Dickey. Applied Regression Aialysis: a research tool. — 2nd ed. Springer-Verlag New York, Inc, 1998, p. 671.
5. Бахвалов H.C., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы - 7-е изд. (эл.). М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012. 636 с.
6. Румшинский JI.3. Элементы теории вероятностей. М.: «Наука», 1970. 256 с.
7. Романова Е.М. Совершенное прогнозирование экономических показателей. // Материалы докладов научно-практического семинара «Достижения и перспективы эконометрических исследований в России». Казань: Отечество, 2014, С. 65-67.
8. Романова Е.М. Применение численных методов в прогнозировании экономических показателей. // Материалы докладов итоговой научно-практической конференции «Современные проблемы глобализации мирового хозяйства и социально-культурного развития человечества». - Казань: Отечество, 2014, С. 90-92.
References
1. Ilchenko A.N. Economic-mathematical methods. / M: Finance and statistics, 2006. 288 c.
2. Romanova E.M. Economic-mathematical methods of forecasting. // Vestnik of the Kazan energetic university, №3(3), 2009, P. 39-46.
3. Romanova E. M. Forecasting economic indicators. // Vestnik of the Kazan state financial and economic Institute, No. 3(16), 2009, P. 56-60.
4. . John O. Rawlings, Sastry G. Pantula, David A. Dickey. Applied Regression Analysis: a research tool. — 2nd ed. /. Springer-Verlag New York, Inc, 1998, p. 671.
5. Bakhvalov N., Zhidkov N.P., Kobelkov G.M. Numerical methods - 7 ed. (e). - M.: BINOM. Laboratory of knowledge, 2012. - 636 p.
6. Rumshinskiy L.Z. Elements of probability theory. / M.: Nauka, 1970. - 256 p.
7. Romanova E.M. Perfect forecasting of economic indicators. // Materials of reports of scientific-practical seminar "Achievements and prospects of econometric studies in Russia". Kazan: Otechestvo, 2014, pp. 65-67.
8. Romanova E.M. Application of numerical methods in forecasting economic indicators. // Proceedings of the final scientific-practical conference "Modern problems of globalization of the world economy and socio-cultural development of mankind." Kazan: Otechestvo, 2014, pp. 90-92.
Автор публикации
Романова Елена Михайловна - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры экономико-математического моделирования Казанского федерального университета.
Authors of the publication
Elena M. Romanova - cand. Sci. (physico-mathematical), Associate Professor of the Department of Economic and Mathematical Modeling of the Institute of Economics and Finance of the Kazan Federal University.
Дата поступления 17.02.2017.
