Экономико-математические методы прогнозирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 330.4:338.27 Романова Е.М.

ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ

Существует множество математических методов прогнозирования. Среди них самыми важными являются метод наименьших квадратов и метод экстраполяции. В статье рассмотрены различные регрессионные модели прогнозирования показателей и установлено, что адекватность и точность прогноза достигается при аппроксимации полиномом степени п=Т—1, где Т- число произведенных измерений наблюдаемого процесса.

Ключевые слова: экономико-математические методы, методы прогнозирования,

статистические модели, регрессионный анализ, метод наименьших квадратов, экстраполяция, аппроксимация.

Процесс прогнозирования показателей на основе статистических методов включает в себя 2 этапа [1]. 1 этап - обобщение данных за некоторый промежуток времени и определение статистических закономерностей в виде модели. Различают несколько моделей прогнозирования. В экономике наиболее применимы аддитивные модели тренда и сезонности. Тренд (Т) - тенденция изменения показателей процесса за некоторый период, зависящая только от времени. Сезонность (С) - модель данных, повторяющаяся через определенный промежуток времени (недели, месяцы, кварталы). Модель данных, повторяющаяся через определенное количество лет, называют циклом (Ц).

2 этап - определение ожидаемых значений прогнозируемой величины путем экстраполирования. Под экстраполированием понимают нахождение значений функции в точках, лежащих вне заданного отрезка, но принадлежащих области определения функции. При экстраполяции допускают, что основные условия, определяющие развитие в прошлом, не претерпевают существенных изменений в будущем, а поэтому развитие явления может быть охарактеризовано плавной, непрерывной траекторией с последующим продолжением в ближайший период времени. План прогнозирования состоит из следующих шагов: выбор объектов прогнозирования (например, функция спроса); определение временных интервалов (например, по годам); выбор и обоснование модели прогнозирования (спецификация); сбор и обработка данных для формирования прогноза (параметризация); анализ и контроль полученных результатов (верификация).

Пусть задан эмпирический ряд числовых значений показателей у{, 0 < 1 < Т, динамику изменения которого необходимо спланировать на следующий период времени. По опытным данным строится эмпирическая линия регрессии. С учетом графических особенностей

прогнозирующую зависимость показателей можно отнести к одному из следующих типов [2]:

1) ~ = а1 + Ь - линейная функция для описания равномерно

изменяющихся во времени процессов. Графиком является прямая.

2) ~ = аї2 + Ьї + с — квадратичная функция для процессов с

равноускоренным движением. График - парабола.

y=at +bt+c

► t

а

3) ~ =—ъ Ь - гиперболическая функция для описания обратно пропорциональной зависимости. График - гипербола.

~ а

Уї =~+Ь

^Ьі

4) у = а е - экспоненциальная функция для описания лавинообразных процессов, при которых прирост зависит в основном от уже достигнутого уровня. График - экспонента.

а>0, Ь>0

Уі = ае

Ьі

5) ~ = к - ае - модифицированная экспонента для процессов, характеризующихся насыщением. Графиком является перевернутая

у

экспонента с параметрами а >0, Ь > 0 и асимптотой у = к.

последовательных лавинообразных процесса - один с ускоренным развитием, другой - с замедленным. Графиком является возрастающая кривая Перла-Рида, симметричная относительно точки перегиба

t =

(‘-‘о )2

- экологическая функция для процессов замещения.

Графиком является перемещенная в точку t = ^ ветвь кривой Гаусса.

У = ае

— Г) 1 1 — 1,

1 > 1о 1

Для выбора аппроксимирующей кривой используют либо визуальный подход на основе анализа графического изображения экспериментальных данных, либо метод конечных разностей (метод Тинтнера) для построения выравнивающего полинома более высокого порядка, чем 2 [1; 2].

Для нахождения коэффициентов теоретических линий регрессий у = у (а, Ь) (в случае параболической зависимости у = у (а, Ь, с)) используют метод наименьших квадратов. Таким образом составляют функцию суммы квадратов отклонений эмпирических значений у от

теоретических (выравнивающих) значений у:

1

У

а

о

0

£ Ь)=Х (У‘ -У‘)2,

‘=1

где Т - число периодов (лет).

Наилучшая аппроксимация получается при таких а и Ь, когда функция £ (а, Ь) минимальна.

Дифференцируя функцию £ (а, Ь) по а и Ь и приравнивая полученные частные производные нулю, имеем систему уравнений относительно неизвестных а и Ь , в случае параболы эта система состоит из 3 уравнений с тремя неизвестными: а, Ь и с. Системы нормальных уравнений для отыскания коэффициентов теоретических линий регрессий для первых трех типов зависимостей (линейной, параболической и гиперболической) приведены в [3].

Для экспоненциальной и экологической моделей перед вычислением коэффициентов регрессии а и Ь нужно прологарифмировать функции, а затем определять логарифмы соответствующих коэффициентов. Так, для экспоненты

у = аеы = еа+ы, где Х = 1п а, минимизируется функция

Г Г

£ь) = X (1п - 1п У!)2 = X (1п У> -(х + ы))2 .

‘=1 ‘=1

Система нормальных уравнений в этом случае примет вид:

Г Г

X1п у = Т-а+Ь-X!

!=1 !=1

Г Г Г

X (1п У,)! = хХ! + Ь 'Х^2-

!=1 !=1 !=1

Для экологической функции у = ае Ь (‘ !о ^ имеем

Я(а,ь) = X(іиу — (іпа — Ь2(ґ — ґ0)21)2 . Обозначим через (X = 1п а , / = —Ь2.

і=о

Тогда система нормальных уравнений приводится к виду:

X1п Уі = (Т —{о +1) •а + /'Х(/— ^ )2

о;

о

Т

Е(1п У>)(| —|о)2 =аХ(і—Іо)2 +/Х(і — Іо)4-

=|о |=|о

Для модифицированной экспоненты и логистической кривой переходят к рассмотрению функции у = ае Ь. Ее логарифмируют и из системы нормальных уравнений для экспоненты находят параметры а и Ь . Функция ~ = ае_^ является аппроксимирующей для = к - у, в случае

Т

Т

і=і

Т

Т

і=1

модифицированной экспоненты, щ = -1+— в случае логистической кривой.

Уг

При использовании регрессионного анализа для построения прогнозирующих функций могут возникнуть некоторые трудности. Например, может отсутствовать четкая выраженность свойств одной из семи типов зависимостей. Здесь требуется сначала выявить тренд и если он достаточно гладок, то приближение находят в виде выравнивающего полинома некоторой степени, а затем строят прогноз.

В качестве аппроксимирующих полиномиальных функций используют:

а) у = ао + 2 а.г1 - степенной полином, который является

7 = 1

обобщением зависимостей типа 1) и 2);

п

а0 + 2 а

б) у = е 7=1 - экспоненциальный полином, который является обобщением зависимостей типа 4) и 7);

в) у = а +'п 1 _ гиперболический полином, который является

' 0 1=1 а,Г

обобщением гиперболической зависимости [2].

Для получения наилучших оценок неизвестных параметров а0, а1, ...,ап целесообразно брать степень многочлена п < т -1, где Т - число периодов (лет), причем при п = т -1 прогноз получается совершенно точным [4].

Окончательное решение о виде аппроксимирующей кривой может быть принято после определения ее параметров и верификации прогноза по ретроспективному ряду, а также с учетом анализа экономических особенностей процесса. Поэтому для прогнозирования используют не одну, а несколько аппроксимирующих функций с тем, чтобы после оценки точности и адекватности модели выбрать наиболее подходящую [2]. После нахождения параметров выбранной модели и составления уравнения регрессии для контроля точности прогноза применяют среднегеометрический критерий расхождения:

£ =

Х(У >2

Ґ=1

Ї=1

где у и у — фактическое и прогнозируемое значения. Если £ = 0, то имеет место совершенного прогнозирования. Иначе, прогноз ошибочен. Проиллюстрируем вышесказанное на конкретном примере.

Задача. Спланировать объем производства и цену новой модели, осваиваемой в 5-м году деятельности предприятия, если спрос на новую модель имеет динамику спроса на существующую продукцию,

заданного следующими показателями (см. табл.1):

Таблица 1. Объём производства и цена выпускаемой модели

Год Объем производства (спрос) 2 , шт. Цена за ед. р , руб.

1 80 350

2 100 375

3 120 450

4 200 475

Решение. Строим графики эмпирических изменений спроса Q и цены р (рис. 1).

Рис.1. Графики амплитудных изменений спроса и цены выпускаемой модели

На рисунке пунктирными линиями обозначена экстраполяция тенденций спроса и цены на новую модель в следующем 5-ом году. Линиями со стрелками указаны точные прогнозы на 5-ый год производства.

По виду кривой регрессии определим тип объема производства Q как квадратичную функцию ¿у? = аі2 + Ы + с, t > 0. Составляем функцию суммы квадратов отклонений эмпирических данных от

те°ретических: ? (ш, ь с )=•£ (д( —(щЛ 2 + ы + с))2 . Дифференцируем по

і=1

а, Ь, с и полученные частные производные приравниваем к 0:

а?

да

= — 2 XX (о. — (at2 + ьі + с))- і 2 = о

а?

дЬ

= —2Х. (^ — (аі2 + Ьі + с))- і = 0

а?

дс

= — 2 XX — (аі2 + Ьі + с)) = 0 .

Отсюда нормальная система уравнений примет вид:

Т » 4 4 4 4 4

X & = аХ і2 + ЬХ і + с - Т, X й - і = аХ і3 + Ь^Г і2 + сХ і ,

і=1 і=1

4

і=1

4 4

X в - і 2 = аХ і4 + ЬХ і3 + сХ і2 .

і=1

і=1

і=1

і=1

і=1

і=1

і=1

4

і=1

і=1

і=1

і=1

Согласно эмпирическим данным, имеем:

X Q =500 , X Qtt =1440 , X Qtt2 =4760,

t=1 t=1 t=1

4 4 4 *

X t = 10 > Xt2 = 30, X t3 = 100, Xt = 354 •

t=1 t=1 t=1 t=1

Записываем систему нормальных уравнений:

30а +10* + 4с = 500,

100а + 30* + 10с = 1440, 354а +100* + 30с = 4760.

Решение этой системы имеет вид: а = 15, * = —37 , с = 105 . Итак, аппроксимирующей функцией спроса является парабола Qt = 15t2 — 37t+105. Согласно этому закону, прогноз относительно объема производства на следующий год составит Q5 = 15 • 52 — 37 • 5 +105 = 295 шт.

Проверим критерий расхождения для контроля точности прогноза спроса. Вычислим квадраты отклонений эмпирических значений Qt от теоретических Q (табл. 2).

Таблица 2. Расхождение теоретических и эмипирических значений объёма производства

Q 80 100 120 200

ß 83 91 129 197

(q—q)2 9 81 81 9

X Q — Q' )2

Q,

I 9 + 81

V 802 + 1QQ2 -

9 + 81 + 81 + 9

+1202+2002

и

80

70800

0,05

Вывод: Прогноз относительно спроса не является совершенным, но достаточно точен, т.к. ^ близко к 0.

Рассмотрим прогнозирование цены р. Будем аппроксимировать линейной функцией у = а + Ь. Нормальная система уравнений следующая:

4 4 4

X Pt •t = аХ12 + *Xt ’

X р> = аХХ *+* •T,

здесь

X P = 1650, X P t =4350 . Составляем систему: Г30а +10* = 4350 . Она

X^ t X^t ' 10а + 4* = 1650

<

t=1

t=1

t=1

t=1

t=1

t=1

t=1

имеет решение а = 45 и Ь = 300.

Итак, прогнозируемая цена товара будет определяться линейной функцией р. = 45t + 300. При t = 5 получаем новую цену продукции р5 = 45 • 5 + 300 = 525 руб. Рассмотрим расхождение для прогноза цены:

Таблица. Расхождение прогнозируемой и эмпирической цены товара

р 350 375 450 475

р 345 390 435 480

(р - р )2 25 225 225 25

25 + 225 + 225 + 25

'п =Л------555----------------------7 ~ 0,03.

р V 3502 + 3752 + 4502 + 4752

Вывод: Прогноз относительно цены не является совершенным, но достаточно точен, т.к. близко к 0.

По виду эмпирической кривой регрессии спроса можно определить тип объема производства не только как квадратичную функцию Qt1, но и как экспоненциальную Qt2. В обоих случаях уравнения регрессий найдены и имеют вид: параболы Q/1=15t2-37t+105 и экспоненты

0_(2) = 40^/2 (18,75)10. При t=5 объемы производства будут соответственно равны QP=295 и * 245 шт.

Оценки критерия точности ^ * 0,05 и ^2) * 0,07 говорят о том, что

прогнозы в достаточной мере точны.

Совершенно точный прогноз относительно спроса (¿о>=0) достигается в случае приближения полиномом третьего порядка. В

3 2

нашей задаче эта зависимость имеет вид Qt=10 I - 60 t + 130 ¿. Тогда точный прогноз на следующий 5-ый год производства составит Q5= 400 шт.

Аналогичный анализ можно провести для функции цены р. Аппроксимация линейной зависимостью цены дает следующие результаты: уравнение регрессии pt =45 t + 300, оценка точности

^р * 0,03, прогноз на 5-ый год р5 = 525 руб. Аппроксимация

параболой не существует, идет вырождение в прямую. Приближая многочленом третьей степени, получаем совершенно точный прогноз относительно цены (^р=0) с уравнением регрессии

50 3 2 700 ^

р = - — t + 125t —— t + 475. Прогнозируемая цена на следующий 5ый год равнар5 =350 руб.

При совершенно точном прогнозе наблюдается известная тенденция: при увеличении спроса идет снижение цены. Неточный прогноз предлагает слишком высокую цену при достаточно большом объеме производства, что в дальнейшем может привести к снижению спроса.

Источники

1. Гераськин М.И. Инновационный менеджмент в современной экономике: учеб. пос. Самар. гос. аэрокосм. ун-т. - Самара, 2005. -164 с.

2. Ильченко А.Н. Экономико-математические методы: учеб. пос. - М.: Финансы и статистика, 2006. - 288 с.

3. Учебное пособие для экономических специальностей ВУЗов. Часть 2 / Под ред. Р.Ш.Марданова. -Казань: Изд-во КГФЭИ, 2001. - 28 с.

4. Румшинский Л.З. Элементы теории вероятностей. - М.: Наука, 1970. - 256 с.