О взаимосвязи модулей непрерывности со знакочувствительным весом непрерывной на отрезке функции Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.518

о взаимосвязи модулей непрерывности со знакочувствительным весом непрерывной на отрезке функции

© 2015 г. А.-Р.К. Рамазанов, В.Г. Магомедова, Б.М. Ибрагимова

Рамазанов Абдул-Рашид Кехриманович - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математического анализа, декан факультета математики и компьютерных наук, Дагестанский государственный университет, ул. Гаджиева, 43а, г. Махачкала, РД, 367000; главный научный сотрудник, Дагестанский научный центр РАН, ул. Гаджиева, 45, г. Махачкала, РД, 367025, e-mail: [email protected]

Магомедова Вазипат Гусеновна - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математического анализа, Дагестанский государственный университет, ул. Гаджиева, 43а, г. Махачкала, РД, 367000; кафедра математики, Дагестанский государственный институт народного хозяйства, ул. Атаева, 5, г. Махачкала, РД, 367008, e-mail: [email protected]

Ибрагимова Белла Муслимовна - старший преподаватель, кафедра математики, Дагестанский государственный институт народного хозяйства, ул. Атаева, 5, г. Махачкала, РД, 367008, e-mail: [email protected]

Ramazanov Abdul-Rashid Kekhrimanovich - Doctor of Physical and Mathematical Science, Professor, Head of Department of Mathematical Analysis, Dean of the Faculty of Mathematics and Computer Science, Dagestan State University, Gadzhiev St., 43a, Makhachkala, DR, 367000, Russia; Main Researcher, Dagestan Scientific Centre of Russian Academy of Sciences, Gadzhiev St., 45, Makhachkala, DR, 367025, Russia, e-mail: [email protected]

Magomedova Vazipat Gusenovna - Candidate of Physical and Mathematical Science, Associate Professor, Department of Mathematical Analysis, Dagestan State University, Gadz-hiev St., 43a, Makhachkala, DR, 367000, Russia; Department of Mathematics, Dagestan State Institute of National Economy, Ataev St., 5, Makhachkala, DR, 367008, Russia, email: [email protected]

Ibragimova Bella Muslimovna - Senior Lecturer, Department of Mathematics, Dagestan State Institute of National Economy, Ataev St., 5, Makhachkala, DR, 367008, Russia, email: [email protected]

Для модуля непрерывности произвольного порядка непрерывной на отрезке функции в метрике знакочувствительно-го веса дана оценка через модуль непрерывности следующего за ним порядка. Построены также другие модули непрерывности со знакочувствительным весом. Получена оценка, устанавливающая связь для их произвольных порядков. Обе полученные оценки обобщают на метрику знакочувствительного веса классическое неравенство Маршо для равномерных модулей непрерывности, имеющее широкое применение в теории приближения, теории вложения классов функций и других разделах математики.

Ключевые слова: модуль непрерывности, модуль гладкости, знакочувствительный вес, непрерывные функции, неравенство Маршо, классы функций, теоремы вложений.

For modulus of continuity of arbitrary degree offunction continuous on segment in metrics of signsensitive weight estimation over modulus of continuity of the next degree is given. In addition, other modules of continuity with signsensitive weight are constructed and the estimation establishing relation for their arbitrary degrees is obtained. Both estimations obtained in the work generalize on metrics of signsensitive weight classical Marchaud inequality for uniform modules of continuity, which has wide application in approximation theory, in theory of embedding classes of functions and in other sections of mathematics.

Keywords: modulus of continuity, modulus of smoothness, signsensitive weight, continuous functions, Marchaud inequality, classes of functions, embedding theorems.

Следуя [1, 2], знакочувствительным весом на данном отрезке [а, Ь] назовём упорядоченную пару р(х) = (р- (х), р+ (х)) неотрицательных на этом отрезке функций р_ (х) и р+ (х). Если при этом функции р_ (х) и р+ (х) непрерывны на [а, Ь], то вес р(х) также называется непрерывным на нём.

Для непрерывной на отрезке [а, Ь] функции / (х) относительно веса р(х) = (р_(х), р+(х)) определя-

ется p -норма

=\АР, a ь]=sup\(f, рХх)1 : х 6 a ь]1'

a, ь]

ние функции /(х) по весу р(х); при этом

/+ (х) = шах{/(х), 0} и /- (х) = (- /(х))+ означают соответственно плюс- и минус-срезки функции / (х).

Заметим, что для р -нормы выполняется неравенство треугольника, а первая и вторая аксиомы нормы, вообще говоря, не выполняются; хотя для любой непрерывной на [а, Ь] функции /(х) имеем

|/ > 0 и |а / = а\/ при а > 0, но не всегда

I */ р 1/1 р '

где (/, рХ*) = f +(x)p+(x)- f (x)p-(x) - разложе-

p

В случае веса р(х) = (1,1), очевидно, р -норма любой непрерывной на [а, Ь] функции /(х) совпадает с её равномерной нормой ||/|| = 8ир|/(х): х е [а, Ь]}.

Пусть к - данное натуральное число; функция / (х) и вес р(х) = (р_ (х), р+ (х)) непрерывны на отрезке [а, Ь]. Через конечную разность

ай/(х)=Е(- Ч-^/(х + Я) к -го порядка функ-

1=0

ции /(х) в точке х с шагом к определим модуль непрерывности к -го порядка функции /(х) на отрезке [а, Ь] относительно р -нормы равенством «к (/, Р, 8) = (1)

= 8ирЦ(д£/, р)(х)|: х, х + кк е [а, Ь], |к| < 8}

при 8 е

b - a

,считая

(f, Р, 8) = ®к ^ f, Р, j пРи 8

b - a

Заметим, что для единичного веса р(х) = (1,1) величина <як(/, р, 8) совпадает с обычным равномерным модулем непрерывности к -го порядка ак (/, 8), причем в этом частном случае веса в определении (1) неравенство |к| <8 можно заменить на 0 < к <8. Получится эквивалентное определение юк(/, 8) = 8ир|дк/(х) : х, х + кк е [а, Ь] 0 < к < 8}.

Такая возможность «редукции» определения

(f, 8)

существенно используется при доказательстве их важных свойств, а также при их обобщениях на симметричные полунормы (см., например, [3-6]). Однако такая редукция определения

(f, p, 8), вообще говоря, приводит к его

«суже-

нию».

Действительно, пусть / (х) = 1 - х, р_ (х) = 0, р+ (х) = х при х е [0,1]; к = 1. Тогда при х, х + к е [0,1] имеем ДА/(х) = -к, а значит, /, р)х) = 0 при 0<к < 8 < 1, в то время как

«l(/, Р, 8) = 8.

В теории приближений, а также при изучении вопросов соотношений между различными классами функций важную роль играют взаимосвязи между структурными характеристиками одной и той же функции. В частности, достаточно трудной является задача оценки модуля непрерывности данного порядка через ее модуль непрерывности более высокого порядка. Для равномерных модулей непрерывности произвольного порядка такая оценка получена А. Маршо [7]; более про-

стую по форме оценку снизу модуля непрерывности второго порядка через модуль непрерывности первого порядка получил Р.М. Тригуб [8]. Различным обобщениям и приложениям неравенства Маршо посвящен ряд работ (см., например, [9, 10] и цитированную в них литературу).

Ниже рассматривается вопрос оценки cok (f, p, 8) при произвольном натуральном k непрерывных на данном отрезке одной и той же функции f(х) и одного и того же знакочувстви-тельного веса р(х) = (p_ (х), p+ (х)).

Как известно (см., например, [3, 4]), многие важные прямые и обратные теоремы теории приближения в равномерной метрике выражаются в терминах одной и той же структурной характеристики - модуля непрерывности сок (f, 8) заданного порядка к. Однако в случае полиномиальных аппроксимаций непрерывных функций fx) с непрерывным знакочувствительным весом р(х)=(р_(х), р+(х)) (см., например, [11, 12]) роль такой структурной характеристики играет уже величина Q(f, Р, 8) = Юк(f, р, 8) + Юкif, 8)ю(р, 8), в которой наряду с к -м модулем непрерывности функции f (х) относительно веса р(х) участвуют к -й равномерный модуль непрерывности юк(/, 8) и модуль непрерывности самого веса

ю(р, 8) = шах{ю1(р_, 8), ю1(р+, 8)} (8 > 0). Ниже получена также оценка сверху Q (f, р, 8) через Qk (f, р, 8) для к > i (i, к е Iff).

Теорема. Пусть функция f(х) и знакочувст-вительный вес р(х) = (р_ (х), р+ (х)) непрерывных на отрезке [я, Ъ]. Тогда для любого натурального k Ъ _ a

при 0 < 8 <- выполняются неравенства

4к

rnk (f, p, 8)< MM(f, p)

8k

(b - a)k

(2)

b - a 2k

, 2k 1

+m28 J —Qk+i(- f, p, td, 8 t

ok

Qk (f, p, 8) < M3M(f, p)--- +

(b - ay

b - a

1 2k 1 . .

+MA8 J — Qk+i(- f, p, t)dt,

(3)

18 J л+1 8 t

где

M = 3k (16k )k, M2 =1 k2 (k + 3)2,

M = 4k (l6k)k, M4 = k2 (k + 3)2

0

k

>

k

+

M f, p)=1 [| f\p +|- f\p 41Аp. b-f-

Неравенство (3) связывает одного и того же типа модули непрерывности двух соседних порядков, что позволяет получить следующий аналог общего неравенства Маршо для знакочувствительных весов.

Следствие. В условиях теоремы при каждом i = 1,2,..., к имеет место неравенство

Ц А, p, s)< (4)

( Ь-а \

f + ¡^ ц .i((- 1)к-i41 f.p. t d

(- - а ) s t

y

где коэффициент Ak зависит лишь от к и, как и

< AkSl

выше

, m (f, p)=i {/\р+|- АР 41filp

b - a

< AS

f + I ^ «k+1 ((- Г'+Л Р. ^

S t'

причем

M (f. p)=1( Ap +1- f\p) •

Доказательство теоремы. Пусть 0 < S <

b - a 4k '

n < log2

b - a 2kS

< n +1.

(5)

что при любом x 6

a + b

2

бом x 6

2

,b

если h < 0, точки x + k • 2mh

2nh < 2nS<

b - a 1 8kS

Тогда

|(д^л , p)x) < pCk\(-l)k-'f B + jrc^IA\œ(p, i2ns)

Mp, i 2nS)<

p i=0

< k 2kM(f. p), где по принятому выше обозначе-

нию

b - a

2 ^ 'р | - |р ^ " ^ 2 Заметим, что в случае знакочувствительного веса р(х) = (р- (х), р+ (х)) с постоянными компонентами р-(х) = а > 0 и р+ (х) = 3 > 0 из неравенства (4) непосредственно вытекает неравенство (/, Р,

( Ь - а Л

Тогда b- a > 2 , поэтому существует натуральное n такое, что

Фиксируем h Ф 0 с |h| < S . Тогда из (5) получим, a + b

если h > 0, и при лю-

2k 2n-1 b - a

МЛ р)=1 ^4 +|-/р ЧИ1 р 2

(&/, ^м/, р>5к. (7)

Для оценки второго слагаемого в правой части равенства (6) воспользуемся преобразованием Маршо для конечных разностей ([7]; см. также [3, с. 165 или 4, с. 118]):

2кД/(х)-Дк/х) = -¿С/!Д+1/(х + И) при

]=1 1=0

Г = 2т-1й (т = 1,2,...,п).

Из этого равенства, переходя к срезкам [-]*" с умножением на р+ (х) и к срезкам [ - ]" с умножением на р-(х), получим два неравенства, почленно сложив которые, имеем

(т = 0,1,..., п) также принадлежат отрезку [а, Ь]. Значит, при этих условиях имеет место равенство

|(Д/, р)(х) = ~пк |(ДпА/, р)(х)+ (6)

+ .£ {^^т, / Р^ l(Д2m^^, Р)(х)} .

Для оценки первого слагаемого в правой части учтем, что по неравенству (5) имеем

|(д2»-1 Л. p)(x)-|(^2m^^. p)(x)<

< kCj^-À^f + i2m-1 h)]+p+(x) +

7=1 i=0

+ [^1 A (x + i2m-1 h)J-p-(x)<

< ¿с/Ш-д^ j, p)(x+i2m1 h)+ j=1 i=0 1 1

+1Д2+1 Л (x + i2m-1h]a(p. i2m "1 h ) }<

<iciîW+1 (- f. p. 2m-1s)+ j=1 i=0

+ i ®k+1 (f ,2m-1s)b(p, 2m-1s)}= = k 2k-1 a>k+l(- f, p, 2m-1s)+ (k - 1)k 2k-3 x x«k+1 (f, 2m-1s)«(p, 2m-1s)<

< 2k ^k+1 (- f. p,2m-1s). 8

Ясно, что функция Qk +1(- f, p, t) не убывает

b - a

при t 6

0,

2k

Применив эту оценку и оценку (7), из равенства (6) получим

|(4f, p)x)< k {-8k-1 M (f, p)Sk +

b - a

, k (k + 3) n 1 ^ / 9m-^)<

: Tim-î^rQk+1(-f,p,2 S)<

a

< kl

8k h - a

M (f, p)Sk +

n 2 ö 1

I 2kök J — Qk+i(- f, p, t)dt.

2m-1 ö t

X 6

к (к + 3) 8 от=1

Отсюда и из (5) следует, что при любом в случае 0 < к <8 и любом

a + b

2

a + b

b

равенство

lkf, p)(x)

< k

8k

b - a

M(f, p)ök +

b-a

+^ ök Q+i(-. f,p,t X'-4 ö t

Фиксируем теперь h Ф 0 такое, что a + b

возьмем точки x, x + kh 6

a + b

2

b

точки x, x + kh 6

a,

2

(p+(x)- p+(x + kh )) +

(p_ (x) - p_ (x + kh)).

отрезка

2

, b

а поэтому точки

a + b - x, a + b - x - kh 6

a + b 2

дули непрерывности

(k +1) -

менить оценку Маршо для подобного расположения точек (см., например, [3, с. 166]), согласно которой получим

|дк,я(а + Ь - х - кк) <

в случае -ö < h < 0 выполняется не-

<1Ы|2кГ^Т + 2к8к / а>к+1(8, .

VЬ - а / 8 '

Поэтому с учетом монотонности со(р, 8) для второго слагаемого правой части (9) имеем ка(р, 8^Д^(а + Ь - х - кк )<

<

16k

b - a

b-a

2k 1

+ 2k2ök J — ©k+i(f, t)®(p, t)dt.

kf I®(p, ö)ök

+

(8) <ö, и в случае h > 0 и

ö t

(10)

Вполне аналогично доказывается, что оценка (10) остается справедливой и в случае -8 < к < 0,

если точки х и х + кк берутся на отрезке ' ° + Ь

в случае h < 0 . Для этих

случаев также оценим величину |(Дк/, р)х) .

Возьмем вспомогательные функцию я (у) и вес ц(у) = (ч-(у\ 9+(у)), определяемые при уе[а, Ь] равенствами g(y) = -/(a + Ь - у), 9±(у) = р+(а + Ь - у).

Ясно, что функция g (у) и вес д(у) непрерывны на отрезке [а, Ь]; при этом \\g\l = ||/||, ЦдЦ = ||р|, а(д,8)=а(р, 8), аг(£,д) = аг(/,д) (г = 1,2, ...;8> 0) и для любых х, х + кк е [а, Ь] выполняется равенство

а + Ь - х - кк) +

2

Для оценки первого слагаемого правой части неравенства (9) к функции (-1)к 1 g(y) и весу д(у) применим полученное выше неравенство (8). Дело в том, что у нас в одном рассматриваемом случае

х, х + кк е а +Ь ,Ь и 0<к<8, а поэтому точки

2

a + b - x, a + b - x - kh 6 a + b

a + b 2

; во втором же слу-

чае x, x + kh 6

a,

2

\(Akhf, p)x) = \(a\ (-l)k+1 g, q)(a + b - X - kh) Akh (-l)k+1 g(a + b - x - kh )

Ah (-1)k+1 g(a + b - x - kh ) Следовательно,

|(Ahf, p)(x) <|(Akh (-1)k+1 g, q)(a + b - X - kh) +

+ ka(p, ö)|Ahg(a + b - x - kh) . В случае 0 < h < ö точки x, x + kh взяты из

a + b

a + b - x, a + b - x - kh 6

и -ö < h < 0, а поэтому a + b

2

,b

. Значит, в обоих

случаях к функции (-1)к+1 g(у) и весу д(у) применимо неравенство (8), что дает

(- Г1 я, ¿а + Ь - х - кк )< к8к (-^Тм (я, Ч)+ (11)

b-a

(9) + ^ök 2i ^Г M^g, q, t)+«k+1(g, t)^( q, t)}it. 4 ö t

Здесь ®k+1(g, t) = ®k+1(f, t), ®(q, t) = ®(p, t), M(g, q) = M(f, p). Оценим ak+1((-1)kg, q, t) при b - a

ö< t <-

2k

Значит, в неравенстве (9) для оценки A^g(a + b - x - kh) через обычные равномерные мо-

Пусть при ||< t точки y, y + (k + 1)i6 [a, b]. Тогда

|(A+1(-1)kg, q)(y )=|(A|+1(-1^f, p)(a + b - y-(k +1|) +

го порядка можно при-

k

b

a

X 6

2

k

a

a

+ Д+1(-1)/(а + Ь -у-(к + 1)т)Гх х(р+(а + Ь - у)-р+(а + Ь - у -(к + 1)т)) +

+ Д+1 (-1)/ (а + Ь - у - (к +1»]" х х(р_ (а + Ь - у)-р_ (а + Ь - у-(к + 1)г))<

< ®к+1(- /, А ?)+ (к +1)®( Р, Фк+l(/, О.

Отсюда, переходя к супремумам в крайней левой части, получим

®к+1 (ИкЯ, Я, /)< (12)

< ®к+1(- /, p, 0+(к+О^Сд 0®(p, о.

Следовательно, из (9)—(12) имеем: если |к| <д и при этом точки х и х + кк берутся из отрезка

a + b 2 :

b

в случае h > 0 и из отрезка

a+b 2

случае h < 0, то выполняется неравенство

|(4/, p)*)

k2 (k + 3)2

чЪ - a

b-a 2k 1

< 3kM(/. p)Sk

(13)

Sk J — Qk+i(- /. P. t)dt.

b-a

■<(/. s)<

8k

2k 1

\\/\\Sk + 2kSk j — rnk+i(/, t)dt, (14) b — a / s t

0 <S<

b - a 4k

b - a

b-a

числа / +1 такого, что 1 < г +1 < к. Докажем (4) для числа /.

Из неравенства (3) в случае к = / для М = 4/(16/)г вытекает неравенство

Г Ь-а Л

/ + | ^а,+1(-/,Р,,)*

Qi (/. p, S)< MS'

при этом по допущению Q+i(- /. P, t )<

< At

i+i

b - a

/i+2ï ^ Qk+((- ,)•+1-(.+-Ч-/ > p,. )„

(b - a) t m

Значит,

Q. (/. p. S)< MS'

M (/. p)

(b - a )' S

M (/. p ) (b - a)+1

b-a 2i +2

2 д Г

Отсюда и из (8) вытекает, что неравенство (13) фактически выполняется при |к| < д для всех х, х + кк е [а, Ь], а значит, требуемое неравенство (2) получено.

Для доказательства неравенства (3) применим следующее неравенство Маршо (см., например, [3, с. 166]):

J "Т+2 Qk+1((- l)k '+V. p. u)dM

t m

dt

-a

< MS' j/+. b-a+

[ (b - a) (b - a)+1 2i

Ъ-a b-a

+ J dt J -LQk+i((-1)"-i+7. p. m)du

S t m

справедливое при любом натуральном k и

Изменив порядок интегрирования в последнем повторном интеграле, получим

а, (/, р, д)<

< MS'

Учтем также, что а(р, t) является неубывающей функцией относительно t > 0 и, очевидно, юк+1(- /, 0 = ®к+1(/, О. Отсюда из (2) и (14) получим второе требуемое в теореме неравенство (3): ак (/, Р, д)= ®к (/, р, д) + ®к (/, дМ Р, д)<

< 4к| Ш- | М(/, р)дк +

b-a

1+A ] / + i-1+г Qk+i((-1?-i+1/. p. u)du

2i J (b - a) S

<M| 1 +-A Is'

+1-7+1 Qk+1((-1)k-i+1/. p. m )u

(b - a)'

a) s m

+к2 (к+з)2дк | -¿г а к+1 (- /, р, О**. д t

Теорема доказана.

Доказательство следствия. Пусть по индуктивному предположению доказываемое неравенство (4) имеет место для произвольного натурального

Остается учесть, что i < k, M = 4i(16i)' < 4k(16k)k и параметр A зависит лишь от k .

Литература

1. Долженко Е.П., Севастьянов Е.А. Аппроксимации со знакочувствительным весом (теоремы существования и единственности) // Изв. РАН. Математика. 1998. Т. 62, № 6. С. 59-102.

2. Долженко Е.П., Севастьянов Е.А. Аппроксимация со знакочувствительным весом (устойчивость,

a

в

ъ

a

<

+

ш

приложения к теории ужей и хаусдорфовым аппроксимациям) // Изв. РАН. Математика. 1999. Т. 63, № 3. С. 77-118.

3. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М., 1977. 512 с.

4. Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М., 1961. 624 с.

5. Жук В.В. Лекции по теории аппроксимации. СПб., 2008. 396 с.

6. Шевчук И.А. Приближение многочленами и следы непрерывных на отрезке функций. Киев, 1992. 225 с.

7. Marchaud A. Sur les derives et sur les differences des fonctions de veriables reeless // J. Math. Pures et Appl. 1927. Vol. 6. P. 337-425.

8. Тригуб Р.М. Приближение функций с данным модулем гладкости на внешности отрезка и полуоси // Докл. АН СССР. 1993. Т. 132, № 2. С. 303-306.

9. Dai F., Ditzian Z. Littlewood-Paley theory and sharp Marchaud inequality // Acta Sci. Math. (Szeged). 2005. Vol. 71. P. 65-90.

10. Ditzian Z., Prymak A. Sharp Marchaud and converse inequalities in Orlicz spaces // Proc. Amer. Math. Soc. 2007. Vol. 135. P. 1115-1121.

11. Рамазанов А.-Р.К. О прямых и обратных теоремах теории аппроксимации в метрике знакочувст-вительного веса // Analysis Mathematica. 1995. Vol. 21. P. 191 - 212.

12. Ибрагимова Б.М. Оценка полиномиальных приближений функций через модули гладкости относительно знакочувствительного веса // Математика. Экономика. Образование : тез. докл. XXII Междунар. конф. Ростов н/Д., 2014. С. 78.

References

1. Dolzhenko E.P., Sevast'yanov E.A. Approksimatsii so znakochuvstvitel'nym vesom (teoremy sushchestvova-niya i edinstvennosti) [Approximations with a signsensitive weight (existence and uniqueness)]. Izvestiya RAN. Matematika, 1998, vol. 62, no 6, pp 59-102.

2. Dolzhenko E.P., Sevast'yanov E.A. Approksimat-siya so znakochuvstvitel'nym vesom (ustoichivost', pri-lozheniya k teorii uzhei i khausdorfovym approksimat-siyam) [Approximation with weight (resistance, applica-

Поступила в редакцию_

tions to the theory of snakes and Hausdorff approximations)]. Izvestiya RAN. Matematika, 1999, vol. 63, no 3, pp. 77-118.

3. Dzyadyk V.K. Vvedenie v teoriyu ravnomernogo priblizheniya funktsii polinomami [Introduction to the theory of uniform approximation of functions by polynomials]. Moscow, 1977, 512 p.

4. Timan A.F. Teoriya priblizheniya funktsii deistvi-tel'nogo peremennogo [Theory of approximation of functions of a real variable]. Moscow, 1961, 624 p.

5. Zhuk V.V. Lektsii po teorii approksimatsii [Lectures on the theory of approximation]. Saint Petersburg, 2008, 396 p.

6. Shevchuk I.A. Priblizhenie mnogochlenami i sledy nepreryvnykh na otrezke funktsii [Approximation by polynomials and traces of continuous functions on the segment]. Kiev, 1992, 225 p.

7. Marchaud M.A. Sur les dérivées et sur les différences des fonctions de variables réelles. J. Math. Pures et Appl, 1927, vol. 6, pp. 337-425.

8. Trigub R.M. Priblizhenie funktsii s dannym mod-ulem gladkosti na vneshnosti otrezka i poluosi [Approximation of functions with given modulus of smoothness on the exterior of an interval and the half-line]. Doklady AN SSSR, 1993, vol. 132, no 2, pp. 303-306.

9. Dai F., Ditzian Z. Littlewood-Paley theory and sharp Marchaud inequality. Acta Sci. Math. (Szeged), 2005, vol. 71, pp. 65-90.

10. Ditzian Z., Prymak A. Sharp Marchaud and converse inequalities in Orlicz spaces. Proc. Amer. Math. Soc, 2007, vol. 135, pp. 1115-1121.

11. Ramazanov A.-R.K. O pryamykh i obratnykh teo-remakh teorii approksimatsii v metrike znakochuvstvi-tel'nogo vesa [On direct and inverse theorems of approximation theory and the metric sign-sensitive weight]. Analysis Mathematica, 1995, vol. 21, pp. 191-212.

12. Ibragimova B.M. [Evaluation of polynomial approximations of functions with respect to the modulus of smoothness of sign-sensitive weight]. Matematika. Eko-nomika. Obrazovanie [Mathematics. Economy. Education]: Abstracts of the 22 Intern. Conf. Rostov-on-Don, 2014, p. 78.

13 марта 2015 г.