ОБ ОДНОЙ ОБРАТНОЙ ТЕОРЕМЕ ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЯ СО ЗНАКОЧУВСТВИТЕЛЬНЫМ ВЕСОМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.518.8

А.-Р.К. Рамазанов, Мустафа Б.Г. Али Об одной обратной теореме теории приближения со знакочувствительным весом

Дагестанский государственный университет; ar-гamazanov@rambler, ru

Получен один аналог обратной теоремы теории полиномиального приближения ограниченных функций с ограниченным знакочувствительным весом.

Ключевые слова: знакочувствителъный вес, приближение полиномами, обратная теорема.

One analogue of inverse theorem of polynomial approximation with bounded sign-sensitive weight is obtained in the article.

Keywords: sign-sensitive weight, polynomial approximation, inverse theorem.

В работе [ 1 ] построен аналог модуля непрерывности для ограниченных функций относительно ограниченного знакочувствительного веса, который позволяет разбить ограниченные периодические функции на классы и получить для них прямые и обратные теоремы теории приближения относительно ограниченного знакочувствительного веса.

В частности, получена оценка модуля непрерывности относительно знакочувствительного веса через скорость полиномиального приближения в метрике знакочувствительного веса (аналог обратной теоремы С.Б. Стечкина; см. [1] - теорема 2). В данной работе найдены условия, при которых удается уточнить эту оценку и избавиться от малого параметра в знаменателе оценки.

1. Определения и обозначения

Следуя Е.П. Долженко и Е.А. Севастьянову [2], знакочувствительным весом на отрезке А = [а, Ь] назовем упорядоченную пару р(х) — (р_ (х), р+ (х)) однозначных неотрицательных функций р_(х) и р+(х), определенных на Д.

Для определенных на отрезке А веса р(х) — (р_(х),р+(х)) и функции /(^положим

Г(х)=тах{Дх),0}, /"(*) = (-Д*))\

|(/, р)(х)\ = Г (х)р+(х) + Г (*) А- (*) ир — нормой функции f (х) по отрезку Д назовем величину

Рассмотрим пространство DS(p,A) всех конечных действительнозначных функций f (x), x £ А, с р -нормой \f\p д<°°-

Легко увидеть, что для любых /', g е DS(p, А) имеем:

но, вообще говоря, В частности, при р_( x)^p+=1 получим

ИАд = Ид = SUP{|/(*)| : * G Д} •

В случае ограниченного веса в прямых и обратных теоремах полиномиального приближения, в отличие от обычного подхода, вместо класса функций с заданным модулем непрерывности берутся классы функций с заданным семейством модулей непрерывности, определяемым указанным малым параметром £ > 0.

Когда речь идет о полиномиальных приближениях в пространстве 1)Н(р, А), из принадлежности констант (полиномов нулевой степени) этому пространству следует, что вес р(х) =(р_(х),р+(х)) необходимо считать ограниченным; разумеется, приближаемые функции / е 1X4 (р, А) могут быть и неограниченными на А.

Для определенной на отрезке А функции £(х) и числа с положим >с)={хеД: > с}; аналогично определяются множества

Для весар(х) = (р_(х),р+(х)), заданного на отрезке А, и числа е>0 определим множества

А+ = А+ (е) = А(р+ > е), А_ =А_ (е) = А (р_ > е), а через А6. обозначим пересечение их замыканий А_ПА+ .

Если функция / (х), хёА при заданном е > 0 ограничена сверху на множестве А_ и снизу на А+ , то положим

М(а, Р) = 8ир{/(х): х е [а, /?] П А_ }, т(а, Р) = М{/(х) :хе[а,Р] П А+ }

и определим функции

М_(х,е) = \\тМ(х — д,х + д), хеА_,

5н>+0

т+{х,е) = \1тМ{х — д,х + д), х е А+ .

Легко увидеть, что функция М_(х,е) полунепрерывна сверху на А_ , а функция т+ (х, е) полунепрерывна снизу на А+ .

Для ограниченных на отрезке А веса р{х) =(р_(х),р+(х)) и функции /(х) определим относительно чисел в семейство модулей непрерывности, полагая

(/, А 5) = (х, е) - т (у, £))+,

где супремум берется при |х — у| < 5 (б > 0) по всем х е А_ и у е А+ . Считаем величину а>е(/,р,5) доопределенной нулем при <5 е [0,й?), если£#^(Д_, А+) = ё > 0, причем равной нулю тождественно, если хотя бы одно из множеств А и А+ пусто.

Очевидно, прир_(х) = р+ = 1 величина ®е(/,р,5)совпадает с обычным равномерным модулем непрерывности

д) = вир{|/(х) - /О) < 8, х,у е А}.

Пусть О = {0е(£)} - семейство таких функций, что при каждом £">0 функция <х>е(<5) является модулем непрерывности, а при каждом с) > 0 она не возрастает по £>0, причем для заданного отрезка А при всех достаточно малых £ > 0 величина

(0Е{Ъ~а)< 1.

Ниже обратная теорема получена в случае 2л;-периодического веса р(х) — {р (х), р (х)) через свободу системы «Знакочувствительный веср - множество г тригонометрических полиномов» - характеристику, введенную Е.П. Долженко и Е.А. Севастьяновым [2]:

W = W(p,i) = sup{|Ц. /Т\ .},

НА I lp,AJ

где супремум берется по всем тригонометрическим полиномам leí, Т(х) ^ О, А = [—ж, п~\ - отрезок длины периода.

2. Основной результат Теорема. Если для 2л;-периодической ограниченной функции f{x) при каждом n = 0, 1, ... найдется s(ri)> О такое, что для каждого е е (0, s(n)) существуют тригонометрический полином Тп{х) порядка не выше п и функция со.. (8), для которых при А = [0, 2л] и некоторой С = const > О

f(x)<Tn(x) + C

f(x)>Tn(x)~Cco,

1

n + 1.

' l

x e A

хёА,

(1) (2) (3)

+ 1 у

то для каждого 8 > 0 найдется а(8) > 0 такое, что для всех е е (0,е(8)) выполняется неравенство

г 1

где Q ^axílóC^CWmaxJl,!/^ }}.

1 _ 1 Доказательство. Пусть 8 > О, -< О <

2

2

п-1

£ü = miJeí-U |k = 0,1,..., ni, и пусть S < 80

Тогда для этого е выполняются (1) - (3) при всех 2°, 21, ..., 2П вместо п . Пусть х е А_ , у е А+ , |х - у| < 8. Для единообразия обозначим У0 через Т^1. То-

гда

<

+

Ifix) -./'(>■)] < [fix) -т2„_1 (Л-)] + [/;„_, (х) -т2„_1 (><)] + [/;,, оо

^ y^j + [тг1 (х) - Тг_2 (х) - {г^ (у) - Tr_2 (y)f + [т2п1 {х) - Т2„_2 (у)]+ +...+

+ \l\y- (х) -1(] (х) - (у) -1(] О')}] +[l\Sx)-T(](y)\ = 2Са>„Í^U + £[fc (в) ~Т^ (в)\х - у)\ <2Са>„(^ + g2*¡T2k -Т^ \\-\x-y\.

к=О V 2 ) к=о

Пусть свобода системы «Знакочувствительный вес р - Семейство тригонометрических полиномов» конечна, т. е. конечна величина

1Т1г<

W = W(/?,r) = sup^

Н[0,2ж]

|T|

: Т е г, Т ^ 0

Р,[ 0,2л]

Отсюда для любого Т е г выполняется неравенство

<W-\T\

р,[0,2х]

Тогда очевидно

||Т2* _T2k1

< W • min

in{

TT

12t 12*"1

P, A,

TT

1 ->i-1 1

P, д

Правая часть равна произведению W на супремум по t е Л величины AU) = ш,п{шах{[/;([ (0 -/;„ (/)] р (0,[/;„ щ -/;„ (/.)] Р_(/>},

max

{

= minjmax

. (О -т2к (/)] Р+ (о, [/;, (о -т2к (/)] Р_(/)}}=

к (о - со] а (о, к (о - сок со},

тах{[7;, (0 -Т2к (/)] (7), [/;, (0 - (/)}}.

Поэтому достаточно в каждой точке / бА оценить эту величину А(1). Рассмотрим возможные случаи для / еД.

Пусть ^ е А_ П А+ . Тогда выполнены (2) и (3). Оценим, например, первый из указанных в скобках максимумов:

[т2к (I) - Т^ (I)] р+ (I) = [т2к (I) -{(1) + {(1) - V (ф+ (I) < 2Са>е ^ [т2Ы(О-Т2к(I)] А (О <

Пусть ^ е А_, но ^ £ А+. Тогда выполнено (2) и р+ (/) < . В этом случае, если Т к (7) > Т^ (/) , то, используя (1) и (2), оценим

к (о -со] а (о=к (о - док (о+[яо - ^ сок (о <

М)

<IV

~p+(\) + Cœ

1

е\ ок-1

2k

если же Т2к (t) < Т^ (t), то по (1) и (2) получим

ДО ^ (0 ~T2t СО] А (О =[Т2^ (О

_(о+[ло-^(ок(о^

.С J^ + С* Ше.

Пусть t е А+, но t <£ А_. Тогда выполнено (3) и А (0 < если (0 ^ T ^ (t) , то по (3) и (1) имеем

ДО * h (0 " СО] А (0 = (0 " ДОк (0 + [/(0 " ^ (/ "

-(О *

если же У!,,. (О < (0, то

ДО * h- (0 - т2к со] а (0 = к-, (0 ■

Наконец, пусть t £ А_ U А+ . Тогда А (О < s, А (0 < 5 и пусть для определенности А (0 < (0. Если Т2к (0 > Т^ (0 , то

до * к со - т^ со] а со = к со - док (о+[/со - ^ сок (о *

с

2

если же 72, (t) < 72, (t), то

ДО * fc» (0 - ^ со] Р- (0 = к- (0 ■

it)+[m-Tt{t)]p_{t)<

< [т2к_, (t) -f(t)]+ р+ (t) + [т2к (t) -mlр-(t) +

Итак, при t е А и k = 1, 2,..., п имеем

A(t)<2Cfi>.

2k-i

• max

Анологично, Г -(1)-тах^,||р||д}. Следовательно, при х е А_ , y е А+ и |х — y| < £ получим

[А*)" /ООГ * 2С®, f-U + g 2* ШЛСсое Г^та^, \\р\\А }<

С^2к~1с>е

к=1

,2 У 1 f

2у

(4)

1

¿= 2

1

2

сое

<^¿¿2^ J-L = 2^2* J-^t^-(2--2-)

i= 2 V

к- 1 2

к-1

¿= 2 " 2 _ {

к=2 2""1 /- -

<22С^£ f - Им = 4С^ f <ое - кй/ = 4С1£ f —coe(t)dt<

k~2 -у1-2 J i V M / , t

1 v

1 ^

<

f 1

C2S\—a>e(t)dt,

S t

где C2 =max{8C, 32CWmax{1, ||p||J}.

Переходя к супремумам по всем х е А_ , y е А+ и |х — y| < 5, получим

со.

Г 1

(f, р, ¿>) < С2д —со£(t)dt - для каждого 8 >0 и всех е (0, £"(с>)).

о t

Литература

1. Рамазанов А.-Р.К. Метод малого параметра для знакочувствительных аппроксимаций // Analysis Mathematica. - 2002. - № 28. - С. 205-230.

2. Долженко Е.П., Севастьянов Е.А. Знакочувствительные аппроксимации (пространство знакочувствительных весов, жесткость и свобода системы) // Докл. РАН. 1993. -№332. -С. 686-689.

Поступила в редакцию 13.01.2012 г.

1

1

1

"

"

2

"-1

2