ОЦЕНКА ПРОИЗВОДНОЙ ТРИГОНОМЕТ- РИЧЕСКИХ ПОЛИНОМОВ В ИНТЕГРАЛЬНОЙ МЕТРИКЕ СО ЗНАКОЧУВСТВИТЕЛЬНЫМ ВЕСОМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Рамазанов А.-Р.К., Али Мустафа Б.Г. Оценка производной тригонометрических полиномов в интегральной метрике со знакочувствительным весом

УДК 517.518.8

А.-Р.К. Рамазанов, Мустафа Б.Г. Али

Оценка производной тригонометрических полиномов в интегральной метрике

со знакочувствительным весом

Дагестанский государственный университет, [email protected]

В работе получен аналог неравенства С.Н. Бернштейна об оценке неравенства С.Н. Бернштейна об оценке производной тригонометрического полинома в интегральной метрике со знакочувствительным весом.

Ключевые слова: тригонометрический полином, производная, знакочувствительный вес.

The analogue of Bernstein's inequality on the estimate of the derivative of a trigonometric polynomials in the integral metric of a signsensitive weight is obtained.

Keywords: trigonometric polynomials, derivative, signsensitive weight.

Следуя Е.П. Долженко и Е.А. Севастьянову ([1], [2]), знакочувствительным весом p(x) = (р (x), р+ (x)) на множестве E ^ (—ю3+ю) назовем упорядоченную пару неотрицательных на E функций р (x) и р+ (x) .

Ниже функции р_ (x) и р+ (x) будем считать 2л-периодическими неотрицательными функциями, которые суммируемы на отрезке А = [0, 2 л].

Для 2л-периодической суммируемой на А функции fx) положим

2л,- -,

Р

0

J f (x)p+ (x) + f (x)p_ (x) dx ; здесь, как обычно, f (x) = max{/(x),0},

/ "(х) = (- / ( х})+ .

При р_ (х} = р+ (х} = 1, очевидно, полунорма \/\ совпадает с обычной интегральной нормой. Ниже для полунормы || • | получен аналог неравенства С.Н. Бернштейна об оценке нормы производной произвольного тригонометрического полинома Т(х). Эта оценка получена через интегральную и равномерную нормы самого полинома:

2л

J|T(x)|dx, IT! = max{T(x)|: x e [0,2л]},

0

а также через интегральный и равномерный модули непрерывности веса

р( x) = (р— (x), р+ (x)):

с(р±,5) = sup{р(x + h) — р±(x)|: 0 <h <S,x e[0,2л]}, с(р, 5) = max{ <с(р_, 5), су(р+, J)};

2л

с(р+ ,5)L = sup Г|р+ (x + h) — р+ (x)|dx,

0<h<S q

с(р, 5)

L = таХ{с(р— ,S) l

Всюду ниже через T (x) обозначим произвольно заданный тригонометрический полином порядка n(n = 0,1, 2,...) и при фиксированном натуральном n положим

2m — 1 1 n Хт = -т"-л (т = 1,2,3,...,2n),Rm =-—, A = 2^mRm ,

2n 4nsin2xm m=-

2

5 = 2 min{®(Р, £)||Ць £)lIITI}.

2

Заметим, что A < —- n ln n + 2n. ж

Действительно, представим A в следующем виде:

in v n-1 ni v

A = — Y sin-2(% + Y Y -Lsin~2(%.

2n 2 ^ ^ 2n 2 2n i=1 2 m=1 i=m+1 2n 2

Тогда первое слагаемое равно n . Так как функции sin 2 (х) и ctg х убывающие на (0, ж / 2), то, образуя интегральные суммы и переходя к интегралам, последовательно получим

1 rxn/2 1 ^ X

- Г sin ~2 xdx < n +1Y ctg (-*-)<

. TT Jx„ /2 ÖV 9 7

m=1 /2 nm=1 2

1 .x. 1 2n r*n-i/2 2 ,

< n н— ctg (—) н---I ctgxdx < —-n ln n + 2n.

n 2 ж ж JV2 ж

Теорема. Для 2ж-периодического веса р( x) = (р_ (x), р+ (x)), суммируемого на отрезке А =[0, 2ж], и любого тригонометрического полинома T(x) порядка n(n = 1, 2,...) выполняется неравенство

TVnmax|||t T |р} н А ■ В, (1)

где

а=-L £_m_,

2n a^im-l ж

4n

В = 2mm{*(р,TL Ж-И}.

Доказательство. К данному тригонометрическому полиному T(x) порядка n (n = 1, 2,...) применим тождество Рисса:

2n

T '(x) = 2 T(x + xm )(-1) "+1 Rm , (2)

m=1

Rm =-^sin-2ф, xm = я (m = 1, 2,..., 2n).

4n 2 2n

Отсюда при T(x) = sin nx и x = 0 получим

R + R2 +... + R2n = n. (3)

Если в данной точке x е [0,2я) производная T'(x) > 0, то, разбив сумму из (2) в зависимости от чётности m на две суммы, ^ и 2 2, получим

(T'(x))+ р+ (x) < 2 (т (x + xm))+ p+ (x)Rm +22 (T (x + xm))- p+ (x) Rm = Sl + S 2. (4) Аналогично при T'(x) < 0 имеем

(T'(x))-p- (x) <2(T(x + xm))-P- (x)Rm +22(T(x + xm))+P- (xR = S3 + S4. (5) В каждой из четырёх сумм Si слагаемые, в зависимости от неравенств 1 < m < n или n < m < 2n, оценим по-разному. Так, для слагаемых суммы S соответственно имеем

2ж

j Т + (х + xm )р+ (x)dx

0

2ж 2ж

j Т + (х + xm )Р+ (х + xm )dX + j Т + (X + Xm )(Р+ (х) ~Р+ (х + Xm ))dX >

0

0

2ж

)р+ '

0

2ж 2ж

2Ж

j Т + (х + xm )Р+ (x)dx

= j Т + (х + xm )Р+ (х + xm )dx + j Т + (X + Xm )(Р+ (х) -Р+ (х + Xm ~ 2^>)dX • 0 0 Здесь

2ж 2ж

j Т + (X + Xm )(Р+ (X) ~Р+ (X + Xm ))dX - j |Т + (X + Xm Р+ (х) -Р+ (х + Xm ^dx ,

причем

\Р+ (X) ~Р+ (X + Xm ^ -р+ (X) ~Р+ (X + X0| + |Р+ (X + X1) ~Р+ (X + X2^ +

+... + |p+(x + xm-1)-p+(x + xm^ < ma(p+,ж) .

n

Поэтому

2ж 2ж

jT + (x + Xm)(p+ (x) - p+ (x + xm))dx < mffl(p+,Ж) j|T+ (x + Xm)|dx < mffl(p+, -)T||L. 0 n 0 n С другой стороны, обозначив x0 = 0, также имеем

2ж

< ITII j|p+ (x)-p+ (x + xm )|dx <

2ж

j Т + (X + Xm )(Р+ (X) ~Р+ (X + Xm ))dX

0

+

0

m 2r m ж

IE j |р+ (X + X,_1) -Р+ (X + X, )|dX <||Т||Y ®(р + 5

,=10 " " " Аналогично

,=1 0 ,=1 n

2ж

+ ,

2ж

+ ,

jТ + (X + Xm )(р+ (X) - р+ (X + Xm - 2ж)^ - j|т + (X + Xm )||р+ (x) - р+ (X + Xm - 2ж)|dX -

2ж

- (2n - m + 1>(р+,ж) jТ+ (X + Xm )|dX - (2n - m + 1>(р+, ж)||T||l ;

n 1 n

в то же время

2ж 2ж

j\Т+ (X + Xm )||р+ (X) - р+ (X + Xm - 2ж)|dX - ||Т|| Лр+ (X) - р+ (X + Xm - 2ж)|dX -

+ '

0

< (2п - т + 1)а(р+, -)^ п

Аналогично поступаем со слагаемыми в остальных трёх суммах , и Ясно, что в ^ и входят хт с нечётными т, а в и - с чётными т.

п 2п

Представим А в виде А = 2 + 2 (2п - т +1)Ят, и пусть Л1 и А2 - суммы всех

m

m=1 m=n+1

слагаемых из A для нечётных m и чётных m соответственно. Тогда, обозначив В1 = min {^(р+, ж) TIIl ;^(Р+, ж) l|T|} , В2 = min {©(р_, ^)|TL ;®(Р-, ж) lTI}

и заменив X + Xm = t, получим

m

2ж 2ж 2ж 2ж

jS,dX -E j(T(t)) + Р+ (t)Rmdt + A1B1, jS2dX -E2 j (T(t))- Р+ (t)Rmdt + A2B1

0 0

0

0

0

0

0

2л 2л

J S3dx <£ J (T(t))- p_ (t)Rmdt + A1B2, (6)

— £1 J V1 W7 H- W1 m 0 0 2л 2л

J S4dx <£2 J (T(t)) V- (t)Rmdt + A2B2 . 00

Используя (3)-(6) и легко проверяемое неравенство Bl + B < B, имеем

||T= J[(T'(x)) + p+ (x) + (T'(x))p(x)]dx <

0

2л 2л

: £ J (T(t)) + p+ (t)Rmdt + £ J (T(t))- p+ (t)Rmdt

< £ I (T (t ))+ p+ (t) Rmdt + £ J (T (t ))- p+ (t) Rmdt +

0 0 2л 2л

+ £ J (T(t))- p- (t)Rmdt + £ J(T(t)) + p- (t)Rmdt + A(Bi + B2 ) <

0 0 2л 2л

< £ J (T(t)) + p+ (t)Rmdt + £ J (T(t))- p- (t)Rmdt +

+ V 7 m / J V V 77 f - \ J m

00 2л 2л

+ h2 j (—T(t)) + р+ (t)Rmdt +£ j (—T(t)) — р— (tt)Rmdt + A • 5 = 0 0

= h Rm 2|Л[(T(t)) + р+ (t) + T(t)) — р— (t)]dt +

0

+ h2Rm2\[(—T(t)) + р+ (t) + (—T(t)) — р— (t)]dt + A • В =

0

= |T Ih Rm ПК T \Ph Rm + A ^ В <

< max |T Ц — T ^ Rm + £ Rm )+ A • В =

= max|T р,| — T р)^ + A • В = n max { |T \p ,|| — T р)+ A • В.

m=1

Теорема доказана.

Замечание. Можно доказать, что полученная в теореме оценка является точной на классе всех тригонометрических полиномов любого наперед заданного порядка n для отдельных весов и точной по порядку на каждом классе весов р^) = (р— (x), р+ (x)) с заданными модулями непрерывности с(5) и с(5)ь. Аналог неравенства (1) в равномерной метрике и непрерывного 2л-периодического веса получен в [3].

Литература

1. Долженко Е.П., Севастьянов Е.А. Знакочувствительные аппроксимации (пространство знакочувствительных весов, жесткость и свобода системы) // Докл. РАН. 1993. T. 332 - С. 686-689.

2. Долженко Е.П., Севастьянов Е.А. Знакочувствительные аппроксимации (вопросы единственности и устойчивости) // Докл. РАН. 1993. Т. 333 - С. 5-7.

3. Рамазанов А.-Р.К. О прямых и обратных теоремах теории аппроксимации в метрике знакочувствительного веса // Analysis Mathematica. 1995. Т. 21 - С. 191-212.

4. Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. - М.: Физ-матгиз, 1961.

Поступила в редакцию 24 ноября 2010 г.