НЕСИММЕТРИЧНЫЙ ИНТЕГРАЛЬНЫЙ МОДУЛЬ НЕПРЕРЫВНОСТИ И АНАЛОГ ПЕРВОЙ ТЕОРЕМЫ ДЖЕКСОНА Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 517.518.8

А.-Р.К. Рамазанов, Б.М. Ибрагимова

Несимметричный интегральный модуль непрерывности и аналог первой теоремы Джексона

Дагестанский государственный университет, [email protected]

Получено прямое обобщение первой теоремы Джексона о полиномиальных приближениях функций на интегральные метрики со знакочувствительным весом.

Ключевые слова: приближение, полиномы, модуль непрерывности, знакочувствительный вес.

Direct generalisation of the first theorem of Jackson about polynomial approximations of functions on integral metrics with signsensitive weight is obtained.

Keywords: approximation, polynomials, modulus of continuity, signsensitive weight.

Пусть 2п-периодические функции p_ (x) и p+ (x) неотрицательны на (-¥; + ¥) и суммируемы на (_p; + p). Тогда упорядоченная пара p(x) = (p_ (x), p+ (x)) называется 2л-периодическим знакочувствительным весом [1].

При p > 1 через L'p p обозначим множество всех 2п -периодических функций f (x), для которых конечна величина

f

j[(f+(x)fp+ (x) + (f - (x))pp_ (x)

l-p

dx

здесь, как обычно, / + (х) = шах{/(х), 0}, /- (х) = (- /(х))+.

Можно доказать, что || • представляет собой полунорму на ^р71^ , а

именно - для любых f, g е Ь2р р выполняются условия:

1) \\f I ^ 0;

' и I р, р '

2) Я • ^ = Я • ^ при Я > 0, но не всегда

р , р ,

II I р, р II f I р, р ;

3) + g I £1 f I +1 g I .

р , р , р ,

Относительно этой полунормы определим наименьшие полиномиальные уклонения, полагая

ЬрВп(/, р) = М{ 0 - f \р, р : 0 е Рп };

здесь Рп - множество всех тригонометрических полиномов порядка не выше п (п = 0,1,2,...).

Как известно, при оценке наименьших равномерных полиномиальных уклонений в первой теореме Джексона структурная характеристика функции (ее модуль

1

непрерывности) определяется через приращение функции f (x + h) - f (x). Если в случае рассматриваемой интегральной полунормы аналог модуля непрерывности определить как в случае равномерной метрики, т. е. равенством

W p (8, f, р) = sup {J f (• + h) - f (•) | p p : h| < 8 j,

то теряются стандартные свойства структурной характеристики, которые существенно влияют на оценки полиномиальных уклонений LpEn (f, р).

Более того, полный аналог первой теоремы Джексона, т. е. оценки полиномиальных уклонений через одну лишь эту структурную характеристику, невозможен. Точнее, имеет место следующая

Теорема 1. Существуют 2п-периодический знакочувствительный вес р (x) = (р - (x), р + (x)) и функция f е LP р (p > 1) такие, что W p (8, f, р) = 0 при

всех s е

о;2

+ VV/ " j ci,p, р yy^ij -------> * —

и при этом LpEn(f,р) > 0 при всех n = 0,1, 2,... .

Доказательство. В качестве функции /(х) возьмем непрерывную 2п-периодическую функцию, которая на отрезке [0; 2л] при фиксированном Н > 0 определяется следующим образом:

ч 6H f (x) =-x при x е

p

6H

о.p

/•/ ч тт I P 5p

; f (x) = H при x е I —;—

v 6 6

f (x) = — (p - x) при x е

p

5p

~6"

;p

; f (x) = - f (2p - x) при x е (p;2p].

В качестве составляющих веса р(х) = (р— (х), р + (х)) возьмем непрерывные п-периодические функции, которые на отрезке [0; п] определяются следующим образом:

р- (x) = р+ (x) = 0 при x е

о. p

р - (x) = р + (x) = p I x - || при x е

2p

3

p p

v3;I

-;p

р-(x) = р+ (x) = p(f - x) пРи xе[f;f 1 p

Тогда для 0 < 8 < - < p при 0 < h < 8 получим If (x + h) - f (x)| р± (x) = 0 при

<

2 6

всех х е [— р;р]. А следовательно, Q 1 / р | = 0 при всех п = 2, 3,... .

РУп ' 0

При этом заметим, что II п — у I > 0 для любого тригонометрического по-

II ^ ^ 1р, р

линома Щх).

Действительно, если П(х) - полином нулевого порядка, то он не совпадает хотя бы с одной из констант Н или —Н, а поэтому, очевидно, ц д — у

'p, р

> 0-

6

Если же тригонометрический полином Q(x). имеет положительный порядок, то найдется интервал (а • р j такой, что Q( x) - f (x)| > 0 при всех

x е (a; Р), а поэтому 11 Q - f \р р > 0.

При каждом n = 0,1,2,... величина LpEn(f,р) достигается на каком-нибудь тригонометрическом полиноме Q(x)., а значит, выполняется также неравенство LpEn(f,Р) > О-

Теорема доказана.

В связи с доказанным утверждением, естественно, возникает вопрос: как определить аналог интегрального модуля непрерывности функции f е Lp р , чтобы получить прямой аналог первой теоремы Джексона для интегральных метрик со знакочувствительным весом?

Ниже получен ответ на поставленный вопрос.

Для функции f е l2p р (p > 1) при 8 > 0 интегральный модуль непрерывности определим следующим образом:

Wp(8, f,р) = sup J J Г((/(x + h) - f (x))+y р + (x +1) +

h£8 U L

+

((f (x + h) - f (x))-)p р - (x +1)

Mp

Можно доказать, что эта структурная характеристика обладает основными свойствами обычного модуля непрерывности.

Очевидно, сор (0, /, р) = 0 и сСр (8, /, р ) являются неубывающими функциями

относительно 8> 0.

Для доказательства непрерывности Ср (8, /, р) в точке 8 = 0 сначала доказываем это для непрерывных функций /(х) (используя их равномерную непрерывность и суммируемость функций р_(х) и р (х) на(- р;р)). Затем общий случай сводим к случаю непрерывных функций с использованием абсолютной непрерывности интеграла Лебега и теоремы Лузина о приближении ограниченных измеримых функций непрерывными.

При всех 81 > 0 и 82 > 0 имеет место также неравенство

Ср (81 + 82, /, р) < Ср (81, /, р) + Ср (82, /, р). Отсюда, в частности, вытекает неравенство

Юр (Я • 8, /, р) < (Я +1)-Юр (8, /, р) (Я > 0).

Используя эти свойства интегрального модуля непрерывности, докажем следующую теорему.

Теорема 2. Для любого знакочувствительного веса р(х) = (р_(х), р + (х)), образованного парой неотрицательных 2п-периодических измеримых и ограниченных почти всюду функций р _ (х) и р + (х), и любой функции / е Ьр р

при п = 1, 2, ... выполняется неравенство ЬрЕп(/,р) < 12юр| -,/,р 0.

1

Доказательство. Возьмем ядро Джексона _IГ /2)

п 8т(?/2)

Г {

_ I I ГБ1П(щ/2)У

ж

-ж

1

31П(,/2)0 Л • и пусть °п(х) _ ж1 I/(^ -' >'• С у.

Легко показать, что Оп(х) представляет собой тригонометрический полином порядка 2п - 2.

1 ж

Ясно^ что выполняется равенство Оп (х) - / (х) _ — [ (/(х - г) - / (х)) I п (г)сИ.

ж

-ж

Отсюда получим:

О - /

'р ,р

1 ж

-| / - г) - /(х)) Iп№ ж -1

-ж

р ,р

<

£ ж А (/(х - г) - /(х)) |р ,р 'п (О** _ I ] | | ((/(х - г) - /(х))+)рр+ (х) +

-ж

-ж 1-ж1-ж

+ ((/(х - г) -/(х))-]рр_(х) Лр 'п(0^ < 1 |®р(| /К№ <

- ^ -ж

<ж I (п|г+1)®р{п'/Лп(№_^р№ 'п(0^+1 1п(о4_

-ж { 0 { 0 [ -ж -ж ]

_трГ1'/'Р^ж 1пЦ 'п(№+|.

1 ж

Интеграл _ Iп\г\ I (г)Ш можно оценить по аналогии с [2] и показать, что

тт ^ I I п

-ж

1 ж п. , ч 1 „ 8п 5ж _

- I п\Ц 'п(г)Ж <---_ 5.

7Т » 11

-ж

Значит, II Оп - /

ж 8п

< 6ш р

1р • г Р

(1 ^

-/р (п _ 1,2,...).

{п 0

Учитывая, что Оп(х) - полином порядка 2п - 2, легко получить неравенство (1 ^

ЬрБп(/,р) < 12шр -,/,р (п _ 1,2,...). {п 0 Теорема доказана.

Литература

1. Долженко Е.П., Севастьянов Е.А. Знакочувствительные аппроксимации // Докл. РАН. 1993. Т. 332, № б. - С. 686-689.

2. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. - М.: Наука, 1977. - С. 127-129.

4

с

1