ОЦЕНКИ МОДУЛЕЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ ПЕРВОГО И ВТОРОГО ПОРЯДКОВ ДЛЯ СИНГУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Рамазанов А.-Р.К., Магомедова В.Г., Ибрагимова Б.М. Оценки модулей непрерывности первого и второго порядков для сингулярных функций

УДК 517.5

А.-Р.К. Рамазанов, В.Г. Магомедова, Б.М. Ибрагимова

Оценки модулей непрерывности первого и второго порядков для сингулярных функций

Дагестанский государственный университет, ar-ramazanov@rambler. ru

Получены точные по порядку оценки для модулей непрерывности первого и второго порядков сингулярных функций.

Ключевые слова: сингулярная функция, модули непрерывности и гладкости.

Exact estimates of the modulus of continuity of the first and second degree for the singular functions are obtained.

Keywords: singular function, modulus of continuity and smoothness.

Функция f (х), определенная на некотором отрезке [a, b], называется сингулярной на нем, если f (х) на этом отрезке отлична от постоянной, непрерывна, имеет ограниченную вариацию и f (х) = 0 почти всюду на [a, b]. Непрерывная -периодическая функция f ( х) называется сингулярной, если она сингулярна на отрезках длины периода [a, a + 2я\ (a е R).

Внутренняя точка х области определения функции f (х) называется точкой роста этой функции, если неравенство f (X + h) — f (X — h) > 0 выполняется при всех достаточно малых h > 0; точки a и b называются точками роста функции f (х), определенной на

отрезке [a, b], если при всех достаточно малых h > 0 выполняются соответственно неравенства f (a + h) — f (a) > 0 и f (b) — f (b — h) > 0. Множество всех точек роста функции называется ее спектром.

Первые сингулярные на данном отрезке функции построил Г. Кантор (см., напр., [1]). Спектр сингулярной функции канторовского типа всегда представляет собой совершенное нигде не плотное множество F лебеговой меры нуль. Интервалы, дополнительные к F, являются интервалами постоянства такой сингулярной функции.

Сингулярные на отрезке строго монотонные функции, спектром которых является весь этот отрезок, построили Г. Минковский и Р. Салем (см., напр., [2]).

Н.Н. Лузин [3] показал, что любую сингулярную функцию можно представить в виде равномерно сходящегося ряда сингулярных функций канторовского типа. В [4] показано, что этот ряд сходится фактически по вариации (см. также [5]).

В настоящее время исследование сингулярных функций вызывает определенный интерес в различных областях науки. Так, найдена связь сингулярных функций (вероятностных распределений) с классической задачей теории вероятностей о разорении: вероятность выигрыша как функция от начального капитала при определенной стратегии является сингулярной функцией. В теории аналитических функций до конца нерешенной остается задача представления целой функции в виде преобразования Фурье -Стилтьеса. Открытой остается также задача описания сопряженных пространств к функциональным пространствам в терминах преобразования Фурье - Стилтьеса (см., напр., [6]).

В теории приближения функций определенный интерес представляет, в частности, вопрос о поведении модулей непрерывности первого и второго порядков для сингулярных функций.

Как известно, для функции f (x), определенной на данном промежутке I числовой оси, модулем непрерывности (первого порядка) и модулем гладкости (модулем непрерывности второго порядка) называются соответственно величины

((S, f) = ((S, f, I) = sup{| f (x + h) - f (x): 0 < h < S; x, x + h g I},

(U2 (S, f) = (2(S, f, I) = sup{ f (x + h)+ f (x - h)- 2f (x) : 0 < h <S; x - h, x + h g I} (S > 0)

Очевидно, (2(S, f )< 2((S, f) (S> 0).

Известно также (см., напр., [7]) неравенство Маршо об оценке (s, f) сверху через (2(S, f); в случае непрерывных на отрезке [0, 1] функций f (x) оно выглядит так:

((S, f )< MS\t-2(2 (t, f )dt (M > 0 не зависит от S g [0,l]).

S

Р.М. Тригуб [8] получил в этом случае более простые по форме оценки:

max{((s2, f) (2 (S, f )}< M(2 (S, f)

(M > 0 не зависит от S g [0,l]; (2(S, f )> 0 при S > 0 ).

Отметим, что разность второго порядка f(x + h) + f(x - h)- 2 f (x) может равняться нулю тождественно на данном промежутке и при этом сама функция f ( x) может являться разрывной на этом промежутке, т. е. по одной только скорости стремления к нулю (2 f) (при S —^ 0) нельзя судить даже о непрерывности функции f (x) или стремлении ((S, f ) к нулю (при S — 0). Однако, как обнаружил А. Зигмунд [9], если f (x) непрерывна на данном отрезке I и (2(S,f,I)= O(S) при S — 0, то функция f(x) будет иметь «значительную степень непрерывности» на отрезке I, точнее, будет выполняться соотношение (0(s-, f) = o(sIn s) (s — 0).

1

Позже А.В. Ефимов [10] нашел точную константу M =~ t ]=\ в неравенстве

ln (1 + V 2 )

((S, f )< MSln — + O(S) (S — 0) в случае непрерывных

S ~

2— -периодических функций f (x) с (2 (S, f )< S (0 < S < —).

Все вышеперечисленные оценки, будучи неулучшаемыми на всем классе непрерывных функций, оказываются «грубыми» на достаточно широких подклассах класса непрерывных функций. Поэтому ниже исследуется вопрос о том, с какой скоростью могут стремиться к нулю при S — 0 модули непрерывности ((S, f) и (2 (S, f) для сингулярных функций.

Напомним, что неубывающая, непрерывная и полуаддитивная сверху на [0,+сю) функция ((S) с ((0) = 0 называется функцией типа модуля непрерывности.

Теорема 1. Для любой строго возрастающей функции типа модуля непрерывности

т(

L m(S)

(д) такой, что т — > 1, функция ( ) строго убывает при д> 0

lim

т

(д)

2

и

V 2 J

д

= да, существует сингулярная на отрезке [0, 1] функция / ( х) , для кото-8^+0 8

рой выполняется неравенство:

С

-1

1 т(д) < т(д, f )< 2т(д)

0 < д < 2т

ri\\

V

V 2 JJ

Доказательство теоремы 1. Так как функция Сд{8) является строго возрастающей, существует обратная функция С 1 (/)(/ > 0) и из строгого убывания функции

т

(д)

д

при д>0 вытекает строгое возрастание функции

т

-i

(t)

при

t > 0

причем

-т~1 (t0 при t ^+0.

Положим

a1 = 1 - 4т"1

ak = 2т

-1

V 2 у

( Л

о k-1

V 2

4т

-1

Í 1 л

k

V 2 J

при

k = 2,3,...

Заметим, что a1 > 0 в силу условия т — > 1, ak > 0 (k = 2,3,...) в силу

V 2 J

строгого возрастания функции

т

-1

(t)

при t > 0 , т. к. при k = 2, 3,

имеем

a

k 2k - 2

~k-1 -1 2 т

k-1

да

2

k -1 2т

r±\\ k

V2 JJ

> 0

V on-1 si

Рассмотрим ряд ^ 2 an и найдем его частичные суммы:

n=1

n f 1

Sn = S 2k-1 ak = 1 - 4т-1

k=1 1 - 2n+1т~1

n

+ Z

k=2V

2

n

2т

V 2 J

~k-1 V2 J

л f i

ok+1 -1' 1

- 2 т

k

V2 JJ

f 1 Л

v 2 J

(n = 1,2,...).

(1)

Ясно, что lim Sn = 1, т. к. 2n+1т 1

n ^да

^ 0 при t ^ +0 .

í 1 Л

ЛЙ

V 2 J

= 2

т

4 (2-n)

2

- n

^ 0 (n ^ да) в силу

т"1 (t)

t

t

1

1

n

t

Исходя из последовательности ,..., построим последовательность Ъ, ,...

следующим образом:

,11 , к 1

Ь1 = 2 - 2 "1- Ъ = 2 Ъ - 2 а2 ■

Ъп — 1 Ъп-1 - 1 ап'

Отсюда и из (1) при П — 1,2,... получим:

1 -12

, к—1

к-1

ак

Ъ„ — 2а

-1

1

лП

.2 у

У

1

¿Г (1- ^пX

а

-Ъ 2

п

V2 У 2П (2)

С помощью построенных числовых последовательностей а^,а2,... и Ъц,Ъ2,... определим теперь на отрезке [0, 1] функцию У (х) канторовского типа.

Положим

У (X) — на интервале длины а1 с центром в точке — и исключим этот 2 2

интервал из отрезка [0, 1].

На двух оставшихся отрезках (каждый длины Ъ) возьмем по одному интервалу

длины а2 с центрами соответственно в центрах этих отрезков. Положим на первом

1 3

слева из этих двух интервалов у(х) — и У(X) — —— - на втором.

22 " ' ' 22

Если исключить и эти два интервала, на [0, 1] остаются четыре отрезка длины Ъ2

каждый. На этих отрезках выберем по одному интервалу длины а3 , центры которых совпадают с центрами соответствующих отрезков. На этих интервалах определим У (х) равной значению середины получаемых на вертикальной оси отрезков, образуе-

-1 А А 7

мых значениями у (X) на предыдущем шаге, т. е. равной ^ , ^ ^ ^ , ^ , на интервалах последовательно слева направо; затем исключим эти четыре интервала.

Продолжив этот процесс, определим функцию У(х) на всех исключаемых интер-

оп-1

валах; их суммарная длина равна 1, т. к. она совпадает с суммой ряда / 2

а,

п—1

Положим У(0) — 0, У(1) — 1. Если Е - объединение всех исключаемых по ходу построения У(х) интервалов, то в остающихся точках Хо отрезка [0, 1] определим

значения

функции следующим образом: У (хо) — вир{У(х): х е Е, х < Хо }.

В полной аналогии с «канторовой лестницей» (см., напр., [1]) показываем, что полученная функция У (х) будет сингулярной на отрезке [0, 1].

п

Для оценки модуля непрерывности заметим, что b1 = 2œ

'О

V 2 у

. Поэтому для

-1

2

найдется натуральное n такое, что bn+1 < Ô < bn (при Ô = 0

0 < 8 < 2с

V 2 У

требуемое очевидно).

Пусть X, у £ [0,1] и Iх - у| <8.

Тогда по построению функции / (х) получим:

/(х)- f (у )< f (Ьп ) = ^

Отсюда и из (2) при Ьп+1 <8 < Ьп (П = 1,2,...)

имеем:

f (x )- f (y )< 2= 2

œ

2

1 b 2

n+1

< 2œ

f1- s

2 y

а значит, при 0 <S< by для модуля непрерывности cd(S, f) получим требуемую

f 1 ^

оценку сверху: 0)(S, f )< 2w — S < 2m(S).

V2 У

Далее из конструкции функции f (х) и монотонно стремящейся к нулю последовательности b—, b2,..., построенных выше, следует, что

sup j f (х) — f (y): Iх — y < bn;х, y е [0,—\}= ^n

при П = 1,2,.. . Тогда с учетом (2) получим равенство: (1 Л

m{bn, f ) = т

а

V2 У

В силу строгого убывания функции

( n = 1,2,-..).

œ(t )

œ(bn /2h œ(bn)

bn/2 bn

Г л \

t

(t > 0)

из неравенства

1 œ(bn )<®

1 b

2

n

V2 У

Если теперь 0 < ô < 2œ

œ(0, f )>œ(bn+1, f )=œ

вытекает неравенство (n = 1,2,..0.

-1

2

V 2 y

'1.

ybn+1 V2 y

то bn+1 < Ô < bn при некотором n = 1,2,..., а поэтому >1 œ(bn )>1 œ(ô)

1

= — œ 2

r 1 л

n

V2 y

1 b

2

4 хп/ 4

и требуемая оценка снизу для модуля непрерывности с(8, /) также получена. Теорема 1 доказана.

Отметим некоторые следствия из теоремы 1.

Следствие 1. Для любой функции типа модуля непрерывности в)(д) с

а(8) — да существует сингулярная на данном отрезке [а, Ъ] функция У(х), для

8^+0 8

которой а(8, У) — О (а(8)) (8 ^ 0).

Действительно, при необходимости для строгого возрастания вместо функции а(8) можно взять сумму а(8) + к8, а затем подобрать положительный коэффициент к так, чтобы выполнялось условие а 11 + ^,1 > ^. Теперь по аналогии с теоремой 1 строим

а 2 J+к ■ 2 *

сингулярную на отрезке [0, 1] функцию, затем с помощью линейной замены аргумента из нее получим сингулярную на [а, Ъ] функцию У (х) с требуемыми свойствами.

Непосредственно из теоремы 1 и того, что сингулярная функция не может быть абсолютно непрерывной, вытекает также

Следствие 2. В любом классе Гельдера н[а. Ъ] — {У(х) : а(8, У, [a, Ъ]) ^ а(8)} с

|]т ОН—да найдется функция f(х), которая не является абсолютно непрерывной

8^+0 8 на [а, Ъ].

Теорема 2. Для любой сингулярной на отрезке [0, 1] функции У (х) канторовского типа существует неограниченная сверху в правой окрестности нуля функция

А(8) (8>0) такая, что «2(8./. М>А(8У8 (081).

Замечание. Точность полученной оценки наилучшей возможной скорости стремления к нулю модуля гладкости а2 (8, У) для сингулярной функции вытекает из неравенства «2 (8, У)< 2о(8, У), справедливого для любой непрерывной на данном отрезке функции У(х) и оценки для а(8, У ) в случае сингулярной функции У (х) , полученной в теореме 1.

Доказательство теоремы 2. Пусть {(ак,^)}да_1 - всевозможные интервалы постоянства данной сингулярной на [0,1] функции У(х) канторовского типа. Образуем множества Е1 — {а0 — 1,а1,а2 ,...}, Е2 — {Д0 — 0,Д,Д2,...} и рассмотрим всевозможные отрезки вида I — [Д, а], где ДеЕ2, аеЕ и Д <а. Расположим эти отрезки в порядке убывания их длин: I1! >| 12 > ...>>.., а затем сгруппируем по их длине

К >К > ... > Кп >... , собрав в каждую группу все отрезки равной длины. Пусть получились группы:

к —

К —

к —

1 —112

I

к -1

>

Iь

1к1\ — 1 к1 +1

-1

>

1к,

Iь

п—1

I

кп-1 +1

I

К -1

В каждой из этих групп отрезков {

> А

!кп-1,+1,...,Ikn -1 )} выделим один такой отре-

зок I, на котором среди отрезков этой группы функция У (х) имеет максимальное колебание, очевидно, равное а(кп,У) (п —1,2,...).

Теперь из полученной последовательности отрезков I,12,...,I,... выделим подпоследовательность Зщ, 1„2,...,Зп,,..., удовлетворяющую следующему условию: если неко-

п

торый отрезок Зп. совпадает с отрезком вида [рк, ат\ (при некоторых £ = 0,1,... и т = 0,1,...), то хотя бы для одного из двух интервалов постоянства (а, Р^ ) и {ат, Рт) выполняется соответственно неравенство Рк-ак >ат -Рк и а - рк<рт -а . Такая подпоследовательность отрезков I существует, в противном случае интервалы постоянства {(ак ,Рк )}^=1 не исчерпывали бы всю длину отрезка [0, 1].

Введем новые обозначения концов отрезков подпоследовательности:

= h

1пг -Ь, Ь ] (i = 1,2,...) 1 - hn1Л т

1 (напомним, что ). Тогда ясно, что при каждом

i-1,2,... .

' ' выполняется хотя бы одно из следующих соотношении:

| f(br + hni )+ f (ь, - hni )- 2f(bi) -1 f(bt - hni )- f(bi) - co(hni, f);

\f(ai + К )+ f(al - hnz )- 2f(al )-| f(al + hnz )- f(al )-c(hnz , f)

Отсюда получим

С(hni, f ,[0,1])> c(hni, f )(i - 1,2,...)

f (x)

Так как при этом функция J v ' является сингулярной на отрезке [0, 1], а последо-hn

вательность z монотонно стремится к нулю (при z ), получим: последователь-

A(hi )-Cf -1,2,.)

hn

ность ni неограниченна и

С (К,, f, [0,1])> A(hni jhnt (i -1,2,.) Теорема 2 доказана.

Литература

1. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. - М.: Наука, 1974.

2. Сакс С. Теория интеграла. - М.: ИЛ, 1973.

3. Лузин Н.Н. Интеграл и тригонометрический ряд. - М.: Гостехиздат, 1951.

4. Кац И.С. К вопросу о структуре сингулярных функций ограниченной вариации // УМН. 1953. Т. 8. Вып. 5. - С. 157-159.

5. Кац И.С. Сингулярные строго возрастающие функции и одна задача разбиения сегмента // Матем. заметки. 2007. Т. 81. Вып. 3. - С. 341-347.

6. Рябинин А.А., Быстрицкий В.Д., Ильичев В.А. О сингулярных строго монотонных функциях // Матем. заметки. 2004. Т. 76. Вып. 3. - С. 439-451.

7. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. - М.: Наука, 1977.

8. Тригуб Р.М. Приближение функций с данным модулем гладкости на внешности отрезка и полуоси // ДАН СССР.1993. Т. 132. № 2. - С. 303-306.

9. Zygmund A. Smooth functions // Duke Math. Journal. 1945. V. 12. - P. 47-76.

10. Ефимов А.В. Оценка модуля непрерывности функций класса H1 // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1957. Т. 21. № 2. - С. 283-288.

Поступила в редакцию 23 декабря 2010 г.