Об одном способе исследования задачи Коши для сингулярно возмущенного линейного однородного дифференциального уравнения произвольного порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

УДК 517.928.2

ОБ ОДНОМ СПОСОБЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ

ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОГО ЛИНЕЙНОГО ОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОРЯДКА

Е. Е. Букжалёв1

Построена последовательность, сходящаяся к решению задачи Коши для сингулярно возмущенного линейного однородного дифференциального уравнения произвольного порядка. Эта последовательность является также асимптотической в том смысле, что отклонение (по норме пространства непрерывных функций) ее n-го элемента от решения задачи пропорционально (п + 1)-й степени параметра возмущения.

Ключевые слова: сингулярные возмущения, теорема Банаха о неподвижной точке, метод асимптотических итераций, метод пограничных функций.

We construct a sequence converging to the solution to the Cauchy problem for a singularly-perturbed, linear, homogeneous differential equation of any order. This sequence is asymptotic in the following sense: the distance (with respect to the norm of the space of continuous functions) between its nth element and the solution to the problem is proportional to the (n+ l)th power of the perturbation parameter.

Key words: singular perturbations, Banach fixed-point theorem, asymptotic iteration method, boundary function method.

1. Введение. Рассмотрим задачу Коши для линейного однородного сингулярно возмущенного дифференциального уравнения т-то порядка:

у(ш) = £ш-1 am_i(x) у(ш-1) + _ _ _ + ао(ж) m х е (0) х].

(1)

у(0]£) =у°, ..., у^-1\0-е)=ут-1/ет-\ (2)

где е > 0 — параметр возмущения, X > 0, у0,... ,ут~1 € М, ао(х),... ,ат-\{х) € С1[0,Х]. Кроме того, будем считать, что коэффициенты ец(ж) при всех х € [0,Х] удовлетворяют условию Гурвица (см., например, [1, с. 97]):

-аоо(ж) > 0,

а0 о (ж) a0i(x) аю(х) ац{х)

>0,

(-1Г

а00(х) ... а0{т_ 1}(ж)

а>(т-1)0(ж) • • • 0>(т-1)(т-1) ix)

>0,

(3)

где

если 0 ^ 2 г — ] < ш; если 2 г — ] = ш; если 2 г — ] <0 или 2 г — ] > т.

Напомним (см. [1, с. 91]), что для выполнения условия (3) необходимо (а при т € {1,2} и достаточно), чтобы все ец(ж) имели отрицательный знак.

В настоящей работе предлагается алгоритм построения последовательности вектор-функций

фп(х] е) = (у1(х] е),..., у™(х] е))

(здесь т — порядок уравнения (1), п — номер элемента последовательности), сходящейся при каждом е € (0, во] 110 норме пространства Ст[0, X] (непрерывных т-мерных вектор-функций аргумента х € [0,Х]) к функции

СI (1т~1

Ф(х] е) = [у{х] ё), — у(х] е),..., --—[ у(х; е)),

dx

dxr>

Букжалёв Евгений Евгеньевич bukzhalevQmail.ru.

канд. физ.-мат. наук, доцент каф. математики физ. ф-та МГУ, e-mail:

где у(х~,е) — классическое решение задачи (1), (2) (для величины ео в явном виде установлена нижняя оценка). Построение и доказательство сходимости последовательности фп(х',е) опираются на теорему Банаха о неподвижной точке сжимающего отображения полного метрического пространства (см. [2, с. 64]). При этом коэффициент сжатия к отображения оказывается величиной порядка е (к < е/ео), так что отклонение угп(х]е) от ^¿-1 у(х~,е) (здесь под отклонением подразумевается отклонение по норме С[0,Х]) составляет 0(ега+1) при 0 < е ^ ео- Тем самым полученный результат носит и асимптотический характер.

Заметим, что каждый следующий элемент последовательности фп(х; е) есть результат действия некоторого оператора на предыдущий элемент. Элементы таких последовательностей часто называют итерациями, а сами последовательности — итерационными. В нашем случае последовательность фп(х',е) сходится к ф(х]е) (по норме Ст[0,Х]), причем скорость сходимости асимптотически велика (обратно пропорциональна е). Поэтому предложенный алгоритм построения последовательности фп(х] ¿) относится к методу асимптотических итераций (о методе асимптотических итераций см., например, [3]). Последовательности угп(х',е) также будем называть асимптотическими итерационными, или просто итерационными, или асимптотическими последовательностями (г — 1)-й производной решения у(х',е) рассматриваемой задачи.

Возможность применения метода асимптотических итераций связана с выполнением условий (3), наложенных на коэффициенты из правой части исследуемого уравнения. Однако выполнение этих условий открывает путь и для метода пограничных функций (о методе пограничных функций см., например, [4, 5]). Непосредственным сравнением можно убедиться в том, что отклонение Уп(х]£) от п-й частичной суммы Уп(х~, е) (называемой асимптотикой или асимптотическим разложением п-го порядка) ряда У (ж; в), получаемого с помощью метода пограничных функций, составляет 0(ега+1). Таким образом, сходимость последовательности ^(ж; е) делает возможным использование метода асимптотических итераций для обоснования асимптотического разложения, получаемого с помощью метода пограничных функций (т.е. для доказательства того, что разность между Уп(х; е) и решением у(х;е) составляет 0(еп+1) равномерно по всем х € [0,Х]).

Отметим, что сходимость (равномерная по е) при е € (0, ео] асимптотических последовательностей Уп(х~, е) является принципиальным преимуществом метода асимптотических итераций перед методом пограничных функций, который позволяет построить хоть и асимптотический, но, вообще говоря, расходящийся (в том числе при сколь угодно малых е) ряд. Дело в том, что оценка отклонения Уп(х~,е) от Уп(х',е), составляющая 0(ега+1), не является равномерной по п и с ростом п это отклонение может не только не стремиться к нулю, но и неограниченно возрастать.

Еще одно преимущество последовательности фп(х; е) — возможность построения всех ее членов без повышения требований гладкости на функции ец(ж) (для построения всех фп(х]е) достаточно, чтобы ец(ж) € С1[ 0,Х], в то время как для построения всех членов ряда У (ж; в) необходима бесконечная дифференцируемость ец(ж)).

2. Установление вспомогательных оценок. Пусть р — отображение, которое каждому ж € [0, X] ставит в соответствие многочлен

р(х) := \т - ат-\(х) \т~1 - ... - а\(х) Л - а0(ж), (4)

где ец(ж) — коэффициенты уравнения (1). Известно (см. [6, с. 28]), что из непрерывности коэффициентов а^ вытекает существование таких непрерывных функций А1, ..., \т: [0,Х] —> С, что

Уж € [0, X] р(х) = (Л - А1(ж))... (Л - \т{х))

(для справедливости данного утверждения существенна скалярность переменной ж). При этом А^ж), ..., Хт(х) называют корнями многочлена р(ж).

Согласно критерию Гурвица (см. [1, с. 97]), для отрицательности вещественных частей корней полинома р(х) необходимо и достаточно, чтобы его коэффициенты ж) удовлетворяли неравенствам (3). Таким образом, для всех (г, ж) € {1,... ,т} х [0,Х] справедливо неравенство

Г1е АДж) < 0. (5)

Заметим, что из непрерывности \г следует непрерывность действительных частей этих функций. Но тогда в силу (5) и второй теоремы Вейерштрасса (об экстремальных значениях непрерывных функций)

ж := — тахтах{11е А^ж),..., Г1е Ат(ж)} > 0. (6)

Рассмотрим вспомогательную задачу

— _^ —

-^ = ат-1(0)^^ + ... + ао(0)у, £е(0,Х/е]; (7)

лт-

т = у°,.... (о) = г-1. (8)

Уравнение (7) представляет собой однородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Решение задачи (7), (8) имеет вид

т = «11 еЛ1(0К + • • • + «1т! Г1-1 еЛт1(0)? + • • •

... + ад 1 еЛт1+...+™д-1+1(°)« + ... + адтч (9)

где А1(0) = ... = АТО1(0), ..., Ат1+...+т?_1+1(0) = ... = Ат1+...+т?(0) — корни многочлена р(0) (см. (4)); скц, ..., иЯтч — постоянные, однозначно выражающиеся через у0, ..., у"1-1 и А^О), ..., Ат(0) (Ш1 + ... + тд = т).

Из (9) и (6) видно, что при достаточно большом С для справедлива оценка

\У{1)(0\ 1 + Г"1) е"*«, (г,О € {0,..., т - 1} х [0, +оо). (10)

Сделаем замену переменных задачи (1), (2):

х = е£, у(х-,е) =у(£)+ег(&е). (11)

Для новой функции е) получается следующая начальная задача:

^ЦП ^ ^ТГЬ_1 ^

%

где

те) := е"1 {[ат-ЛеО - а^О)] у{т~1)(0 + • • • + ЫеО ~ ао(0)] №)}■ (14)

Преобразуем уравнение (12), добавив переменную х в качестве нового параметра:

= 0>т— 1 {х) т/-т— 1 + • • • + а0 (^с) ^ + [0"т— 1 С) ~~ ат— 1

(ж)] + • • •

г(0]е) = ... = ^^Т(0]е)=0, (13)

... + ЫеО-а0(х)}г + Ц(]£), (£,х) € (0,Х/е] х [0,Х]. (15)

Задача (15), (13) равносильна интегральному уравнению

? г с1т~1г

е)=/ Ф(£ - С; х) \ [ат-1(е () - От-^х)] —^т(С; е) + • • • о ^ (Ц>

... + Ые()-ао(х)}г(С,е) + ЦС,е)}с1(, (£,х) € [0,Х/е] х [0,Х], (16)

где Ф(£ — (; х) = (; х) — функция Коши уравнения

— = ат-\(х) + ... + ао(ж) г.

Напомним, что Ф(£;ж) удовлетворяет следующей начальной задаче: йт Ф сГ~1Ф

— = ат-1(х)-—г + ... + а0(х)Ф, (£,ж) €Мх [0,Х]; (17)

¿т-2ф (1т~1Ф

Ф(0;ж) = ... = ^^(0;ж) = 0, ^-Г(0;Ж) = 1, ж€[0,Х]. (18)

Замечание. Из теорем о непрерывности и дифференцируемости по параметру решения начальной задачи (см., например, [2, с. 53, 57]) вытекает, что Ф(£;ж) € С00'1^ х [0,Х]).

Запишем также выражение для производной по £ (произвольного порядка г ^ т — 1) функции

сРг ? г (1т~1г

—г (С; е) = / Ф?; (е - С; х)\ [От-Ле 0 - ат- 1 (ж)] —— ((;е) + ...

... +[а0(е О - а0(х)} г((-, ((■,£)} с1(, (г, С, ж) € {1,..., т - 1} х [0,Х/е] х [0,Х]. (19)

Поскольку решение г уравнения (16) заведомо не зависит от ж, на место последнего в (16) и (19) можно подставить любую функцию от £ и е со значениями из [0, X]. Тогда, полагая ж = е£, приходим к следующей системе для г(£;е), ..., ^т-1 ¿(С? £):

? г с1т~1г

= / ф(е - С; К-1(еС) - ат-1(е01 ^гт(С; е) + • • • О ^ «с,

... + [ао(еС) - + №е)}<К =: ^(е) (г,..., { е [0,Х/е];

с1т~1г ^ г с1т~1г

—= - С; {[ат_1(е0 - а™-^)] + •• •

(20)

С"1 о 1 ¿С

(Г_

... + [ао(еС) - С)] ¿(С; е) + /(С; е)} ¿С =: (г,..., (С; е), С € [0, Х/е],

или

= [АгЩг,...,-^^)^^), ..., Ат(е) (г,..., ] (С; г)) =

(Г~1г ¿ё

=:А(е)[г,..., -—т (£; г), £ € [0, Х/е], (21)

где при каждом фиксированном е € (0, +оо) под областью определения оператора -А(в) подразумевается Ст[0,Х/е] — пространство т-мерных вектор-функций, непрерывных на отрезке [0,Х/е]:

1(е) :Ст[0,Х/е] ^Ст[0,Х/е].

Далее нам понадобится одно вспомогательное свойство решения и> задачи Коши для линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, рассматриваемыми как параметры для и):

сГи) с1т~1и) . ,

-^Г = От-1 т_! + ... + аои), £€(0,+оо); (22)

1ГП-1

ъи(0-,мт,хт)=ъи°, ——Т(0]Мт,Хт)=ъит-1,

ас;

где Мт = (ао, • • • ,ат_1) € Ст, = ... € Ст.

Введем обозначения:

(23)

Лт(Мт) := тах{11е Л1(Мт),... ,11е Ат(Мт)}, (24)

где Л1(Мт), ..., \т(Мт) — корни характеристического многочлена уравнения (22);

П т{С) :={(жь...,ж

Лемма. Пусть Са ^ 0, Ст ^ 0. Тогда найдется такая постоянная Ст ^ 0, что

^ Ст(1+£т"1)еХт(МтК (25)

при всех (г, Мт, Мт) € {0,..., т - 1} х [0, +оо) х Пт(Са) х где ги(£; Мт, Мт) - решение

задачи (22), (23).

Доказательство. Воспользуемся методом математической индукции. Обозначим через ¿>т высказывание леммы. Так как справедливость 5*1 очевидна, то остается доказать, что для всякого натурального т из ¿>т следует б'т+ь

Рассмотрим задачу Коши для уравнения (т + 1)-го порядка

с1т+1уи с1тъи

1 =ат^шг + ... + а0и}, £ € (0, +оо); (26)

¿г

и,(0-,Мт+1,Мт+1) =и,°, ..., ^(0-,Мт+1,Мт+1) =и,т (27)

и зафиксируем произвольные неотрицательные Са и Ст. Утверждение ¿>„1+1 состоит в том, что найдется настолько большая постоянная Ст-ц, что

— (е;Мт+1, Мт+1)

при всех (г, Мт+Ь е 0, тх [0, +оо)х11т+1(Са)х11т+1(С11)), где ги(£; Мт+Ь — решение

задачи (26), (27).

Чтобы установить справедливость ¿>„1+1 (в предположении истинности утверждения Бт), сделаем замену зависимой переменной задачи (26), (27):

ы^Мт+г, Мт+1) = еу {м^^и((-,Мт+1,Мт+1), (28)

где \*(Мт+1) — функция, ставящая каждому Мт+\ = (ао,..., ат) € Ст+1 в соответствие один из корней (любой) \г{Мт+1) характеристического многочлена уравнения (26), действительная часть 11еАг(Мт+1) которого совпадает с Лт+1(Мт+1):

11еА *(Мт+1)=Ат+1(Мт+1). (29)

Для новой функции Мт_|_1, Л^г+1) получается следующая начальная задача:

= Ьт{Мт+1) — + ... + Ьг(Мт+1) —, ее(0,+оо); (30)

(1ти

и{Ъ-1Мт+1,Мт+1)=и\Мт+ъМт+1), ..., — (0■1Мт+1,Мт+1)=ит{Мт+ъМт+1). (31)

Здесь Ъг{Мт+1) = Ъг{\*{Мт+1),Мт+1), иг(Мт+1,Хт+1) = йг(X*(Мт+1), Мт+1), где в свою очередь Ьг и ьг — известные функции от Л*, Мт+\ = (ао,..., ат) и = (к;0,..., из"1) — полиномиальные

по Л* и линейные по ао, • • •, ат и ги°, ..., гит. Записывая уравнение (30), мы сразу же учли, что его характеристический многочлен при любом Мт+\ € <£т+1 имеет нулевой корень (см. (32)), в связи с чем коэффициент Ъо{Мт+1) при функции и есть тождественный нуль.

Ввиду (28) при каждом Мт+\ € корнями характеристического многочлена уравнения

(30) являются

№(Мт+1) := \г(Мт+1) - А*(Мт+1), г € {1,...,т + 1}. (32)

Отсюда и из определения \*{Мт+1) вытекает, что

Яещ(Мт+1) ^ 0 (33)

при всех (г, Мт+\) € {1,..., т + 1} х Ст+1.

4 ВМУ, математика, механика, №2

Поскольку мы считаем, что точки Мт+\ = (ао,...,ат) принадлежат конечному параллелепипеду Рт-\-1 (С«)) то для всех корней \г{Мт+1) характеристического многочлена уравнения (26) справедлива (см., например, [7, с. 533]) оценка

|Аг(Мт+1)| < 1 + С0. Но тогда заведомо найдутся такие неотрицательные постоянные Сь и Си, что

\Ъг(Мт+1)\ < Сь, \и\Мт+1,Мт+1)\ < Си

(34)

(35)

при всех (г,Мт+1,Л/т+1) € 0,т х Пт+1(Са) х Пт+1(Сы).

Понизим порядок уравнения (30), сделав еще одну замену зависимой переменной:

(Ни

Ж

(£; Мт+1, Хт+1) = Мт+1, Мт+1).

Функция г>(£; Мт+\, _/Ут_|_1) удовлетворяет следующей начальной задаче: ^ = Ът(Мт+1) + ... + Ьг(Мт+1) V, е € (0, +оо);

(36)

(37)

и(0; Мт+Ь Хт+1) = и1(Мт+1, Хт+1),

¿Г

— (0; Мт+1, Хт+1) = ит(Мт+1, Хт+1).

Пусть г/1(Мт+1), ..., ит(Мт+\) — корни характеристического многочлена уравнения (37). Поскольку каждый из щ{Мт+1) одновременно является корнем характеристического многочлена уравнения (30), то для них, как и для Цг(Мт+1) (см. (33)), при всех Мт+\ € С"г+1 справедливо неравенство

11е^(Мт+1) < 0. (38)

Заметим еще, что (см. (35))

Мт = ЫМт+1), • • •, Ьт(Мт+1)) е Пт(Сь),

= (и\Мт+1, .. .,ит(Мт+1, Хт+1)) € П т(Си)

при всех Мт+1 € Пт+1(Са) и € Пт+1(Сад). Последние оценки открывают возможность для

применения предположения индукции к функции г>, согласно которому найдется такое Ст ^ 0, что (см. (25), (24) и (38))

(1С

1 + Г"1)

(39)

при всех {г^,Мт+1,Мт+1) € {0,... , т - 1} х [0,+оо) х Пт+1(Са) х Пт+1(Сы).

Из (36) и (39) для первых т производных функции и сразу же имеем (здесь и до конца доказательства леммы подразумевается, что (£, Мт+1, Мт+{) € [0,+оо) х Пт+1(Са) х Пт+1(Сг„)):

<1ги

С

т+1)

(С; Мп+ь -/Чп+ь

(40)

Чтобы оценить саму функцию и, проинтегрируем (36), после чего воспользуемся соотношениями (31), (35) и (39), а также свойством монотонности и оценкой модуля определенного интеграла

и&М,

т+1,

о

+

+ / г>((; Мт+1, ДГт+1) ¿¿С < С„ + / Ст (1 + Г"1) < < Си (1 + Г) о о

при достаточно большом Си.

Вернемся к и). Из соотношений (28), (41), (40), (34), (29) и формулы Лейбница (для производной ка произведения

)

-(£;Мт+1,Хт+1)

г-го порядка произведения двух функций) при каждом г € 0, т и достаточно большом Ст-ц имеем (Рги

С

3\г 3) •

3=0

<

Си (1 + Г) (1 + СаУ + X] •.и%'_ Ст (1 + Г"1) (1 + Са)г~А ^

II

3 = 1

< Ст+1 (1 + С) +

Лемма доказана.

Следствие. Существуют тлкие ж > 0 и Сф > 0; что

(42)

при всех (г, ж) € {0,... , т — 1} х [0, +оо) х [0, X], где Ф(£; ж) — решение задачи (17), (18). Для доказательства справедливости оценки (42) достаточно положить

ж := — тахтах{11е А^ж),..., Г1е Ат(ж)} [о,х]

(см. (6)) и воспользоваться первой теоремой Вейерштрасса (об ограниченности непрерывных функций) для ец(ж) и только что доказанной леммой.

3. Построение и доказательство сходимости итерационной последовательности. Пусть 0(0, С; е) := {(г\...,гт) € Ст[0,Х/е] | € [0,Х/е] ■ ■ ■, ¿т(0) € [~С,+С]т} ^замкнутая

С-окрестность вектор-функции (г1,..., гт) = (0,..., 0) в пространстве Ст[0, Х/е].

Утверждение 1. Существуют тлкие £о > 0 и Со ^ 0, что при каждом е € (0, во]

А(С0-,е) : О(0, С0] е) ^ О(0, С0] е),

где А(С] е) = (А\(С] е),..., Ат(С] е)) — сужение оператора А(е) наО(0,С]е).

Доказательство. Зафиксируем произвольные е > 0 и С ^ 0, подействуем операторами Аг(С',е) на произвольную вектор-функцию (-г1(4)) • • •, ¿т(0) £ О(0, С] е) и, учитывая (20) и (42), оценим получившийся результат:

МС; е)(г1,..., гт)(0 < СФ е"*« {с/е"< [1 + (С - (Г"1] [\ат-1(е() - о^О! + ■■■

^ о

... + |ао(еС) " ао(еО\] ¿С + /[1 + (С - СГ"1] |/(С;е)\<1(}, 1 = 1,т. (43)

о '

Для первого интеграла из (43) имеем

[1 + (С " С)"1"1] [\ат-1(е() - ат.г(еО\ + • • • + КЮ " ^о(еО\] =

о

= £1еЯС [(С - С) + (С - СГ] { К_!(в [(1 - ет.г) С + 9т.г е]) I +

• • • + |ао(е [(1 — ^о) С + С]) 11 ¿С ^ е { Иат-1(ж)11 + • • • + Иао(ж)11 } / [(С — С) +

} о

где 01 = 0г(е(, е£) € (0,1) при всех г € {0,..., т - 1}, ( € [0,£], £ € [0,Х/е], е € (0,+оо); || • || — норма пространства С[0,Х]] а := ||а^_1(ж)|| + ... + ||ао(ж)||; /3 := а (жт~1 + т\)/жт+1.

5 ВМУ, математика, механика, №2

Для второго интеграла из (43) имеем (см. (14) и (10))

[1 + (е - СГ"1] \№e)\dt < Cfe"< [l + (С - СГ"1] [l^-iH^-i 01 + • • •

о о

• • • + К(е во С)|] (С + О e-^dC^Ca max [(( + С) е~*<] f [1 + (С - О™"1] d( = С а х

С>о о

х max [(С + О [е^ - l] + [е*« - 1 - - ... - ^ (^Г"1] } < 7^, (45)

где вг = 9i{eC,) € (0,1) при всех г € {0,..., т — 1}, ( € [0, £], е € (0, +оо);

7 := С a max [(( + (т) е"^]

С>о п

Из формул (43)-(45) видно, что если Сие удовлетворяют неравенствам

0^СеСф/? + Сф7^С, (46)

Положим

ео:=7о(СфР)-\ (47)

где 7о — любое число из интервала (0,1), а если /5 = 0, т.е. если сц(х) = const на [0, X], то ео := +оо; С = Со := Сф7/(1 — 70). Тогда неравенства (46) выполняются при всяком е € (0, ¿го]- Утверждение доказано.

Пусть для каждого фиксированного положительного е и любых f£>i(0 = (z{(0) ■ ■ ■)-2™(0) и (р2(О = (¿¿¡(Oj • • • >ZT(0) 113 Cm[Q,X/e] определено расстояние ре между ipi и ip2'-

Pe(<Pl,<P2) ■= - Ч>ЛСт[0,Х/е\ ''= ^^14(0 ~ 4(01. (48)

где X(e) := [0,Х/е]. Заметим, что Cm[0,Х/е] и 0(0, С; e) с так определенным расстоянием ре представляют собой полные метрические пространства.

Утверждение 2. Оператор А(е) является сжимающим при каждом, е € (0,во]-Доказательство. Пусть ре — метрика (48) пространства Ст[0, Х/е]. Выберем две произвольные функции t£>i(0 = (zi(0i • • •) ¿ПО) и ^2(0 = (¿2(0) • • •) ¿гЧО) 113 этого пространства и, учитывая (20) и (42), оценим расстояние между А(е)[^р\} и А{е)\(р2\:

p£(A(e)[ipi], A(e)[ip2\) = max max |1г(0Ы(0 - ^¿(0M(0| =

lsitsim

= max max

i€X(e) lsitsim

/Ф?г-1(е - С; еО {[0ш-1(£() - ат-1(еО] [¿2т(0 - ¿Г(0] + • • •

о

... + [аоЮ - ао(еО\ [4(0 - 4(0]} < ре(^ь Ы СФ х х шах ¡в*«-® [1 + (С - О™"1] [К-1Ю - + • • • + КЮ - ^01] ¿С- (49)

?€Л(е) о

Из (49), (44) и (47) вытекает, что при любом е € (0, ео] для коэффициента сжатия к(е) оператора А(е) справедлива оценка

к{е) < е СФ (3 = 7о е/е0 < 7о < 1. (50)

Утверждение доказано.

Заметим, что поскольку коэффициент сжатия к(Со',е) оператора А(Со',е) заведомо не превосходит к(е), то оценка (50) справедлива и для него:

к(Со',е) ^ 70 е/ео ^ 70 < 1. (51)

Таким образом, к оператору А(Со]£) применима теорема Банаха о неподвижной точке, в силу которой при каждом е € (0,во] решение в),..., ¿7т-1 =: уравнения (21) (напом-

ас;

ним, что <г(£;е) есть также решение задачи (12), (13)) принадлежит 0(0, Со; е). Подчеркнем, что существование и глобальная (т.е. на множестве [0, Х/е] х Мт) единственность решения е) (при всех е € М) вытекают непосредственно из линейности уравнения (21) (равно как и из линейности задачи (12), (13)).

Свойство сжимаемости оператора А(Со] е) также позволяет построить итерационную последовательность <Рп(&£) = (гп(('ч е)> • • • > ггг(('ч е))> сходящуюся по норме пространства Ст[0, Х/е] к точному решению е) уравнения (21) равномерно по всем е € (0,£о]:

IIЧ> ~ Уп\\Ст[о,х/е\ ■= тах^ е) - =4 0, п ->■ оо.

Положим (ро((;£) = (0,..., 0). Поскольку <£>({;£) € 0(0, Со; е), то

ЫС£) - М^£)\\сгп[0,Х/е] = Ы^£)\\сгп[0,Х/е] < С0 (52)

при каждом е € (0, во] •

Далее, для любого натурального п положим

<рп{£-,е) ■-= А(С0-,£)[^п-1](Се). (53)

Тогда, учитывая (51) и (52), для каждого п € {0} иМ =: N0 и каждого е € (0, во] имеем

ЫСе) - М^£)\\сгп[о,х/е] < к(Со;е)п ЫС,£) - М(^)\\сгп[0,х/е] < Со^оФоТ- (54)

Вернемся к задаче (1), (2). Учитывая (11), приходим к итерационным последовательностям Уп(х~,е), ..., у™(х] е) соответственно для решения у(х~,е) исходной задачи и его производных ^ у(х; е),

' ' ' ' У(Х1

Уп(х;£) := е1"1 (х/£) е), (г,п) € 1,ш х М0. (55)

При п ^ 1 величины угп(х~,£) могут быть выражены непосредственно через

= £1~1у{1~1)(х/£) + е2"4 Дг(С0;е)(4-1, • • -,С-1)(Ф;е) =: ^ХУп-ъ ■ ■ ■, УпФ(х] е),

где

ггп_1(С£)=£г~2угп.1(£С £)-£-1у{г~1)(0

(см. (55) и (53)), или

фп(х-,£) :=В(е)[фп- 1}(х;£),

где фп(х;£) := (Уп(х; £), ■ ■ ■, У™(х~, е)), В(е) := (В\(е),... Вт(е)). Отметим, что оператор В(е) будет сжимающим при е € (0,во] (т-е- ПРИ тех же чт0 и -А(Со; £■)) и при е € (0, во] оператор В(е) удовлетворяет условию

В(£)-.0(ф,Со;£)^0(ф,Со;£),

где

О(ф,С0-,£) := {(у1,...,ут) € Ст[0,Х] I Уж € [0,Х] у1(х) € [у(ж/е) -еС0, у{х/е)+еС0],

у2(х) € [е"1 у1 {х/е) - Со, е"1 у'(ж/е) + С0], ... ..., ут(х) € [в1""1 у^"1) {х/е) - £2~т С0, Фт у{т~1) {х/е) + £2~т С0] } — замкнутая (в Со, Со, ..., £2~т Со)-окрестность вектор-функции

ф(х/£-,£) := (у(х/£), £~1у'(х/£), . . . , £1~т у^~1\х/£)) в пространстве Ст[0,Х].

Оценим точность, с которой угп(х]е) приближают ^ i~i у(х~, е). Для каждого п € No, г € 1,ш, и

е € (0, во] имеем (см. (55), (11) и (54))

II У(Х] е) - Угп(х-, е) || = || у(х] е) - е1^ (х/е) - ев) || = e2_i х х \\£^т z(x/e-, е) -z%n{x/e\ е)|| < е2~г ||<р(х/е;е) - <рп(х/е;е)\\Сгп[о,х] < С0е2~г (j0e/e0)n.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1967.

2. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения: Курс высшей математики и математической физики. М.: Наука. Физматлит, 1998.

3. Копачевский //., I.. Смолич В.П. Введение в асимптотические методы: Специальный курс лекций. Симферополь: Таврич. нац. ун-т, 2009.

4. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1973.

5. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений: Актуальные вопросы прикладной и вычислительной математики. М.: Высшая школа, 1990.

6. Тыртышников Е.Е. Методы численного анализа: Университетский учебник. Сер. Прикладная математика и информатика. М.: 1111 "Академия", 2007.

7. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. Т. II. Дальнейшее построение теории. 2-е изд., испр. и доп. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1968.

Поступила в редакцию 01.02.2017

УДК 517.5

ОЦЕНКИ СМЕШАННЫХ МОДУЛЕЙ ГЛАДКОСТИ В МЕТРИКАХ Lq ЧЕРЕЗ СМЕШАННЫЕ МОДУЛИ ГЛАДКОСТИ В МЕТРИКЕ Ьг

М. К. Потапов1, Б. В. Симонов2

В работе выясняется взаимосвязь между смешанными модулями гладкости дробных порядков, рассматриваемыми в метриках L\ и Lq.

Ключевые слова: неравенство, метрика, смешанный модуль гладкости дробного порядка.

Interrelations between mixed fractional moduli of smoothness considered in metrics of L\ and Lq are studied in the paper.

Key words: inequality, metrics, mixed fractional moduli of smoothness.

Оценки модулей гладкости в одной метрике через модули гладкости в другой метрике используются при изучении теорем вложения разных классов функций и в ряде других вопросов. После введения С.М. Никольским [1] и Н.С. Бахваловым [2] классов функций с доминирующей смешанной гладкостью актуальными стали такие оценки для смешанных модулей гладкости. В настоящей работе приведены некоторые из таких оценок.

1. Основные результаты. Введем следующие обозначения:

1 Потапов Михаил Константинович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: mkpotapovQmail.ru.

2 Симонов Борис Витальевич — канд. физ.-мат. наук, доцент Волгоград, гос. техн. ун-та, e-mail: simonov-b2002Qyandex.ru.