Итерационный метод решения задачи Коши для сингулярно возмущенного слабо нелинейного дифференциального уравнения второго порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.928.4

Е. Е. Букжалёв1

ИТЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОГО СЛАБО НЕЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Построена последовательность, сходящаяся к решению задачи Коши для сингулярно возмущенного слабо нелинейного дифференциального уравнения второго порядка. Данная последовательность является также асимптотической в том смысле, что отклонение (по норме пространства непрерывных функций) ее п-го элемента от решения задачи пропорционально (п + 1)-й степени параметра возмущения. Указано на возможность применения такой последовательности к обоснованию асимптотики, получаемой с помощью метода пограничных функций.

Ключевые слова: сингулярные возмущения, теорема Банаха о неподвижной точке, метод асимптотических итераций, метод пограничных функций.

1. Введение. Рассмотрим задачу Коши для сингулярно возмущенного слабо нелинейного дифференциального уравнения второго порядка:

е2у" = £аг(х)у' + а0(х)у + Ь(х) + Ед(еу',у,х), же(0,1],

у(0;г) = у°, у'(0;е) = у1/е,

где е > 0 — параметр возмущения, X > О, у0,?/1 € Ж,

аа(х),а1(х),Ь(х) € С^О,*], д(и,у,х) € С1'1,0(К2 х [0,Х]). (2)

Кроме того, будем считать, что

щ(х) < 0 У(г, х) б {0,1} х [О, X]. (3)

В настоящей работе предлагается алгоритм построения последовательности уп(х; е), сходящейся при каждом е € (0, во) по норме пространства непрерывных функций к классическому решению у(х;е) задачи (1) (величина £о выражается через входные данные задачи). Построение и доказательство сходимости последовательности уп(х;е) опираются на теорему Банаха о неподвижной точке сжимающего отображения полного метрического пространства (см. [1]). Поскольку при этом коэффициент сжатия к отображения оказывается величиной порядка е (к < е/ео), так что отклонение уп{х; е) от у(х; е) (здесь и ниже под отклонением подразумевается отклонение по норме С[О, X]) составляет 0(еп+1), 0 < £ ^ во, то полученный результат носит также и асимптотический характер.

Заметим, что каждый следующий элемент последовательности уп(х;£) есть результат действия некоторого оператора на предыдущий элемент. Элементы таких последовательностей часто называют итерациями, а сами последовательности — итерационными. В нашем случае каждая следующая итерация приближается к точному решению (по норме С[О, X]) в асимптотически большое (обратно пропорциональное е) число раз. Поэтому предложенный алгоритм построения последовательности уп(х;£) относится к методу асимптотических итераций (о методе асимптотических итераций см., например, [2, 3]). Построенную итерационную последовательность уп(х;£) будем называть также асимптотической итерационной (или просто асимптотической) последовательностью решения у(х; е) рассматриваемой задачи.

Возможность применения метода асимптотических итераций связана с выполнением условия (3) на коэффициенты щ(х) из правой части исследуемого уравнения. Однако выполнение этого условия открывает путь и для метода пограничных функций (о методе пограничных функций см., например, [4, 5]). Непосредственным сравнением можно убедиться в том, что отклонение уп(х;£) от п-й частичной суммы Уп(х;е) (называемой асимптотикой или асимптотическим приближением

1 Физический факультет МГУ, доц., к.ф.-м.н., е-таП: bukzhalevQmail.ru

п-го порядка) ряда, получаемого с помощью метода пограничных функций, составляет 0(еп+1). Таким образом, сходимость последовательности уп(х;е) делает возможным использование метода асимптотических итераций для обоснования асимптотического разложения, получаемого с помощью метода пограничных функций (т.е. для доказательства того, что разность между Уп(ж;е) и решением у(х;е) составляет 0(еп+1) равномерно по всем ж € [О, X]).

Подчеркнем, что сходимость (при достаточно малых е) асимптотической последовательности уп(х;е) является принципиальным преимуществом метода асимптотических итераций по сравнению с методом пограничных функций, который позволяет построить хоть и асимптотический, но, вообще говоря, расходящийся (в том числе при сколь угодно малых е) ряд. Дело в том, что оценка отклонения уп(х;е) от Уп(х;е), составляющая 0(еп+1), не является равномерной по и, и с ростом п это отклонение может не только не стремиться к нулю, но даже неограниченно возрастать.

Еще одним преимуществом последовательности уп(х; е) является возможность построения всех ее членов без повышения требований гладкости на функции щ(х), Ь(х) и д(и,у,х) (для построения всех уп(х;е) достаточно выполнения условий (2), в то время как для построения всех членов ряда У(х;е) требуется бесконечная дифференцируемость щ(х), Ь(х) и д(и,у,х)).

2. Вспомогательные оценки. Пусть П = П(£). Рассмотрим задачу

ао(х)у + Ь(х) = 0, же [О,X],

П" = о1(0)П' + о0(0)П, £е(0,Х/е], (4)

П(0) = П° = у°^у(0), П'(0) = у1.

Первое уравнение в (4) представляет собой алгебраическое уравнение первой степени для у (ж), а второе уравнение — автономное однородное линейное дифференциальное уравнение для П(£). Пусть

а!(ж) т у/аЦх) + 4а0(ж) Л1)2(ж) = ---, же [О,А].

Тогда решением задачи (4) будут функции у(х) = -Ъ(х)/а0(х),

(ыт^у1 ел1(0) ,+ у^л1(0)п» п(0 = \ л2(0) - Л1(0) +л2(0)^л1(0)е ' А11и,^21и)' (5)

[п°еА(°)« + [у1 - Л(0)П°]СеА(°)«, А^О) = Л2(0) = Л(0).

Заметим, что в силу (3) ИеЛ1)2(ж) < 0 при всех ж € [О,X). Из (5) следует, что при достаточно больших С и С для П(£) и П'(£) справедливы оценки:

|П(С)|, |п'(С)| < + 1)еаеА^ < С, Се [0, +оо). (6)

Сделаем в (1) замену переменной и введем новые функции и г>(£;е):

ж = е£, у(ж;е) = у(С,ж)+ у'(х; е) = £_1П'(£) + е), (7)

где у (С; ж) = у (ж) + П(£). Будем считать, что С в (6) велико настолько, что

\Ж,сО\ ^ Уее (0,+ос), С е [0,Х/е]. (8)

Для г и V как функций от £ получим следующую начальную задачу:

г' = у-у'(еО, Се(0,Х/в], (9)

у' = а1(еОу + + ¡(V, £е(0,Х/е], (10)

г(0;е) = «(0;е) = 0, (И) где функция /(«, г, определена следующим образом:

/(Щ,г,С;е) = е-1{[а1(вС)^а1(0)]П'(С)+[ао(вС)^ао(0)]П(С)}+5(п'(С)+вЩ, у&еО+ег, е^). (12)

Преобразуем уравнение (10), добавив переменную ж в качестве нового параметра:

V = а\{х)у + ао(х)г + [(^(е^) — а\{х)\у + [ао(е£) — ао(ж)]г + /(«, г, е),

(£,ж)е(0,Х/г]х[0,Х].

Задача (9), (11), (13) равносильна системе, состоящей из двух интегральных уравнений

= У - С;®){ [о^еС) - 01(®)]«(С;е) + К«) - а0(ж)]г(С;е) +

о

+/(«(С; е), г(С; г), С; е)} йС, - ^ Фг(£ - С; <*С,

(13)

(14)

о

+/(«(С; е), г(С; е),С;е)} ¿С - J Ф|(С - С; <*С,

о

где (С,ж) € [0,Х/е] х [О,X], а функции Фг, Ф", Ф| и Ф| — компоненты матрицы Коши

соответствующей однородной системы уравнений г' = V, V1 = а\(х)у + ао(х)г.

В силу определения матрицы Коши функции Фг(£;ж) и Ф"(£;ж) как функции от £ являются решениями следующих начальных задач:

(15)

(16)

(Фг)" = а1(х)(Ф"У + а0(ж)Фг, (С,ж) б Ж х [О,X],

Фг(0;ж) = 1, (Фг)'(0;х) = 0, же [О,X],

(Ф")" = а1(х)(Ф'иУ + ао(ж)Ф", (С,ж) б Ж х [0,Х],

Ф"(0; ж) = О, (Ф")'(0; ж) = 1, же[0,1].

Их решениями будут функции

А2(ж)еЛ1^ - Л1(ж)еЛ2(ж)^ фг(С;^) = <( Х2(х)-Х1(х) ' же Ь (17)

[1 ^ А(ж)£]еАМ«, ж а2,

еА2(х)£ _ еА1(ж)^

х € Х1,

Ф"(С;ж) = \ Х2(х)-Х1(х) ' ^ (18)

Хех(хН, х б Л',,.

где множества Х\ и Х2 определяются следующим образом:

Х1 = {х& [0,Х] | Л!(ж) ф Л2(ж)}, Х2 = {ж б [0,Х] | Л!(ж) = Л2(ж) = Л(ж)}.

Из (17) и (18) следует, что Фг,Ф" € С°°'1(Ж х [О,X]). Впрочем, это может быть установлено и без использования явных выражений для Фг(£;ж) и Ф"(£;ж) с помощью теорем о непрерывности и о дифференцируемости по параметру решения начальной задачи.

Замечание. Можно доказать, что Ф|(£;ж) = ао(ж)Ф"(£; ж) при (£,ж) е Ж х [О,X]. Поскольку решение (г, у) системы (14) заведомо не зависит от ж, на место последнего в (14) можно подставить любую функцию от £ и е со значениями на отрезке [О, X]. Полагая в (14) ж =

и вводя обозначения

о

+ [о0(еС) - а0(еО]¿(С; е) + /(«(С; г), ¿(С; г), С; е)} йС, - ^ Фг(£ - С; еОу'Н) <*С,

о

(19)

■ [о0(еС) - ооИ)]«(С; в) + /(«(С; в), г(С; г), С; г)} «¿с - / Ф|(С - С; Ю ¿С

получим уравнения для и г>(£;е), которые можно кратко записать в виде

= {Ме)[г,уШ;е), А(е)[г,уШ;е)] = А(г)М(£;г), (20)

где £ € [0, Х/е]. При каждом фиксированном е € (0, +оо) под областью определения оператора А(е) подразумевается С2[0, Х/е] — пространство двумерных вектор-функций, непрерывных на [0, Х/е]. Таким образом, А(е): С2[0,Х/е] С2[0,Х/е].

Лемма. При всех (£,ж) € [0,+оо) х [О,X] справедливы неравенства:

|Ф<ЧС;ж)| < Се-«, |Ф|(С;ж)| < [«С + |Фг(С;ж)| < N + 1]е"ж«,

< >г: = — тахЫеА2(ж), к = тах|А1(ж)|,

где постоянные х и к положительны.

Доказательство. Положительность ж и к следует из второй теоремы Вейерштрасса. Так как случай А^ж) = А2(ж) = А(ж) (при этом А(ж) заведомо принадлежит Ж) тривиален, то далее на протяжении всего доказательства считаем, что А^ж) ф А2(ж).

Сначала рассмотрим такие ж, при которых А1(ж),А2(ж) € Ж. Используя первую строку из (18) и формулу Лагранжа, для Ф"(£;ж) и ее производной по £ получим

О «С Ф"(£;ж) = ^[а-еОАхМ+^А^Ж ^ <с

|ф^;ж)| = |[(1^02)А1(ж) + 02А2(ж)]С + 1|е[(1"е2)А1(ж)+е2А2(ж)]« <

где = € (0,1). Функции Фг и Ф| оценим с помощью первой строки из (17) и уже устано-

вленной оценки для Ф":

„А2(х)£ _

О < Фг(С;ж) = еА^ - А2(ж) = еА^ - А2(ж)Ф^(£;ж) < («£ + 1)е"^,

А2(ж) - АЦж)

еА2(х)£ _ е\1(х)(,

2

О < -Ф£(£;®) = А1(ж)А2(ж)——--—— = А1(ж)А2(ж)Ф';(С;ж) < к2£е

^ А2(ж) — Ацж)

Рассмотрим теперь такие ж, при которых А1)2(ж) ^ Ж, а значит, А1)2(ж) = р(ж) ^ где

г — мнимая единица. Используя первую строку из (18) и формулу Эйлера, а также учитывая, что в данном случае ЫеА2(ж) = р(ж) и |Л1 (ж) | > |р(ж)|, для Ф"(£;ж) и ее производной по £ получим

д(ж)

|Ф^(с;ж)| = шм<1т+Ф)со*ыхт\ еР(ж), ^ [|р(ж)| с + 1]еР(ж), ^ +

Ч\х)

Функции Фz и Ф| оценим, используя первую строку из (17), формулу Эйлера, соотношения ЫеА2(ж) = р(х) и | Л1 (ж) | > |р(ж)| и полученную оценку для Ф":

|Фг(С;ж)| =

eAi (хН + еА2 (х'К Хг (ж) + Л2 (ж) ex'¿ (*)« - eAl ^

Л2(ж) - Ai (ж)

= со8[д(ж)С]е^^р(ж)Ф^(С;ж) < (/< + 1)е"ж«,

Л1(ж)Л2(ж)-

эА2(х)£ _ pXi(x)(,

А2(ж) - Ai (ж)

= | Ai (ж) | |Ф"(£;ж)| ^ к

"¿tv-KÍ

Лемма доказана.

Следствие. При всех (£,ж) € [0,+оо) х [О,X] имеют место оценки

|Фг(С;ж)|, |Ф"(С;ж)|, |Ф|(С;ж)|, |Ф|(£;ж)| < («£ + 1)е"ж«,

(21)

ж =

maxRe А2(ж), к = max< тах I Ai (ж) |2 , 1 L [о,х] Iro.xi1 v л I

о,х]

3. Доказательство существования решения. Имеет место следующая Теорема 1. Существуют такие £о > 0 и Со ^ 0, что

А(С0; е): О(0, С0; е) С0; е) Ve € (0, е0],

где 0($, Со;е) — замкнутая Cq-окрестность вектор-функции {z,v} = {0, 0} = ■& в пространстве С2[0,Х/е] :

0(г9,Са;е) = {{z,v} € С2[0,Х/е) \ V£ € [0, Х/е)Ш, «(£)) G ЬС0,+С0]2},

a A(Cq;e) = {Az(Cq; е), АДСо; е)} — сужение оператора А(е) на 0(t?, Со; е).

Доказательство. Зафиксируем произвольные е>ОиСо^Ои подействуем операторами Аг(Со;е) и Av(Co;e) на произвольную вектор-функцию {£(£),«(£)} € 0(t?, Со; е). Учитывая (19) и (21), оценим получившийся результат следующим образом:

AZÍV(Cq;£)[z,V}(0 < e"^(C0/i +/2),

(22)

í

h = I + [|ai(eC)^ai(eC)| + |a0(eC)^a0(eC)|] <¿C,

о

h = I 0 + 1] [|/(^(С,е)^(С,0,С;е)| + |у'Ю1] dC-

норма пространства С[0, X],

2к + >гг

Пусть вг = вг(еС,еО G (0,1)

а = Ца'^ж)!) + ||а[,(ж)||, /3 = а Тогда для интеграла 1\ будем иметь £

УС"

h =

е I е*< [к(С - С)2 + (С - 0] {\a'M(l ~ OiK + + 14(4(1 - воК + Oom}d( €

о

£

^е{|К(ж)|| + 1К(ж)||} I е«с[л($_с)2 + ($_с)] d( =

о

= - 1 - - + Л [е* - 1 - еЦе*. (23)

Пусть 01 = € (0,1), ||-||й — норма пространства С [[—С — 6, +С + 5]2 х [О, X]),

^ = -~^-{\\9ч{и-,У-,х)\\6 + \\ду(и,у,х)\\й^,

7 = ^(^«^[(С2 + С)еЯеА2(0К] + ||$(«,у,аг)||0 + \\у'(х)\

Тогда, используя (12), (6) и (8), для интеграла 12 будем иметь

J е^[«(£-С) + 1] [<%H^iC)l + KHoC)l)(C2 + C)

gRe А2(0)С.

+e|v(C,e)| ЫП'(С) +ев2у(С,е), у((,£() + ee2z((,e), еС)| + |$(П'(С),у(С,O,OI

£

[«(С -0 + 1] d( = - 1 - О + - 1)

о

где С = С{ё) определена следующим образом: С = С a max [(£2 + C)eRe А2(°к] + Сае(\\ди(щ у, ж)||Со£ + \\ду(щу-,х)\\Со£) + \\д(щу,х)\\а + ||у'(®)11 •

Следовательно, для 12 верна оценка

h < [СоеЦСое) + . (24)

Из (22)-(24) следует, что если С0 и е удовлетворяют неравенствам

0<*(С0,г) = С0ф + МСог)] + 7<С'о, (25)

то A(Co;e)[z,v)(0 еО(0,Со;г).

Пусть Со — любое число из (7,4-00). Тогда поскольку 1(Со,е) есть неубывающая функция е и 0 ^ ¿(Со, 0) < Со, то, во-первых, уравнение / (Со, во) = Со имеет не более одного корня причем £о заведомо больше нуля (в случае отсутствия корней считаем, что £о = +оо), и, во-вторых, неравенства (25) справедливы при всех е G (0, во]- Теорема доказана.

Замечание. Из определения е0 следует, что имеет место неравенство

£0 < [Р + ЦСоео)}'1. (26)

Оно формально справедливо и при е0 = +оо, так как уравнение /(Со, е) = Со не имеет корней лишь в случае ¡3 = h(+oo) = 0, т.е. если «о (ж), ai (ж) = const на [О, X], д(и,у, ж) = д( ж) на Ж2 х [О, X].

Пусть для каждого фиксированного положительного е и любых <pi(£) = vi(C)} и ^(С) =

= V2(C)} из Сг[0,Х/е] определено расстояние р£ между срi и *р2:

РЛ<РЪ<Р2) = II ¥>2 - ¥>i|lc2[o,x/e] = max{|z2(C) - zi(£)|, Mí) - vi(£)l}> (27)

s^-a )

где X(e) = [0,X/e\. Заметим, что C2[0,X/e] и 0(i?,Co;e) с так определенным p£ представляют собой полные метрические пространства.

Теорема 2. А(Со;е) — сжимающий оператор при каждом е G (0, £о)-

Доказательство. Пусть р£ — метрика (27) пространства 0($, Со;е). Выберем произвольные функции (ра(0 = ^(í)}; « = 1,2, из этого пространства и, учитывая (19) и (21), оценим расстояние р = ре(А(Со; e)[(pi), A(Cq; е)[(р2)). Полагая

*12(С;г) = (1 - 0ЫС) + (С), V12ÍC;г) = (i - ^)^i(C) + 6v2(Q, в = 0(С;е) е (о, 1),

получим для р следующую оценку:

р = max тах{|Лг(С0;г)Ы(£) - Аг(С0;е)Ы(О|, |Л(С0;г)И(£) - Л(С0;е)Ы($)|| =

= max max-; CGX(e)

о

J|Ф"(С - С; ^({МеСЬ^еСЖ

к о

+ф„(П'(С) + ew12(C; е),у(С, еС) + ^(С; е), е() |} |v2(C) - «i(01 +

+ {|о0(еС) - о0(еС)| + фу(П'(С) + ev12((; е), у((, е() + ez12((; е), еС)|} х

Г )

х 1^2(0 - *i(0|) d(, J - • •) dcj <

о

i

< Ps(v 1, <р2) max [ [«(С - С) + l]{|«i(eC) - ai(e£)| + |o0(eC) " +

J i.

О

+е|д„(П'(С) + ev12{C; е), у((, e()+ez12((; е),е() | +фу(П'(С) + ev12((; е),у((, e()+£z12((; e),efl | J d( <

^ Ps(m^2)e[p + h(CQe)} (28)

(cp. (23) и (24)).

Из (28) и (26) вытекает, что при любом е G (0, во) для коэффициента сжатия к(Со; е) оператора А(Со;е) справедлива оценка:

k(CQ;e)^e[p + h(CQe)} < е[/3 + h(CQeQ)} ^e/eQ<l. (29)

Теорема доказана.

Из теорем 1, 2 следует, что к оператору А{С$;е) применима теорема Банаха о неподвижной точке, в силу которой при каждом е € (0, во) существует единственное решение

= задачи (9)—(11) (равносильной уравнению (20)), принадлежащее Со;е). Под-

черкнем, что единственность решения (р(£',е) (при всех е € Ж), причем глобальная (т.е. на множестве [0,Х/е] х Ж2), вытекает непосредственно из условия (2) на функции щ(х), Ь(х) и д(и,у,х).

4. Оценка скорости сходимости итераций. Сжимаемость оператора A(Cq;e) позволяет построить итерационную последовательность = {zn(£; e),vn((t; е)}, сходящуюся по норме

пространства С2[0, Х/е] к точному решению (р(£;е) задачи (9)—(11) при каждом е G (0, во):

\\V ~ fn\\c2[Q,xie] = - Яп(£;е)|, \v(&e) - 0, п ос.

Заметим, что для всякого e'Q из интервала (0, во) сходимость будет равномерной по е на множестве (0,4].

Положим = {0,0}. Поскольку (р(£;е) € 0(i?, Со;е), то

М&е) - ЫС;411с2[о,х/£] = 1ИС;е)11с2[о,х/£] < со Ve G (0,е0). (30)

Далее, для любого натурального п положим

= A(C0;e)[¥>w_i](i;e). (31)

С учетом (29) и (30) для каждого п € {0} U N = No и каждого е G (0, во) будем иметь

- ¥>»»(& e)llc2[o,x/e] < НСо;е)п М&е) - ¥>о(£;е)11с2[о,х/е] < Со(г/гоГ- (32)

Вернемся к задаче (1). Используя (7), построим итерационные последовательности уп(х;е) и ип(х;е) для решения у(х;е) и его первой производной у'(х;е) по формулам:

уп(х;е) = у(х/е,х) + £zn(x/e;£), ип(х; е) = е~1Л'(х/е) + vn(x/e; е), п *Е N0. (33)

При п ^ 1 приближения уп и ип могут быть выражены непосредственно через yn-i и ип-\ следующим образом:

уп(х;е) = у(х/е,х) + eÄz(C0; e)[z„_i, vn-i](x/e; е) = By(e)[yn-Uun-i](x;e), ип(х;е) = е_1П'(ж/е) + ÄV(C0; vn-i](x/e; e) = Bu(e)[yn-Uun-i](x;e),

Zn-= £~ЧУП-- = un_i(e£;e) - e_1n'(C)

(см. (33) и (31)), или кратко:

фп(х;е) = В(е)[фп-i](s;e), фп(х;е) = {уп(х;е),ип(х;е)}, В(е) = {Ву(е),Ви(е)}.

Отметим, что оператор В(е) будет сжимающим при е € (0,во) (т.е. при тех же е, что и А(Со',е)), и что при е G (0, во] для оператора В(е) будет справедливо:

В{е): 0(ф, еСо, CQ) ^ 0(ф,е CQ,CQ),

0(ф, еСо, Со) = |{у, и} G С2[О, X] | Уж G [О, X] у(ж) G [у(х/е, х) — еСо, у(х/е, х) + еСо],

«(ж) G [е_1П'(ж/е) - С0,е^П'^/е) + С0]}.

Здесь через 0(ф, еСо, Со) обозначена замкнутая {еСо, Со}-окрестность вектор-функции ф(х;е) = = {у(х/е, ж), е_1П'(ж/е)} в пространстве С2[0, X].

Оценим точность, с которой уп(х;е) и ип(х;е) приближают у(х;е) и у'(х;е). Используя (33), (7) и (32), для каждого п € No и каждого е G (0, во) получим

||у(х;е) -уп(ж;е)|| = e\\z(x/e;e) - zn{x/е\ е)\\ < е||^(ж/е;е) - е)Ис2[о,х] < Соф/е0)п,

||у'(ж;е) - «п(ж;е)|| = ||у'(ж;е) - е~1Л'(х/е) - «п(ж/е;е)|| = \\v{x/e;e) - vn{x/e;e)\\ <

< ||¥>(®/г;г) - (рп(х/е; е)||С2[0)Х] < С0(е/е0)п. Из этих оценок следует, что при любом фиксированном п

\\у — Уп|| = 0(en+1), ||y'-«J=0(en).

Поскольку норма самой функции у'(х;е) есть О (е-1), то относительная точность, обеспечиваемая функцией ип(х; е), имеет тот же порядок, что и относительная точность, обеспечиваемая функцией Уп(х;е)-

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. Курс высшей математики и математической физики. М.: Наука. Физматлит, 1998.

2. К о п а ч е в с к и й Н. Д., СмоличВ.П. Введение в асимптотические методы: Специальный курс лекций. Симферополь: ТНУ, 2009.

3. Боглаев Ю.П., Жданов A.B., Стельмах В.Г. Равномерные приближения к решениям некоторых сингулярно возмущенных нелинейных уравнений // Дифференц. уравн. 1978. 14. № 3. С. 395-406.

4. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука. Главная редакция физ.-мат. лит-ры, 1973.

5. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. Актуальные вопросы прикладной и вычислительной математики. М.: Высшая школа, 1990.

Поступила в редакцию 15.03.17