Последовательности Риордана и двумерные разностные уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.55

Последовательности Риордана и двумерные разностные уравнения

Александр П.Ляпин*

Институт педагогики, психологии и социологии, Сибирский федеральный университет, Свободный 79, Красноярск, 660041,

Россия

Получена 08.02.2009, окончательный вариант 11.03.2009, принята к печати 30.04.2009 В работе предложено описание рациональных последовательностей Риордана, возникающих в комбинаторном анализе, как решений задачи Коши двумерных разностных уравнений специального вида, и исследована асимптотика таких последовательностей.

Ключевые слова: последовательности Риордана, многомерные разностные уравнения, задача Ко-ши, амеба характеристического многочлена.

Введение

Понятие последовательности Риордана впервые появилось в работе [1] в связи с изучением групп Риордана и в дальнейшем нашло широкое применение в таких задачах перечислительного комбинаторного анализа, как задачи о числе путей на целочисленной решетке [2], о производящих деревьях с помеченными вершинами («level generating trees», [3]), о расстановке фигур на шахматной доске [4, 5], строки Блума [3, 6].

Приведем определение последовательности Риордана. Пусть d(z) = dkz-kи h(z) =

0

hkz-k-1 — ряды Лорана, вообще говоря, формальные.

0

Определение 1. Последовательностью Риордана, ассоциированной с парой d(z),h(z), называется, последовательность {r(x, y), (x,y) G Z+}, производящая функция которой

n r(x,y)

D(z,w) := ^ v ,У>

zx+1wy+1

(x,y)ez+

имеет вид

Т>( ) d(z) ^ d(z)hy(z)

D(z,w) =-—— := > -л—. (1)

v ' w - h(z) ^ WV+1 v '

v 7 y=0

Отметим, что r(x,y) = Res{d(z)hy(z)zx}, где Res — оператор, который ставит в соответствие некоторому формальному ряду от z коэффициент при z-1.

Последовательности Риордана называются правильными, если ho =0 (см., например, [2]).

Выделим класс последовательностей Риордана, которые будут рассматриваться в данной работе.

* e-mail: [email protected] © Siberian Federal University. All rights reserved

Определение 2. Последовательность Риордана будет называться рациональной, если ряд Л-(^) является разложением в окрестности бесконечно удаленной точки рациональной функции

ОД = р^,

т

где Р(г) = ^ са1 ^(г) = ^ сао^а — многочлены от г € С и етд = 0.

Отметим, что из разложимости h(-) в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки следует, что deg —(-) < deg P(-) = m.

Рациональные последовательности Риордана будут правильными, если справедливо равенство deg—(-) + 1 = degP(-) (эквивалентное условию ho = 0).

Основным результатом данной работы является описание рациональных последовательностей Риордана как решения задачи Коши для одного класса двумерных разностных уравнений. Подробная формулировка задачи Коши, необходимые определения и обозначения приведены в п. 1.

Теорема 1. Двойная последовательность {r(x,y)} является рациональной последовательностью Риордана, определяемой парой d(-) и h(-) = ——, тогда и только тогда,

P(z)

когда она является 'решением задачи Коши для разностного уравнения,

[P(¿i) ■ ¿2 - — (¿i)] r(x,y)=0, (2)

r(x,y) = <^(ж,у), (ж, y) ^ (m, 1), (3)

где функция <^(ж, y) задана на множестве (ж, y) ^ (m, 1) следующим образом:

^(x,y):=Re^ d(£) ( —(4)

Производящую функцию начальных данных (3)

^(ж,У)

$(z,w):= J2

(х,у)^(т,1)

после очевидной группировки всегда можно записать в виде

Ф(г,^= + —, где ФМ = Х, ^у+г •

к=0 у=1

Следующая теорема позволяет представить производящую функцию решения задачи Коши в виде простого выражения от Ф&(ад), ¿(г) и многочленов

т

1 ^ V „., „ ^

ñfc+i(z, w) = -k+i (C«,iW - ca,o) z",

-a

a=fc_i

построенных на основе характеристического многочлена разностного уравнения (2). Теорема 2. Производящая функция решения задачи Коши (2)-(3) имеет вид

(т—1 т—1 а—1 / п\\

Р(г)ф) + ^ Дк+1(г, ад)Фй(ад) - - ]Т ]Г ^^ М /(Р(г)ад - д(г)).

к=0 а=0 х=0 /

Следствие 1. Необходимым и достаточным условием рациональности производящей функции решения задачи Коши (2)-(3) является рациональность производящей функции начальных данных.

Замечание 1. Если начальные данные определяют последовательность Риордана (имеют вид (4)), то в теореме 2 выражение для производящей функции примет простой

вид, так как в этом случае имеет место 'равенство

т— 1 т—1 а—1 / ..ч

£ м -1 ЕЕ +? = <>■

Следующая теорема позволяет найти асимптотику последовательностей Риордана. Вопрос об отыскании асимптотического поведения решений многомерных разностных уравнений весьма актуален и рассматривался многими авторами в работах [4, 7, 8, 9, 10, 11, 12].

Одним из способов исследования свойств двумерной последовательности г(х, у) является изучение асимптотики ее «диагональных» подпоследовательностей. А именно, для двойных последовательностей {г(х, у)} определим диагональные подпоследовательности следующим образом: фиксируем (р, д) £ и будем рассматривать одномерную последовательность {г(рА дА)}лех+.

Заметим, что такой подход к изучению асимптотического поведения двойной последовательности применялся в [7] при решении проблемы устойчивости двумерных цифровых рекурсивных фильтров. В работе [9] асимптотика коэффициентов рациональной производящей функции изучалась в связи с такими задачами перечислительного комбинаторного анализа, как, например, задача о подбрасывании несимметричной монеты.

В случае рациональных последовательностей Риордана условия, обеспечивающие применимость метода перевала, удобно сформулировать в терминах многогранника Ньютона Мд и амебы Лд характеристического многочлена Д, подробные определения и обозначения которых приведены в п. 2.

Отметим лишь, что Етд — это компонента дополнения амебы, соответствующая вершине многогранника Ньютона (т, 1), для которой сформулирована задача Коши, а через Птд обозначен конус, порожденный векторами {(т, 1) — (т1,Т2)}, где (т1,т2) £ Мд.

Теорема 3. Пусть функция ¿(г) голоморфна вне особых точек функции Л-(^) = ^. Если все корни многочленов Р(г) и ф(г) простые и различные по модулю (каждого многочлена в отдельности) и граница амебы характеристического многочлена Д(г, т) = Р(г) • т — ф(г) гладкая, тогда для всякого направления (р, д) £ 1п^тд существует единственная точка (д) , (такая, что ее логарифмический образ Log(zo,wo) £ дЕтд, и

г(Х у)--\ ]Л , х = Ар у = А ^ ^ (5)

^2пАдЯ (г°)

где

Я Ы = ом _ рал+2 р 1 рМ_ р (1+р )1

Я (г)= д(г) Р(г) +2 дгР (г) д (1 + д) г2 ■ Отметим, что точка (г°,т°) удовлетворяет системе уравнений

Р(г)т — д(г) =0

' р:с£) _ омя

Р (г) о(г)

1. Определения и обозначения

Пусть Zn — п-мерная целочисленная решетка, точки которой обозначим х = [х\,... ,хп), а = («1, ...,ап), Z+ — ее положительный октант, множество С С Z™ конечное. Определим на комплекснозначных функциях г : Zn ^ С операторы сдвига вида

г(х) = г(х1,..., х^ + 1,..., хп), ] = 1,..., п,

и рассмотрим полиномиальный разностный оператор с постоянными коэффициентами

Д(5) = Д(51,52,...,5п с«5а = X) са1,...,а„ 5а1 ••• 5Щг.

аео (а1,...,а„)ЕС

Нас интересуют (однородные) разностные уравнения вида Д(5)г(х) = 0 или

y1

аео

car(x + a) = 0, (6)

где r(x) — неизвестная функция целочисленных аргументов x = (xi,... , xn).

Пусть l = (li,...,ln) G Z+,l = 0 — некоторая точка n-мерной целочисленной решетки Z+ и на множестве Xl = {x G Z+ \ (l + Z+)} задана функция

^ : Xi ^ C. (7)

В дальнейшем будем вместо x G Z+ \ (l + Z+) использовать запись x ^ l.

Задача Коши состоит в отыскании решения разностного уравнения (6), совпадающего на множестве Xi с функцией (7).

Условия на множество Xi, обеспечивающие существование и единственность решения задачи Коши, приведены в [13], в [14] эти условия сформулированы в терминах многогранника Ньютона Nr характеристического многочлена Д.

Характеристическим многочленом разностного уравнения (6) называется многочлен вида R(z) = са^а. аео

Многогранник Ньютона Nr характеристического многочлена R(z) представляет выпуклую оболочку в Rn конечного множества точек C.

Решение задачи Коши (2)—(3) существует и единственно, если для некоторой (целочисленной) точки m = (mi, ..., mn) G Nr выполняется Nr С Пт, где Пт = {a G R+ : ay ^ mj, j = 1,..., n}.

Амебой Ar многочлена R(z) называется образ множества нулей этого многочлена

V = {z G Cn : R(z) = 0}

при логарифмическом проектировании Log : (zi,..., zn) ^ (log |z11,..., log |zn|).

Дополнение к амебе состоит из конечного числа связных компонент, ограниченного снизу числом вершин многогранника Ньютона, а сверху — числом целых точек пересечения Nr П Zn. Кроме того [15], каждой вершине v многогранника Ньютона можно сопоставить непустую связную компоненту Ev дополнения амебы Ar и разложение в ряд Лорана функции 1/R(z), сходящееся в Log-1 Ev.

2. Доказательства

Доказательство теоремы 1. Докажем необходимое условие. Сгруппируем ряд ад) по отрицательным степеням ад:

Р(г,ад) =

ф)

¿ф)

ад( 1 - ^ ^

д(»)\у 1

откуда следует, что г(х,у) = Кеэ |^ (см. замечание к определению последо-

вательности Риордана). В тождестве

[Р(») • ад - ад) = Р(г)ф)

преобразуем левую часть:

(Р(г) • ад - д(г)) • ]Г

г(х, у) гж+1адУ+1

йП г г(х,У) I У^ г(х,У) \ ^ ^ ^ г(ж,у)

т ^

Ее, »аЕ ^ + Е

• Са'1» / • »ж+1 а=0 ж=0 а=0

Са,1»

Еу(х, У + 1) + у^ г(х, у +1)

ж=0,...,а —1

»ж+1 ад^1

в=0

У(х,У) + у^ г(х, У) А-,- ~ж+1,„у+1 А-/

»ж+1адУ+1 »ж+1адУ+1

ж=0,...,в-1 ж^в

/

Р (»)ф) + ]Т

а=0

\

с«д»« £ *(х'у + 1)

ж=0,...,а— 1 \

»ж+1адУ+1

(

-

в=0

\

с »в V у(х,у)

св-0» »»+1№у+1

ж=0,...,в —1 \

+

/

+

У"^ садг(х + а, у + 1) - ^ Св,0г(х + в, у)

в=0

Ввиду отсутствия в правой части тождества переменных в отрицательной степени получаем для всех х ^ 0, у ^ 0 соотношение

£[Р (¿1) • ¿2 - д№)] г(х,у) = о,

ж^0

что и завершает доказательство необходимого условия теоремы.

Докажем достаточность. Для доказательства нам потребуется следующее утверждение:

са,в

1

»ж+1аду+1 (» —£)(ад —п)

]г са,в(»а^в - еапв). (8)

т

т

т

т

1

0

Запишем разностное уравнение (2) в виде

m m

У] Са,1 r(x + a,y +1) - E ca,0r(x + a, y) = 0,

а=0 а=0

домножим его левую часть на моном z-x-1w-y-1 и просуммируем по всем x ^ 0, y ^ 0:

m m \ i

c«.1r(x + а,У + 1) - Е Ca'0r(x + a, УЬ zx+1wy+1

\а=0 а=0 )

m

Eca,1r(x + a

щ«

а=0 а=0

m ca,1r(x + a,y + 1)zaw ^^ ca,0r(x + a,y)zc

,17 (x + a, y + i)z w V^

= ^ « \ " r(x,y) а^ r(x,y)

= 2^ Ca'1z W Z^ zx+1wy+1 Ca'0z Z^ zx+1wy+1

а=0 ж^а а=0 ж^а

E^wl D(z,w) - E zX+S+l

а=0 \ (ж,у)^(а,1)

Са,0^ |D(z,w) - E r(x'y)

zI+1w»+1

0 \ (ж,у)^(а,0)

=D(z,w)Ä(z,w) -(£ Ca,1zaW E ¡¿да - E Са^ E • (*)

0

(ж,у)^(а,1) а=0 (ж,у)^(а,0)

Поскольку на множестве начальных данных функция y(x, y) имеет вид (4), то в силу линейности оператора Res (см. [4, стр. 15]) и формулы (8)

^ а r(x,y)

а=0 (ж,у)^(а,1)

: н pш (щ - n)(z - о I са^ащ - ^

Ча=0 а=0

:Rej d(0P(е) p(z)w - p(е)п 1

I У _• • • •__^^_• • • ч,

4P(е)п-Q(e) (щ-n)(z-е) j

m

m

аналогично,

^ v- r(x,y^ ( d(e)p(е) Q(z) -Q(e)

СаД^ > , ж+/ ..+ i = Res

^ ^ v zx+1wy+1 \P(e)n - Q(e)(w - n)(z - е)

Следовательно, в силу свойств оператора Res

^ - Z, Zs+1,„y+1 ^ С аJL

а=0 ,1) «=0 ,0)

=рРЧ / ¿(е)р(е) р- р(е)п ¿(е)р(е) д^) -

I р(е)п - ш - п)(* - е) р(е)п - ш - п)(* - е) =рРЛ ¿(е)р(е) (р- - (р(е)п - д(е)П = \р (е)п - ш - ^ - е) /

=(р - ^ {(р (е)п - ^ - е)} - Ке8 { } = р

Используя это равенство, получим

ад) Д^, ад) - р(г)ф) = 0,

откуда сразу следует, что г(ж,у) — рациональная последовательность Риордана. □

Доказательство теоремы 22. В соотношении (*) из доказательства теоремы 1

ад) Д^, ад) =

т

LCa.1Z - Z^ Zs+1,„y+1 ^ Са

zx+1wy+1 ^ а'0 ^ zx+1wy+1

а=0 (ж,у)^(а ,1) а=0 (ж,у)^(а ,0)

m / ^ / rw а—1 ^ / ч \

а>1 1 ^ zx+1w ^^ zx+1wy+1 /

а=0 \ж=0 ®=0 y=1 J

c А—1 0) + а—1 ^ А _

Са,^ Z^ Z®+1 + Zx+1Wy+1 _

а=0 \ж=0 ®=0 y=1 /

m а— 1 -г / ч m а— 1 / ..ч m а—1 ж ( ч

V/ \ I а V^ фх(-) V^ а V^ 0) V^ а V^ фх(-)

а=0 ®=0 а=0 ®=0 а=0 ®=0

m —1 m —1

U( \ , V^ n а ф®(-) 1 V^V^ С а ,0 0)

_P(z)d(z) + ^ ¿,(Са,1W - са,0)z ^X+T - - Is Ъ Zx —а +1 _

а=0 x=0 а=0 x=0

m—1 m m —1

Wb 1 V (Са w c _ ) z а \ Са 0)

P (z)d(z) ^ фх(ад) • ^^ ]T (Са ,1W - Са а - ^^ ^ ^

x=0 \ а=x+1 / а=0 x=0 m—1 m —1 =P(z)d(z) ф®(w) • Rx+1(z,w) - - ]T ]T

Z'

=0 а=0 ®=0

Откуда и следует утверждение теоремы. □

Доказательство теоремы 3. Пусть ai, a2,..., a^j — корни многочлена Q(z); bi, 62,..., 6n2 — корни многочлена P(z). Так как, согласно условиям теоремы, все корни простые и различные по модулю, тогда амебу Ar характеристического многочлена можно представить как множество точек М2^ вида £ = t, n = f (t, у), где

/ (t, у)=log a1 ^... •|el+iy - aN J, (t, у) G r x [0,2n).

Отметим, что каждому aj =0 и by =0 соответствуют лучи на прямых £ = log |aj| и £ = log |bj |, целиком принадлежащие амебе. Также амеба содержит еще два луча, возникающих при t ^ ±ж. Таким образом, число компонент дополнения к амёбе не меньше Ni+N2+2-к, где Ni и N2 — число различных по модулю и отличных от нуля корней многочленов Q(z) и P(z) соответственно, а к = 1, если у одного из многочленов есть корень, равный нулю, и к = 0 в остальных случаях. С другой стороны, так как все целочисленные точки многогранника Ньютона Nr характеристического многочлена R лежат на его границе, то их число равно Ni + N2 + 2 - к.

Таким образом, число компонент дополнения амебы равно числу целых точек в многограннике Ньютона, это и означает по определению, что амеба характеристического многочлена максимальна.

Условие гладкости границы позволит применить теорему 2 из работы [12], из которой для (р, q) G Intfim,i следует справедливость формулы

r(x, y)

C (p,q)

а/2ПЛ

где константа вычисляется по формуле

[z0W0 ]Л :

C (p,q) =

d(zo)

= ,H (z) =

Q" (z)

Q(z)

а точка (zo,wo) удовлетворяет системе

Лр, y = Лq, Л ^ ж,

P''(z) +2р 1 - Р(1 + Р).

1

P(z) q z P(z) q q z2

P(z)w - Q(z) =0

fP^Cz) _ Q'(z)

I P(z) Q(z)

□

x

3. Примеры

Приведем несколько примеров рациональных последовательностей Риордана. Пример 1. Биномиальные коэффициенты являются решением разностного уравнения

/(х + 1, у +1) - / (х, у +1) - /(х, у) = 0

с начальными данными

11, если х ^ 0, у = 0 у(х, у) = < .

10, если х = 0, у ^ 1

Производящая функция двойной последовательности {/(х, у)} имеет вид:

ч 1 ¿(г)

Р(*,™) = -7 = -^ГГГ,

^ад — ад — 1 ад — д(г) где 1

¿(г) = ^(г) = -.

г — 1

Тогда по теореме 3 для направлений (р, д), р > 1 справедлива асимптотическая формула:

r(x,y) - ((р- q)0-0 р0).

Пример 2. Пусть А = (а^-) — это х х т матрица с х•т различными элементами. Обозначим гт(х,у), 0 < у ^ х — число способов выбора у из х • т элементов таким образом, чтобы никакие два не стояли в одной строке, а если выбраны элементы из смежных строк, то они должны стоять в одном столбце.

В работе [5] найдена явная формула для вычисления гт(х, у):

>(х,у)=£ т^

У

тг I

г 1 г

., у — Л х — у +1

гт(х, у) = т

Г=1

и приведено разностное уравнение для гт(х, у):

Гт(х + 2, у +1) — Гт(х + 1, у +1) — Гт(х + 1, у) — (т — 1)Гт(х, у) = 0.

Рассмотрим задачу Коши для данного уравнения, указав «начальные» значения на множестве Х2Д = {(х, у) £ 2+ : (х, у) ^ (2,1)}:

1, если х ^ 0, у = 0, у(х, у) = ^ 0, если х = 0, у > 1 или х = 1, у > 2 , т, если (х,у) = (1, 1).

По теореме 2 найдем производящую функцию для коэффициентов гт(х, у):

Р (г)ф) г

Р(г, т) =

Р (^)т — ^(г) г(г — 1)т — г — (т — 1)

Используя теорему 3, вычислим асимптотику г(х, у) при т = 2. Точка (г°, т°) является решением системы

- 0+1 0(0—1)

М. 0(0—1) — 0+1 ) = М

Наибольший вклад в асимптотику даст точка (г°, т°) вида

А + ^(м — 1)2 + 1 (М — 1)^2 — 2М + М2 + М)

V М — 1 ' (2 + ^/2 — 2м + М2 — М)(1^2 — 2М + М2),

Далее вычислим

(М — Щм — 2)г° — М) ) = 1

г02(

Я(г°) =-т<-п-, ) =-7

г2(г° — 1) — 1

Р

и, применяя формулу (5), для — > 1 получим

д

г(х у) —/0 л/ г° „ ^ [гото]Л, х = М у = А ^

у 2пАд(м — 1)((М — 2)г° — м)(г° — 1)

Пример 3. Рассмотрим последовательности из п элементов а1а2--.ап, причем а1 =0 и а^- £ {0,1} для 2 ^ ^ п. Элемент последовательности а^- назовем изолированным, если он отличен от всех элементов, стоящих на соседних местах. Обозначим г(п, к) число таких последовательностей, содержащих к изолированных элементов. Очевидно, что г(п, к) = 0, если п < к (см. [6, 3]).

Данная последовательность является решением задачи Коши для разностного урав-

г(ж + 2, у +1) — г(ж + 1, у +1) — г(ж + 1, у) — г(ж, у + 1) + г(ж, у) = 0

с начальными данными у(0,0) = 1,у(1,0) = 0, у>(ж, 0) = <^>(ж — 1,0) + <^>(ж — 2,0),ж ^ 2, ^(1,1) = 1, у(0, у) = 0, у > 1 и р(1,у) = 0, у > 2. По теореме 2 производящая функция имеет вид

D(z,w)

z - 1

d(z)

z2w — zw — w — z + 1 w — h(z)'

где

d(z) = h(z)

z1

z2 z 1

Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (РФФИ) и Государственным фондом естественных наук Китая (ГФЕН) в рамках совместного проекта «Комплексный анализ и его приложения» (проект N 08-01-92208_ГФЕН).

Список литературы

[1] L.W.Shapiro, S.Getu, W.-J.Woan, L.Woodson, The Riordan group, Discrete Applied Mathematics, 34(1991), 229-239.

[2] D.Merlini, Generating functions for the area below some lattice paths, Disc. Math. and Th. Comp. Sc, AC, (2003), 217-228.

[3] D.Baccherini, D.Merlini, R.Sprugnoli, Level generation trees and proper Riordan arrays, Applicable Analysis and Discrete Mathemamatics, 2(2008), 69-91.

[4] Г.П.Егорычев, Интегральное представление и вычисление комбинаторных сумм, Новосибирск, Наука, 1977.

[5] M.Abramson, W.Moser, Combinations, successions and the n-kings problem, Math. Mag., 39(1966), №5, 269-273.

[6] D.M.Bloom, Singles in a Sequence of Coin Tosses, The College Mathematics Journal, (1998).

[7] А.К.Цих, Условия абсолютной сходимости ряда из коэффициентов Тейлора мероморф-ных функций двух переменных, Мат. сб., 182(1981), №11, 1588-1612.

[8] А.Г.Орлов, Об асимптотике коэффициентов Тейлора рациональных функций двух переменных, Изв. вузов, (1993), №6, 26-33.

[9] R.Pemantle, M.Wilson, Asymptotics of multivariate sequences, part I: smooth points of the singular variety, J. Comb. Th., Series A97, (2002), 129-161.

[10] M.Wilson, Asymptotics for generalized Riordan arrays, DMTCS proc. AD, (2005), 323-334.

[11] Е.К.Лейнартас, М.Пассаре, А.К.Цих, Асимптотика многомерных разностных уравнений, Успехи мат. наук, 60(2005), №5, 171-172.

[12] Е.К.Лейнартас, М.Пассаре, А.К.Цих, Многомерные версии теоремы Пуанкаре для разностных уравнений, Мат. сборник, 199(2008), №10, 87-104.

[13] M.Bousquet-Mélou, M.Petkovsek, Linear recurrences with constant coefficients: the multivariate case, DM, 225(2000), 51-75.

[14] Е.К.Лейнартас, Кратные ряды Лорана и фундаментальные решения линейных разностных уравнений, Сиб. мат. журн., 48(2007), №2, 335-340.

[15] M.Forsberg, M.Passare, A.Tsikh, Laurent Determinants and Arrangements of Hyperplane Amoebas, Advances in Math.., 151(2000), 45-70.

Riordan's Arrays and Two-dimensional Difference Equations

Alexander P.Lyapin

We describe of rational Riordan's arrays appearing in combinatorial analysis in terms of solutions of a Cauchy problem for a two-dimensional difference equation. The asymptotics of such arrays has been investigated.

Keywords: riordan's arrays, multidimensional difference equations, Cauchy problem, the amoeba of a characteristic polynomial.