О рациональности многомерных возвратных степенных рядов Текст научной статьи по специальности «Математика»

О рациональности многомерных возвратных степенных рядов

Евгений К.Лейнартас*

Институт математики, Сибирский федеральный университет, Свободный 79, Красноярск, 660041,

Россия

Александр П.ЛяпиН

Институт педагогики, психологии и социологии, Сибирский федеральный университет, Свободный 79, Красноярск, 660041,

Россия

Получена 28.09.2009, окончательный вариант 27.10.2009, принята к печати 10.11.2009 В работе выделен класс решений многомерного 'разностного уравнения, для которых производящая функция рациональна.

Ключевые слова: разностные уравнения, производящая функция.

А.Муавр рассмотрел под названием возвратных рядов степенные ряды F(z) = ao + aiz + ... + akzk + ... с коэффициентами ai,a2, ■■■,ak,..., образующими возвратные последовательности, т.е. удовлетворяющими соотношению вида

coam+p + ciam+p-i + ... + cmap = 0, p = 0,1, 2...,

где Cj — некоторые постоянные. Оказалось, что такие ряды всегда изображают рациональные функции. Точнее, справедливо следующее утверждение.

Теорема (Муавр, 1722). Степенной ряд F(z) является возвратным тогда и только тогда, когда он представляет правильную рациональную функцию.

Доказательство этого факта можно найти, например, в [1], в главе, посвященной простейшему общему классу производящих функций — рациональным функциям.

В многомерном случае ситуация значительно сложнее. Так, производящий ряд решения разностного уравнения с постоянными коэффициентами в общем случае является расходящимся. Приведем необходимые обозначения и соответствующий пример.

Обозначим x = (xi,...,xn) точки n-мерной целочисленной решетки Zn = Z х ... х Z, где Z — множество целых чисел, и A = {a} — конечное подмножество точек из Zn. Разностным уравнением относительно неизвестной функции f (x) целочисленных аргументов x = (xi, ...,xn) с постоянными коэффициентами ca £ C называется соотношение вида

Y,caf (x + a) = 0. (1)

aeA

Обозначим через P(z) = caza характеристический многочлен уравнения (1). Под

а

неравенством a ^ m будем понимать систему неравенств aj ^ mj,j = 1, ...,n.

* e-mail: [email protected] t e-mail: [email protected] © Siberian Federal University. All rights reserved

Производящая функция (¿-преобразование) функции /(х) целочисленных аргументов х € 2+ определяется следующим образом:

Р (¿) = Е /Х+7, где I =(1,1,..., 1).

х^0

Если /(х) — решение разностного уравнения (1), то его производящая функция ^(¡) в случае п > 1 представляет собой, вообще говоря, расходящийся степенной ряд (см. [2]). Пример 1. Решением разностного уравнения

/ (Ж1 + 1,Х2 + 1) - / (Ж1 + 1,Ж2) - / (XI ,Х2 + 1) + / (Х1,Х2) = 0

является функция вида /(х1,Ж2) = ^(х1) + ф(х2), где ^ и ф — произвольные функции целочисленного аргумента, а соответствующий производящий ряд будет, вообще говоря, расходящимся.

Будем рассматривать уравнения (1), для которых множество А = {а} лежит в положительном октанте 2+ целочисленной решетки и удовлетворяет условию: существует точка т = (т1,..., тп) € А, такая что для всех а € А справедливы неравенства

аз ^ т^, з = 1, 2,..., п. (*)

Множество, на котором будем задавать "начальные данные" разностного уравнения (1), удовлетворяющего условию (*), определим следующим образом:

Хо = {т € : т > 0, т ^ т},

где символ ^ означает, что точка т лежит в дополнении к множеству, определяемому системой неравенств т ^ т^,з = 1, ...,п.

Сформулируем задачу Коши: найти решение /(х) уравнения (1), которое на множестве Хо совпадает с заданной функцией ^>(х) :

/(х)= р(х), х € Хо. (2)

Нетрудно показать (см., например, [3]), что если выполнено условие (*), то задача (1)— (2) имеет единственное решение. Вопрос о разрешимости задачи (1)-(2) без ограничений вида (*) рассмотрен в [4].

Отметим, что в данной работе будем рассматривать только такие решения разностного уравнения (1), для которых соответствующей производящий ряд сходится в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки.

Приведем несколько формул, в которых производящая функция решения задачи (1)-(2) выражается через начальные данные.

Теорема 1. Производящая функция ^(¡) решения /(х) задачи (1)-(2) удовлетворяет сле-

дующим соотношениям:

Р (^ (г) = ]Г

0<а<т

Е

т >0 ут ^а

у(т)

ут— а+1

Р(^(г) = ]Т Е - т)

т^т \т^а^т Т ^0

Р(^(*) = Р(г) Е гГЙ - е( Е с

т>0

т ^т / \

у(т).

гт +1 .

т >0 т ^т

Р (^ (г) = ]Г

т >0 т ^т

Е<

а^т

У(т ) гт+1 '

(3)

(4)

(5)

(6)

/

Замечание 1. В одномерном случае в правых частях всех формул (3)-(6) стоят конечные суммы, в частности, из формулы (4) следует, что произведение Р(г)^1 (г) является многочленом. Таким образом, производящая функция ^(г) является рациональной, что, собственно, и доказывает теорему Муавра.

Для формулировки многомерного варианта теоремы Муавра о рациональности производящей функции решения разностного уравнения нам потребуются следующие обозначения.

Пусть J = (з1,...,3п), где € {0,1}, к = 1,...,п, — упорядоченный набор из нулей и единиц. Каждому такому набору сопоставим "грань целочисленного прямоугольника" Пт = {ж € Ъп : 0 ^ Хк ^ тк,к = 1, ...,п} следующим образом:

Г/ = {ж € Пт : = тй, если ^ = 1, и < тй, если ^ = 0}.

Например, Г(1д,...д) = {т}, а Г(0,0,...,0) = {ж € Ъп : 0 ^ ж^ < т^, к =1,..., п}.

Нетрудно проверить, что Пт = У Г/ и для различных J' соответствующие грани не

пересекаются: Г/ П Г/' = 0.

Пусть Ф(г) = ^

т >0

У(т )

производящая функция начальных данных задачи (1)-(2) и

каждой точке т € Г/ сопоставим ряд Фт,/(г) = ^ ^ ++ +У), а грани Г/ — ряд Ф/(г) =

у> 0 + у+

Фт,/(г). Если функцию ^>(ж) начальных данных продолжить на Z+ \ X нулем, тогда

т е ^

производящую функцию начальных данных можно записать в виде Ф(г) = £ Ф/(г) =

£ £ Фт,/(г). /

/ те^

Теорема 2. Производящая функция ^(г) решения задачи (1)-(2) и производящая функция начальных данных Ф(г) связаны соотношением

Р (^ (г) = ЕЕ Фт,/(г)Рт (г), (7)

/ теГ7

с

а

т

г

а

а

а

а

т ^т

где многочлены Рт (г) имеют вид Рт (г) = ^ сага

а^т

Отметим, что для случая п = 2 теорема 2 доказана в работе [7] в связи с изучением рациональных последовательностей Риордана. Проиллюстрируем применение теоремы на примере из [8].

Пример 2. Рассмотрим последовательности из х элементов а1а2...ах, причем а1 = 0 и aj € {0,1} для 2 ^ ] ^ х. Элемент последовательности а^- назовем изолированным, если он отличен от всех элементов, стоящих на соседних местах. Обозначим г(х,у) число таких последовательностей, содержащих у изолированных элементов. Очевидно, что г(х, у) = 0, если х < у.

Данная последовательность является решением задачи Коши для разностного уравнения

г(х + 2, у + 1) — г(х + 1, у + 1) — г(х + 1, у) — г(х, у + 1) + г(х, у) = 0

с начальными данными ^(0, 0) = 1,у(1, 0) = 0, у(х, 0) = у(х — 1,0) + <^(х — 2, 0),х ^ 2, ^(1,1) = 1, ^(0, у) = 0, у > 1 и ^(1, у) = 0, у > 2.

Используя теорему 2, построим для каждого набора J разбиение прямоугольника П(2д) на множества: Г«,,о) = {(0,0), (1,0)}, Г«,,1) = {(0,1), (1,1)}, Га,о) = {(2,0)}, Г(М) = {(2,1)}. Для каждого элемента множества Г/ построим ряды Фт/ (ниже в обозначении Фт/ индекс J опущен для краткости записи) коэффициентами из соответствующих начальных данных и многочлены Рт:

Фо,о(г, ад) = —, гад

Ф1;0(г,ад) = 0, Фод(г,ад) =0,

Фм(г, ад) = ,

г2ад2

ф2,о(г,ад) = —Г2~-ГТ,

гад(г2 — г — 1)

Теперь, используя формулу из теоремы 2, легко записать производящую функцию последовательности г(х, у):

г — 1

Р (г,ад) = 1-ТТ.

г2ад — гад — ад — г + 1

Из теоремы 2 получается многомерный аналог теоремы Муавра.

Теорема 3. Производящая функция ^(г) решения задачи (1)-(2) рациональна тогда и только тогда, когда рациональна производящая функция Ф(г) начальных данных.

Приведем еще одно следствие из теоремы 2. Дискретной функцией Грина /Т0 (х), то € Хо, называется решение задачи (1)—(2) с начальными данными

Г1, если х = то , ,

^то (х) = < ^ (8)

10, если х = то.

Отметим, что асимптотические свойства дискретной функции Грина играют важную роль при исследовании устойчивости линейной однородной двуслойной разностной схемы (см., например, [9]).

Ро,о(г, ад) = г2ад — гад —г—

Р1,о(г, ад) = г2ад — гад — ад,

Ро,1(г, ад) = г2ад — гад — г,

Р1,1(г, ад) = г2ад,

Р2,о(г, ад) = г2ад — гад — ад.

а^т

Предложение 1. Производящая функция Рто (х) дискретной функции Грина /то (ж) задачи (1)-(2) рациональна и имеет вид

( \

^то (х) =

]Г сага—то—1

а^т

\а^то У

/Р (г).

Приведем доказательства сформулированных утверждений.

/ (Ж)

Доказательство теоремы 1. Умножим ряд Р(г) = ^ ——у на характеристический мно-

ж>0 х

гочлен Р(г) = ^ саха и после перегруппировки с учетом уравнения (1) получим

Р МР м = I £ ^ 11 Е А = Е (са Е /Х*) + Е р Е )

•>0 / а \ ж>а

ж^ а

ЕКЕ ^Х^ +Е саг^ /+) = £ Р/1+£ саг^ /+)

у I у Х + » I у у у Х + ' ' > Х' • + ' ' ^ ' ^ + 1

а \ ж>0 ^ / а а ^ ж>0 ^ а ж^а Х

Еса^аЕ

/ (ж)

ж^а

Формула (3) доказана. Формулы (4) и (5) получаются из формулы (3) группировкой слагаемых в правой части соответственно относительно хт и <^(т). Формула (6) есть простое следствие формулы (5). □

Доказательство теоремы 2. Воспользуемся формулой (6):

Р(х)р(х) = Е Рт(х) ■£+) = Е Е Е Рт+/у(х) ■ ^Йу—у1 ■

т> 0 / те ГJ у> 0

т ^ т

Из определения многочлена Рт (х) следует, что для любого т € Г/ и любого у ^ 0 справедливо равенство Рт +/у (х) = Рт (х), а используя определение Фт,/ (х), получим

Р (х)Р (х) = Е Е Рт (х)Фт,/ (Х).

/ т е ^

□

Для доказательства теоремы 3 нам потребуются следующие вспомогательные утверждения.

Лемма 1. 10. Пусть степенной ряд Ф(£) = £ <^>(ж)хж сходится в некоторой окрестности

ж>0

и = {£ : ^ | < р^-= 1, ..., п} начала координат. Тогда для любого т € Ъ+ и любого набора 7 = {31,...,3П},Л € {0,1} для функции Фт,/(г) = £ у>(т + 7у)хт+/у справедлива

у>0

интегральная формула

Фт,/(Х)= гт '

(2пг)п У (£ - £т—/+1'

где 7 = {£ € Сп : | = ^ < pj,3 = 1, ...,п}, (£ — г/ = (£1 — г^'1 • ... • (£„ — г„)^. Формула справедлива для таких г, что ^| < Дj, 3 = 1, ...,п.

2о. Если функция Ф(г) рациональна, то функции Фт/(г) также рациональны.

Доказательство. Для доказательства интегрального представления функции разложим Фт/(г) подынтегральную функцию в степенной ряд

Ф(£) 1 = V- ( )£ж /

(£ — г)/ • £т+1 ^(х)£ • • £т+1,

ж^ о о

сходящийся абсолютно и равномерно на множестве 7, и почленно проинтегрируем его.

Для доказательства рациональности функции Фт/(г) достаточно применить к полученному выражению для функции через интеграл повторное интегрирование и воспользоваться теоремой о вычетах. Так, при интегрировании по первой переменной нужно будет найти вычеты в полюсах £ = 0 и £ = г1 (если 31 = 1). При этом важно, что рациональность подынтегральной функции сохраняется при каждом интегрировании. □

Замечание 2. Утверждение 2о леммы также можно доказать, используя понятие сечения кратного степенного ряда (см. [5]) и теорему о рациональности сечения ряда, представляющего собой рациональную функцию.

Замечание 3. Если вместо степенного ряда Ф(г) = ^ <^>(х)гж рассматривать ряд Лора-

ж^ о

^ (х) ^ (т + 1у)

на Ф(£) = —+г и, соответственно, функцию Фт/(г) = ^ -+ , +, , то утвержде-

ж^ о г ' у^ о гт + у+

ние 2о леммы 1 о ее 'рациональности остается справедливым.

/ (х)

Доказательство теоремы 3. Пусть производящая функция ^(г) = ^ ——1 решения за-

ж^о гЖ+ <р(х)

дачи (1)-(2) для разностного уравнения рациональна и Ф(г) = ^ ——1 — производя-

ж> о гЖ+

ж^ т

щая функция начальных данных. В силу леммы (а точнее, замечания к ней) функция

^ (х)

Фт/(г) = -—[ рациональна (для 1 = (1,..., 1)), но тогда Ф(г) = ^(г) — Фт/(г) —

ж^ о г + рациональна.

Для доказательства достаточности воспользуемся теоремой 2, согласно которой для производящей функции ^(г) решения задачи (1)-(2) справедливо соотношение

Р(г)^(г) = £ £ Фт,/Рт(г),

/ те^

где Рт(г) — многочлены. Если производящая функция Ф(г) начальных данных рациональна, то в силу леммы будут рациональными и функции Фт,/(г). Таким образом, производящая функция ^(г) решения задачи (1)-(2) рациональна. □

Доказательство предложения 1 сразу следует из формулы (6).

Первый автор поддержан грантами президента РФ НШ-2427.2008.1 и РФФИ 08-0100844, второй автор поддержан грантом РФФИ и Государственного фонда естественных наук Китая (ГФЕН) в рамках совместного проекта "Комплексный анализ и его приложения" (проект N 08-01-92208_ГФЕН).

Список литературы

[1] Р.Стенли, Перечислительная комбинаторика, М., Мир, 1990.

[2] Е.К.Лейнартас, Кратные ряды Лорана и разностные уравнения, Сиб. мат. журн., 45(2004), №2, 387-393.

[3] Е.К.Лейнартас, Кратные ряды Лорана и фундаментальные решения линейных разностных уравнений, Сиб. мат. журн., 48(2007), №2, 335-340.

[4] M.Bousquet-Melou, M.Petkovsek, Linear recurrences with constant coefficients: the multivariate case, Discr. Math.., 225(2000), 51-75.

[5] L.Lipshits, D-finite power series, J. Algebra, 122(1989), 353-373.

[6] Е.К.Лейнартас, М.Пассаре, А.К.Цих, Многомерные версии теоремы Пуанкаре для разностных уравнений, Мат. сб., 199(2008), №10, 87-104.

[7] А.П.Ляпин, Последовательности Риордана и двумерные разностные уравнения, Журнал СФУ. Математика и физика, 2(2009), №2, 210-220.

[8] D.M.Bloom, Singles in a Sequence of Coin Tosses, The College Mathematics Journal, 29(1998), 307-344.

[9] М.В.Федорюк, Асимптотика. Интегралы и ряды., М., Наука, 1987.

On the Rationality of Multidimentional Recusive Series

Evgeny K.Leinartas Alexander P.Lyapin

In this paper we identify a class of solutions to multidimentional difference equation with rational generating function.

Keywords: difference equation, generating function.