Критерий асимптотической устойчивости многомерного разностного уравнения с постоянными коэффициентами Текст научной статьи по специальности «Математика»

Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics 2011, 4(1), 112—117

УДК 517.55

Критерий асимптотической устойчивости многомерного разностного уравнения с постоянными коэффициентами

Евгений К. Лейнартас*

Институт математики, Сибирский федеральный университет, Свободный, 79, Красноярск, 660041,

Россия

Получена 18.08.2010, окончательный вариант 25.09.2010, принята к печати 30.10.2010 В 'работе получено необходимое условие устойчивости однородной задачи Коши для многомерного 'разностного оператора и критерий ее асимптотической устойчивости в терминах, связанных с понятием амебы алгебраической гиперповерхности.

Ключевые слова: задача Коши, многомерный разностный оператор, амеба алгебраической гиперповерхности.

Обозначим через Sj оператор сдвига по j-й переменной: Sj f (x) = f (xi,..., xj +1,..., xn), и будем рассматривать полиномиальный разностный оператор с постоянными коэффициентами вида P(S) = caSa, где A — конечное подмножество Zn — n-мерной целочисленной

аел

решетки Sa = S^1 • • • . В многомерном случае вопрос о правильной постановке задачи Коши для разностного уравнения (f (x) — неизвестная функция целочисленных аргументов x = (xi,..., xn) £ Zn, g(x) — заданная)

P (S)f (x) = g(x) (1)

является нетривиальным. Он исследовался в работе [1], а в [2] описание множества Xq С Zn, на котором можно корректно задавать «начальные» данные

f (x)= фф^ £ Xq, (2)

дано в терминах, связанных с понятием многогранника Ньютона характеристического многочлена P(z) = caza. Кроме того, в [3] приведены формулы для решения через началь-

аел

ные данные ф^) и фундаментальное решение P(x) уравнения (1). В этой работе рассматривается простейший, в некотором смысле, случай, а именно: требуется, чтобы выполнялось следующее ограничение на разностный оператор P(S): существует m £ A такое, что для всех а £ A выполняются неравенства

a.j ^ mj, j = 1, 2, ..., n. (3)

Кратко систему неравенств (3) будем обозначать а ^ m.

Определение 1. Целочисленный вектор m, удовлетворяющий условию (3), назовем порядком разностного оператора P(S).

Условие (3) означает, что в характеристическом многочлене P(z) моном cmzm является "старшим" по каждой переменной zj. В качестве множества X, на котором будем искать решения уравнения (1), возьмем Z+ = {x £ Zn : xj ^ 0, j = 1,2, ...,n}, а множество

* lein@mail.ru © Siberian Federal University. All rights reserved

Хо, на котором будем задавать начальные данные (2), в этом случае выглядит следующим образом:

Х0 = {x е Zn : x > 0, но x ^ m},

где соотношение x ^ m означает, что хотя бы одно из неравенств системы x ^ m не выполняется.

Такой выбор множеств X и Хо гарантирует существование и единственность решения задачи (1)—(2). Нас интересует зависимость этого решения от начальных данных ^(x). В [3] показано, что всякое решение задачи (1)—(2) можно представить в виде суммы f (x) = u(x) + v(x), где u(x) — решение однородной задачи

P(v)u(x) = 0, x е Z+, (4)

u(x) = ^>(x), x е Хо, (5)

а v(x) — частное решение (не зависящее от ^>(x)) уравнения (1). Поэтому при исследовании зависимости от начальных данных (неоднородной) задачи (1)—(2) естественным представляется исследовать зависимость от начальных данных решений однородной задачи (4)—(5). Обозначим ||м||0 = sup |u(x)| и ||м|| = sup |u(x)|.

xEX0 xEZ+

Определение 2. Будем называть задачу (4) - (5) для разностного оператора P(J) устойчивой, если существует константа k > 0 такая, что для любых начальных данных таких, что ||у>||о < выполняется условие ||м|| ^ fc||y||o.

m

В одномерном случае имеем P(J) = caza, cm = 0, а критерии устойчивости и асимп-

а=0

тотической устойчивости в терминах корней характеристического уравнения P(z) = 0 формулируются следующим образом:

1. Разностный оператор P(J) устойчив тогда и только тогда, когда все корни Xj характеристического многочлена не превосходят по модулю единицу: |Xj | ^ 1, а если для некоторого j имеем |Xj | = 1, то Xj — простой корень.

2. Разностный оператор асимптотически устойчив тогда и только тогда, когда все корни Xj характеристического многочлена по модулю меньше единицы: |Xj | < 1.

В данной работе многомерный аналог условия "все корни характеристического многочлена по модулю меньше единицы" удается сформулировать в терминах теории амеб алгебраических множеств. А вот каким может быть аналог условия " |Xj | ^ 1 и, если для некоторого j имеем |Xj| = 1, то Xj — простой корень" — вопрос открытый.

Отметим, что если в задаче (1)—(2) фиксировать начальные данные и менять в правой части g(x), то возникает вопрос о том, как при этом меняется решение f (x). Соответствующие проблемы устойчивости уравнения (1) ставились и рассматривались в [4]. Для двух переменных проблема устойчивости цифрового рекурсивного фильтра решена в [5].

Многогранником Ньютона NP характеристического многочлена P(z) называется выпуклая оболочка в Rn элементов множества A.

Амебой многочлена P(z) или, эквивалентно, алгебраической гиперповерхности V = {z е Cn : P(z) = 0} называется образ V при логарифмическом проектировании

Log : (zb ...

) ^ (log |zi |,..., log | zn 1 ) .

Обозначается амеба через Ap или Ay. Отметим необходимые нам факты (см. [6]), касающиеся амеб:

1. Дополнение амебы М" \Ар состоит из конечного числа связных компонент {Еи}, каждая из которых открыта и выпукла, а ее прообраз Log-1(Ev) есть область сходимости соответствующего ряда Лорана для рациональной функции 1/Р(г):

1 Р(х)

P(z) ^ z

Коэффициенты данного разложения Pv (x) представляются интегралом

^ . . 1 ¡' zx dz

Pv (z) = '

(2ni)n У P(z) z '

где интегрирование ведется по n-мерному циклу rv = Log-1 £, а £ £ Ev. Отметим также, что функция Pv(x) целочисленных аргументов x = (xi,... , xn) является фундаментальным решением разностного оператора P(¿), т.е. для всех z £ Zn выполняется соотношение

P(¿)P(x) = ¿0(x), где ¿o(x) =

0, x = 0,

1, x = 0.

Действительно, имеем

Р™О = (2^/ * = _±_|.£ =

Г^ г^

2. Число компонент } дополнения амебы не меньше, чем число вершин многогранника Жр, так как всякой его вершине V соответствует непустая компонента Еи дополнения, причем двойственный конус к вершине V многогранника Жр

С„ = {х £ М" : (ж, V) = тах (ж, а)

аеМр

является асимптотическим для этой компоненты, т.е. для любой точки £ £ Еи справедливо включение £ + Си С Еи и никакой другой содержащий Си конус этому свойству не удовлетворяет.

3. Если V — вершина многогранника Ньютона Жр, то коэффициенты Ри(х) разложения

рациональной функции в ряд Лорана можно найти следующим образом:

р(г)

1 = 1 = 1 = 1 ^(р(г))к = ^ Р(V + в)

Р(z) Еа caz« cmzm(1 - P(z)) CmZm f=0 p '

где в £ Zn П Kv, а Kv — конус, построенный на векторах v — а, а £ A. Таким образом, для x, удовлетворяющих условию x / Kv, имеем Pv(ж) = 0.

Нетрудно видеть, что если m — порядок разностного уравнения, то m — вершина многогранника Ньютона Np характеристического многочлена Р(z).

Определение 3. Компоненту Em дополнения амебы Ap, соответствующую порядку разностного уравнения, назовем главной.

Теорема 1. Если задача (4)-(5) для 'разностного оператора Р(£) порядка m устойчива, то фундаментальное решение Pm(x) ограниченно, а замыкание главной компоненты Em дополнения амебы содержит начало координат: 0 £ Em.

x

Доказательство. Среди коэффициентов ca характеристического многочлена P(z) возьмем cao такой, что ca = 0 для всех а : |а| < |ао|. Отметим, что ао = m. Непосредственно проверяется, что функция u(x) = caoP(x) — ¿o(x — ао) является решением уравнения (4). Здесь ¿o(x) — символ Кронекера. Действительно, для всех x £ Z+ имеем

P(J)u(x) = caoP(£)P(x) — ^^ ca^o(x — ао + а) = cao — ^^ ca^o(x — ао + а) = 0.

а£Л |а|>|а0|

Поскольку Pm(x) = 0 для всех x £ Хо, то u(x) = 0 для всех x £ X, кроме точки x = ао, в которой и(ао) = —1. Поэтому ||м||о = 1, и из определения устойчивости имеем ||м|| = max{|cao |||Pm||, 1} ^ k. Отсюда очевидным образом получаем ограниченность фундаментального решения Pm(x). Из ограниченности следует, что область сходимости ряда Лорана Log-1 Em содержит множество {z £ Cn : |zj| > 1, j = 1, 2,..., n}. Из условия (3) и свойства 2 амебы тогда и R> = {s £ Rn : Sj > 0, j = 1, 2,..., n} С Em. Отсюда получаем

0 £ Em. □

Для n = 1 ограниченность фундаментального решения является и достаточным условием устойчивости. Для n > 1 это уже неверно. Пример 1. Рассмотрим уравнение

f (xi + 2,x2 + 1) — f (xi + 1,x2 + 1) — f (xi + 1,x2) + f (xi,x2) = 0.

В данном случае «старшим» мономом характеристического многочлена P(zi,Z2) = z2z2 — ziz2 — zi + 1 является моном z2^, а начальные данные задаются на множестве

Хо = {(xi,x2) : xi = 0} U {(xi,x2) : xi = 1} U {(xi,x2) : x2 = 0}.

Непосредственно проверяется, что функция f (xi,x2) = min{xi,x2 + 1}, (xi, x2) £ Z+, является решением данного уравнения. Эта функция неограниченна, а ее сужение на Хо ограниченно: ||f ||о ^ 1. Таким образом, в данном примере разностный оператор P(J) неустойчив. При этом фундаментальное решение P2,i(xi, x2) ограниченно. Действительно, разлагая

функцию —-1-т в ряд

P (zi,z2)

1 =_1_= ^ ^ 1

(zi — 1)(ziz2 — 1) = z2z2(1 — Zi)(1 — ^) = z2z2 ¿=0 zk1 ¿=Q zk2zk2, ( )

получим, что коэффициенты этого разложения

P = ( 1, если (xi,x2) £ K2,i, 2,i \ 0, если (xi,x2) £ K2,i,

где K2,i = {(xi,x2) £ Z+ : xi — x2 > 1,x2 > 1}.

Определение 4. Назовем функцию u(x) целочисленных аргументов x = (xi,... ,xn) £ X экспоненциальной относительно множества E С Rn, если для всех a £ E выполняется условие ||u(x)e^a'x^ | <

Определение 5. Будем называть задачу (4)-(5) асимптотически устойчивой, если она устойчива, и для любого ее решения u(x) такого, что ||u(x для любых

экспоненциальных относительно главной компоненты дополнения амебы Em начальных данных для соответствующего решения задачи, справедливо условие lim u(x) = 0.

x—

Сформулируем следующие условия:

(a) Задача (4) - (5) для разностного оператора Р(£) порядка т асимптотически устойчива.

(b) Главная компонента дополнения амебы характеристического многочлена Р(г) содержит начало координат: 0 £ Ет.

(c) Если Рт(х) — фундаментальное решение, соответствующее порядку т разностного оператора Р(£), то ряд Е |Рт(х)| сходится.

m V

х>0

Теорема 2. Пусть m — порядок разностного оператора P(ö), а Em и Pm — главная компонента амебы и фундаментальное решение, соответствующее этому порядку. Тогда условия a),b),c) эквивалентны.

Доказательство проведем по схеме a) ^ b) ^ c) ^ a).

Доказательство. a) ^ b). Согласно теореме 1 имеем 0 G Em = Em U dEm и, если 0 G dEm, то найдется точка Л G V такая, что u(x) = Лх — решение уравнения (4) и lim u(x) = 0 (так как |Л,-1 = 1, j = 1,... ,n). Таким образом, 0 G Em.

х—

b) ^ с). Условие 0 G Em означает, что точка (1,..., 1) является внутренней точкой множества Log-1 Em абсолютной сходимости ряда Y1 ^m( ), следовательно, ряд Y1 |Pm(x)| сходится.

c) ^ a). Докажем устойчивость. Воспользуемся формулой из [3], выражающей решение задачи (4)-(5) через начальные данные ф(х) и фундаментальное решение:

f (x) = Е ( ЕС«Ф(У + Pm(x - У).

У V a /

(х) = ^( >.саф(у + а)) Рт(х - у). (7)

У

Суммирование в данном выражении производится по целочисленным у, удовлетворяющим условиям

—т ^ у ^ х — т и у < 0.

Каждое из этих соотношений определяет конечное множество точек у, первое из них можно записать также в виде

т ^ х — у ^ х + т.

Оценим решение / (х):

I/(х)| < е(Е МНИ |Рт(х — у)1 < Е ММ|о Е |Рт(в + т)|.

У \ а / а О^в^х

По условию, найдется константа М > 0 такая, что Е |Рт(в + т)| ^ М, поэтому

в

1«Н < (м £ Icalj

Са^ ||и||0.

Таким образом, существует константа К = МЕ |са| такая, что для любого решения м(х)

а

уравнения (4) с ограниченными начальными данными ||м||о < ^ справедливо неравенство

N1 < К||и||о.

Докажем асимптотическую устойчивость. Пусть функция ^>(х) экспоненциальна отно-стительно главной компоненты Ет дополнения амебы. Из условия с) следует, что точка

Р (—)

I = (1,..., 1) является внутренней точкой области сходимости ряда ^ -, поэтому най-

х^0 хХ

дется г = такая, что ^1 < 1,^' = 1,...,п и этот ряд также сходится в этой

точке. Так как a = Log z £ Em, то в точке z абсолютно сходится также ряд ^

^(x)

силу экспоненциальности у>(ж) относительно Em. Воспользуемся формулой (7) и преобразуем ее:

xEXo z

f (x)

Ec«^(y+a)

V a J

Pm(x - y)

E I > CaZ

f^(y + ам Pm(x - y)

zy+a

zx-y

Выкладки для получения оценки модуля функции /— вполне аналогичны тем, что

гх

проделаны в первой части доказательства. Таким образом, найдется константа М > 0 такая, / (—)

^ М, или |/(—)| ^ М|гх|. Так как ^1 < 1, = 1,..., п, то отсюда следует, что

что

lim f (x) = 0. □

x—

Работа поддержана грантом РФФИ 08-01-00844 и грантом Президента РФ НШ-7347.2010.1.

в

x

x

z

z

Список литературы

[1] M.Bousquet-Melou, M.Petkovsek, Linear recurrences with constant coefficients: the multivariate case, Discrete Mathematics, 225(2000), №5, 51-75.

[2] Е.К.Лейнартас, Кратные ряды Лорана и разностные уравнения, Сиб. матем. журн., 45(2004), 387-393.

[3] Е.К.Лейнартас, Кратные ряды Лорана и фундаментальные решения линейных разностных уравнений, Сиб. матем. журн., 48(2007), 335—340

[4] А.К.Цих, Условия абсолютной сходимости ряда из коэффициентов Тейлора мероморф-ной функции двух переменных, Матем. сб., 182(1991), №11, 1588-1612.

[5] Д.Даджион, О.Мерсеро, Цифровая обработка многомерных сигналов, М., Мир, 1988.

[6] M.Forsberg, M.Passare, A.Tsikh, Laurent determinants and arrangements of hyperplane amoebas, Adv. in Math., 151(2000), 45-70.

The Criterion of Asymptotic Stability of a Multidimensional Differece Equation with the Constant Coefficiens

Evgeny K. Leinartas

It is obtained, the nessessary condition of the stability of a homogeneous Cauchy problem for a

multidimensional difference operator and the criterion of its asymptotic stability in terms connecting

with the ameoba of an algebraic hypersurface.

Keywords: Cauchy problem, multidimensional difference operator, ameoba of algebraic hypersurface.