CC BY
62
УДК517.55
Д. Е. Лейнартас
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ЦИФРОВЫХ РЕКУРСИВНЫХ ФИЛЬТРОВ
Приведены как необходимые, так и достаточные условия устойчивости цифрового рекурсивного фильтра в терминах, связанных с понятием амебы алгебраической поверхности. Получено достаточное условие устойчивости двумерного фильтра при некоторых дополнительных ограничениях на разностный оператор фильтра.
Ключевые слова: цифровой рекурсивный фильтр, амеба алгебраической гиперповерхности, устойчивость
фильтра.
Устойчивость цифрового рекурсивного фильтра и амеба алгебраической гиперповерхности. Пусть Z -множество целых чисел, Zn = Z х-- - х Z - n -мерная це-
Zn к,
+ -подмножествоэтойрешет-ки, состоящее из точек x = (xj, к, xn) с неотрицательными целыми координатами. Обозначим через 5. оператор сдвига на единицу по j-й переменной:
5jf (x) = f (x +1, к, xj +1, к, xn). Кроме того, пусть
5x = 5? -5^ . Обозначим P(5) = У ca5a и
■ ^ в аєA
Q(5) = у йГр5в - полиномиальные (т. е. A и B -конеч-
вє£
ные подмножества Z+ ) разностные операторы с постоянными коэффициентами. Цифровой рекурсивный фильтр определим как задачу Коши для разностного оператора P(5):
P(5) f (x) = Q(5)g(x), x є X с Zn, (1)
f (x) = ф(x), x є Xo с X, (2)
где ф(x) и g(x) - заданные соответственно на множестве X0 и множестве X функции - входные данные дискретной динамической системы (1)-(2); f (x) -искомый выходной сигнал.
Важным свойством фильтра является его устойчивость. Фильтр называется устойчивым, если он переводит ограниченный входной сигнал g(x) в ограниченный выходной сигнал f (x).
Многочлен P(z) = У ca za называется характеристи-
a
ческим для разностного уравнения (1).
Многогранником Ньютона Np характеристического многочлена p(z) называется выпуклая оболочка в Rn элементов множества A .
Амебой многочлена P(z), или, эквивалентно, алгебраической гиперповерхности V = {z є Cn : P(z) = 0} называется образ V при логарифмическом проектировании Log :(zl,..,zn) ^ (log | z I,к.,log | zn |). Обозначается амеба через Ap или AV . Отметим необходимые нам факты [1], касающиеся амеб.
1. Дополнение амебы Rn \ AP состоит из конечного числа связных компонент {Ev}, каждая из которых открыта и выпукла, а каждый ее прообраз Log-1(E ) есть область сходимости соответствующего ряда Лорана для
“А 1 V Pv (x)
рациональной функции--------= у v .
P( z) x z
Коэффициенты Pv (x) данного разложения можно
1 [ zx dz
представить в виде интеграла Pv (z) =---- I------------,
(2ni)n rJ P(z) z где интегрирование ведется по n-мерному циклу
Г = Log, а Ev .Функция Pv (x) целочисленных
аргументов x = (x1,..., xn) является фундаментальным решением разностного оператора P(5), т. е.
(0, x Ф 0,
P(8)Pv(x) = §о(x), гДе §о(x) = \
[1, x = 0.
2. Число компонент {Ev} дополнения амебы не меньше, чем число вершин многогранника NP , так как всякой его вершине v соответствует непустая компонента Ev дополнения Rn \ AP, причем двойственный конус к вершине v многогранника NP Cv = {x е Rn : (x,v> = max( x,a>
aeNp
является асимптотическим для этой компоненты, т. е. для любой точки ^ е Ev справедливо включение ^ + Cv с Ev, и никакой другой содержащий Cv конус этому свойству не удовлетворяет.
Если v - вершина многогранника Ньютона, то рациональная функция--------разлагается в области Log Ev
P( z)
в ряд Лорана вида
1
P( z)
Pv (в)
v+в
где
PєZл пКу , а Kv - конус, построенный на векторах у-а, а є A.
В данной работе будем рассматривать фильтры со следующими ограничениями на разностный оператор: если ^ - многогранник Ньютона характеристического
многочлена Р(z) = ^ саzа , то существует вершина
aєA
m є ^ такая, что m >а для всех а є ^ (*).
Здесь «векторное» неравенство m >а означает, что для всех компонент этих векторов справедливы неравенства ту. >ау.,у = 1,2, к, п . Целочисленный вектор m назовем порядком уравнения (1). Соответствующую вершине т многогранника Ньютона NP компоненту дополнения Rп \ Aр амебы назовем главной.
Уравнение (1) будем рассматривать на множестве X = Z+ , а в качестве множества Х0, на котором задаются начальные условия, возьмем Х0 = {х є Z+ : х— > т}, где соотношение х—> т означает, что хотя бы для одного у0 имеет место неравенство ху0 < ту0 .
В таком случае [1] задача (1)-(2) имеет единственное решение, причем [3] оно имеет вид /(х) = /0 (х) + / (х), где
Л(х) = + а)1 Pm (х - У^ (3)
у—>0ЧаєА у
fr (x)= Z(Q(5)g(y)) (x - y).
y >0
в
Здесь /0 (х) - «общее» решение однородного уравнения, а / (х) - частное решение неоднородного уравнения.
Теорема 1. Пусть цифровой рекурсивный фильтр (1)-(2) удовлетворяет условию (*), тогда:
1) если цифровой рекурсивный фильтр устойчив, то фундаментальное решение Pm разностного уравнения
(1), соответствующее главной компоненте Ет дополнения амебы, ограничено, а замыкание главной компоненты Ет дополнения амебы Aр содержит начало координат: 0 е Ет идЕ„ ;
2) если главная компонента Ет дополнения Rп \ Aр амебы содержит начало координат, 0 е Ет , то ряд из абсолютных величин значений фундаментального решения 2х>01 Pn (х) I сходится, а фильтр устойчив.
Доказательство. 1. В качестве входных данных задачи (1)-(2) возьмем ф = 0 , а g(у) выберем так, чтобы 0>(8)g(у) = §„(х). В этом случае решением задачи (1)-
(2) очевидным образом будет фундаментальное решение /(х) = Pm (х), так как входные данные задачи ограничены, а фильтр устойчив по условию, то и Pm (х) ограничено.
Из ограниченности фундаментального решения Pm (х) следует, что область сходимости Log_Ет ряда
п 2 ^т (х)
Лорана 2—х— содержит множество
х>0 2
{2 е С : | 21 | > 1,..., | 2п | > 1} ,т. е. главная компонента Ет дополнения амебы содержит множество R> ={х е Rn :х, >0, . , хп >0}.
Из условия т >а для всех ае А следует, что R> содержится в двойственном конусе Ст и, согласно свойству 2 амеб, имеем R> С Ет ,т.е. 0 е Ет ^дЕт ■
2. Множество Log_Е является областью сходимос-
ти
ряда Е
Pm (X)
(Е
1 Са 1)11 ф ||0 Е 1 Pm (Х - У)|-
ає А у—1> 0
(Е і
|ф
І0 Е (у) і .
у—>0
(5)
ния устойчивости фильтра в случае, когда 0 є дЕт , удобно преобразовать формулу (4) к виду
/г(х) = Её(УЖх - У), (6)
У
где функция Ь(х) удовлетворяет разностному уравнению Ес аЬ(х + а) = ЕЬз^о (х + в) и называется импульсным
а в
откликом фильтра [4]. Несложно проверить, что Ь(х) = Q(5)Pm (х), где Pm (х) - фундаментальное решение задачи Коши, соответствующее порядку т уравнения. Производящая функция импульсного отклика ^-преобразование функции целочисленного аргумента Ь(х)) 7""1/ Ч V ' Ь( х)
г (z) = Е х+ г называется передаточной функцией
xєZп Z
цифрового рекурсивного фильтра. Важным для приложений является случай, когда передаточная функция яв-
ляется рациональной функцией Г(z):
Q( z) Р( z),
где
. Условие 0 е Ет означает, что точка
х>0 2
(1,1) является внутренней точкой этого множества, поэтому числовой ряд 2 I Pm (х) I сходится.
х>0
Пусть начальные данные ф(х) и правая часть уравнения g(x) ограничены: 11 ф ||0 = таххех0 | Ф(х) |< +да , || g ||< +». Оценим соответствующее этим входным данным решение задачи Коши. Для зависящей от начальных данных части /0 (х) решения имеем
| Л(х)|= 2(2 |Са ^Ф(У +а)I)|Pт (х _ У)|^
у—>0 аеА
(Э(г) = 2 Ь2в и Р(г) = 2 ®а2а - многочлены. Если
веВ аеА
0(2) = 2 4+Т и Ф(2) = 2 /(х - преобразование
zn 2 zn 2
xеZ xеZ
входного и выходного сигналов соответственно, то из соотношений Ф(2 ) = ¥ (2)0 (2) следует, что
Р( 2 )Ф( 2)= Э( 2)0( 2).
Приведем необходимое и достаточное условие устойчивости фильтра в терминах, связанных со свойствами передаточной функции фильтра, в предположении, что начальные данные задачи фиксированы (ф = 0).
Предложение 1. Фильтр устойчив тогда и только тогда, когда сходится числовой ряд
2 | к(х)^ (7)
xеZn
образованный из модулей импульсного отклика к(х) (см., например, [4]).
Доказательство. Достаточность следует из формулы (6). Действительно,
I /г (х)1 -21 g (у) II к(х _ у)1 -I I g| I 21 к(х _ у) 1-1 I g| I 21 И(у')\ .
у >0 у у
Для доказательства необходимости фиксируем х е Z+ ив качестве входного сигнала gx (у) возьмем функцию
ёх (У) =
Кх - у)
для 0 - у - х,
Для «частного» решения / (х) получим
I / (х)| -2| g (у) I I Pm (х _ у) I - I g| I 2| Pm (у) I .
у >0 у >0
Таким образом, ограниченность решения /(х) = /0 (х) + / (х) доказана.
Таким образом, условие 0 е Ет обеспечивает устойчивость фильтра, а вот в случае, когда 0 е дЕт , ситуация следующая. Для некоторых разностных операторов Р(5) и Э(8) фильтр устойчив, а для других нет. Для исследова-
| к(х _ у)|
0, для остальных у,
где к означает число, комплексно сопряженное к к .
Тогда соответствующий этому входному сигналу gx выходной сигнал определится по формуле (6):
/г(х) = 2,к(х у),к(х_у) = 2|к(х_у)|= 2 |к(у)|.
у | к(х _ у)| у 0-у' -х
Но по условию I/ || < +<», т. е. частичные суммы
ряда 21 к(у) I ограничены, а ряд (7) сходится.
у
Достаточное условие устойчивости двумерного цифрового рекурсивного фильтра. Вопрос устойчивости двумерного цифрового рекурсивного фильтра исследован в [5]. Для того чтобы сформулировать основной результат
этой работы, касающийся сходимости ряда (7) из модулей коэффициентов передаточной функции, удобно сделать замену (2, —) ^ (—,—) и сформулировать задачу 2 —
об устойчивости цифрового рекурсивного фильтра как задачу о сходимости ряда из модулей коэффициентов Тейлора рациональной функции двух переменных. Обозначим передаточную функцию фильтра, полученную после указанной замены так же, как и до замены, т. е.
¥(2, —) = Э( ,—^, и отметим, что Р(0,0) Ф 0. Последнее
Р( 2, —)
условие есть следствие ограничения (*) на порядок т разностного уравнения. Пусть
¥ (2, — ) = 2 к( х, у) 2х—у (8)
х, у >0
разложение функции ¥ в ряд Тейлора и Dm - область сходимости этого ряда. Как известно (см., например, [6]), это полная 2-круговая область, она логарифмически вы-пуклаи LogDm = _Ет ,где Ет - главная компонента дополнения амебы характеристического множества разностного уравнения. __
Включение 0 е Ет эквивалентно включению I е Dm ,где
I = (1,1). Обозначим и2 = {(2, —) е О2 :| 21< 1,| —1< 1} -единичный бикруг и Т2 = {(2, —) е С2 :| 2 |=1,| —|=1} -остов этого бикруга. Поскольку Dm - полная область, то условие (1,1) е Dm эквивалентно условию и2 с Dm . Сточки зрения исследования устойчивости фильтра интерес представляет случай, когда множество нулей знаменателя
V = {(2, —): Р(2, —) = 0} не пересекается с бикругом и2, но V пТ2 Ф 0 .Обозначим Нх(и ) -классфункций,удовлетворяющих на и2 условию Гельдера с показателем X.
Задачу об устойчивости двумерного фильтра решает следующая теорема.
Теорема 2 [5]. Если функция ¥ = Э(2 —) принадле-
P( z, w)
а) = (а1, а2). Для каждой точки а. существует направление (р, д) е R + , для которого а. - ближайшая особая точка; порядок касания в точке а. обозначим М.:
Цj = ordaj(zPwq -apjiaqj2)v
Наряду с числовой характеристикой Ц j кривой V нам потребуется еще одна, определенная в [5], которая выражает порядок касания в aj кривой V с тором t2 (или порядок примыкания V к бикругу U2). Для ее определения мы можем считать (после замены (z, w) ^ (ze!<Pl, we^^^TO aj = (1,1). Рассмотрим неявную функцию и = Ф(у) , определяемую уравнением P(u, uev) = 0 со свойством Ф(0) = 1 (т. е. росток кривой
V в точке (1,1), записанный в координатах и = z , v = - ln(w / z)). Полагая, что 0 = Rev, определим искомый порядок касания V с T2 как 5j = ordo(i Ф(0) I -1). Скажем, для комплексной прямой z + w =2 в точке (1,1) имеем 5 = 2, а для кривых w-z2 + 3z-3 = 0 и w -1 + (z -1) - (z -1)2 + 3/5(z -1)3 величина 5 равна 3 и 6 соответственно.
Теорема 3. Если комплексная алгебраическая кривая
V = {P = 0} пересекает замкнутый единичный бикруг U2 в конечном числе точек aj е T2, причем с порядком 5 j =2, то для рациональной функции F(z, w) = Q(z, w) / P(z, w) следующие условия эквивалентны:
а) порядок нуля числителя Q в каждой точке aj не меньше трех: ordajQ > 3 (напомним, что порядок функции в точке - это наименьший порядок ее производных, отличных от нуля в этой точке);
б) ряд Тейлора с центром в нуле для F абсолютно сходится в U2;
в) функция F непрерывна в U2.
Замечание 1. В [5] показано, что всегда 5j > цj > 2, следовательно, в условиях теоремы 3 имеем 5j = цj =2 для всех точек aj. Именно благодаря этому условию свойства б и в эквивалентны. До публикации статьи [5] существовала гипотеза Ш. А. Даутова [7; 8] о том, что эти свойства эквивалентны в общей ситуации. Однако в [5] было доказано, что, вообще говоря, из непрерывности F в U2 еще не следует абсолютная сходимость ряда Тейлора в U2. Таким образом, теорема 3 выявляет рамки справедливости гипотезы Ш. А. Даутова, состоящие в равенствах 5j = цj = 2 в точках касания aj кривой V и тора T2.
Доказательство. a) ^ b). Воспользуемся утверждением предложения 2.1 работы [5], которое гласит, что каждая точка aj вносит свой аддитивный асимптотический вклад aj (k1,k2) в последовательность h(k1,k2) коэффициентов Тейлора функции F = Q / P . При этом в условиях 5 j = цj =2 имеет место оценка
жит классу н 2 (и2), то для нее ряд ¥ = 2х ,у>0| к(х у)| сходится, а при любом X <1 существует рациональная Х —2 2
функция класса Н (и ), для которой этот ряд расходится.
Этот результат представляет больше теоретический интерес, чем практический, ибо проверять свойство гель-деровости не так просто.
Приведем один простой признак устойчивости двумерного фильтра. В работе [5] были введены величины, оказывающие решающее влияние на асимптотику коэффициентов рациональных функций двух переменных:
М - порядок касания множества V и гиперболы
2р— _г = 0 в точке (20, —0) е V :
М :=огё(20,—0)(2р—? _ 2^—0)^; р -порядокнуля сужения числителя Э на множество V : Р := огёб V .
Например, для комплексной прямой 2 + — = 2 порядок касания М с гиперболой 2— = 1 равен 2, так как 2— _ 1^ = (2 _ 1)2, а для кривых — _ 22 + 32 _ 3 = 0 и 5— + 323 _ 822 +182 _ 18 = 0 для этой же гиперболы М = 3.
Пусть рациональная функция Э(2, —) / Р(2, —) голоморфна в бикруге и2 ={| 2 |<1,|—1<1}, а кривая
V = {(2, —): Р(2, —) = 0} пересекает остов
Т2 ={| 2 |=1, | —1=1} в конечном числе точек
1 aj (kP k2 ) |~
const- (k1 const- e C
- k2) 2 , если k1 > (pk2 - qk1)
1+k2) , если k1 <| pk2 -qk1 |2-x,
где Р. = о^а Р; X - любое положительное число; С >0-некоторое фиксированное число; вектор (р,д) -направление, для которого а. - ближайшая особая точка. Иными словами, вне параболы кх = | рк2 _ |2 последова-
тельность а. (к1, к2) экспоненциально убывает, а внутри убывает степенным образом. Заметим, что для области
D = {k1 > 1,k2 > 1,k1 > (pk2 - qk1 )2} при Py- > 3 имеем
jj(k1 + k2) 2 dk1dk2 - \\jr+-r22 .
D D (k1 + k2 )
После замены переменных k = S1, pk2 - qk1 = s2 последний интеграл мажорируется с точностью до некоторого множителя сходящимся интегралом
*А= ]= °|А.
2 J 2 J 2 J 3/2
O W CT W W CT
J1 1^11 1 J1
По интегральному признаку сравнения получаем, что
ряд ^ I aj (k1, k2) | сходится, следовательно, и полный ряд Z+
2 | h(k1, k2) | сходится. Тем самым импликация a) ^ b)
Z+
до+казана.
b) ^ с) . Эта импликация вытекает из теоремы Вей-ерштрасса о непрерывности суммы равномерно сходящегося степенного ряда и из признака Вейерштрасса о равномерной сходимости ряда, который мажорируется сходящимся числовым рядом.
c) ^ a). Предположим, что хотя бы один из порядков ordaQ - 2 . Без ограничения общности можно считать, что aj = (1,1). По определению числа 5 имеем
| Ф(0)|=1 + d02 + о(02), d Ф 0 (**).
Более того, поскольку | Ф(0) |> 1 при 0Ф 0, необходимо d >0.
Если Ф(0) = 1 + b10 + b202 + о(02), b1 Ф 0 , то рассмотрим семейство функций
фс (0) = 1 + b10 + (b2 + с)02 + о(02), с е R, для которого согласно (**) | фс(0) |= 1 + (с + d)02 + о(02).
Таким образом, при с < -d путь
Yс = (фс (0), Фс (0)e!0) лежит в бикруге U2 и касается V с порядком 2 (у фс и ф одинаковые линейные части 1 + b10 и различные квадратичные части). Таким образом, P |Y имеет порядок 2:
Q |Y = k(с)02 +—, где k(с) Фconst.
И если бы ord(1,1)Q был меньше 3, то сужение Q |ус имело бы вид k10/ + о(0/), l - 2, причем k1 не зависит от с. Поэтому при l - 2 функция F = Q / P неограничена на пути ус е U2 ,а при l = 2 пределы этой функции на ус различны при разных с . Противоречие с непрерывностью F .
Важнейшей характеристикой цифрового рекурсивного фильтра является импульсный отклик, характеризующий его устойчивость. В двумерном случае проблема устойчивости решена в работе А. К. Циха [5], где полученный результат сводит вопрос об определении устойчивости цифрового рекурсивного фильтра к свойству гёльдеровости передаточной функции фильтра, проверять которое не всегда просто. В данной работе получено два результата об устойчивости многомерных цифровых фильтров: приведено необходимое и (отдельно) достаточное условие устойчивости фильтра в терминах амеб алгебраических гиперповерхностей, а также дано простое достаточное условие устойчивости двумерного рекурсивного фильтра. Для формулировки этого условия используются числовые характеристики, отражающие геометрию пересечения характеристической кривой с единичным бикругом.
Библиографические ссылки
1. Forsberg M., Passare M., Tsikh A. Laurent determinants and arrangements of hyperplane amoebas // Adv. in Math. 2000. № 151. С. 45-70.
2. Bousquet-Mйlou M., Petkov^ek M. Linear recurrences with constant coefficients: the multivariate case // Discrete Mathematics. 2000. Vol. 225. P. 51-75.
3. Лейнартас Е. К. Кратные ряды Лорана и фундаментальные решения линейных разностных уравнений // Сиб. мат. журн. 2007. № 48. С. 335-340.
4. Даджион Д., Мерсеро О. Цифровая обработка многомерных сигналов. М.: Мир, 1988.
5. Цих А. К. Условия абсолютной сходимости ряда из коэффициентов Тейлора мероморфных функций двух переменных//Мат. сб. 1991.№11.С. 1588-1612.
6. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. М. : Наука, 1969.
7. Даутов Ш. А. Об абсолютной сходимости ряда из коэффициентов Тейлора рациональных функций двух переменных. Устойчивость двумерных цифровых рекурсивных фильтров // Докл. АН СССР. 1981.Т.257(6).С. 1302-1305.
8. Некоторые нерешенные вопросы многомерного комплексного анализа/ред. Е. М. Чирка/Ин-т физики СО АН СССР. Красноярск, 1987.
D. E. Leynartas
ON STABILITY OF DIGITAL RECURSIVE FILTERS
In this paper the author gives both necessary and sufficient stability conditions of digital recursive filter in the terms connected with concept of amoeba of algebraic hypersurface. Sufficient condition of stability of the two-dimensional filter is received at some additional restrictions on the differential operator of the filter.
Keywords: digital recursive filter, amoeba of algebraic hypersurface, stability offilter.
© fleuHapmac fl. E., 2011
