Равномерная сходимость проекционно-итерационного метода решения сингулярного интегрального уравнения i рода Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 51

Л. Э. Хайруллина, Ф. А. Галимянов, Г. З. Хабибуллина РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ ПРОЕКЦИОННО-ИТЕРАЦИОННОГО МЕТОДА РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ I РОДА

Ключевые слова: сингулярное интегральное уравнение, корректность, проекционно-итерационный метод.

В работе решается сингулярное интегральное уравнения I рода с ядром Коши. Основная трудность при решении сингулярных интегральных уравнений Iрода связана с некорректностью задачи их решения на многих парах функциональных пространств, в том числе, и в пространстве непрерывных функций. В данной работе используются подход, основанный на установлении корректной постановки задачи решения уравнения путем подбора пространств правых частей и искомых элементов, являющихся сужением пространства непрерывных функций.

Keywords: singular integral equation, correctness, projection-iterative method.

We solve singular integral equations of type I with Cauchy kernel. The main difficulty in solving singular integral equations of type I is associated with ill-posed problems of their decisions on many pairs of function spaces, including and in the space of continuous functions. In this paper we use an approach based on the establishment of a correct statement of the problem solution of the equation by choosing the right parts of the spaces and the required elements that are narrowing the space of continuous functions.

Введение

В прикладных задачах встречается сингулярное интегральное уравнение (с.и.у.) первого рода

ÄsIГ 1-г*) 1 Г М

nJ,V 1 + TT-1 7TJ\ 1 + T

И < 1

■h(t,T) x(r)dr = f (t),

(1)

где Н(г, т), ) - известные непрерывные функции, х(т) - искомая функция, а сингулярный интеграл понимается в смысле главного значения по Коши.

Задача решения уравнения (1) является некорректно поставленной во многих парах функциональных пространств, в том числе, и в пространстве непрерывных функций. В данной работе используется методика выбора пары пространств искомых элементов и правых частей на основе сужения пространств непрерывных функций, в которых рассматриваемая задача является корректной и позволяет далее теоретически обосновать различные прямые методы и получить равномерные оценки погрешности приближенного решения [1].

Корректная постановка задачи

Следуя [2], введем пары весовых пространств искомых элементов и правых частей. Пусть Хр -пространство непрерывных на [-1, 1] функций х(г), для которых сингулярный интеграл ,УГТ7/ (р х; г) является непрерывной на (-1; 1]

функцией, допускающей непрерывное продолжение в точку г = -1, где

1 f

I px = I (px; t) = — I n

p(0 x (O

d г

г - t

p = p (x ) =

- г

В качестве^

+ г возьмем

пространство

Vi — tI(qf;t) является непрерывной на [-1; 1) функцией, допускающей непрерывное продолжение

в точку t = ^ где q = q (t) =

p( t)

Нормы в этих пространствах определим соответственно следующим образом:

JT—

tx

+

с

x е X

+ tI(px; t)

1 + tf\

1 — tI (qf; t)

f е Y

J q

Тогда с.и.у. (1) эквивалентно операторному уравнению

Kx = Sx + Vx = f (x е X p, f е Yq), (2) где от^торы s : X p ^ Yq, V : X p ^ Yq определяются по формулам

Sx =

n

— г x (г) + г г — t

d г

Vx = l-n

Лемма

1 - г

1 + г

h(t,r)x(x)dr .

1. Сингулярный оператор S : x ^ Y непрерывно обратим и справедливы

равенства

INIYq - !• I|SII ,, . x ,=

Доказательство. Рассмотрим

характеристическое уравнение Sx = f. Известно [3], что оператор s : x ^ Y обратим, причем

S- Ч f; t) --1 ( qf; t). Используя оценки норм во введенных пространствах, получим

\\Sx\\q -|\I(px)||Yq -||VTT71(px)|c + ||JT-h(q(Ipx))|c =

непрерывных на [-1, 1] функций ft) таких, что

x

p

р

Y

Vi + tl(рx)

ixp "I"

^ N-ч/i - tx\\ = x

Л-!X|c +1 VT+tz (px )|c

■Jl-T ( - z ( qf )) Из получившихся

IIs L p. ^ =T'

C

JT

+ t

соотношении

Iis- T||

C

следует. = i •

что

Из теории Рисса-Шаудера для уравнений, приводящихся к уравнениям второго рода, и в силу леммы 1 следует

Теорема 1. Пусть V : X ^ Y вполне

p q

непрерывный оператор и однородная задача, соответствующая (1), имеет лишь тривиальное решение. Тогда оператор к = S + V : X ^ Y

непрерывно обратим.

Общий проекционный метод. Обозначим через Нп - множество всех алгебраических многочленов степени не выше n. Приближенное решение xn(t) с.и.у. (1) будем определять как точное решение операторного уравнения

Knxn - PnKXn = SXn + PnVXn = Pnf, с X p , Pnf e H n с Yq ), где Pn некоторый линейный оператор,

отображающий Yq в подпространство Нп.

Справедлива следующая теорема [2]. Теорема 2. Пусть выполнены условия:

а) с.и.у. (1) однозначно разрешимо в пространстве ХР при любой правой части f(t) из Yq;

б) ядро h(t; т) таково, что оператор v : X ^ Y

вполне непрерывен;

в) операторы P^ = Pn и Pn ^ E сильно в Yq, где Е: Yq^Yq - единичный оператор.

Тогда, начиная с некоторого n e N, аппроксимирующие уравнения также однозначно разрешимы и приближенные решения X n = K-1 P f сходятся к точному X * = K -1 f со скоростью

(x, е H P,

о {||f - p f II + IIa - p^II }

.J Il7q || n ||7q 0 C)

где Pnt означает, что оператор Pn применен к h(t, т)

по переменной t.

Проекционно-итерационный метод.

Пусть уравнение (1) решается проекционным методом, который может быть записан в виде операторого уравнения (2), эквивалентного некоторой системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Если n велико, то решение уравнения может вызвать значительные трудности. Поэтому будем решать ее итерационным методом Xk + ' = S -1 Pnf - S -1 PnVXkn , k = 0,1,._ (3) где X n0 - произвольное начальное приближение, Pn -линейный проекционный оператор. Здесь элементы

£ "1Р / е Н , £ -1Р Ухк е Я , V п е Ж ,

И -у п п п п

к = 0,1,.. Причем £ -1 Рп/ и £ -1 РпУхкп

вычисляются проще, чем £ -1 ^ и £ - 1Ухп .

Теорема 3. Пусть уравнение (1) однозначно разрешимо и оператор р • у ^ у такой, что

п ' д п

а)|1 Г - Рп/\\н„ ^ 0,п ^ ,

V - РпУ\\н _у ^ 0 , п ^ » ;

б)р, - ||р,г|

< i •

Тогда интерполяционный процесс (3) сходится равномерно к единственному решению х * (t) уравнения (1) в том смысле, что

lim lim хкп (t) = lim х* (t) = х*,

и^вд П-^вд и^вд

и существует оптимальный номер итерации П = П0 такой, что

1 - t (x * - xkn )||C < ||л/Т^7(x * - x

||VT-7 (x* - xkn <|| VT7 (x* - x* |C +|VT7 (x* - x lim xk0 (t) = x* ,

О „ k +1 ^ 2 p

при этом

1 - t (x* -

-\\Pnf\

11с 1 -р п"""»^

Доказательство. Из [1] следует, что в условиях данной теоремы итерационная последовательность (3) сходится к точному решению уравнения (2) со скоростью

||V1 - t (x

llC 1 - p, k = 1,2,...,

x - x,

1 0 xn - xn

■IIP, f IL

11с 1 - р к = 1,2,... Оценка погрешности проекционного метода получена в теореме 2. Следовательно,

1 -1 (x* - xk) C < 1(x* - x*) C + VI-1(x* - xkk

{\f - f +S f }+ 1 I Pf II

K

1 - 8„ (4)

где е = \\К -41 \\У - Р V Н .

п у ^ X II п Нн„ ^ у.

«" «" 1 ц ^ л. р п д

Обозначим через ко целую

неотрицательную часть решения относительно к уравнения

к-111

1 - е.

{- Pf IL

+ е„

Ч _ k+1

} = 1 Pf IL

Отсюда и из оценки (4) следует

утверждение теоремы.

k

k + 1

Возможно развитие численных расчетов в осредненных моделях с осредненными физическими параметрами при решении систем элептических и параболических уравнений [4].

Литература

1. Б. Г. Габдулхаев, Прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений I рода. Изд-во Казан. ун-та, Казань, 1994. 285 с.

2. Л. Э. Хайруллина Дисс. канд.физ.-мат. наук., Равномерная сходимость приближенных решений сингулярного интегрального уравнения первого рода с ядром Коши КФУ, Казань, 2011. 103 с.

3. Ф. Д. Гахов, Краевые задачи. Наука, Москва, 1977. 638 с.

4. С. П. Плохотников, О. И. Богомолова, Д. С. Плохотников, В. С. Богомолов, Е. Н. Белова, М. В. Харина, Д. Д. Низаев, Вестник Казанского технологического университета, 16, 21, 287-289, (2013)

© Л. Э. Хайруллина - доц. каф. информационных систем, К(П)ФУ, [email protected]; Ф. А. Галимянов - асс. каф. информатики и прикладной математики, факультет дизайна и программной инженерии КНИТУ, [email protected]; Г. З. Хабибуллина - доц. каф. теории и методики обучения физике и информатике, К(П)ФУ, [email protected].

© L. E. Hajrullina, associate Professor of Information Systems, Kazan (Volga) Federal University, [email protected];

F. A. Galimyanov, assistant, Department of Computer Science and Applied Mathematics, KNRTU, [email protected];

G. Z. Habibullina, assistant professor of theory and methods of teaching physics and computer science, Kazan (Volga) Federal University, [email protected].