Применение вейвлетов для решения сингулярного интегрального уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 51

Л. Э. Хайруллина, Ф. А. Галимянов, Г. З. Хабибуллина ПРИМЕНЕНИЕ ВЕЙВЛЕТОВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

Ключевые слова: сингулярное интегральное уравнение, вейвлеты Хаара, метод вейвлет-коллокации.

На сегодняшний день вейвлеты зарекомендовали себя как достаточно эффективный инструмент в задачах приближения функций. В статье рассматривается один из подходов решения сингулярного интегрального уравнения первого рода с ядром Коши, основанный на представлении искомой функции в виде ряда по вейвлетам Хаара. Приближение функций вейвлет-рядом проверено с помощью пакета Wolfram Mathematica. Проведенные в пакете расчеты показали, что с увеличением числа слоев скорость сходимости приближенного решения уравнения к точному увеличивается.

Keywords: singular integral equation , Haar wavelets, wavelet collocation method.

Today wavelets have established themselves as a very efficient tool in problems of approximation of functions . The article deals with one of the approaches for solving the singular integral equations of the first kind with the Cauchy kernel, based on the representation of the desired function in a series in the Haar wavelet. Approaching next wavelet functions checked using Wolfram Mathematica package . Conducted in the package calculations showed that an increase in the number of layers of the rate of convergence of the approximate solutions to the exact solution of the equation increases.

Введение

Рассмотрим сингулярное интегральное уравнение первого рода с ядром Коши:

11Р(Т) x(T) dx + - 1 p(x)h(t, х) x(x)dx = f (t), л -, х-1 л -,

(1)

где h(t, х), f (t) - известные интегрируемые

функции в своих областях определения, р(х) -

весовая функция, х(х) - искомая функция, а

сингулярный интеграл понимается в смысле главного значения по Лебегу.

Уравнение (1) находит широкое применение во многих областях науки и техники. Теория таких уравнений достаточно хорошо разработана [1]. Из нее следует, что найти точное решение уравнения (1) в замкнутой форме удается лишь в отдельных случаях. Поэтому разработаны приближенные методы его решения, такие как метод коллокаций, Галеркина, механических квадратур и другие, в которых применяются классические ортогональные системы функций.

В конце прошлого столетия появился новый класс базисных функций - вейвлеты (от англ. wavelet -всплеск, маленькая волна).

Определение и основные свойства вейвлета. Будем называть функцию у(t): L2 ^ L2 вейвлетом,

если выполнены следующие свойства: 1. функция интегрируема по Лебегу и

J y(t)dt = 0,

2. ) быстро уменьшается при ? ^ +со,

3. норма ) должна быть конечной

(t)|| = JJV2(t)dt <+»

V -да

Все семейство базисных функций

ш 1 I * - a

получается из одной функции у(?), называемой

материнским вейвлетом, посредством ее сдвигов во времени (Ь) и растяжений (масштабирования) по оси времени (а). Множитель 1 гарантирует

4а

независимость нормы данных функций от изменений временного масштаба [2].

Вейвлет-преобразованием сигнала называется его представление в виде обобщенного ряда или интеграла Фурье по системе базисных функций ^аЬ.

На практике часто применяется быстрое или диадное вейвлет-преобразование, суть которого заключается в дискретизации параметров а и Ь степенями двойки:

а = 2т;Ь = к • 2т, где т и к - целые числа. С учетом этих соотношений

1 mk

1

\/гЛ к• 2тJ Л[2т'

Параметр т называют параметром масштаба, к -величиной сдвига. При увеличении параметра т на 1 масштаб увеличивается и вейвлеты растягиваются вдвое. Для различных значений т ширина ^тк (?)

различна и выбор Ь = к • 2т гарантирует, что растянутые вейвлеты на уровне т «покроют» всю ось времени.

Функция ф(?) е Ь2 называется масштабирующей, если она удовлетворяет уравнению

ф(1) = л/2Xккф(21+ к), Ьк - некоторые коэффициенты,

t - 2"

1

(2-mt - k).

и имеет единичное значение интеграла

+со

J ф(?)dt

= 1.

Масштабирующие функции присущи далеко не всем интегралам, а только тем, которые относятся к ортогональным.

Простейшим примером ортогонального вейвлета является вейвлет Хаара, определяемый соотношением

X 0<г< 1/2,

(2)

у© = <{-1, 1/2<г< 1, v у

0, г < 0, г > 1.

Вейвлет-функция у (г) определяет детали

сигнала, масштабирующая функция г) определяет

грубое приближение. Любую функцию / из Ь2 можно представить в виде совокупности последовательных приближений грубой и детализирующей составляющих. Согласно концепции

кратномасштабного анализа [3]

1 0) = У атк фтк 0)"

УУ а]к у ]к ф.

к !=1 к Метод вейвлет-коллокации. Приведем известную вычислительную схему метода вейвлет-коллокации [3, 4]. Зафиксируем некоторое натуральное значение п0. Разобьем отрезок [-1, 1] точками А = г0 < г1 <... < гн = В с шагом

к = — = — = 21-п0.

N 2"°

В качестве материнского вейвлета у (г) выберем

вейвлет Хаара (2) и соответствующую масштабирующую функцию

X 0 < г < 1, Ф(г) = <

[0, г < 0 или г > 1.

Семейства базисных вейвлетов ^ тк (г) и соответствующих масштабирующих функций фтк (г)

определим таким образом, чтобы вейвлеты при минимальном значении масштаба да = 0 по длине носителя занимали отрезок А = [гк, гк+1 ],

к = 0, N -1: * тк (г) =

Фтк (г) =

4т 1

4т

У ^ 2-' ф{ 2

, г +1

к г +1 к

- к

- к

(3)

т = 0,п0, к = 0,2"-

-1.

Определим текущее значение масштаба т, равным некоторому фиксированному значению М (0 < М < п0) и будем искать приближенное решение сингулярного интегрального уравнения (1) в виде

2"0-М -1 М 2"0 -j -1

х*(г) = У кФмк(г) + У У djл Уjк(г) (4)

к=0 j=1 к=0

Подставляя соотношение (4) в уравнение (1), получим:

2"0-М-1 !гр(т)Фм,к (т)

12 0^ -1 1[р(т)фмк

- У *м л I[——

" к=0 _1 т - г

+р(т)к(г, т)фм к (т)^ т +

(5)

1м d ^рМ!!) +-У У djк I[ т \ +

- j=l к=0 - т - г

+р(т)к(г, т)у п (т)]d т« / (г).

Поскольку базисный вейвлет ^ (г) и масштабирующая функция фтк (г) при фиксированных т, к отличны от нуля на отрезке [-1 + к • 2тк,-1 + к • 2т (к + 1)], то (5) можно

записать в виде:

!2"У-1 —т(к+1)[ р(т)Фм,к (т)

У 5М ,к | [ - .

" к=0 -1+к^т к т г

+р(т)к(г, т)фм к (т)]dт +

+

+

1м ^-1 d 1+к2т(к+1)[р(т)у]к(т) "У У ! } [---

" 1 =1 к=0 -1 + кЛ 1 1

+

+р(т) к(г, т)у 1,к (т)^ т« / (г). Неизвестные коэффициенты 5М к (к = 0,2"л-м -1),

dj к (1 = 1,М, к = 0,2"0-1 -1) будем искать из

условия равенства нулю невязки в узлах коллокации г, где Т. - середины отрезков А,. = [г,., г1+1]

(, = 0,N -1). Получим итоговую систему линейных алгебраических уравнений

^ (т)фМ (т)

^ -1 _

" У 5М,к I [тт ТТ -1

" к=0 -ШЛ т г,

+р(т) к( ?, т)Фм ,к (т)]d т +

1 у 2"У-1 d -^2т (к+1)[ р(т)у ,к (т)

+-У У d,.k I Г -

(6)

j=1 к=0

-1+к2тк

т- г,.

+р(т)к(г, т)уЛк (тЖт = /(г), , = 0, N -1.

Численный эксперимент. Пусть правая часть

уравнения (1) имеет вид

/ (г) = -

2г - 1п 1 + г

(г2 + 4)

1 - г

функция к(г, т) = 0, весовая функция р(т) = 1. Уравнение (1) примет вид

d т =

— - т - г

2г - 1п

1 + г

1 - г

(г2 + 4)

г| < 1. (7)

Точное решение (7) при этом есть х(г) = г2 + 4.

Поиск приближенного решения по приведенной выше вычислительной схеме был осуществлен в пакете МаШешайса.

Пусть п0 = 3, М = 2. Решение уравнения (7) по схеме метода коллокаций (6) будет иметь вид: х* (г) = 4,186ф(г) + 4,186ф(г +1) - 0,261у (г) + +0,261у (г) + 0,195у (2(г +1)) --0,195у (2г -1) - 0,065у (2г) + +0,065у (2г +1).

Норма абсолютной погрешности:

||х(г) - х*(г)||1 = 0,0569.

Таблица 1

Рис. 1 - Графики x*(i) и точного решения уравнения (7), n0 = 3, М = 2

Рис. 2 - Графики x*(i) и точного решения уравнения (7), n0 = 4, М = 3

Рис. 3 - Графики и точного решения

уравнения (7), п0 = 5, М = 3

В табл. 1 приведены некоторые результаты численного эксперимента при различных значениях входных параметров М и п0.

n0 М И) - x*(t ^

2 2 0,3224

3 2 0,0569

4 3 0,0113

5 3 0,0025

Метод вельветов также может применятся для определения параметров концентрации вещества в межнейронном пространстве биологических нейронов [5]. Вещество, которое со временем деградирует, аналогично затухающему сигналу в дали от начала координат.

Литература

1. Бойков, И.В. Приближенные методы решения сингулярных интегральных уравнений. Изд-во Пенз. гос. ун-та, Пенза, 2004. 316 с.

2. В.А. Тихонов, А.М. Голиков, Вейвлеты и вейвлет -преобразования, Перспективы развития информационных технологий. 24, 36-41,(2015).

3. Е.С. Тарасова, Д.В. Тарасов, Метод вейвлет-коллокаций решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода, Вестник Пензенского государственного университета. 7, 3, 64-69, (2014).

4. Зелина, Я.В. Применение теории всплесков для решения гиперсингулярных интегральных уравнений, Аналитические и численные методы моделирования естественно-научных и социальных проблем. сб. ст. IX Междунар. науч.-техн. конф. (Россия, г. Пенза, 28-31 октяб- ря 2014 г.) / под ред. И. В. Бойкова. - Пенза : Изд-во ПГУ, 2014. - С. 107 - 111.

5. Ф. А. Галимянов, Ф. М. Гафаров, Н. А. Емельянова, Использование среды Microsoft Visual Studio и языка программирования С++ для моделирования динамики образования нейронной сети. Вестник технологического университета, 18, 17, 197-203(2015).

© Л. Э. Хайруллина - доцент кафедры информационных систем, Казанский (Приволжский) федеральный университет, [email protected]; Ф. А. Галимянов, ассистент каф. информатики и прикладной математики, факультет дизайна и программной инженерии КНИТУ, [email protected]; Г. З. Хабибуллина, доцент каф. теории и методики обучения физике и информатике, Казанский (Приволжский) федеральный университет, [email protected].

© L. E. Hajrullina - associate Professor of Information Systems, Kazan (Volga) Federal University, [email protected]; F. A. Galimyanov, assistant, Department of Computer Science and Applied Mathematics, Faculty of Design and Software Engineering, KNRTU, [email protected]; G. Z. Habibullina, associate Professor of theory and methods of teaching physics and computer science, Kazan (Volga) Federal University, [email protected].