Метод вейвлет-коллокаций решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода Текст научной статьи по специальности «Математика»

АКТУАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ

УДК 519.64

Е. С. Тарасова, Д. В. Тарасов

МЕТОД ВЕЙВЛЕТ-КОЛЛОКАЦИЙ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА ВТОРОГО РОДА

Аннотация. Статья посвящена применению метода вейвлет-коллокации к численному решению интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Приведены результаты численного эксперимента решения интегральных уравнений Фредгольма с использованием метода вейвлет-коллокаций с материнским вейвлетом Хаара.

Ключевые слова: метод вейвлет-коллокаций, интегральное уравнение, вейвлет Хаара.

Введение

Такие численные методы, как метод коллокаций (совпадения) или метод Галерки-на, можно по праву считать классическими численными методами решения интегральных уравнений [1]. Однако наряду с классическими ортогональными системами функций, которые традиционно применяются в этих методах, можно отметить вейвлетсистемы. Использование в качестве базисных функций вейвлетов приводит к тому, что аппроксимирующая матрица СЛАУ получается псевдоразреженной, т.е., не имея ни одного нулевого элемента, хорошо аппроксимируется по норме разреженными матрицами [2, 3]. Таким образом, использование вейвлет-функций в методах численного решения интегральных уравнений можно считать заслуживающей внимания задачей. Помимо этого стоит отметить, что подобный подход позволит иначе взглянуть на решение и обоснование особого типа уравнений - сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений [4-7].

Цель данной работы заключается в построении вычислительной схемы, проведении численного эксперимента по применению вейвлетов (вейвлет Хаара) в качестве базисных функций и решении методом коллокаций интегрального уравнения Фредгольма второго рода:

в

x(t)-Xj K(t,x)x(x)dx = f(t), te (A, B). (1)

A

Основные понятия и определения вейвлет-преобразования

Вейвлеты (от англ. wavelet - всплеск, маленькая волна) - это семейства базисных функций, которые локальны во времени и по частоте. Все семейство этих базисных функций

Vab =-Г V

Va

t - a ~b~

(2)

64

Актуальные вопросы естествознания

получается из одной функции y(t), называемой материнским вейвлетом, посредством ее сдвигов во времени (b) и растяжений (масштабирования) по оси времени (a). Множитель гарантирует независимость нормы данных функций от масштабирующего па-ыа

раметра a.

Вейвлет-преобразование сигнала (некоторой функции) - это представление его в виде обобщенного ряда или интеграла Фурье по системе базисных функций ¥ab.

В данной работе решение интегрального уравнения осуществляется численно, т.е. проводится его некоторая дискретизация, поэтому нас будет интересовать только дискретное вейвлет-преобразование. Кроме того, это требует и меньших вычислительных затрат. Дискретизацию удобнее выполнять через степени двойки [8, 9], а именно:

а = 2m, b = k • 2m, m, k e Z. С учетом этого соотношение (2) примет вид

¥mk

(3)

где m называют параметром масштаба; к - величиной сдвига.

Таким образом, прямое и обратное диадные вейвлет-преобразования непрерывной функции f (t) примут соответственно вид

Cmk = < f (t), ¥mk (t) >= { f (t)¥mk (t)dt, (4)

f (t) = Z Cmk¥mk(tX (5)

m,k

здесь <•, •> - знак скалярного произведения в пространстве L2( R).

Замечание. Следует отметить, что это еще не дискретное преобразование, поскольку функция f(t) непрерывна. Кроме того, формулы для вейвлетпреобразования дискретных сигналов не могут быть получены простой дискретизацией формул диадного вейвлет-преобразования для непрерывного сигнала.

Для преодоления указанных трудностей, как правило, переходят к крупномасштабному анализу, суть которого состоит в том, что при исследовании функций f (t) (изначально сигналов, например акустических или сейсмических) удобно их представление в виде суммы аппроксимирующей (грубой) Am (t) и детализирующей (уточненной) Dm (t) компонент

f (t) = Am (t) + Z Dj (t) j =1

с дальнейшей их детализацией итерационным методом.

Пусть имеется непрерывная функция (сигнал) f (t) e V0 . Дискретный сигнал интерпретируем как последовательность коэффициентов ak, полученную при масштабирующих функциях 90k (t) (называемых также отцовскими вейвлетами):

f (t) = Ao(t) = Z aok 9ok(t X

k

где a0k = ak (t) = < f (t), 90k (t) > - коэффициенты аппроксимации на уровне m = о.

65

Вестник Пензенского государственного университета № 3 (7), 2014

Замечание. Масштабирующая функция ф(£), в отличие от материнского

вейвлета y(t), должна иметь единичную площадь j ф(^)dt = 1. Кроме того, система

функций фтк (t) так же, как уmk (t), образует полную ортонормированную систему.

Согласно теории крупномасштабного анализа функция f (t) раскладывается на две компоненты, принадлежащие подпространствам V1 и W1, причем V0 = V1 ® W1:

f (t) = A(t) + D1(t) = X a1k ф1к (t) + X d1k ¥ 1k (t),

k k

где новые последовательности a^ и dk имеют половинную длину по сравнению с a0k. Далее процесс декомпозиции может быть продолжен по Ax(t) (подпространства V2 и W2, где V1 = V2 ©W2). На уровне декомпозиции m функции f (t) получим соответственно

m

f (t) = Am (t) + Dm (t) +... + D1(t) = X amkФmk (t) + XXdjk¥jk (t). (6)

k j=1 k

Таким образом, при минимальном значении масштаба m = 0 за аппроксимирующие коэффициенты a0k принимается сама дискретная последовательность своих значений fi (i = 0,1,..., N -1) функции f (t), т.е. a0i = f (i = 0,1,..., N -1). Максимальное значение масштаба m равно n0 и определяется числом отсчетов сигнала (число отсчетов равно N = 2П0). Величина k для текущего m изменяется в диапазоне от нуля до 2n°-m -1.

Вычислительная схема

Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма второго рода (1) и зафиксируем некоторое натуральное значение n0. Для отрезка [A, B] осуществим разбиение

A = t0 < t1 <... < tN = B с постоянным шагом h = (B - A)/N , где N = 2n°.

В качестве материнского вейвлета ¥(t) выберем вейвлет Хаара и соответствующую масштабирующую функцию ф^):

1,

¥(t)

= 1-1,

[a

0 < t < 1/2, 1/2 < t < 1, t < 0 или t > 1,

ф^)

1, 0 < t < 1,

0, t < 0 или t > 1.

Семейство базисных вейвлетов ¥mk (t) и соответствующих масштабирующих функций фmk (t) определим таким образом, чтобы вейвлеты при минимальном значении масштаба m = 0 по длине носителя занимали отрезок Ak = [tk, tk+1 ] (k = 0,1,..., N -1) (рис. 1):

где m = 0,1,..., нуля до 2П° - m

¥mk =

¥

(t - a)

Л

h

- k

, фmk

ф

,-m (t - a)

h

- k

(7)

n0, а значение параметра k для текущего m изменяется в диапазоне от -1.

1

66

Актуальные вопросы естествознания

После того как система ортогональных функций ymk (t) и qmk (t) построена, определим текущее значение масштаба m равным некоторому фиксированному значению M (о < M <= "о) и будем искать решение уравнения (l) в виде

2"о-m _1 M 2"о -j -l

x’(t)= X aMk фMk (t) +XX dkvjk(t)-

k=0 j=1 k=0

(8)

Рис. l. Вейвлеты tymk (t) при минимальном значении масштаба m = о

Подставляя соотношение (8) в уравнение (l), имеем:

2"о _ m-1

X aMk

k=о

фMk (t) -X j K (t, x)Фмk (x)dx

M 2По j-1

-X X djk

j=1 k=о

Vjk (t)-X J K (t, xJ (x)dx

=f (t). (9)

Базисный вейвлет vmk (t), построенный согласно соотношению (7) (и аналогично масштабирующая функция ф^ (t)), при фиксированных m, k отличен от нуля на отрезке

A + h • 2mk, A + h • 2m(k +1) , m = о, 1,..., "о, k = о, 1,..., 2n°-m -1, что также упрощает соотношение (9).

Далее определим точки коллокации t{ как середины отрезков Дг- = [tz-, t{+1] (i = о, 1,..., N -1) и получим итоговую аппроксимирующую СЛАУ:

2"о -M - 1

X aMk

k=о

A+h2M (k+1)

Ф Mk (ti)-X j K (ti, х)ф Mk (x)d X

A + h2Mk

M 2"° j -1

+ X X djk

j=1 k=о

A + h2j (k+1)

Vjk (ti) -X j K (ti, x)Vjk (x)d х

A+h2}k

= f (ti), i = о, 1,..., N -1. (1о)

После того, как из системы линейных алгебраических уравнений (1о) будут найдены коэффициенты aMk, k = о, 1,..., 2" -M -1 и djk, j = 1,2,..., M, k = о, 1,...,2По -j -1, при* . .

ближенное решение x (t) строится согласно (8).

67

Вестник Пензенского государственного университета № 3 (7), 2014

Численный эксперимент

В качестве модельного примера было выбрано следующее интегральное уравнение:

—/2

x(t)[ (t2 + x)x(x)dx = sint-—(t2 +1), te I 0, — |, 10 J 10 l 2)

(11)

точным решением которого является x(t) = sin(t).

Согласно представленной выше вычислительной схеме была построена программная реализация на языке С++ в среде разработки Visual Studio 2010. В табл. 1 приведены результаты численного эксперимента (максимальная абсолютная погрешность в узлах кол-

локаций и норма абсолютной погрешности

x (t) - x *(t)

)

L2

при различных значениях

входных параметров M и n0. Стоит заметить, что вариации в выборе параметра M

(0 < M <= n0) практически не оказывают значимого влияния на получаемое приближенное решение x (t) интегрального уравнения (11).

Таблица 1

n0 Число точек коллокаций N M Максимальная абсолютная погрешность в узлах коллокаций Норма абсолютной погрешности ||x(t) - x*(t)||^

2 4 1 0,000730 0,100372

3 8 2 0,000268 0,050221

4 16 2 0,000278 0,025115

5 32 4 0,000308 0,012560

6 64 4 0,000354 0,006284

7 128 5 0,000359 0,003150

8 256 5 0,000364 0,001591

9 512 6 0,000365 0,000827

10 1024 7 0,000365 0,000472

Выводы

Применение вейвлетов в решении интегральных уравнений методом коллокаций показало хорошую эффективность. Кроме того, использование в качестве базисных функций определенного типа вейвлетов позволяет получить интегралы (возникающие в аппроксимирующей СЛАУ (10)) удобного для численного или аналитического вычисления вида. Эта особенность может иметь положительный эффект при решении сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений. Таким образом, метод вейвлет-коллокации численного решения задач вычислительной математики может открыть новые особенности в вопросах построения устойчивых алгоритмов.

Авторы выражают благодарность доктору физико-математических наук, профессору И. В. Бойкову за ценные замечания и внимание к работе.

Список литературы

1. Манжиров, А. В. Справочник по интегральным уравнениям: методы решения / А. В. Манжи-ров, А. Д. Полянин. - М. : Факториал Прес, 2000. - 384 с.

2. Beylkin, G. Fast wavelet transforms and numerical algorithms / G. Beylkin, R. Coifman, V. Rochlin // Comm. Pure. Appl. Math. - 1991. - V. 44. - P. 141-183.

68

Актуальные вопросы естествознания

3. Рогова, Н. В. Методы вейвлет-анализа численного решения одномерных задач электродинамики : автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук / Рогова Н. В. - Воронеж, 2008. - 16 с.

4. Бойков, И. В. Приближенные методы решения сингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков. - Пенза : Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2004. - 316 с.

5. Бойков, И. В. Приближенные методы вычисления интегралов Адамара и решения гиперсингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков, Н. Ф. Добрынина, Л. Н. Домнин. - Пенза : Изд-во Пенз. ГТУ, 1996. - 188 с.

6. Бойков, И. В. Применение гиперсингулярных интегральных уравнений к численному моделированию электрического вибратора / И. В. Бойков, Д. В. Тарасов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2008. - № 4. - С. 94-106.

7. Бойков, И. В. Приближенное решение некоторых классов гиперсингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков, Б. М. Стасюк, Д. В. Тарасов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2009. - № 1 (9). - С. 100-112.

8. Яковлев, А. Н. Введение в вейвлет-преобразования : учеб. пособие / А. Н. Яковлев. - Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2003. - 104 с.

9. Воробьев, В. И. Теория и практика вейвлет-преобразования / В. И. Воробьев, В. Г. Грибунин. -СПб. : Изд-во ВУС, 1999. - 208 с.

Тарасова Елена Сергеевна

ассистент,

кафедра высшей и прикладной математики,

Пензенский государственный университет E-mail: [email protected]

Тарасов Дмитрий Викторович

кандидат технических наук, доцент, кафедра высшей и прикладной математики,

Пензенский государственный университет E-mail: [email protected]

УДК 519.64 Тарасова, Е. С.

Метод вейвлет-коллокаций решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода /

Е. С. Тарасова, Д. В. Тарасов // Вестник Пензенского государственного университета. - 2014. - № 3 (7). -C. 64-69.

Tarasova Elena Sergeevna

assistant,

sub-department of higher and applied mathematics, Penza State University

Tarasov Dmitriy Viktorovich

candidate of technical sciences, associate professor, sub-department of higher and applied mathematics, Penza State University