Приближенное решение гиперсингулярных интегральных уравнений на числовой оси Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

УДК 517.392

И. В. Бойков, П. В. Айкашев, М. А. Семов

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НА ЧИСЛОВОЙ ОСИ

Аннотация.

Актуальность и цели. Приближенные методы решения гиперсингулярных интегральных уравнений являются активно развивающимся направлением вычислительной математики, что в первую очередь связано с многочисленными приложениями гиперсингулярных интегральных уравнений к механике, аэродинамике, электродинамике, физике. При этом следует отметить два обстоятельства: 1) аналитическое решение гиперсингулярных интегральных уравнений возможно лишь в исключительных случаях; 2) спектр приложений гиперсингулярных интегральных уравнений постоянно расширяется. Этим обусловлена актуальность построения и обоснования численных методов решения гиперсингулярных интегральных уравнений. В настоящее время остались неразработанными методы приближенного решения линейных и нелинейных гиперсингулярных интегральных уравнений на числовой оси. Статья посвящена построению и обоснованию приближенного решения одного класса линейных и нелинейных гиперсингулярных интегральных уравнений на числовой оси методом сплайн-коллокации со сплайнами нулевого порядка.

Материалы и методы. Обоснование разрешимости и сходимости метода сплайн-коллокации к приближенному решению одного класса линейных и нелинейных гиперсингулярных интегральных уравнений, определенных на числовой оси, основано на применении методов функционального анализа и теории приближений.

Результаты. Предложен и обоснован метод сплайн-коллокации со сплайнами нулевого порядка для приближенного решения линейных и нелинейных гиперсингулярных интегральных уравнений, определенных на числовой оси.

Выводы. Построена вычислительная схема, позволяющая эффективно решать прикладные задачи механики, аэродинамики, электродинамики, физики.

Ключевые слова: гиперсингулярные интегральные уравнения, сплайн-коллокационный метод.

I. V. Bojkov, P. V. Ajkashev, M. A. Semov

APPROXIMATE SOLUTION OF HYPERSINGULAR INTEGRAL EQUATIONS ON THE NUMBER AXIS

Abstract.

Background. Approximate methods of hypersingular integral equations solution are an actively developing direction in calculus mathematics, and that is first of all associated with multiple applications of hypersingular integral equations in mechanics, aerodynamics, electrodynamics, physics. At the same time, it is necessary to note the following circumstances: 1) analytical solution of hypersingular integral equations is possible only in exceptional cases; 2) the range of applications of hypersingular integral equations is constantly expanding. These aspects determine the topicality of constructing and substantiating numerical methods of hypersingular integral equations solution. At the present time the methods of approximate solution of linear and nonlinear hypersingular integral equations on the numerical axis remain undeveloped. The article is devoted to construction and substantiation of the approximate solution of one class

78

University proceedings. Volga region

№ 2 (34), 2015

Физико-математические науки. Математика

of linear and nonlinear hypersingular integral equations on the numerical axis by the spline-collocation method with splines of zeroth order.

Materials and methods. Substantiation of solvability and convergence of the spline-collocation method to the approximate solution of one class of linear and nonlinear hypersingular integral equations, defined on the numerical axis, was based on application of methods of functional analysis and the approximation theory.

Results. The authors suggested and substantiated the spline-collocation method with splines of zeroth order for the approximate solution of linear and nonlinear hypersingular integral equations, defined on the numerical axis.

Conclusions. The researchers constructed a computing scheme allowing to effectively solve the applied problems of mechanics, aerodynamics, electrodynamics, physics.

Key words: hypersingular integral equations, spline-collocation method.

В последнее время наблюдается активное развитие направления вычислительной математики, связанного с построением приближенных методов вычисления гиперсингулярных интегралов, численным решением гиперсингулярных интегральных уравнений и их применением к решению конкретных физических и технических проблем.

Интересно отметить различие в историческом развитии аналитических и численных методов решения сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений.

Теория сингулярных интегральных уравнений была создана в начале XX в. в трудах Д. Гильберта и А. Пуанкаре. Приближенные методы решения сингулярных интегральных уравнений начали развиваться значительно позже. По-видимому, первой работой, посвященной приближенному решению сингулярных интегральных уравнений, была статья М. А. Лаврентьева [1] об обтекании дуги потоком газа, опубликованная в 1932 г. Активное развитие численных методов решения сингулярных интегральных уравнений началось с 50-х гг. прошлого столетия [2-5].

Развитие гиперсингулярных интегральных уравнений происходит в обратном порядке - вначале начали активно развиваться отдельные численные методы, связанные с решением конкретных задач, а затем исследоваться методы приближенного решения ряда классов гиперсингулярных интегральных уравнений.

Общая теория гиперсингулярных интегральных уравнений, насколько авторам известно, к настоящему времени еще не создана. Возможно, этим объясняется отсутствие единой теории приближенных методов решения гиперсингулярных интегральных уравнений.

К настоящему времени достаточно подробно исследованы следующие классы гиперсингулярных интегральных уравнений.

Пусть у - единичная окружность с центром в начале координат.

Для приближенного решения линейных и нелинейных гиперсингулярных интегральных уравнений

Введение

Physical and mathematical sciences. Mathematics

79

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

a

h(t, т, x(T))d т (т-t)p

f (t)

в работах [6, 7] предложен и обоснован метод коллокации. Здесь p - четное

число.

Приближенное решение гиперсингулярных интегродифференциальных уравнений - линейных

Sak(t)'

k=0

r(k)

(t)+2П S

dт = f(t), p = 2,3,...,

(т-t)p

и нелинейных

Sak (t,

k=0

x( k)

(t))+2П S Y

k=0 Y

hk(T))dт = f(t), p = 2,3,..., (т-t)p

с граничными условиями

j"x(t)t-k-1dt = 0, k = 0,1,...,v-1, v = max(m,l) Y

исследовано в [8].

Сплайн-коллокационные методы со сплайнами нулевого и первого порядков приближенного решения гиперсингулярных интегральных уравнений следующих видов:

a(t)x(t) + b(t) j X(X)dт + jh(t,т)x(т)dт = f(t), ^(т-t)p -1

(tl,t2)x(ti,t2) + b(ti,t2) j х(т1,t2P dт1 + c(ti,t2) j x(t1,%2\ dт

J /V. —t,\r J It___t^\P

+

-1 (т1-11)

-1 (т2 - t2)i

1 1

+d(t1, t2) j j

xC4,T2)d^d%2 = t ч

J (t1,t2)-’

-1-1( т1 -11) P ( т2 -12) P

1 1

a(t1,t2)x(t1,f2) + j j h(t1,^Xz)d%ldт22 q = f(t1,t2),

-1-1((т1 -11)2 + ((т2 - t2)2)q

предложены и обоснованы в работах [9, 10].

Здесь q - вещественное число, q >2; p - натуральное числа, причем случай p четного рассмотрен в [10], нечетного - в [9].

Приближенное решение нелинейных гиперсингулярных интегральных уравнений вида

a(t, x(т)) + j h(t,x(т2)} dт = f (t)

-1 (т-t )2

80

University proceedings. Volga region

№ 2 (34), 2015

Физико-математические науки. Математика

сплайн-коллокационным методом со сплайнами нулевого порядка исследовано в [11].

Отметим, что в работах [10, 11] имеется обширная библиография по численным методам решения гиперсингулярных интегральных уравнений.

Большое число задач (физических и технических) сводится к нелинейным гиперсингулярным интегральным уравнениям типа Прандтля:

у которых нелинейность содержится в регулярном слагаемом.

Проекционный метод решения уравнений вида (1) изложен в [12, 13].

Аналог метода дискретных особенностей предложен и обоснован в [14] для приближенного решения уравнения Мультхопфа бесциркулярного обтекания поверхности потоком газа.

Отдельную группу составляют приближенные методы решения гиперсингулярных интегральных уравнений первого рода ([15], где приведена обширная библиография).

Приближенные методы решения гиперсингулярных интегральных уравнений на числовой оси исследованы значительно меньше. Здесь следует отметить статью [16], в которой для приближенного решения гиперсингулярного интегрального уравнения второго рода с особенностью второго порядка и с нелинейностью в регулярном слагаемом предложен специальный метод.

Ниже предлагается и обосновывается сплайн-коллокационный метод решения линейных и нелинейных гиперсингулярных интегральных уравнений на числовой оси.

где p = 2k, k = 1,2,...

Зафиксируем достаточно большое положительное число A и введем сетку узлов

Введем обозначения: A_1=(-^,fy), Ak = [k,k+1), k = 0,1,..,2N—1,

A2 N = [t2 N ,c~).

Введем дополнительную сетку узлов: t] = — A — A / 2 N, tk = tk + A / 2 N, k = 0,1, ...,2N — 1, t2N = A + A /2 N.

Приближенное решение уравнения (2) будем искать в виде кусочнопостоянной функции

(1)

1. Линейные уравнения

Рассмотрим линейное гиперсингулярное интегральное уравнение

(2)

tk — A +---,k = 0,1,.,2 N.

k N

Physical and mathematical sciences. Mathematics

81

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

где

2 N

xN (t)= Z akVk (t), k=-1

f1, te Ak,

Vk(t) = \0 t / ), A k = -1,0,1,...,2N.

t0, t e (-^ ^)\ Ak,

(3)

Коэффициенты {ak }, k = —1,0,1, ,2N, определяются из системы

линейных алгебраических уравнений

2N

a(t'l)a + b(ti) Z ak f —= /(t/), l = -1,0,1,_,2N. (4)

k=-i AJk ^)P

Для доказательства разрешимости системы уравнений (4) воспользуемся теоремой Адамара об обратимости матриц.

Оценим интегралы

d т

(T-ti У

k, l = -1,0,1,_,2 N.

Очевидно,

(• d Т _ 1 ( 2 N Г (•

' (т-t-1)p _-J-11тJ ; Af

^-1 a2N

1 ( 2 N

P-1

d т

1 ( 2 N

(T-t2N )P P - 1 V A

P-1

I dT _ -^( —Г , k _

J (т-t'u)p P-11 A )

2 ( 2 N

Ak (т-tk Y P

p-1

0,1,..., 2N -1;

d т

(т -1-1)p P -1

f

2 N

\P-1 (

(2k +1) A d т

2 N

V

-1 >

(2k + 3) A

k _ 0,1,...,2N-1;

1 ( 2 N

A

(т -1-1)P P -1V 4 NA + A

P-1

d т

f

r ai

I (X-t2 N )P P -1

-A

I

(

2 N

\P-1 (

4 AN - (2k -1) A k _ 0,1,..., 2N -1;

2 N

P

-1 ^

4 AN - (2k +1) A

d т

1

(т -12 N )P P -1V 4 AN + A)

2 N

P-1

k

k

82

University proceedings. Volga region

№ 2 (34), 2015

Физико-математические науки. Математика

1

d т _ ОМУ _~p-i

г

2 N

V

-1

(

2 N

V

-l \

d т

(2k - 21 -1) A к, l _ 0,1,..., 2N -1, k Ф l;

[ 2N Y~l

(2k - 2l +1) A

1

Д_

(т-^ p -11 (2l +1) A

l Ф-1,

d т

2 N

p

-1

J (T-t))p p -1 ( A(4 N - 2l -1)

Д2 N

Из полученных выражений следует, что

l Ф 2 N.

f d т r*k d т 2N ; Z l=k+1 f d т d т

l (т-4)p 1 8 1 ^3 д, ^4)p ftk+1 (т-tk)p

где

к-1

Z

l=-1

В операторной форме система уравнений (4) имеет вид

AX = F,

A = {аы }, к, l = -1,0,1,...,2 N,

X = (а-1,а0’а1,.-’а2 N X F = (f (t- 1),f (t0 ),f (t1 ),---,f (t2 N ))T. Здесь

k

all = a (ti) - [2NJ ,l = 0,1,2,.,2N

4 b(t-1) [ 2N \p-1

a-1,-1= a (t-1) - т-г (, ~r'

a2N,2N = a(t2N,2N ) -

b(t2N,2N ) [ 2N Y 1

p -1 ( A

d т

alk = b(ti) f------

l lk (т-t/)p

(5)

(6)

(7)

(8)

при k = l, k, l = -1,0,1,.,.,2N.

Согласно теореме Адамара для однозначной разрешимости системы уравнений AX = F необходимо доказать справедливость неравенства

2N

I au I- Z W>0,

k=0

Physical and mathematical sciences. Mathematics

83

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

где I' означает суммирование по k = l. Очевидно,

2 N

I I a-l,k 1=

k=0

b(t-i) J

d t

2 N-1

I 1 a2N,k |=| b(t2N )| k=-1

-A (T-t-1)

A

= I b(t-i )| f 2 N )p-1

d t

r d'

-L (T-t2 N У

P -1 V A = |b(t2 N )|f 2 N )p-1

P -1 V A

2N l-1 2N

I’!ai,k|= I |ai,k| + I |ai,k|=|Wi)\

k=-1 k=-1 k=i+1

d T

J ( T-ti )p

—co 1

+

+ \b(tj)

l +1

d T

(T-tj) 1

(9)

= 2Р-Г^)Р , i = 0,1,...,2N-1. (10)

t

Из сопоставления формул (5), (10); (6), (8) и (7), (9) следует, что если функции a(t) и b(t) при каждом t, -l < t < l, имеют значения разных знаков и функция a(t) не обращается в нуль на числовой оси (a(t) = 0 при -l < t < l ), то система уравнений (4) однозначно разрешима.

Теорема 1. Пусть функция a(t) = 0 при t е (-l, l), функции a(t) и b(t) принимают значения различных знаков при всех значениях t, t е (-l,l). Тогда система уравнений (4) однозначно разрешима.

Пусть R2n+2 - (2N + 2)-мерное пространство векторов X = (x-1,x0,

Х1,...,Х2n) с нормой ||X| = max | Xk |. Из утверждения теоремы 1 вытекает

-1<k<2N

Следствие 1. Пусть функция a(t) не обращается в нуль при t е (-l, l) и функции a(t) и b(t) при всех t е (-l,l) принимают значения различных знаков. Тогда матрица A е [R2n+2,R2N+2] непрерывно обратима.

Доказательство. Из теоремы 1 следует, что матрица A однозначно отображает пространство R2n+2 на пространство R2n+2. Из теоремы Банаха об однозначном отображении [17] следует непрерывная обратимость матрицы A.

2. Приближенное решение нелинейных гиперсингулярных интегральных уравнений

Рассмотрим нелинейное гиперсингулярное интегральное уравнение

a(t,x(t)) + b(t) J —X(T)pdT = f(t),p = 2,4,... (11)

J (T-t)p

--CO ' '

84

University proceedings. Volga region

№ 2 (34), 2015

Физико-математические науки. Математика

Предположим, что уравнение (11) имеет изолированное решение x (t),

*

удовлетворяющее неравенству sup | x (t) |< h. Пусть a(t,u) - функция

—<^<t < <ж>

непрерывно дифференцируемая по второй переменной в области Q = (—x,<x;—2h,2h), причем sup | da(t,u)/du |<у.

—x<t < »,—2h <u <2h

Уравнения вида (11) находят применение в теории волн на воде и в теории дислокаций.

При решении уравнения (11) используются сетки узлов tk, tk, k = —1,0,1,...,2N, обозначения Ak, k = —1,0,1,...,2N, введенные в предыдущем разделе.

Приближенное решение уравнения (11) будем искать в виде кусочнопостоянной функции Xn (t), коэффициенты {ak} которой определяются из системы нелинейных уравнений

2N г dl

a(t'ha,) + b(tl) ^ ak f--— = f(t'i), l = —1,0,1,.,2N. (12)

k=—1 Ak (T — tl)P

Обоснование разрешимости вычислительной схемы (12) будем проводить в пространстве R2 n+2 векторов x = (x—1,Xo,X1,.,X2 n ) с нормой

\\x\\ = max | Xk | методом Ньютона - Канторовича.

—1<k <2 N

Пусть X и Y — банаховы пространства.

Рассмотрим уравнение

Kx = 0, (13)

где K — нелинейный оператор, действующий из X в Y.

Будем считать, что оператор K имеет в некоторой окрестности точки x0 производную Гато, для которой существует обратный оператор

[ K'(x0)]—1.

Решение уравнения (13) будем искать в виде итерационных процессов: - основного:

xn+1 xn [K(xn )] K(xn ) ; (14)

модифицированного:

xn+1 = xn — [ K'( x0)]—1K (xn). (15)

Теорема 2 [18]. Пусть X и Y - банаховы пространства и пусть выполнены условия:

1) ||K(x0)|| -Л0;

2) оператор K имеет производную Гато в окрестностях точки x0 и существует правый обратный оператор [ K'(x0)]r1 с нормой

[ K'(x0)]—1

= B0

Physical and mathematical sciences. Mathematics

85

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

3) в сфере S{x :||x - x0| < 5оПо/(1 - q)) (q < 1) выполняется условие

\\К'(xi)-К'(x2)|| < q/(50(1 + q)).

В этом случае уравнение (13) имеет в S решение x , к которому

сходится приближение (14) и справедлива оценка

x - x„

< qnno 5о/(1- q).

Теорема 3 [18]. Пусть выполнены условия 1-2 предыдущей теоремы. Пусть в сфере S{x: ||x - x^| < 5оПо / (1 - q)) (q < 1) выполняется условие

||К'(x1) - К'(x2)| < q/(50).

(16)

В этом случае уравнение (13) имеет в S решение x , к которому

сходятся приближения (15) и справедлива оценка x - xn < q По5о/(1- q).

Систему уравнений (12) в операторной форме запишем в виде уравнения

KX = F,

где X = (а-1,ао,а1,.^,а2 n ), F = ( f(t-1Х f (t0 ),■■■, f2 N (t0)).

Структура оператора К очевидна.

Производная оператора К на элементе x0 = (а-1,а0,ао,..,а2n) имеет вид

К'(x0) X = HX,

где H = {%}, l,к = -1,0,1,...,2N,

d т

(т -t'i)р

hii = a2 (ti, а0)+b(ti) | ■

I = -1,0,1,.,2 N.

hlk =

b(ti) j

d т

(T-tl У

l,к = -1,0,1,.,2N, l = к,

к

через a2 (t, u) обозначена производная функции a (t, u) по второй

переменной.

Приближенное решение уравнения (16) будем искать модифицированным методом Ньютона - Канторовича:

Xra+1= Xra -[r(X0)]-1(-F), т = 0,1,. (17)

Для доказательства сходимости итерационного процесса (17) достаточно проверить выполнение условий теоремы 3.

Условие 1 теоремы 3 означает существование хорошего начального

* * * *

приближения к точному решению Xn ={а-1, ао,..., а2 n ) уравнения (12).

86

University proceedings. Volga region

№ 2 (34), 2015

Физико-математические науки. Математика

В случае, если sup | a2 (t,u)|<y, то, очевидно, существует

-»<f < »,2h <u<2h

начальное приближение X0, удовлетворяющее условию 1 при любом как угодно малом •

Это утверждение следует из цепочки неравенств

max

-1<l<2N

2N

a(t\,а0) + bit)) £ J

k=-1 Ak

d т

(T-tl) P

- f itl)

- max

-1<l<2N

2N

a(tl, а0) - a(t), a*) + b(ti) £ (а° - а*) J

k=-1

Ak

d т

i т -ti)p

<

<

У+ max \ b(ti)|----------

-1< l <2 N P -1

2 N A

p-1 ^

max

y-1<l<2N

\ а0-а/ \,

*

где а),l = -1,0,1,...,2N - решение уравнения (12).

Из последнего неравенства следует, что для любого По можно

подобрать такой вектор (а-1,а0,...,а0n), что || KXо ||= т|.

Далее заметим, что из результатов разд. 1 следует, что если элементы вектора {a2(tl,а0)}, l = -1,0,1,...,2N, не обращаются в нуль и числа a2(tl, а0) и b '(tl) имеют разные знаки, то производная K'(X0) непрерывно

обратима в R2 n+2 и

[ K'(X 0)]-1

= %

Таким образом, выполнено условие 2 теоремы 2.

Так как функция a(t, и) непрерывно дифференцируема по второй

переменной, причем sup | a2(t,и) |< у, то

-<tt<t < ^,-2h <и <2h

||K'(X1) - K'(X2)|| = max | a2it/, а/) - a2(th - X2

-1<l<2N

где Xi =(а-1,а0,а1 ,--,а2 N ), i = 1,2-

Отсюда следует справедливость условия 3 теоремы 3.

Таким образом, при достаточно хорошем начальном приближении выполнены условия теоремы 3 и доказана сходимость итерационного

процесса (17) к решению X

X - X,

< cqn, где c = const.

уравнения (12). Справедлива оценка

Список литературы

1. Лаврентьев, М. А. О построении потока, обтекающего дугу заданной формы / М. А. Лаврентьев // Труды ЦАГИ. - 1932. - Т. 118. - С. 3-56.

2. Иванов, В. В. Приближенное решение особых интегральных уравнений /

В. В. Иванов // ДАН СССР. - 1956. - Т. 110, № 1. - С. 15-18.

Physical and mathematical sciences. Mathematics

87

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

3. Иванов, В. В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений / В. В. Иванов. - Киев : Наукова думка, 1968. - 287 с.

4. Лифанов, И. К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент / И. К. Лифанов. - М. : Янус, 1995. - 520 с.

5. Бойков, И. В. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков. - Пенза : Изд-во ПГУ, 2004. - 316 с.

6. Бойков, И. В. Приближенное решение линейных гиперсингулярных интегральных уравнений методом коллокаций / И. В. Бойков, Ю. Ф. Захарова, М. А. Семов, А. А. Есафьев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2014. - № 3 (31). - С. 101-113.

7. Бойков, И. В. Приближенное решение нелинейных гиперсингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков, Ю. Ф. Захарова, М. А. Семов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -2014. - № 4 (32). - С. 69-78.

8. Бойков, И. В. Приближенное решение гиперсингулярных интегродифферен-циальных уравнений / И. В. Бойков, Ю. Ф. Захарова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2010. - № 1 (13). - С. 80-90.

9. Бойков, И. В. Приближенное решение гиперсингулярных интегральных уравнений с нечетными сингулярностями целого порядка / И. В. Бойков, А. И. Бойкова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2010. - № 3 (15). - С. 15-27.

10. Boykov, I. V. An approximate solution of hypersingular integral equations / I. V. Boykov, E. S. Ventsel, A. I. Boykova // Applied Numerical Mathematics. - 2010. -Vol. 6, № 60. - P. 607-628.

11. Boykov, I. V. An approximate solution of nonlinear hypersingular integral equations / I. V. Boykov, E. S. Ventsel, V. A. Roudnev, A. I. Boykova // Applied Numerical Mathematics. - 2014. - Vol. 86, December. - P 1-21.

12. Capobiano, M. R. On the numerical solution of a nonlinear integral equations of Prandl's types / M. R. Capobiano, G. Criscuolo, and P. Junghanns // Operator Theory: Advances and Applications. - Birkhauser, Basel, 2005. - Vol. 160. - P. 53-79.

13. Capobiano, M. R. Newton methods for a class of nonlinear hypersingular integral equations / M. R. Capobiano, G. Criscuolo, and P. Junghanns // Numer. Algorithms. -2010. - № 55. - P. 205-221.

14. Вайникко, Г. М. Численные методы в гиперсингулярных интегральных уравнениях и их приложения / Г. М. Вайникко, И. К. Лифанов, Л. Н. Полтавский. -

М. : Янус-К, 2001. - 508 с.

15. Mandal, B. N. Applied Singular Integral Equations / B. N. Mandal, Chakrabarti. -CRS Press, USA, 2011. - 264 p.

16. Numerical solution on nonlinear hypersingular integral equations of the Peierls type in dislocation theory / V. Karvin, V. G. Maz'ya, A. B. Movchan, J. C. Willis, R. Bullouch // SIAM J. Appl. Math. - 2000. - Vol. 60, № 2. - P. 664-678.

17. Люстерник, Л. А. Элементы функционального анализа / Л. А. Люстерник,

В. И. Соболев. - М. : Наука, 1965. - 540 с.

18. Бойков, И. В. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков. - Пенза : Изд-во ПГУ, 2004. - 316 с.

References

1. Lavrent'ev M. A. Trudy TsAGI [Proceedings of CAHI]. 1932, vol. 118, pp. 3-56.

2. Ivanov V. V. DANSSSR [Reports of the USSR Academy of Sciences]. 1956, vol. 110, no. 1, pp. 15-18.

88

University proceedings. Volga region

№ 2 (34), 2015

Физико-математические науки. Математика

3. Ivanov V. V. Teoriya priblizhennykh metodov i ee primenenie к chislennomu resheniyu singulyarnykh integral'nykh uravneniy [Theory of approximate methods and application thereof in numerical solution of singular integral equations]. Kiev: Naukova dumka, 1968, 287 p.

4. Lifanov I. K. Metod singulyarnykh integral'nykh uravneniy i chislennyy eksperiment [Methods of singular integral equations and numerical experiments]. Moscow: Yanus, 1995, 520 p.

5. Boykov I. V. Priblizhennoe reshenie singulyarnykh integral'nykh uravneniy [Approximate solution of singular integral equations]. Penza: Izd-vo PGU, 2004, 316 p.

6. Boykov I. V., Zakharova Yu. F., Semov M. A., Esafev A. A. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences ]. 2014, no. 3 (31), pp. 101-113.

7. Boykov I. V., Zakharova Yu. F., Semov M. A. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences ]. 2014, no. 4 (32), pp. 69-78.

8. Boykov I. V., Zakharova Yu. F. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences ]. 2010, no. 1 (13), pp. 80-90.

9. Boykov I. V., Boykova A. I. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences ]. 2010, no. 3 (15), pp. 15-27.

10. Boykov I. V., Ventsel E. S., Boykova A. I. Applied Numerical Mathematics. 2010, vol. 6, no. 60, pp. 607-628.

11. Boykov I. V., Ventsel E. S., Roudnev V. A., Boykova A. I. Applied Numerical Mathematics. 2014, vol. 86, December, pp. 1-21.

12. Capobiano M. R., Criscuolo G. and Junghanns P. Operator Theory: Advances and Applications. Birkhauser, Basel, 2005, vol. 160, pp. 53-79.

13. Capobiano M. R., Criscuolo G. and Junghanns P. Numer. Algorithms. 2010, no. 55, pp. 205-221.

14. Vaynikko G. M., Lifanov I. K., Poltavskiy L. N. Chislennye metody v gipersingul-yarnykh integral'nykh uravneniyakh i ikh prilozheniya [Numerical methods in hypersingular integral equations and applications thereof]. Moscow: Yanus-K, 2001, 508 p.

15. Mandal B. N., Chakrabarti Applied Singular Integral Equations. CRS Press, USA, 2011, 264 p.

16. Karvin V., Maz'ya V. G., Movchan A. B., Willis J. C., Bullouch R. SIAM J. Appl. Math. 2000, vol. 60, no. 2, pp. 664-678.

17. Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Elementy funktsional'nogo analiza [Elements of functional analysis]. Moscow: Nauka, 1965, 540 p.

18. Boykov I. V. Priblizhennoe reshenie singulyarnykh integral'nykh uravneniy [Approximate solution of singular integral equations]. Penza: Izd-vo PGU, 2004, 316 p.

Бойков Илья Владимирович

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

E-mail: [email protected]

Boykov Il'ya Vladimirovich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of sub-department of higher and applied mathematics, Penza State University (40 Krasnaya street,

Penza, Russia)

Physical and mathematical sciences. Mathematics

89

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

Айкашев Павел Владимирович

студент, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

E-mail: [email protected]

Семов Михаил Александрович аспирант, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

E-mail: [email protected]

Aykashev Pavel Vladimirovich Student, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

Semov Mikhail Aleksandrovich Postgraduate student, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

УДК 517.392 Бойков, И. В.

Приближенное решение гиперсингулярных интегральных уравнений на числовой оси / И. В. Бойков, П. В. Айкашев, М. А. Семов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2015. - № 2 (34). - С. 78-90.

90

University proceedings. Volga region