О равномерной аппроксимации решения сингулярного интегродифференциального уравнения i рода Текст научной статьи по специальности «Математика»

54 Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2013. № 6(107)

УДК 519.642

О РАВНОМЕРНОЙ АППРОКСИМАЦИИ РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНОГО ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ I РОДА

© 2013 А.В. Ожегова,1 Л.Э. Хайруллина2

В статье исследуется граничная задача для сингулярного интегродиффе-ренциального уравнения с ядром Коши первого рода. Вводится пара весовых пространств, в которых доказывается корректность рассматриваемой задачи. Устанавливаются достаточные условия сходимости общего прямого метода, метода ортогональных многочленов в введенных пространствах и, как следствие, равномерные оценки погрешности приближенного решения.

Ключевые слова: сингулярное интегродифференциальное уравнение, приближенное решение, корректность задачи.

Введение

Данная работа посвящена исследованию равномерной сходимости приближенных решений сингулярного интегродифференциального уравнения вида

1

Ах = — [ —— &г + Q(x; £) = у(£), — 1 <£< 1, (1)

ъ ] £ — т -1

где х(т) — искомая функция, у(£) — данная функция, Q — данный линейный оператор при краевых условиях

х( — 1) = х(1) = 0, (2)

а сингулярный интеграл понимается в смысле главного значения по Коши.

Традиционно интегральные уравнения I рода относят к классу некорректно поставленных задач, кроме того, наличие сингулярности в ядре также указывает на некорректность во многих функциональных пространствах, в том числе и пространствах непрерывных функций. Однако необходимость применения приближенных методов решения указанного уравнения требует их теоретического обоснования и установления равномерных оценок погрешностей.

1Ожегова Алла Вячеславовна ([email protected]), кафедра теории функций и приближений Казанского (Приволжского) федерального университета, 420008, Российская Федерация, г. Казань, ул. Кремлевская, 18.

2Хайруллина Лилия Эмитовна ([email protected]), кафедра информационных систем Казанского (Приволжского) федерального университета, 420008, Российская Федерация, г. Казань, ул. Кремлевская, 18.

Рассматриваемому уравнению посвящено достаточно много работ [1; 2], поскольку оно имеет многочисленные приложения в теории упругости, теории фильтрации, теории управления и устойчивых процессах, а также при определенном выборе Q(x; t) является уравнением теории крыла. До настоящего времени исследования проводились в пространствах Гельдеровых функций или весовых пространствах квадратично-суммируемых функций.

В данной работе используется методика выбора пары пространств искомых элементов и правых частей на основе сужения пространств непрерывных функций, в которых рассматриваемая задача (1)—(2) является корректной, что позволяет далее теоретически обосновать различные прямые методы и получить равномерные оценки погрешности приближенного решения.

Указанный подход применялся ранее авторами к решению интегрального уравнения I рода с логарифмической особенностью в ядре [3] и сингулярному интегральному уравнению I рода с ядром Коши на отрезке вещественной оси [4].

1. Корректность постановки задачи

Пусть

1

1<р = I(у>;t) = — / 1- dr

к J t — т -1

— сингулярный интеграл с ядром Коши, понимаемым в смысле главного значения по Коши, p(t) = V— - t2, q(t) = pi).

Обозначим через X пространство непрерывно дифференцируемых на [—1,1] функций x(t), удовлетворяющих условию (2), таких, что pIx' является функцией непрерывной с нормой

llxllx = ||px'||c + WpIx'Wo, (3)

где

||x|| C = max |x(t)|.

— 1<t<1

В качестве пространства правых частей Y выберем пространство непрерывных функций y(t) таких, что I(py) также непрерывная функция. Норму в Y введем соотношением

l|y||Y = WpyWc + WI (py)Wc. (4)

Полнота пространства Y была установлена в [5]. Полнота пространства X будет следовать из полученных ниже результатов.

Установим необходимые для дальнейшего свойства характеристического оператора G : X ^ Y, где

1

Gx = G(x; t) = — J ^ ( ) d,T.

-1

Лемма 1. Оператор G : X ^ Y является линейным ограниченным, причем

HgI|x^y = —.

Доказательство. Представим x(t) в виде

Ж

x(t) = /——£^(t) = /— — t2 ^ YkUk—1 (t), (5)

k = 1

где

sin k arccos t Uk-l(t) =-_ , k =1,2,...

VT—t2 ’

полиномы Чебышева II рода, а

1

Yk = cU_l(^) = 2 J Vi - t2^(t)Uk-l(t)dt.

Вычислим

G(x; t) = £Yk1 / (S1" ‘i”””8f)'dT = £ k-,k;t),

П / t — T

fc=1 _1 fc=1

где Tk(t) = cosk arccost, k = 0,1, 2,... — полиномы Чебышева I рода k-й степени. С учетом известного [1; 2] соотношения

получим

I (qTk; t) = Uk_l(t)

G(x; t) = Е kYk Uk-l(t).

k=1

С учетом известного [1] соотношения

I (pUk-1; t) = Tk(t)

(б)

(7)

(8)

и определения норм (4), (5) найдем

WGxWy = WpGxWc + WI (pGx)Wc

k=1

13k sin k arcsin t + kYk I (pUk-1; t)

k=1

k=1

p(t) kYk Uk-1 (t) I + I kYk cos k arccos t

k=1

l|pIx'Wc + W px'W c = ||x||*.

Откуда и следует, что ||О||х^у = 1.

Лемма 2. Оператор О : X ^ У непрерывно обратим и

||О-1|| = 1, О-1 : У ^ X.

Доказательство. Рассмотрим характеристическое уравнение

Ох = у, х € X, у € У (9)

при условиях (2). Решение уравнения (9) будем искать в виде (5), а правую часть у(£) представим в виде ряда Фурье по полиномам Чебышева II рода. Тогда имеем

ОО ОО

^ к7й ий-1(^ = ^ с^Ы^-^). к=1 к=1

Используя метод неопределенных коэффициентов, находим

1(у)

Yk

k

c

c

c

и потому решение х*(£) уравнения (9) существует при любой правой части у € У и представимо в виде

4t) = G-1y - t2]T

k-1

(y)

Uk-l(t).

k=1

Оценим, используя (4), (5), (В),

\\G-1y\\

X

cU-l(y)(.k t)/

----------(sin k arccos t)

k=1

+

1

+

л/T—t2г f — jr.

n J t — т

1 k=1

cU-l(y)/ .

(sin k arccos т )/dт

k=1

]TcU-l(y)Tk (t) + Vl—t2^ cU-l(y)Uk-l(t)

k=1

IIі (РУ)\с + ||py||c

l\Y,

откуда и следует утверждение леммы.

В силу леммы 2 уравнение (1) является уравнением, приводящимся к уравнению II рода, причем оператор О-1^ : X ^ X будет вполне непрерывным, если таковым является оператор Q : X ^ У. Тогда из теории Рисса-Шаудера [5] следует

Теорема 1. Пусть Q : X ^ У вполне непрерывный оператор и однородная задача, соответствующая (1), (2), имеет лишь тривиальное решение. Тогда оператор А = О + Q : X ^ У непрерывно обратим.

x

с

с

с

2. Аппроксимативные методы

2.1. Общий прямой метод. Пусть приближенное решение задачи (1), (2) находится как точное решение следующего уравнения:

АПХП = ^Хп + ^пХп уп ХП С ХП С у„ С С У, (10)

Хп (-1) = Х„ (1)=0, (11)

где Хп — есть подпространство X элементов вида

Xn(t) = v l — t2 ^2 IkUk-l(t) = ^2 Yk sin k arccos t, (l2)

k=1 k=1

in.— множество алгебраических полиномов степени не выше n — l, Y, С Y, Qn : Xn — Yn, и yn Є Yn,— некоторые аппроксимации соответственно оператора Q : X — Y и функции y(t). Из теоремы 7 главы I [б] следует

Теорема 2. Если оператор A = G + Q : X — Y непрерывно обратим и выполнено условие

en = ||Q — Qn||xn^Y —— 0, n —— ^, то при всех n Є N таких, что

qn = £n\A-1\ < l,

операторы Ап : Хп ^ Уп непрерывно обратимы и

ЦА-1Н = = 0(1).

1 - ?п

Если, кроме того,

^п = ||у - Уп\\у ^ 0, п ^ то,

то приближенные решения хп = А—1уп сходятся в X к точному решению х* = А-1у, причем

\А-

1 — ?п

(^п + ?п|Ы|у) = °(£п + ^п).

(13)

Следствие. В условиях теоремы будет иметь место равномерная сходимость приближенных решений к точному со скоростью

||< — х*11с = 0 (£п + О ,

||р(хп' - х* )|с = 0(еп + ^п).

(14)

Доказательство. Имеем в силу (2)

|х(4)| =

С/(т )^7

1

1

Р(т Мт ) Р(т )

йт

йт

1

а/1 — т2

= Нрх^с ( агевт4 1 ( агсвт4 + П ) ||х||х, t £ [-1,1].

Аналогично

|х(4)|

х/(т )йт

Откуда следует

Соотношение (14) следует из оценки (13) и определения нормы (3).

В качестве конкретной реализации общего прямого метода рассмотрим проекционный метод. Воспользуемся известной вычислительной схемой метода ортогональных многочленов.

Приближенное решение будем искать в виде (12). Тогда условия (2) для хп(£) выполнены. Неизвестные коэффициенты найдем из условия ортогональности невязки полиномам Чебышева II рода. Получим следующую систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ):

*7* + Е 1к = Си— 1 (У), * = 1

(15)

к = 1

где вк = си 1 (ф(вт к агссоя£,£*)).

1

г

г

1

Пусть ФЦ_]_- оператор Фурье, ставящий в соответствие любой функции <р € € Ь[—1,1] ее отрезок ряда Фурье

П

фЦ_^ = фЦ- (^; *) = Е с^Ыи^).

к= 1

Очевидно, что СЛАУ (15) эквивалентна следующему операторному уравнению:

АПХП = &ХП + Фп—1^ХП = Фп— lУ, Хп € фп—1У € Уи.

Учитывая полученные в работе [4] оценки нормы оператора ФЦ, а также оценки приближения функции отрезками рядов Фурье по полиномам Чебышева II рода в пространстве У, с помощью теоремы 2 устанавливаются достаточные условия однозначной разрешимости СЛАУ (15) и равномерные оценки погрешности приближенных решений хП^) = А-1 уи к точному х* (£) и их производных.

В частности, если у(Ь) € На[—1,1], ^(х; £) € На[—1,1], где

Шг На[—1,1] — множество функций, имеющих непрерывные производные

до г-го порядка, удовлетворяющие условию Гельдера с показателем а, 0 < а ^ 1, г ^ 0, то

к - х*нс=°(П+а),

( 1п п \

\\р(хП -х*')11с = ° у ,0 < а ^ 1,г ^ 0,п € м. Литература

[1] Габдулхаев Б.Г. Прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений I рода. Казань: Изд-во Казан. ун-та, 1994. 285 с.

[2] Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. М.: ТОО ”Янус”, 1995. 520 с.

[3] Ожегова А.В. Равномерные приближения решений слабо сингулярных интегральных уравнений первого рода: дис. ... канд. физ.-мат. наук. Казань, 1996. 96 с.

[4] Хайруллина Л.Э. Равномерная сходимость приближенных решений сингулярного интегрального уравнения первого рода с ядром Коши: дис. ... канд. физ.-мат. наук. Казань, 2011. 103 с.

[5] Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. 4-е изд., испр. СПб.: БВХ-Петербург, 2004. 816 с.

[6] Габдулхаев Б.Г. Оптимальные аппроксимации решений линейных задач. Казань: Изд-во Казан. ун-та, 1980. 232 с.

Поступила в редакцию 11//У/2013; в окончательном варианте — 26/^7/2013.

ON THE UNIFORM CONVERGENCE OF THE APPROXIMATE SOLUTION OF SINGULAR INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATION OF THE FIRST KIND

© 2013 A.V. Ozhegova3 L.E. Hayrullina4

The article presents the study of the boundary problem for singular inte-gro-differential equation of the first kind with Cauchy kernel. The authors introduce the pair of weight spaces to prove the correctness of the stated problem.

The article states the sufficient conditions for the convergence of the general direct method, the method of orthogonal polynomials, and as a result uniform estimates for errors of approximate solution.

Key words: singular integro-differential equation, approximate solution,

correctness of the problem.

Paper received 11/1V/2013. Paper accepted 26/VI/2013.

3Ozhegova Alla Vyacheslavovna (alla.ozhegovaaksu.ru), the Dept. of Theory of Functions and Approximations, Kazan (Volga Region) Federal University, Kazan, 420008, Russian Federation.

4Hayrullina Lilia Emitovna (lxayrullinaSyandex.ru), the Dept. of Information Systems, Kazan (Volga Region) Federal University, Kazan, 420008, Russian Federation.