CC BY
97
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2015, том 58, №3_
МАТЕМАТИКА
УДК 517
М.Г.Ахмадиев, Ю.Х.Хасанов*
ПРИБЛИЖЁННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Казанский химико-технологический университет, Россия, Российско-Таджикский (Славянский) университет
(Представлено членом корреспондентом АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмоновым 10.07.2014 г.)
В работе для численного решения сингулярного интегро-дифференциального уравнения задачи дифракции используется метод механических квадратур. Доказано, что этот метод устойчив относительно малых возмущений элементов аппроксимирующих уравнений.
Ключевые слова: приближенные методы - задача дифракции - метод механических квадратур -сингулярные интегро-дифференциальные уравнения - аппроксимирующие уравнения - операторные уравнения.
В работах [1-6] рассмотрены прямые методы решения следующего уравнения теории крыла
1 1 Г'(т)
B(t)Г(Г) - - f ^^ dt = f (t), -1 < t < 1, ж \ т-1
при условиях Г(—1) = Г(1) = 0.
Это уравнение имеет приложения в ряде прикладных задач, например, в задачах аэродинамики, теории упругости, фильтрации, управления и др.
В работе [2] отмечено, что аналогичные результаты могут быть получены и для уравнений
вида
Г + ) = / т — 1 < I < ■
_(гШdt+(Tr)(t) = f(t), -1 <t< 1, ж J, т -1
где Т - вполне непрерывный оператор.
Следуя указанным выше работам, рассмотрим сингулярное интегро-дифференциальное уравнение, встречающееся в задачах дифракции [7-8]
Л 1+} ЬЩ*т>1т=/(,). — 1 < / < 1 (1)
Л т — г ^ \г — т\
при условиях
(р(—1) = ^(1) = 0, (2)
Адрес для корреспонденции: Хасанов Юсуфали. 734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул. Мирзо Тур-сун-заде, 30,Российско-Таджикский (славянский) университет. E-mail: yukhas60@mail.ru
где к(т), /(¿) - известные функции, ) - искомая функция, Л (0 < Л < 1) - числовой параметр, а сингулярный интеграл понимается в смысле главного значения по Коши.
В этой работе для численного решения задачи (1)-(2) рассматривается метод механических квадратур, который является непосредственным продолжением работы [9], где поставленная задача решена полиномиальными методами. Теоретическое обоснование метода механических квадратур проводится с помощью одного из вариантов общей теории приближённых методов анализа [10] и результатов теории приближения функций.
Известно [1], что решение задачи (1)-(2) представляется в виде
<р(т) = V 1 -т2(Ро(т),
где щ(т) - ограниченная функция.
Приближённое решение задачи (1)-(2) ищем в виде (см. например, [1] или [8])
V„(т) = ■
± (-1)*
"1 к=1
п +1Т-Тк
1-ТФ(тк)±[Тт-1(Т} Ttl(T)]sm(mvk), 1 к=1 m=1 VI "
и + 1ы.....~ Vl - Г2
ktt
где \к =-, тк = cos vk, а T (т) и U (т) - полиномы Чебышева первого и второго рода, соответ-
n +1
ственно. Следуя работам [1], [3] и [8], используя при этом свойства полиномов Чебышева, находим
r "Uj- ^ ^(Osin(mvk) =Х<р(тк)-^4, (3)
к=
dt\T-t п + \к=1 k=1 k=1 Vl-i
где
w(Jk, t) =
n +1 m=
m sin(mvk ) sin(mv), t = cos v.
1 m=1
Для интеграла со слабой особенностью построим квадратурную формулу. С этой целью по-динтегральную функцию к^, т)щ(т) аппроксимируем полиномом рт(кщ) по переменной т . Здесь
через РТ обозначен оператор, ставящий в соответствие любой непрерывной функции её интерполяционный полином Лагранжа по узлам тк . Тогда имеем
Г(йр)(0 = - ¿А(/,г,Жг,)(4)
1У ~ Ц к=1 1^ - Т\
где 1к (т) - фундаментальные полиномы Лагранжа для узлов тк .
n
Таким образом, используя формулы (3)-(4), получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно приближённых значений искомой функции, обозначим их через ф(тк).
X
к=1
™(тк ,т}) Бт V,
+Кт} ,тк )а
Ф(тк) = Ат,Х ] = \п,
(5)
тж 1 I (т)
где тт = со§V«; V« =—- (т = к,]); а, = I —к—
п + 1 л\т _т
1 \\1
Введём пространство Ь2 р квадратично-суммируемых функций с весом р(г) = *\/1
= >/1 — Г с
обычной нормой. Через обозначим пространство функций, удовлетворяющих условиям (2), пер-
вые производные которых квадратично-суммируемы с весом р(г)
41Р
12, р
(1 Л1/2
|р(г) р'(г )2 Л
4—1 у
Пусть X = ^р, У = Ь2 . Тогда задачу (1)-(2) запишем в виде операторного уравнения, эквивалентного ей
Кр = 8р + Тр = /, реX, / еУ, (6)
где
р Л | РР\1 \ Тр = | ^-\рр(т)Лт. т — г г — т
1К — т\
Теорема. Пусть / е С, И(г, т) непрерывна по переменному г и удовлетворяет условию Ди-ни-Липшица по переменной т и уравнение (6) однозначно разрешимо в X при любой правой части / еУ. Тогда при п таких, что
Чп = А (к,~)с +-тТ + п п
П К 1 п п
1п п !> < 1
система (5) имеет единственное решение |ф 1 и приближённые решения
Р*(т)=■
п +
Г1Ф\ч)
1 к=1
УТ—Г7и (Пл/Г—т
т-т
сходятся к точному решению р*(т) со скоростью
\\р* —р*п1г =0{ч„ + Еп—1(/)с ^
(7)
1
п
где А - постоянная, не зависящая от п, ((к,—)с - модуль непрерывности функции к(.,.) по пере* п
менной Б равномерно относительно другой, а Еп_/)с - наилучшее равномерное приближение функции /(') алгебраическими полиномами степени не выше п — 1.
Доказательство. Пусть Хп = (ри } ^ X, а Уп ^ У - множество всех алгебраических полиномов степени не выше п — 1. Тогда систему линейных алгебраических уравнений (5) запишем в виде операторного уравнения, эквивалентного ей,
Кпрп = Брп + РпТРТп(куп) = Рп/, рп е Хп, Рп/ е Уп, (61)
где К - линейный оператор из Хи в Уп . Для любого р ^ X находим
\\KVn — К(Р„12р=\\ТкРп — РпТРпт(кРп)
<
2,Р
<
\\ткрп — Рпткрп || + РпТкРп — РптРКкрп)
2,Р
Для первого слагаемого получим (см. [9])
\\Ткрп — РпТкрп | < А— ( (к,д)с
п\\Х
(8)
(9)
здесь и далее А - вполне определённые постоянные, не зависящие от п, а 5 = —. Оценим второе слагаемое
<
\\РпТкр— РпТРтп(крп)
41| крп— Р(крп)
<
2, Р
С ^р
\\Т [ кр— Рп(крп )]
<
с ([—1,1]х[-1,1])
< А3 1ппЕ1—1(крп ) < А4 1пп • ®г(крп ,5)с <
< А5 1ппК(к,5)с |рп ||с + | ИЦс ([—1,1]х[—1,1]) Ц(Рп ,5)С . Для модуля непрерывности (о(рп ,5)с получим
(10)
((р„,5)с = 8иР рп(к) — рп(0| = 8иР
1^2—1 <5
1 <5
ч
\р'п (т)йт
= Бир
Ч2—к <5
р)
<
<
I р(т) р (г)|2 йт
V
• Бир
\'2—411 <5
йт
р(т)
где 8(5) = Бир
Ч2 —'11<5
йт
и
— т
(агсБш^/ 5(2 — 5))2 = 0(51/4).
2
2
Так как ||щ„||с < ^ |ЩЦ2 р = Аб |Щ„||Х ,тоиз (8)-(11) получим
||К-Кп\\Хп^ < (И,1)с + п + К(к,1)с + пП]1пп} ^ 0 (12)
при п ^да . Тогда при достаточно больших п будем иметь = ||К 11| ||К — Ки ||х ^ < 1. Кроме того, в силу теоремы Эрдеша-Турана [11] получим
||/ — Рп/\1 < 2 ^ Еп_1(/)с =42^Еп_1(/)с. (13)
Тогда из соотношений (8)-(13) и теоремы Джексона [11] видно, что выполняются все условия теоремы, из которой и следуют утверждения теоремы и оценка (13). Причём
КЧ < 2||К Ч, п > по .
Замечание 1. Так как в условиях теоремы операторы Ки линейно обратимы и обратные ограничены по норме в совокупности, то из результатов работы [10] (см. §5 главы 1) следует, что рассмотренный нами метод устойчив относительно малых возмущений элементов аппроксимирующих уравнений.
Замечание 2. Поскольку в условиях теоремы существует число обусловленности ] = ]](К) для точного уравнения (6), то из результатов работы [10] (см. §5 главы 1) следует, что в условиях теоремы хотя бы при достаточно больших п существуют число обусловленности ] = ]](Кп) для аппроксимирующих уравнений (61), причём
т]п< С]] (1 < С < 1 + £, £> 0, п > п0(е)\ Иш]п=].
п^да
Поступило 12.07.2014 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Каландия А.И. Математические методы двумерной теории упругости. - М.: Наука, 1973.
2. Габдулхаев Б.Г. - Изв. вузов. Матем., 1974, №2, с. 29-44.
3. Иванов В.В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений. - Киев: Наукова думка, 1968.
4. Габдулхаев Б.Г. - Итоги науки и техники. Серия Математика. - М.: ВИНИТИ, 1980, т.18, с.251-307.
5. Ioakimidis N.I. - Int.j. Meth. Fluids, 1984, 4, № 3, рр.283-290.
6. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях и их применение в аэродинамике, теории упругости, электродинамике. - М.: Наука, 1985.
7. Захаров Е.В., Собянина И.В. - Журн. выч. матем. и матем. физ. 1986, т. 26, №4, с.632-636.
8. Панасюк В.В., Саврук М.П., Назарчук З.Т. Метод сингулярных интегральных уравнений в двумерных задачах дифракции. - Киев: Наукова думка, 1984.
9. Ахмадиев М.Г. - Прямые методы решения некоторых сингулярных интегро-дифференциальных уравнений. Казан. ун-т. Казань, 1986, 18 с. Деп. в ВИНИТИ 02.01.86, № 43-В.
10. Габдулхаев Б.Г. Оптимальные аппроксимации решений линейных задач. - Казань: Изд-во КГУ, 1980.
11. Натансон П.Н. Конструктивная теория функций. - М.-Л.: Гостехиздат, 1949.
М.Г.Ахмадиев, ЮДДасанов*
УСУЛ^ОИ ТАЦРИБИИ ^АЛЛИ МУОДИЛА^ОИ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЙ
Донишго^и химико-технологии Казон, *Донишго%и (Славянии) Россияю Тоцикистон
Дар макола барои хдлли такрибии муодилах,ои сингулярии интегро-дифференциалии масъалаи дифракция усули квадратураи механикй истифода карда шудааст. Устувории ин усул нисбати тамоили хурдтарини элементх,ои муодилах,ои аппроксимативй нишон дода мешавад. Калима^ои калиди: усулуои тацрибй - масъалаи дифраксия - усули квадратураи механики -муодилауои синулярии интегро-дифференсиалй - муодилауои аппроксимативй - муодилауои операторй.
M.G.Akhmadiev, Yu.Kh.Khasanov* DRAWN NEAR METHODS OF THE DECISION INTEGRO-DIFFERENTIAL
EQUATIONS
Kazan chemist-technology University, Russian-Tajik (Slavonic) University In work for the numerical decision singular integro-differential equations of the problem diffraction is used method of the mechanical squarings. It is proved that this method is stable for small indignations element aproximating equations.
Key words: approximate methods - diffraction problem - method of the mechanical squaring - singular and integro-differential equations - aproximating equations - operators equations.
