CC BY
26
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Аннотация. Предложен и обоснован метод механических квадратур для приближенного решения линейных и нелинейных гиперсингулярных интегро-дифференциальных уравнений с подвижными особенностями. Даны оценки погрешности и быстроты сходимости.
Ключевые слова: гиперсингулярные интегральные уравнения, метод механических квадратур, сходимость.
Abstract. Offered mechanical quadrature method for solution of linear and nonlinear hypersingular integro-differential equations. The value of error are received. The rapidly of the convergence are estimated.
Keywords: hypersingular integral equations, mechanical quadrature method, con-vergance.
1. Приближенное решение линейных гиперсингулярных интегродифференциальных уравнений на замкнутых контурах
Рассмотрим гиперсингулярное интегродифференциальное уравнение
где у - единичная окружность с центром в начале координат; p - натуральное число, p = 2, 3,...
Частными случаями уравнения (1) при p = 1 являются сингулярные ин-тегродифференциальные уравнения. Приближенные методы решения сингулярных интегродифференциальных уравнений предложены в работах И. В. Бойкова [1], И. В. Бойкова и И. И. Жечева [2]. Подробное изложение этих результатов приведено в монографии [3]. В данной работе, как и в работах [1-3], обоснование приближенных методов решения гиперсингулярных интегральных уравнений основано на общей теории приближенных методов Л. В. Канторовича [4]. Другой подход к построению и обоснованию приближенных методов решения гиперсингулярных интегральных уравнений предложен в работах [5, 6].
В качестве граничных условий в уравнении (1) возьмем следующие:
где V = max(m,l).
Будем считать, что коэффициенты и правая часть уравнения (1) удовлетворяют одному из следующих условий:
1) ak ^), k = 0,1,..., m, f (0 е Ha, hk ^, х) - удовлетворяет условию Гельдера Ha по первой переменной и принадлежит классу функций
Wp~1Ha по второй переменной, 0<а<1, k = 0,1,..,^
(1)
(2)
2) (t), f (t)eWrHa, k = 0,1, ..., m, hk(t,т) - принадлежит классу
функций WrHa по первой переменной и классу функций Wr+p 1Ha по второй переменной, 0< a< 1, k = 0,1,.., l.
Кроме того, будем считать, что функции ak(t), k = 0,1,..,m, hk(t,т), k = 0,1,.., l, f (t) периодические с периодом 2я по всем переменным.
Через Y = Нр (0 < Р < a) обозначим банахово пространство функций x(t), удовлетворяющих условию Гельдера с показателем Р, с нормой
II x(t)IIy =11 x(t)IIhr = max| x(t)| + sup I (1)-----(р2)!.
р tey (г1,г2)еу,f1itt2 111 -12 I
Через X обозначим банахово пространство функций непрерывно дифференцируемых до s -го порядка, производные s -го порядка которых удовлетворяют условию Гельдера На. Норма в пространстве X вводится формулой
II , (k ),ч, Ix( s)(t1) - x( S)(t2)I
II x(t)||X = ZmaxI x (t)I + sup --------------------------р-,
k=0 tey (V^Y,t1=zf2 111 -12 |
0< Р < a.
Пусть s = max(m,l + p -1). Тогда приближенное решение граничной задачи (1), (2) будем искать в виде полинома
n -1
xn (t) = Zaktk+s + Z aktk. (3)
k=0 k=-n
Коэффициенты {ak} определяются из системы линейных алгебраических уравнений, которая в операторной форме имеет вид
K x = P
■Ivn-A'n ■'n
£ ak (t) x(nk )(t) + -L £jPn
k=0 k=0у
hk (t, т) x(nk)(т)
(т-t)p
d т
= Pn [ f (t)], (4)
где Рп (Рп) - оператор проектирования на множество интерполяционных
тригонометрических полиномов по узлам = е*к, = 2кп/(2п + 1)
(= ™к, ц = (2к + 1)п/(2п +1)), к = 0,1,.2п.
Теорема 1. Пусть краевая задача (1), (2) однозначно разрешима и выполнены условия 1. Тогда при п таких, что д = А\п2п/па_°, система уравнений (4) однозначно разрешима и справедлива оценка
* * УЧ ™_О * *
II х _ хп ІІЯр- А\п2п/п р, где х и хп - решение краевой задачи (1), (2) и
системы уравнений (4) соответственно.
Доказательство. Прежде всего проведем обоснование разрешимости метода коллокации для краевой задачи (1), (2). Метод коллокации в операторной форме записывается в виде
К х = Р
^п^п *п
Так(ґ)хпк)(ґ) + £ 2-1М^.ат к=0 2и,-!
к=02лУ (х_ґ)р
= Рп[ / (Ґ)]. (5)
Пользуясь определением гиперсингулярного интеграла, приведем краевую задачу (1), (2) и уравнение (5) к эквивалентному сингулярному интегро-дифференциальному уравнению и аппроксимирующей последнее по методу коллокации системе уравнений. В результате имеем
к=0
£ 1 (_1)р_ (•(%(ґ,х)х(к)(х))(р_1) =
к“02га' (Р _1)!
К = £°к (ґ) х( к )(ґ) + £ 2_ | ё х = /(ґ), (6)
х _ ґ
К х = Р
п п п
£ак(ґ) х<пк )(ґ)
к=0
+ £ 1 (_1)Р_1 Г (Ь(ґ,х)х(к)(х))ХР_1) ^х
^ 'І'ТГІ ^ __ 1 Л1 J
к=02га' (Р _1)!
х _ ґ
= Рп [/(ґ)].
(7)
Здесь через (Н(^, х)х(х))^.р 1)(х) обозначена производная (р -1) порядка по переменной х.
Продолжим преобразование уравнений (6), (7). Очевидно,
Кх = £ак (ґ) х(к )(ґ)
1 (_1)Р_1 (ґ, х) х(/+Р_1)(х)
к=0
2л/ (р _ 1)!
х _ ґ
1+Р 2 1 гИ*(ґ х)х(к)(х)
£ 2_ ГНк (ґ, х)х ^ ах = /(ґ), - 2л^ х _ ґ
к=0
У
(8)
К х = Р
Л^пЛп 2п
£ак(ґ)хпк)(ґ)+2 . ( 1)!
к=0 2л (р _1)!
1 (_1)р_1 (ґ, х) хЩ+р_1)(х)
I
х _ ґ
I+р_2
1 ґ% (ґ, х) х(пк )(х)
к=0
ё х
х_ ґ
= Рп [ / (ґ)].
(9)
Здесь через ,х), к = 0,1,.,/ + р - 2, обозначены функции, по-
строение которых очевидно.
Уравнения (8) и (9) удобно представить в следующем виде:
Кх = £
к=0
ак (ґ) х( к )(ґ) + Ьк (ґ)— Г
УЛ7 *
1 гх(к)(х)ё х
2л/ •' х _ ґ
У
Г Ьк (ґ, х) х(к)(х)ё х
= / (ґ), (10)
К х = Р
•“■п^п п
£
к=0
ак(ґ)х<пк) (ґ)+Ьк(ґ) 2- Гх ^ёх +
2Л7 * х _ ґ
+Г Ьк (ґ, х) хпк )(х)ё х
2лН х _ ґ
У
= Рп [/(ґ)]. (11)
Здесь при т < 5 коэффициенты а*(0 = 0, к = т + 1, т + 2,..., 5; при / + р - 1< 5 коэффициенты Ьк ^) = 0, к = / + р, / + р + 1, ..., 5. Коэффициент
.. Н (г, 0(-1)р-1 ,, ч
Ь + р -1(^ )=—---------, построение коэффициентов Ьк у ), Ьк у, х),
(р -1)!
к = 0,1,.,5, очевидно.
Преобразования, которые привели граничную задачу (1), (2) к граничной задаче (10), (2), тождественны. Граничные условия (2) выполнены для полиномов (3).
Таким образом, задача обоснования метода коллокации для краевой задачи (1), (2) сведена к обоснованию метода коллокации (11) для сингулярного интегродифференциального уравнения (10) с граничными условиями (2).
Метод коллокации для линейных сингулярных интегродифференци-альных уравнений обоснован в работе И. В. Бойкова и И. И. Жечева [2] (см. достаточно подробное изложение в [3]). Из результатов этих работ следует,
что при п таких, что д = А 1п п/па-Р <1, система уравнений (11) однозначно
* ** ^_Р * **
разрешима и справедлива оценка || х - хп ||< А 1пп/п р, где х и хп - решение краевой задачи (1), (2) и системы уравнений (11) соответственно.
Так как система уравнений (11) получена из системы уравнений (7) тождественными преобразованиями, то при указанных выше значениях п
система уравнений (9) однозначно разрешима и функция хп является ее решением.
Таким образом, доказано, что оператор К е [X, У] при граничных условиях (2) непрерывно обратим и при п таких, что д = А 1п п/па-Р < 1, оператор Кп е [Хп,Уп] непрерывно обратим.
Здесь через Хп с X обозначено множество полиномов вида (3) с нормой пространства X, а через Уп обозначено множество полиномов вида
£ а/
к=-п
с нормой пространства У (напомним [4], что символом [X, У] обозначается множество линейных ограниченных операторов, отображающих нормированное пространство X в нормированное пространство У ).
Для обоснования метода механических квадратур (4) оценим норму разности операторов Кп и Кп в метрике пространства Уп.
Очевидно,
II Кпхп Кпхп ІІУ _
Рп £ ^
к=0 у
Ьк (ґ, т)х(к}(т)
(т- Ґ У
ё т
(12)
где Рп = I -Рп, I - тождественный оператор. Вначале оценим норму
Рп к к (ґ, т)х(/)(т) ё т
J п _ У _ (т-ґ)Р _
(13)
Рассмотрим полином
Рп
I
К1 (ґ, т) хЦ )(т) (т- ґ)Р
ё т
(14)
Воспользовавшись определением гиперсингулярных интегралов, имеем
Рп
Iк/(ґ, т) ^(т) ё т
(т- ґ)Р
= Рп
= Рп
(-1) Р-11 (к/ (ґ, т) х(п )(т))( Р-1) т)
(Р-1)!
(-1)Р-1 [к1 (ґ, т) хп/+р-1)(т)
(Р -1)!
I
т-ґ
ё т
т-ґ
-------+ Рп
(-1)Р-1 Г [к/ (ґ, т)](р-1) хЦ)(т)
(Р-1)!
I
ё т
т-ґ
(15)
Рассмотрим первое слагаемое в правой части предыдущего выражения (остальные слагаемые рассматриваются аналогично).
Обозначим через Щ (^, т) тригонометрический полином наилучшего равномерного приближения степени (п - 5) по каждой из переменных к функции Ь ^, т). Тогда
I =|| Рп
(-1)Р-1 Г ' к (ґ, т) хЦ+Р -1)(т)' -Рп ' к/ (ґ, т) хЦ+Р-1)(т)'
(Р -1)! * _ У т-ґ т-ґ
ІІУ <
<|| Рп
(-1)Р 1 (і+р-1)
(р-1)!1 т-ґ п
ёт ||у +
+1| Рп
(-1)р-1 г к (ґ,т)хп+р-1)(т)- Рп [К/(ґ,т)хЩ+р-1)(т)]
(Р -1)!
I
т-ґ
]ёт
||у +
п
+ II Рп
(-1) р- \ | Рп № (ґ, X)-к (ґ, X)) хП+р -1}(т)] а т
(Р -1)!
X-ґ
ІІУ +
Рп (-1)р -1 г ' Рп [(к (ґ, X)хЩ+Р-1)(х)] ' -Рп ' (к (ґ, X) хШ+р -1)(х)' ё X
(Р -1)! г X - ґ X - ґ
-1} +12 + /з +14. (16)
Оценим каждое из выражений /1 - /4 в отдельности.
Для оценки /} заметим, что по известной теореме С. Н. Бернштейна
II 1/(,х) -111 (',х)||с< А 1пптах|[к/(*,х)], Е%-5[к/(^х)]}.
Отсюда следует, что функция ^, х) -к/ ( I, х)- /2/ ( I, х) входит в класс
Гельдера по переменной х с показателем 1/ 1п п и с коэффициентом
А 1ппЕп(к/), где Еп(к1) — 1пптах|еП[к/(^х)],ЕП[к/(^,х)]}. Поэтому
/1 <АЦх^Р-1)(0||Яр пР 1ппЕ*(к1). (17)
Заметим теперь, что функция
(,, х)—1('.х)-1 ('.() 4!+р-Ч(х)
х
является полиномом степени 2п по переменной х. Тогда, воспользовавшись формулой Гильберта для сингулярных интегралов и свойствами квадратурных формул наивысшей тригонометрической точности, имеем (по аналогии с [3, с. 172])
Рп Г к ( ґ, X) х^+р -1)(X) ё 1 Г X- ґ = Рп Р
_ У А Уп _ У
к (ґ, X) хП+р-1)(х)
х- ґ
ё х
Рп
•Рп Щ (ґ, X)хП+Р-1)(Х)] ёх
х- ґ
(18)
Из этой формулы следует, что
12 =0.
Оценим норму разности
Рп
| Рп [(к ( ґ, X) - к1 ( ґ, X)) хПП+р-1)(^]
ё X
X- ґ
(19)
< Ап$ \п1пЕ*(к1). (20)
Возвращаясь к формуле (18), имеем
Рп
| РЛ к, (г, т) х—+* -1)(т)] а т
x-t
У
-
уп Рп р”» _ У
И (t, т) х—+* 1)(т)
т-t
ё т
. (21)
Для доказательства формулы (21) воспользуемся формулой Гильберта [7]:
1 Г = 1 I" ф(е—а )^ ——- ё а + — Гф(ега )ё а.
-3 т-1 п* 2 ^
Тогда
- Рп
П
I
Р—[Ъ1 ($, т) хЩ+*-1)(т)]
ё т
т-1
= 2- Рп 2-
2-
Ь (е—-, е—а)х—+*-1)(е—а)'
а-- ,
ctg-------ё а +
2
2-
— Г р— 2- ^
Н1 (е—-, е—а) х—+*-1)(е—а)'
ё а
= Т- Рп 2-
2-
I Р " Ьц (е—-, е—а) х—+*-1)(е—а)" (а)
_ 0
- Р"
Ь(е—-,е—а)хП1+*-1)(ег—) (-)>ё—
а--
+Р-
I -Л м
2-
^ Г
2- ■>
Рс
1 и
Ь, (е—-, е—а) х(1+*-1)(е—а)'
ё а
= — Р -2- п
2-
Г р—( р° | 1 п И п ~И(е—-, е—а) х—+* -1)(е—а)"
* \ _ 0
(а) -
- Р"
ье,ею)х^-^(^) (-))ctg—2— ёа
а--
+Р -
2-
— Г рп° 2- ^ п " к (е—-, е—а) х—+*-1)(е—а) " ё а
_ 0
|Рп
2- И, (е“, е,а) хЦ+*-|)(е,а )^ а- + 2- 2
+—Щ (в“, в'°) х 2п
™ віа)х(1+Р-1)(віа
(в'°)
ё а = Р1 п - |РпТ Н (і, т)х(п+р 1)(т) т-і ё т
_ У L 2
Из неравенств (16)-(21) следует, что
I <ЛгРЕп(И1 )1п2п || хп ||. Повторяя проведенные выше рассуждения, имеем
~
Рп К
_ У
(Н (і, т))(р-1) хП)(т)'
Т-Ґ
ё т
< Ап$Еп(Н<,)1п2« || х„ ||х
(22)
(23)
Из формул (12), (22), (23) следует оценка
|| Кпхп - Кпхп \\і< Ап-(а-Р)1п2п || хп ||X • (24)
Из оценки (24) следует, что при п таких, что д = Ап-(а-^)1п2п < 1, оператор Кп имеет левый обратный. Так как оператор Кп действует из конечномерного пространства Хп в конечномерное пространство Уп, то из существования левого обратного оператора следует существование обратного оператора К-1.
Близость решений уравнений (1) и (4) оценивается так же, как при исследовании сингулярных интегральных уравнений.
Теорема доказана.
Теорема 2. Пусть краевая задача (1), (2) однозначно разрешима и выполнено условие 2). Тогда при п таких, что А\п2п/пг-р+1+а-Р <1, система уравнений (4) однозначно разрешима и справедлива оценка
|| X* - х*||Яр< А1п2п/пг-р+‘+а-0
Доказательство теоремы 2 подобно доказательству теоремы 1 и поэтому опускается.
2. Приближенное решение нелинейных гиперсингулярных интегродифференциальных уравнений
Рассмотрим нелинейное гиперсингулярное интегродифференциальное уравнение
Ьх . (і,х(к>(,)) + 2_ £ Г= /(і), (25)
к=0
2пік=0У (т-і)
где у - единичная окружность с центром в начале координат, р = 2,3,...
На функции ак (і,и) и Нк (і, т,и) наложены следующие условия:
1) функции ак (і, т), к = 0,1,..,т , имеют частные производные по второй переменной, и удовлетворяют условию Гельдера по обеим перемен-
ным. Функции Н£ (V, т, и), к = 0,1,..., /, имеют частные производные до (р -1) порядка по второй переменной и до р -го порядка по третьей переменной, причем функции Нк(V,т,и), к = 0,1,..., /, и их частные производные удовлетворяют условию Гельдера с показателем а по всем переменным;
2) функции а£(V,т), к = 0,1,..,т , имеют частные производные до р -го порядка по первой и второй переменной соответственно, причем как сами функции, так и их частные производные удовлетворяют условию Гельдера по обеим переменным. Функции Нк (V, т, и) к = 0,1,.,/, имеют частные производные г -го порядка по первой переменной, до (р + г - 1)-го порядка по второй переменной и до (г + р) -го порядка по третьей переменной, причем как сами функции, так и их частные производные удовлетворяют условию Гельдера с показателем а по всем переменным.
Частным случаем уравнения (25) при р = 1 являются нелинейные сингулярные интегродифференциальные уравнения. Приближенное решение нелинейных сингулярных интегродифференциальных уравнений исследовано в работах И. В. Бойкова [1], И. В. Бойкова и И.И. Жечева [8]. Подробное изложение этих результатов дано в монографии [3].
В качестве граничных условий для уравнения (25) возьмем равенства (2).
Приближенное решение уравнения (25) будем искать в виде полинома (3), коэффициенты которого определяются из системы нелинейных алгебраических уравнений
РиХи ~ Рп
т / 1
£ ак (V, хПк V)) + £ — \Рп
к=0 к=0 у
Нк (V, т, хПк )(т))
(т-t)
ё т
Рп [ / (V)]. (26)
Операторы Р и Р были введены в п. 1.
Для решения системы уравнений (26) воспользуемся методом Ньютона -Канторовича, который в операторной форме имеет вид
хт+1(о=хт(V) - [ь'п(х0)]-1[Ьпхт - / т (27)
где /п (V) = Рп [/(V)], Ь'п (х0) - производная Фреше (или Гато) на начальном элементе х0.
Для осуществимости метода Ньютона - Канторовича необходимо, чтобы существовал ограниченный обратный оператор [ Ь!п (х0)] 1. Нетрудно видеть, что производные Фреше операторов Ь и Ьп на элементе х0 имеют вид
Ь'(х0)х = £ Г дак (, ик) к=0
дик
£ гГ дНк (,т, ик )
1
2га
хк (V) +
/
к=0
диь
=х(к)(
у
ик=х0 (т)
х( к)(т)
Ьп (х0) хп ~ Рп
т
£
к=0
дак (, ик) дик
(т-t)р
Л
ё т;
'ик=х0к )(t\
'2га£0^и
к=0 у
дкк (, х, ик)
дик
^ х(к) Л-у,
=х0к)(
ик=хо (х)
(х)
ё х
соответственно.
В случае, если оператор Ь'( х0) непрерывно обратим, обратимость оператора Ь'п (х0) при достаточно больших п, значения которых определены в условиях теорем 1 и 2, следует из этих теорем. Таким образом, при указанных значениях п итерационный процесс осуществим. Для сходимости этого процесса необходимо проверить выполнение условий теоремы 6.8 из главы «Введение» монографии [3]. Нетрудно видеть, что при достаточно хорошем начальном приближении х0, последовательность (27) сходится к решению * * * хп уравнения Ьпхп = /п. Близость решений х и хп уравнений (25) и (26) оценивается по такой же схеме, как и для нелинейных сингулярных интегральных уравнений (см. [3, с. 214]).
Таким образом, доказана справедливость следующих утверждений. Теорема 3. Пусть выполнены следующие условия:
*
1) уравнение (25) имеет единственное в некоторой сфере Б(х , 8),
*
8>0,решение х (V);
*
2) оператор Ь (х0) е [X, У \, х0 е Б(х , 8), непрерывно обратим;
3) выполнены условия 1.
Тогда при п таких, что д = А 1п3 п /па-^ < 1, система уравнений (26)
*
имеет единственное решение хп и справедлива оценка
х - х„
< А 1п п / п
а-р
Теорема 4. Пусть выполнены следующие условия:
*
1) уравнение (25) имеет единственное в некоторой сфере Б(х , 8),
*
8>0,решение х (ґ);
2) оператор Ґ(хо) є[X, У ], хо є Б(х , 8), непрерывно обратим;
3) выполнены условия 2.
Тогда при п таких, что д = А 1п3 п /пг-р+1+а-р < 1 система уравнений
*
(26) имеет единственное решение хп и справедлива оценка
< А 1п3 п / пг - р+1+а-Р.
х - х„
X
Список литературы
1. Бойков, И. В. Принцип компактной аппроксимации в возмущенном методе Галеркина / И. В. Бойков // ДАН СССР. - 1974. - Т. 215. - № 1. - С. 11-14.
2. Бойков, И. В. К приближенному решению сингулярных интегродифферен-циальных уравнений 1 (линейные уравнения) / И. В. Бойков, И. И. Жечев // Дифференциальные уравнения. - 1973. - Т. 9. - № 8. - С. 1493-1502.
3. Бойков, И. В. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков. - Пенза : Изд-во ПГУ, 2004. - 316 с.
4. Канторович, Л. В. Функциональный анализ в нормированных пространствах / Л. В. Канторович, Г. П. Акилов. - М. : Наука, 1959. - 684 с.
5. Бойков, И. В. Приближенное решение гиперсингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков, Е. Г. Романова // International Conference on Computational Mathematics. - Novosibirsk, 2004. - Part first. - P. 411-417.
6. Бойков, И. В. Сплайн-коллокационный метод решения гиперсингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков, А. И. Бойкова // Вестник Харк. нац. унта, 2007. - № 775. - Вып. 7. - С. 36-49. - (Математическое моделирование. Информационные технологии. Автоматизированные системы управления).
7. Гахов, Ф. Д. Краевые задачи / Ф. Д. Гахов. - М. : Наука, 1963. - 640 с.
8. Бойков, И. В. К приближенному решению сингулярных интегродифферен-циальных уравнений 2 (нелинейные уравнения) / И. В. Бойков, И. И. Жечев // Дифференциальные уравнения. - 1975. - Т. 11. - № 3. - C. 562-571.
Бойков Илья Владимирович
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет
E-mail: math@pnzgu.ru
Захарова Юлия Фридриховна
кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет
E-mail: math@pnzgu.ru
Boykov Ilya Vladimirovich Doctor of physico-mathematical sciences, professor, head of sub-department of higher and applied mathematics,
Penza State University
Zakharova Yuliya Fridrikhovna Candidate of physico-mathematical sciences, associate professor, sub-department of higher and applied mathematics, Penza State University
УДК 517.392 Бойков, И. В.
Приближенное решение гиперсингулярных интегродифференци-альных уравнений / И. В. Бойков, Ю. Ф. Захарова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2010. -№ 1 (13). - С. 80-90.
