Сравнение конечно-разностного и конечно-элементного методов в задачах импульсного нагружения элементов горных машин Текст научной статьи по специальности «Физика»

В.П. Франчук, проф., д.т.н., К.С. Заболотный, доц., д.т.н., А.Л. Жупиев,

Национальная горная академия Украины

Сравнение конечно-разностного и конечно-элементного методов в задачах импульсного нагружения элементов горных машин

Во многих задачах динамики горных машин (канатная подъемная машина [1], конвейер)

требуется определить максимальные

динамические усилия при нагружении, близком к мгновенному приложению нагрузки. Для решения таких задач приходится прибегать к различным методам дискретизации, наиболее распространенными из которых являются метод конечных разностей (МКР) и метод конечных элементов (МКЭ). Если для сопоставимых статических задач оба метода дают примерно одни и те же результаты, то этого нельзя сказать о динамических задачах. В МКР матрица инерции (матрица масс) всегда диагональна. В ранних работах по МКЭ масса элементов обычно предполагалась сконцентрированной в узлах, что так же приводило к диагональной матрице, даже если не существовало сосредоточенных масс. В 1963 Арчером [2] и независимо от него Лекки и Линдбергом [3] для некоторых динамических задач было доказано, что подобная процедура приводит к плохой аппроксимации. Общее выражение для матрицы масс элемента было получено Зенкевичем и Ченгом [4]. Для матрицы распределенных масс элемента был введен термин “согласованная матрица масс”. В обобщающей работе Зенкевича [5] утверждается, что “эта матрица является единственно допустимой матрицей, используемой при расчете”. В аналогичной отечественной монографии Постнов и Хархурим [6] подтверждают целесообразность такого подхода. Для нелинейной динамики Оден [7] предлагает естественное обобщение формулы Зенкевича. Следует отметить, что все выше перечисленные работы относятся к низкочастотному спектру колебаний. В данной работе анализируется импульсное нагружение.

Воспользуемся общим уравнением динамики [5], справедливым как для МКР, так и для МКЭ:

8 82

[ К ]{б} + [ С]—{ б} + [ М ]—{ б} + {F} = 0 .

8t 81

В МКР матрица масс диагональная, а в МКЭ определяется интегрированием по объему элемента

[ш„у=\ [М] Р[М^¥

с учетом выбранной аппроксимации перемещений

{/} = [М]{б} .

Матрица [т,] обычно называется матрицей масс элемента, а [М] — матрицей масс системы.

Сравним результаты МКР и МКЭ с аналитическим решением для импульсного нагружения упругого одномерного тела.

Пусть EF — продольная жесткость стержня, р — его плотность, L — длина, N — количество элементов, тогда для отдельного элемента его масса и жесткость

рЬ EFN „ „

т = ^-г, с = . Стержень закреплен в точке х=0, а в

точке х=Ь начиная с 1=0 приложена единичная растягивающая сила. Для иллюстрации различий в исходных расчетных схемах МКР и МКЭ приведем в явном виде для случая N=4 матрицу жесткости

[К] =

Г -1 0 0 '

-1 2 -1 0

0 -1 2 -1

V 0 0 -1 11

матрицу масс МКР

(1 П П П ^

[м]=

10 0 0

0 10 0

0 0 10 0 0 0 0,5 I

V" " " "-V

матрицу масс МКЭ

' 4 10 0'

[, ,] m 1 4 1 0

[М]=--

1 1 6 0 14 1

ч 0 0 12

Если стандартными методами [5] диагонализировать матрицу масс МКЭ, то соответствующая матрица жесткости будет не 3-х диагональной, а полностью заполненной. С физической точки зрения такая матрица жесткости свидетельствует о переходе от локальной теория поля упругости к нелокальной теории среды с микроструктурой, характерными свойствами которой являются дискретная структура и силы дальнодействия

Результаты расчета для N=79 приведены на рисунке (MKR1 — распределенные по длине стержня усилия, вычисленные по МКР, в процентах от величины приложенной силы, МКЕ1 — вычисленные по МКЭ и Т1 — по формуле Даламбера).

При применении МКР после прохождения фронта волны наблюдаются осцилляции, что дает завышение усилий на 25%. Из-за нелокальности поля по МКЭ, ошибочные осцилляции двигаются со скоростью большей скорости звука. Это приводит к появлению ложных сжимающих усилий перед фронтом волны (ошибка достигает 31%).

Другими словами переход от МКР к МКЭ вызывает перемещение искаженной области, связанной с проявлением явления Гиббса [8], т.е. если точка xo — неустранимого разрыва a = /(х -0)< /(х + 0)= Ь , то

Л < a < Ь < В,

Л = Пт ,В = Пт .

п^-х>х^х0 -0 п^х0 + 0

При проведении практических расчетов следует обращать внимание на локализацию явления Гиббса,

с

т

которое не уменьшается при увеличении количества конечных элементов, и выбирать МКР (ошибка до 25%) или МКЭ (ошибка до 31%) в зависимости от особенностей конкретной инженерной задачи.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Флоринский В.Ф. Динамика шахтного подъемного каната. М.: Углетехиздат, 1955. - 240 с.

2. Archer J.S. Consistent Mass Matrix for Distributed Systems // Proc. Amer. Soc. Eng. - 1963. - Vol. 89. P. 161-169.

3. Leckie F.A., Lindberg G.M. The effect of Lumped Parameters on Beam Frequencies // The Aero. Quaterly - 1963. -Vol. 14. - P 234-238.

4. Zienkieviwich O.C., Cheung Y.K. The Finite Element Method for Analisis of Elastic Isotropic and Orthotropic Stabs // Proc. Inst. Civ. Eng. - 1964. - Vol. 28. P. 471-483.

5. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике: пер. с англ. - М.: Мир, 1975. - 541 с.

6. Постнов В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1974. - 343 с.

7. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред: пер. с англ. - М.: Мир, 1976. - 464 с.

8. Зигмунд А. Тригонометрические ряды: пер. с англ. -М.: Мир, 1965. - т.1. - 615 с., т.2. - 537 с.

© В.П. Франчук, К.С. Заболотный, А.Л. Жупиев