Дискретно-континуальная модель пространственных металлоконструкций грузоподъемных кранов Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УДК 621.874

Н. Н. Панасенко, А. В. Синельщиков Астраханский государственный технический университет

ДИСКРЕТНО-КОНТИНУАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ МЕТАЛЛОКОНСТРУКЦИЙ ГРУЗОПОДЪЕМНЫХ КРАНОВ

Проблема разработки математических моделей (далее - моделей) несущих металлоконструкций (м/к) грузоподъемных кранов не нова. В нормативных документах [1] предусмотрены упрощенные модели в виде плоских рам, загруженных пространственной нагрузкой. Аналогичный подход принят и в одной из последних фундаментальных работ [2]. Пространственные модели м/к с сосредоточенными массами разрабатывались авторами [3]. Континуальные модели м/к кранов без учета их специфики на основе программных средств ЭВМ для строительных конструкций рассмотрены в [4]. В [5, 6] получили развитие модели м/к кранов на основе теории МКЭ и теории тонкостенных стержней, которые в [5] были апробированы экспериментально в условиях динамического нагружения.

Однако, несмотря на признанные преимущества применения теории тонкостенных стержней для моделирования стержневых м/к кранов, малоизученной остается проблема разработки дискретно-континуальных моделей, когда отдельные элементы м/к необоснованно представлять как тонкостенными, так и оболочечными элементами, аналогично [4].

В основу дискретно-континуальной модели положено матричное уравнение движения пространственных м/к крана со многими степенями

свободы:

[М ]{к(о}+ [С ]{У (Г)}+ [К ]{У (Г)}+ {Д}(К (Г), V (Г )) = |ДСт }+ {Дд }- [М ][А^)}, (1)

где [М], [С], [К] - соответственно матрица масс, демпфирования и жесткости системы крана; {Д} - вектор нелинейных нагрузок, в частности сил трения в зонах контакта опорных частей кранов с рельсовыми путями, {Дст}, {Дд} - векторы статического нагружения и сил, возникающих при вынужденных колебаниях системы (дисбалансов, ударов в зазорах, других источников автоколебаний); [М ]{А(^)} - кинематическое нагружение системы, обусловленное осадкой опор, нагрузок от вибрационного поля на краны в промышленных зданияй с источниками вибраций, нагрузок от железнодорожного транспорта, метрополитенов.

Наиболее важный частный случай задачи (1) - уравнение статического равновесия системы с п степенями свободы:

[К]{К (0}+кт } = {0}, (2)

которое является исходным для верификации общей задачи динамики (1). Матрица жесткости [£] полной системы м/к крана порядка пхп на основе тонкостенных стрежней формируется методом суперпозиции из матриц жесткости отдельных конечных элементов (КЭ):

В выражениях (3) и (4) МХКОхУг и ОХКОхУг - местная и общая системы координат КЭ )к, а [Т] - известная матрица преобразования коорди-

соответствует вектору перемещений тонкостенного КЭ ук с 7 степенями свободы в узлах у и к:

|к(V)1 } 14Х1 -1(5хЪу 52фхф702&2)1 (5хЪу 52фхфу020 2) } , (5)

где из 7 перемещений каждого узла первые 3 - линейные, далее 3 - угловые и последнее - производная от угла закручивания (депланация).

Если выводу матрицы (4) посвящен ряд работ [5, 6] и она признана в том числе на нормативном уровне [7], то матрица жесткости континуального пластинчатого прямоугольного элемента в настоящей статье построена с учетом опыта [8] (рис. 1).

Рис. 1. Прямоугольный КЭ пластины: д1 - д12 - положительные направления узловых сил и перемещений

(3)

где

И ] °4ХК4 =[Т ]Т [к1* ] Г4Х14 [Т ]

(4)

Г )к 1 мхк

нат 14х14 [7]; Т - индекс транспонирования матриц. Матрица [К \ 14х14

14x14

I

У

В каждой узловой точке пластинчатого конечного элемента введено по три обобщенных перемещения: перемещение в направление оси г и два угла поворота соответственно вокруг осей х и у МСК. Тогда положение срединной поверхности прямоугольного элемента пластины приближенно определится обобщенными узловыми координатами (по три координаты на каждый узел).

Упругая поверхность элемента пластины аппроксимируется степенным полиномом, аналогичным функциям Эрмита из [9], содержащим 12 неизвестных параметров:

2=1

(6)

где обозначено:

31 = (1 + 2Х)(1 -Х)2(1 + 2л)(1 -Л)2

32 = (1 + 2Х)(1 -X)2 Л(1 -Л)2 Ь,

33 =-Х(1 -Х)2(1 + 2Л)(1 -Л)2а,

34 = (1 + 2Х)(1 -Х)2(3 -2Л)Л2,

35 =-(1 - 2Х)(1 -Х)2(1 -Л)Л2Ь,

36 =-Х(1 -Х)2(3 - 2л)л2«,

37 = (3 - 2Х)Х2(3 - 2Л)Л2,

38 =-(3 - 2Х)Х2(1 -Л)Л2Ь,

39 = (1 -Х)Х2(3 - 2л)лЧ

Эю = (3 -2Х)Х2(1 + 2Л)(1 -Л)2, Эп = (3 - 2Х)Х2л(1 -л)2 Ь,

Э„ = (1 -Х)Х2(1 + 2Л)(1 -Л)2 а.

(7)

х

х=-, а

Л =

Матрица жесткости [Л] элемента пластины определена исходя из общего выражения для его потенциальной энергии:

П а Ь

п и = Б 11

[у 2*( х, у)] 2 + 2(1 - V)

дхду

Э2* Э2*

"ЭХ2' "ЭУ2"

■ёхёу, (8)

где Б = -

12(1 - V)2

- цилиндрическая жесткость пластины; к, а, Ь - толщи-

на пластины; V - ее коэффициент Пуассона.

00

Если воспользоваться для Г(х,у) выражением упругой поверхности пластины, то правую часть (8) можно представить в квадратичной форме:

1 12 12 П и = 2 XX ,

2 7-1 к-1

(9)

где к7к - компонента матрицы жесткости прямоугольного элемента пластины:

к7к = 7 ]){у 2 Э7 V2 Э к + 2(1 - V )х

0 0

Э 2Э7 э2Эк 1 Э 2Э7 Э2Эк 1 Э 2Э7 Э 2Эк

ЭхЭу ЭхЭу 2 Эх2 Эу2 2 Эу2 Эх2

(10)

\dxdy.

Коэффициенты кк из (10) и являются элементами искомой матрицы жесткости элемента пластины порядка 12х12:

[к ]МХК -кк ].

(11)

В развернутом виде матрица жесткости прямоугольного элемента пластины имеет следующий вид:

™"” Чь

а1

°4 а2 Симметрично

а5 «3

а, °9 «11 «і

—а9 010 «23 «4

аи —“23 «12 аь «3

а8 а13 а14 «15 аів «17 «1

—а13 *13 я24 «16 *2о «25 ’ а2

—Ни «2І «17 —а25 —«5 а6 «3

а15 —«16 а17 «13 «14 «7 «19 -% ' “і 1

—а1в . «25 «13 | «18 «24 —-«19 «10 я* а2

— 17 «25 «22 «14 «24 «21 «23 «12 —ав а3

_ .

(12)

где введены следующие обозначения:

х

1

а1 = 41 m2 + — I +-(14 -4v)

m

1

5

4m2 4

-------+ — (1 - v)

3 15

а4 =

22 7S 2 б

35m2 35

+

m

+ —(1 + 5v)

25

3m

b,

44

+ — (1 - v) 15

2

а5 = -

7S 22 2 б ----2 + ^Tm + —(1 + 5v)

35m2 35

25

а,

аб =

7 ~ 2

35 m 2

—1 m 2 +I + — (l + б0 v) _35 ^ m2 J 50

54 15б_

35

m2 -

а9 =

13

7S

2

35m2 35

-------m --

72

25

_б_

25

аb, 54

35

2 1 I 72

m 2 + — I +-m2

25

а10 =

3

35 m

2б 2 2 I 2

- + — m 2------------------------Ib 2

2 35 25

а11 =

35 m2

35

m

+ — (1 + 5v)

25

а12 =

а13 =

18 4 2 S | 2

— ----------------m---------------|а

2 35 25

35 m 13

35m2

27 2 б

---------m +------------Ib,

35

25

(13)

14

Пб

27

35m

22

а17 =

а19 = І -

35m2

78 35 m 2 13

13 2 б 1

+ m2 I а,

35 25 J

27 2

m2 +б(+ + — (1 +

35 25

13 2 б 1

m2 + а,

35 25 J

15б 54 2 72

а^ =----------— +----m +-------.

15 35m2 35 25

а18 =

35m

З 9 2 2 . 2

—- + — m +— Ib 2 2 35 25

а 21 =

а23 =

24

35m

9

78 2 б

— +---------------m +-----Ib,

2 35 25

а 20 = І -

4

35m

18 2 8

— + — m-----------------------Ib

2 35 25

2

35m

13

З 2 2 | 2

— + — m +— I а 2 35 25

-11 m 2 —— (l + 5v)

70m2 35

13 f 2 1

— І m +70

50

50

а22 =

аb,

2б - 3 2 - 2 I 2

----- -----m--------I а

35m2 35 25

аb,

а 25 =

11

35m

13 2 1 Л e ч

— + — m----------------(1 + 5v)

2 70 50

аb,

а

m = —. b

2

2

b

а=

а=

а

2

3

b

+

а

2

b

Очевидно, что матрица жесткости элемента пластины (рис. 1) соответствует вектору перемещений (по направлениям степеней свободы):

{*1-4 }МСК = {(<М243

)(1) (^4qьq(! )(2) (^у^8^9 )(3) (4ю411412 )(4) Г , (14)

либо в содержательных терминах:

При формировании матрицы жесткости \К\гх„ полной системы матрица жесткости [к ]МСК должна быть преобразована к ОСК ОХ¥2:

[к]0С* = [т * }[к]МСК [т * ], (15)

где знак * означает матрицу преобразования \Т\ 12х12, полученную из \Т\ (см. выражение (4)) путем понижения ее ранга. В матрицу жесткости полной системы (3) матрица (15) вносится в соответствии со степенями свободы ее узлов, обозначенных на расчетной модели системы крана (см. рис. 3).

Внутренние усилия в стержневом (тонкостенном) КЭ ]к и КЭ пластины 1-4 будут иметь вид, соответствующий их векторам перемещений (5) и (14):

ШМкСК =\^хау^гМхМуЫ2Б) (ахауЫгМхМуМ2Б )к }Т ; (16)

{б}МС К ={(<32МхМу )(1) (дгМхМу )(2) (дМхМу )(3) (аМхМу )(4) }4, (17)

которые определяются по матричным формулам (18) и (19), где В - бимомент в узлах] и к тонкостенного стержневого КЭ:

1еГ =ММСК И* )+К ; (18)

{<5}М-СК = [к]М‘ск (И-4 {V };-4К )+{«„ }М-СК. (19)

Следует иметь в виду, что в (18) и (19) {V ^к^ и {V }О-СК - векторы искомых перемещений - выборки из полного вектора перемещений

{V С , полученного в ОСК в результате решения динамической (1) либо

статической задачи (2), а последние слагаемые в (18) и (19) - векторы суммирования реактивных внешних воздействий, приведенных к узлам стержневого и пластинчатого конечных элементов, обусловленных действием внешних нагрузок (собственный вес, внешние давление, сосредоточенные и распределенные силы и моменты и др.)

Нормальные и касательные напряжения, обусловленные внутренними усилиями (16) в стержневом КЭ ]к, определяются способами сопротивления материалов [10], тогда как в пластинчатом КЭ 1-4 напряжения в любой точке плоскости будут иметь вид тензора:

"С11 С12 С13

С = С21 С 22 С23

С31 С32 1 3 3 С

элементы которого вычисляются по формулам:

а) С хх = СП = ^- ґк 12Мхх . ґкЬ3 ’

б) С уу =С = уу ■С 22 = к 12Муу ґкЬ3

в) С ху = = рху = °12 = ґк 12Мху ґкЬ3

г) С хг = с13 = Єхг 13 ґкЬ ?

д) С уг ЄУг = С 23 =^^ 23 ґкЬ ?

е) С гг = С33 = 0 .

(20)

В формулах (20) внутренние силы и моменты в произвольной точке элементы пластины 1-4 соответствуют рис. 2, а поперечные силы в КЭ пластины Qxz и Qyz в (20) вычислены на основе уравнений его статического равновесия (см. рис. 1):

е»=-

о,= ■

дх

ду

дМу дМуу

(21)

дх

ду

Кроме того, в (20) № - толщина для мембранной и ШЪ - для изгиб-ной составляющей пластины.

Н>-

1 —- Ъ Р XX 4 1!

- \ а X

К

1 м„. ^ ь Мхх 4 1

Т X

а

б

Рис. 2. Внутренние усилия в текущей точке конечного элементы пластины: а - внутренние силы; б - внутренние изгибающие и крутящий момент

Если поперечными деформациями сдвига в КЭ пластины пренебрегают (для очень тонких пластин), то напряжения (20 г, д) обнуляются. Справедливо также указать, что в задачах динамического анализа полная масса КЭ? приведенная к узлам, редуцируется только по направлениям поступательных степеней свободы узлов, а массовые моменты инерции не вычисляются для вращательных степеней свободы.

Очевидно, что напряжения (20), как и обусловливающие их внутренние усилия (17), существуют в любой точке КЭ пластины, но в практических расчетах они вычисляются в узлах КЭ. Кроме того, на рис. 2 показаны направления главных напряжений.

Если считать построение матрицы масс стрежневого КЭ ]к с распределенной массой решением известным [7], то в уравнении движения (1) наименее изученным принято считать формирование матрицы демпфирования [С] п-го порядка. Для дискретных систем несущих м/к грузоподъемных кранов с распределенным частотно-независимом внутренним трением [11]

[СЬИМ-'МГ5[Г], [гМфЬз][ф]-‘, (22)

где [Г] - матрица потерь; [Ф] - фундаментальная матрица недемпфированных форм колебаний расчетной модели крана; [уз] - диагональная матрица, каждый член которой у зг) по 1 форме колебаний - коэффициент затухания. Для однородных систем матрицу потерь (22) можно упростить, приняв уз постоянной для всех форм колебаний:

[Г] = У з, (23)

причем уз = —, где 5з - логарифмический декремент затухания колебаний р

(8з = 0,05-0,1).

Следуя изложенному алгоритму, авторы разработали математическую модель сейсмических колебаний портально-башенного крана КП-480 грузоподъемностью 32/16 т (рис. 3) на вылете стрелы 14/30 м с целью проведения поверочного расчета на сочетание эксплуатационных нагрузок и сейсмических воздействий 7 баллов для зоны Иркутского землетрясения, спроектированного ОАО «Балткран» (Калининград).

Рис. 3. Расчетная модель крана КП-480 г/п 32/16 т на вылете стрелы 30/16 м производства ОАО «Балткран»

В заключение укажем, что расчетная модель (рис. 3) соответствует предложенной алгоритмической модели, причем центральная рама оголовка портала и поворотная колонна смоделированы пластинчатыми КЭ. При этом количество стержневых КЭ Sjk = 667, пластинчатых КЭ Р1-4 = 440, что составило для полной системы п = 729x7 степеней свободы. Результаты статического расчета крана КП-480 представлены на рис. 3, откуда видно, что оголовок стрелы с грузом 32 т получил вертикальное перемещение 0,45 м.

СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ

1. РТМ 24.190.07-85. Нормы расчета стальных конструкций мостовых кранов грузоподъемностью свыше 50 т. - М.: Минтяжмаш, 1985. - 102 с.

2. Лобов Н. А. Динамика передвижения кранов по рельсовому пути. - М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2003. - 232 с.

3. Энгельке М., Фишер У. Динамические исследования сейсмостойких кранов кругового действия // Проблемы создания сейсмостойких АЭС: Сб. матер. -Т. 1. - СФРЮ, г. Дубровник, 2-7 ноября 1981 г. - С. 97-113.

4. Расчет крановых конструкций МКЭ // Пискунов В. Г. и др. - М.: Машиностроение, 1991. - 240 с.

5. Панасенко Н. Н. Динамика и сейсмостойкость подъемно-транспортного оборудования атомных станций: Дис. ... д-ра техн. наук. - Новочеркасск: НГТУ, 1992. - 475 с.

6. Синельщиков А. В. Динамика и сейсмостойкость мостовых кранов: Дис. ... канд. техн. наук. - Астрахань: АГТУ, 2000. - 276 с.

7. РД24.090.83-87. Нормы расчета пространственных металлоконструкций грузоподъемных кранов атомных станций на эксплуатационные и сейсмические воздействия. - М.: Минтяжмаш, 1987. - 264 с.

8. Bathe K. J., Wilson E. L., Peterson F. E. SAP IV - A Structural Analysis Program for Linear Systems, Report No. EERC 73-11, Earth Center, University of California, Berkeley, 1974.

9. Постнов В. А., Хархурим И. Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. - Л.: Судостроение, 1979. - 239 с.

10. Синельщиков А. В. Анализ напряженно-деформированного состояния пролетных строений грузоподъемных кранов с учетом волновых свойств сейсмического воздействия: Материалы Междунар. науч.-техн. конф. - Могилев: ММИ, 1999. - С. 283.

11. Цейтлин А. И. Об учете внутреннего трения в нормативных документах по динамическому расчету сооружений // Строительная механика и расчет сооружений. - 1981. - № 4. - С. 33-38.

Получено 17.01.06

DISCRETE-CONTINUUM MODEL OF SPATIAL METALWEAR OF CLIMBING CRANES

N. N. Panasenko, A. V. Sinelshchikov

Problems of creating continuum models of spatial metalwear of climbing crane are being described which comprise cane segments and plate finite segments. Analytical relation has been brought for creating the stiffness matrix of plate segment, and the calculation results were given for gantry crane KP-480 with carrying capacity 32/16 t, the model of which was built using the described above approach.