Способ формирования матрицы жесткости конструкции антенны Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

Якимов А.Н.

СПОСОБ ФОРМИРОВАНИЯ МАТРИЦЫ ЖЕСТКОСТИ КОНСТРУКЦИИ АНТЕННЫ

Оценка влияния механических воздействий на геометрические характеристики упругих тел криволинейной формы, к которым относится, например, параболический металлический отражатель зеркальной антенны, представляет собой сложную задачу. Упрощение решения этой задачи может быть получено в результате конечно-элементного представления рассматриваемого отражателя. Спецификой трехмерной модели отражателя антенны является необходимость ее построения по двумерной электродинамической модели излучающей поверхности. В основе такой обобщенной модели лежат тетраэдры, вершины которых совпадают с характерными точками (узлами) излучающей поверхности, при этом возникающие вследствие механических воздействий деформации однозначно учитываются в электродинамической модели излучения антенны, что позволяет оценить влияние этих воздействий на характеристики излучения антенны [1].

С учетом заданных точек закрепления отражателя и силовых воздействий на него, задача упругости может быть решена в матричной форме по методу перемещений [2] . При этом вектор перемещения всех узлов сетки конечных элементов (КЭ) составляется из векторов перемещения каждого незакрепленного

(неопорного) узла {^С} = { &\ ■■■ ^} , вектор сосредоточенных усилий воздействий включает воздействия

на все эти незакрепленные узлы {*} = & Г ■■■ Г} , а зависимость между ними приобретает вид

{Я} = [К] • {£с} ,

(1)

где [ К] — общая матрица жесткости всей конструкции; к — число незакрепленных узлов сетки. Учитывая, что к одному узлу сетки обычно примыкают несколько КЭ, каждый из которых вносит вклад в матрицу жесткости, для каждого I - го узла общая матрица жесткости [К] будет включать сумму эле-

ментов матрицы жесткости

\-kts

сех примыкающих к узлу элементов,

[К ] = 2 [К ] . Для формирования

общей матрицы жесткости конструкции из матриц жесткости отдельных КЭ необходимы специальные методики и алгоритмы, позволяющие последовательно соединять КЭ во фрагменты более высокого уровня. Таким образом, формирование матриц жесткости конструкций является фактически самостоятельной задачей, решению которой уделяется значительное внимание.

Известно [3], что для нахождения распределения потенциала в пространстве методом конечных элементов широко используются матрицы, связывающие потенциалы разъединенных элементов с потенциалами объединенного набора элементов. Аналогично и для матрицы жесткости конструкции отражателя [К ] могут быть предложены специальные соединительные матрицы, позволяющие по матрицам жесткости фрагментов конструкции в автоматическом режиме получать общую матрицу жесткости всей конструкции.

Пусть отражатель, представляющий собой параболоид вращения, выполнен из сплошного металла, имеет заданную толщину и расположен в правой декартовой системе координат с центром в вершине параболоида. Из возможных вариантов разбиения отражателя на тетраэдры выберем - обеспечивающий минимальных порядок решаемых уравнений, которому соответствует минимальное число узлов объемной сетки, аппроксимирующей этот отражатель. При этом примем следующий порядок объединения тетраэдров в единую конструкцию криволинейного отражателя:

объединение тетраэдров в призмы (рис. 1);

2

А

Рис. 1. Объединение тетраэдров в призмы

объединение призм в параллелепипеды (рис. 2);

Рис. 2. Объединение призм в параллелепипеды

— объединение параллелепипедов по оси X в единый фрагмент (рис. 3);

Рис. 3. Объединение параллелепипедов по оси X в единый фрагмент — объединение по оси у фрагментов, законченных по оси х (рис. 4).

.е

Л'

Рис. 4. Объединение по оси у фрагментов, законченных по оси X

Предложенный алгоритм формирования конструкции антенны требует определения общих матриц жесткости конструкций [ к ] по матрицам жесткости формирующих ее фрагментов. Для реализации этого алгоритма необходимо специальное математическое обеспечение, позволяющее сложить в каждом узле элементы матриц жесткости примыкающих к нему фрагментов разбиения. Эффективным подходом к решению этой проблемы является разработка объединительных матриц соответствующего уровня, позволяющих выполнить необходимое сложение [1].

В соответствии с предлагаемой концепцией общая матрица жесткости конструкции [ К ] определяется поэтапно следующим образом.

Объединение тетраэдров в призмы (см. рис. 1) происходит с изменением нумерации общих вершин. Для осуществления этого объединения необходимо сформировать разъединенную матрицу жесткости треугольной призмы, представляемую в виде диагональной матрицы

Ш [0] [0] '

[0] [кл] [0] , (2)

[0] [0] [ке3]_

где [ке1 ] , [ке2] , [кез] — матрицы жесткости КЭ в виде тетраэдров, формирующих фрагменты конструкции в

виде призмы и описываемые формулой

[<№] ттщ к, о)

в которой: [ке ] — матрица жесткости КЭ; [ В] — матрица геометрических характеристик КЭ; [ &] —

матрица упругих характеристик КЭ; V — объем КЭ. Матрица жесткости \ке ] не зависит от действующих на элемент нагрузок и может быть вычислена для каждого элемента отдельно от них [2].

В свою очередь матрица [В] геометрических характеристик КЭ в виде тетраэдра может быть определена как [1, 2]

[К

йргг

[Б] =

ь 0 0 ь] 0 0 Ьт 0 0 Ьп 0 0

0 с 0 0 с] 0 0 Ст 0 0 сп 0

0 0 4 0 0 4] 0 0 4 т 0 0 4п

с ь 0 С ь] 0 Ст Ьт 0 сп Ьп 0

0 4 с 0 4] с] 0 4т ст 0 4п сп

4 0 ь 4 0 ь] 4т 0 Ьт 4п 0 ьп

(4)

1 У] Х] 1 Х] У] 1

= 1 Ут гт ' С і = Хт 1 гт , 4 = Хт Ут 1

1 Уп гп Хп 1 гп Хп Уп 1

(5)

а формулы для остальных коэффициентов получаются путем циклической перестановки индексов:

1^ ] ^ т ^ п ^1 ; X , X- , хт , хп , у, , у- ,

ров с индексами I , ] , т , п .

Объем тетраэдра V определяется по формуле

Ут

Уп

координаты вершин тетраэд-

Х Уі гі 1

V, = - Х У 1

е 6 Хт Ут гт 1

_ Хп Уп гп 1

Матрица [ П] упругих

(6)

№

Е (1 -у)

(1 +г)(1 -У)

1 у/(1 -у) у/(1 -у) 0 0

у/(1 -у) 1 у/(1 -у) 0 0

у/(1 -у) у/(1 -у) 1 0 0

0 0 0 (1 -2г)/2(1 -у) 0

(7)

0 0 0 0 (1 -2г)/2(1 -V) 0

0 0 0 0 0 (1 -2г)/2(1 -V

где Е — модуль упругости Юнга; V — коэффициент Пуассона.

Матрица жесткости призмы п - го параллелепипеда [Кргп] может быть найдена как

где

ь

г

г

п

[КрГп] = [Срг] т [КЛрт][Срг],

(8)

где [Срг ] — матрица объединения (объединительная матрица) тетраэдров в призмы, учитывающая топологию отдельных КЭ.

Для формирования такой матрицы [Срг ] необходимо рассмотреть уравнение перехода от силового воздействия на узлы отдельных КЭ к воздействию на узлы единой конструкции с новой нумерацией (см. рис. 1):

{^123} = [Срг] • {^123} , (9)

где {-^12 з} — вектор-столбец 3 6-го порядка силовых воздействий на отдельные узлы разъединенных КЭ;

{Рс123} — вектор-столбец 18-го порядка силовых воздействий на узлы объединенного фрагмента конструкции (призмы).

Для объединения тетраэдров в призмы в соответствии с обозначениями, приведенными на рис. 1, уравнение (5) примет вид

Р ; '[1] [0] [0] [0] [0] [0]'

Р 2 [0] [1] [0] [0] [0] [0]

Р 3 [0] [0] [1] [0] [0] [0]

р4 [0] [0] [0] [1] [0] [0]

Р21 [1] [0] [0] [0] [0] [0]

Р22 [0] [1] [0] [0] [0] [0]

Р23 [0] [0] [0] [1] [0] [0]

Р24 [0] [0] [0] [0] [1] [0]

^31 [1] [0] [0] [0] [0] [0]

Р32 [0] [1] [0] [0] [0] [0]

Р33 [0] [0] [0] [0] [1] [0]

^34 .[0] [0] [0] [0] [0] [1] _

(10)

где ■■■ р4 — векторы-столбцы силовых воздействий 3-го порядка (по трем осям координат X , у и

2 ) на узлы 1...4 первого тетраэдра; Р21 ■■■ Р24 — векторы-столбцы силовых воздействий 3-го порядка на

1...4 узлы второго тетраэдра; Р31 ■■■ р4 — векторы-столбцы силовых воздействий 3-го порядка на 1.4 узлы

третьего тетраэдра; векторы-столбцы силовых воздействий 3-го порядка на 1.6 узлы призмы

(см. рис. 1); [1] , [0] — единичная и нулевая матрицы 3-го порядка.

Объединение призм в параллелепипеды (см. рис. 2) производится аналогично объединению тетраэдров в призмы, при этом формируются разъединенные матрицы жесткости параллелепипедов, представляемые в виде диагональных матриц вида

^р^] [0] '

_ [0] [Kprn2]_

[Kdppn] — разъединенная матрица п - го параллелепипеда фрагмента конструкции по оси x ; ^ ^

[ 2] — матрицы жесткости призм, формирующих фрагменты конструкции в виде параллелепипеда.

Матрица жесткости п - го параллелепипеда фрагмента конструкции по оси x может быть найдена как

dppn ]

(11)

[Kppn ] = [Срр Г [^ ][Срр ] ,

(12)

где [Срр ] — матрица объединения призм в параллелепипед, методика нахождения которой аналогична методике, приведенной ранее для [СрГ] .

Объединение параллелепипедов по оси x в единый фрагмент (см. рис. 3) производится исходя из разъединенной матрица жесткости m - го фрагмента \K^.m] , законченного по оси x :

[ Kx

Х^]

[0]

[0]

[0] [0]

■ [0] ■ [0]

■ [^рп ]

матрицы жесткости

(13)

параллелепипедов, формирующих законченный фрагмент при отсчете по оси у , законченного по оси

где ^рр^ ] ... \Kppn ] — матрицы жесткости п

конструкции по оси x .

Матрица жесткости т - го фрагмента конструкции [ ^ x , может быть найдена по выражению

[Кт] = СТ [^ ]Сх] , (14)

где [с, ] — матрица объединения по оси х фрагментов в виде параллелепипедов.

Объединение по оси у фрагментов, законченных по оси х (см. рис. 4) производится исходя из

разъединенной матрица жесткости [K^], всей конструкции:

[ К ]

[Кх] [0] ... [0]

[0] [Кхт] ... [0]

(15)

[К ] = [Су ]т [К4 ][Су ] ,

(16)

где [Су ] — матрица объединения по оси у фрагментов, законченных по оси х .

Предложенное решение задачи формирования общая матрица жесткости конструкции позволило в оболочке Ма^АВ создать пакет прикладных программ для исследования влияния внешних механических воздействий на характеристики излучения зеркальных параболических антенн и может быть рекомендовано для дальнейшего практического использования.

1. Якимов А.Н. Проектирование микроволновых антенн с учетом внешних воздействий: Монография. — Пенза: Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2004. — 260 с

2. Тимошенко С.П. Теория упругости/ С.П.Тимошенко, Дж. Гудьер// Пер. с англ. — М.: Наука,

1975. — 576 с.

3. Сильвестер П. Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков/

П. Сильвестер, Р. Феррари//. — М.: Мир, 1986. — 229 с.

4. Корн Г. Справочник по математике: Для научных работников и инженеров/ Г. Корн, Т. Корн//. —

М.: Наука, 1974. — 832 с.

ЛИТЕРАТУРА