Формирование матрицы жесткости волноводно-щелевой антенны Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

Талибов Н.А., Якимов А.Н. ФОРМИРОВАНИЕ МАТРИЦЫ ЖЕСТКОСТИ ВОЛНОВОДНО-ЩЕЛЕВОЙ АНТЕННЫ

Предлагается алгоритм построения геометрической модели волноводно-щелевой антенны, основанный на конечно-элементном представлении и необходимый для формирования матрицы жесткости её конструкции. Рассматривается способ формирования матрица жесткости, учитывающий сложную пространственную конфигурацию антенны. Даны численные оценки порядка решаемой задачи.

Для математического моделирования влияния механических воздействий на волноводно-щелевую антенну методом конечных элементов (КЭ) целесообразно действовать по следующему алгоритму: построить её конечно-элементную геометрическую модель; на основе геометрической модели и данных об используемом материале сформировать матрицу жесткости конструкции антенны; затем с учетом закрепления антенны и силовых воздействий на неё решить задача упругости в матричной форме по методу перемещений и определить перемещение узловых точек излучающей поверхности вдоль осей декартовой системы координат; далее по перемещениям узловых точек определить новое пространственное положение антенны и её излучающей поверхности [1,2].

Таким образом, одной из основных проблем при формировании матрицы жесткости конструкции антенны является синтез её геометрической модели с приемлемой степенью точности. В конечном итоге геометрическая модель - это результат компромисса между слишком большими вычислительными затратами при малом шаге дискретизации и погрешностью модели, вызывающей нарушение адекватности реальным физическим процессом при большом шаге [2-4].

Первый этап построения геометрической модели при решении задачи методом КЭ состоит в дискретизации рассматриваемой области антенны на тетраэдры. Такое разбиение позволяет получить наиболее полную информацию об объекте дискретизации, причем с каждым из элементов дискретизации связано определенное число численных параметров, необходимых для последующих вычислений (построения матриц, блокирования некоторых степеней свободы, решения систем уравнений, визуального представления и т.д.).

Для разбиения применяются следующие методы [3,5]:

разбиение "вручную" с представлением всей необходимой информации в виде структуры данных; построение покрытия области делением нескольких крупных элементов на более мелкие; построение покрытия области элементами, начиная с задания распределения точек на ее границе; построение покрытия области на основе сетки с узловыми точками, распределенными внутри области;

разбиения с помощью геометрического (симметрия, локальное или глобальное деление и т.д.) и/или топологического преобразования уже существующего разбиения;

трехмерное разбиение с помощью такой обработки двумерного разбиения, которое позволяет получать трехмерные элементы из двумерных.

Все перечисленные методы разбиения двумерных и трехмерных областей с геометрической точки зрения подразделяются на три основных класса [5]:

осуществляемые преобразованием отображения разбиения области с геометрически простой формой; осуществляемые преобразованием уже существующего разбиения;

прямое, элемент за элементом разбиение, начиная с задания распределения точек в области или на ее границе.

Из-за ряда ограничений разделять область на элементы, пользуясь только каким-то одним способом, можно только в исключительных случаях, поскольку метод разбиения должен: давать возможность обрабатывать сложные геометрические конфигурации;

минимизировать выполняемую работу и ограничивать максимальное число требуемых данных; обеспечивать надежность результатов;

наилучшим образом использовать возможности применяемых алгоритмов, которые в разной степени приспособлены к рассматриваемым геометрическим условиям;

давать результат, пригодный для дальнейшего использования и содержащий всю необходимую информацию в форме, обеспечивающей быстрый и удобный доступ к ней.

Предлагаемый алгоритм разбиения волноводно-щелевой антенны для построения её геометрической модели использует сочетание методов второго и третьего классов разбиения.

Можно выделить следующие основные этапы разбиения волноводно-щелевой антенны:

Определение геометрических размеров и шага разбиения волноводно-щелевой антенны.

В модели за шаг разбиения принята толщина стенки, так как качество дискретизации рассматриваемой области антенны зависит от формы элементов дискретизации, причем наилучшие результаты получаются, когда форма этих элементов близка к идеальным равносторонним тетраэдрам.

Формирование матриц координат узловых точек КЭ моделей металлических пластин 1-4, являющихся стенками волновода (рис.1).

Рис. 1. Элементы модели конструкции волноводно-щелевой антенны

Размерность матриц координат узловых точек 1 и 3 пластин ( X! , У , Ъ и Х3 , Уз , ) определяет-

ся внешним размером широких стенок волновода аі, их длиной Ь и толщиной ^

В свою очередь, размер матриц координат узловых точек 2 и 4 пластин ( Х2 , ^ и X , )

определяется внешним размером узких стенок волновода Ьх, их длиной Ь и толщиной t:

Матрицы координат узловых точек формируются из сетки разбиения элементов конструкции волноводно-щелевой антенны в виде пластин 1-4 с их внешней и внутренней стороны. Они используются для формирования матриц геометрических характеристик и координат вершин, которые записываются для каждого из тетраэдров, являющихся конечными элементами разбиения конструкции (рис.2).

Рис. 2. Типы используемых конечных элементов

Матрица геометрических характеристик [В] для каждого тетраэдра формируется конкатенацией четырех подматриц [Бх, Б^, Бт, Бп] составленных из определителей матриц координат вершин.

сит от свойств выбранного материала; V - объем конечного элемента. В тех местах антенны, где

Местоположение щели определяется по одновременному выполнению следующих условий:

і > таЫг(2Ы -1,1) , і < таМг(2Ы, 1) ; у > таЫг(2Ы -1,2) , у < таЫг(2Ы, 2) , (4)

где х и j - соответственно номера столбца и строки матрицы координат узловых точек пластины 1; та^хг - массив координат узловых точек краев щелей; N - число щелей. В условии происходит сравнение координат текущей узловой точки (номера строки и столбца) с координатами узловых точек начала и конца краев щели. Когда номера строки и столбца совпадают с координатой начала щели и

пока не равняются координате конца щели, матрица [ П] заменяется на нулевую матрицу того же размера. Таким образом, конечные элементы которые расположены внутри щели имеют нулевые матрицы жесткости, что означает отсутствие в этом месте металла.

Объединение тетраэдров в призмы происходит с возникновением новой нумерации вершин [7] (рис. 3) .

Рис. 3. Объединение тетраэдров в призмы

Для этого сначала формируется разъединительная матрица жесткости треугольной призмы, представляемая в виде диагональной матрицы.

2

3

находятся щели, матрица [О] заменяется на нулевую матрицу того же размера.

5

X

3

2

Г[М [0] [0]'

[к*рт ] = [°] [к'2 ] [°] , (5)

[0] [0] [ке3 ]

где [&е1 ] , [&е2 ] , [^е3 ] - матрицы жесткости конечных элементов в виде тетраэдров.

Матрица жесткости п-го параллелепипеда может быть найдена по формуле

[К^ ] = [Срг ]Т \_Кррт ][С„ ] , (6)

где [С^г ] - матрица объединения тетраэдров в призмы, которая имеет вид

[М [0] [0] [0] [0] [0]]

[0] [1] [0] [0] [0] [0]

[0] [0] [1] [0] [0] [0]

[0] [0] [0] [1] [0] [0]

[1] [0] [0] [0] [0] [0]

[0] [0] [0] [0] [1] [0]

[0] [0] [0] [0] [0] [1]

[0] [0] [0] [1] [0] [0]

[1] [0] [0] [0] [0] [0]

[0] [0] [0] [0] [1] [0]

[0] [0] [1] [0] [0] [0]

\[0] [0] [0] [1] [0] [0]

где [1] пока т 3 СО в е ш

(7)

зершин

отсутствие связи между соответ-

ствующими вершинами.

Объединение призм в параллелепипеды происходит по методике аналогичной объединению тетраэдров в призмы, при этом формируются разъединенные матрицы жесткости параллелепипедов, представляемые в виде диагональных матриц вида

[ Каргп ] -

К

ргпі

[0]

[0] К

ргп2

(8)

Матрица жесткости п-го параллелепипеда фрагмента конструкции может быть найдена как [Кррп][Срр] , (9)

где [срр ] - матрица объединения призм в параллелепипеды, методика нахождения которой аналогична методике, приведенной ранее для [С^г] (рис.4).

Рис. 4. Объединение призм в параллелепипеды

Формирование нижней и верхней стенок волновода происходит в 2 этапа:

- на первом этапе осуществляется объединение параллелепипедов по оси ОУ, основанное на горизонтальной конкатенации, исходя из разъединенной матрицы жесткости т-го фрагмента

[ Кйут ]

[ Крр! ] [0]

[0] [Крр2 ]

[0]

[0]

[0] [0] ■■ [КРРП ].

. (10)

Количество матриц на главной диагонали п , определяемое числом соединяемых параллелепипедов,

можно найти как а

п = — .

к

Матрица жесткости т-го фрагмента конструкции законченного по оси ОУ определяется как

К ]-[Су ]Т \Кіут ][сг ].

(11)

у I [ аут I [ у

- на втором этапе производится объединение по оси ОЕ фрагментов, законченных по оси ОУ исходя из разъединенной матрицы жесткости всей пластины 1

[Ка ]-

[0]

[0] [ КХу 2 ] ■■■ [0]

[°] [°] ■ ■■ [К*ут ]_

(12)

где [Ку1 ] - [Кут ] - матрицы жесткости т фрагментов, законченных по оси ОУ.

Количество матриц на главной диагонали т определяется как

ь

т = —

к

где ь - длина антенны.

Таким образом, матрица жесткости 1 и 3 пластин, образующих верхнюю и нижнюю стенки антенны

[ Ку ], определиться как

[КУ ] = [С,Г [Ка][С,], (14)

где [С, ] - матрица объединения по оси ОЕ фрагментов, законченных по оси ОУ.

Формирование узких (боковых) стенок антенны происходит по методике описанной в пункте 7, с тем отличием, что на первом этапе происходит объединение по оси ОХ.

Законченная конструкция волноводно-щелевой антенны образуется путем «сшивания» пластин 1-4 (см. рис. 1) в общих с торцевыми поверхностями узловых точках. В связи с этим матрица жесткости конструкции антенны получается объединением матриц жесткости пластин 1-4 с учетом узлов «сшивания» и с использованием соединительных матриц, аналогичных рассмотренным в пункте 5.

Для оценки порядка решаемой задачи проведем небольшие предварительные расчеты. Возьмем для примера резонансную волноводно-щелевую антенну, геометрические размеры которой определяются из следующих соотношений.

Поперечный внутренний размер а волновода (см. рис. 1) выбирается из условия [6]:

Лпах < а <Хтп (15)

1,6 1,1 ' ()

где Лах и Лт - максимальная и минимальная длина волны в волноводе.

Размер Ь волновода выбирается равным

а

Ь = — . (16)

2

Длина щели резонансной антенны определяется как:

Л

21 = —, (17)

2

где X - длина волны в свободном пространстве.

Расстояние вдоль антенны от края первой щели до края антенны (см. рис. 1):

Л -л

4 = __4_.

Ширина щели находится из условия:

а > (2+з) • ^, (18)

Ер

где Епр=30 кВт/см - предельное значение напряженности поля, при котором наступает электрический

пробой; ит - амплитуда напряжения в пучности, определяемая выражением:

ит =)1' (19)

где Р - подводимая мощность к антенне; N - число щелей; ^ - проводимость излучения щели.

Проводимость излучения щели определяют по формуле:

°-45 2 , (20)

(60^)2

где - сопротивление излучения эквивалентного симметричного вибратора, определяемое по фор-

муле:

Л,= 80^2^^ . (21)

Расстояние между центрами щелей найдем как:

, Хв

а=-в . (22)

2

В качестве примера были рассчитаны геометрические размеры волновода антенны при длине волны X =3 см. По рассчитанным по формулам (15) и (16) параметрам, исходя из условия 18,75 мм< а< 27,27 мм , примем а=23 мм, Ь=10 мм, t=1 мм. Отсюда внешние размеры волновода а1=25 мм, Ьх=12 мм.

По формулам (16) - (22) для значений X =3 см и Р= 104 Вт были рассчитаны основные гео-

метрические параметры, для резонансной волноводно-щелевой антенны с эквидистантным расположением

щелей. Их размеры, в соответствии с формулами (18) - (22) составили: 21 = 15 мм , ^ = 3 мм

(при коэффициенте в формуле (18), равном 2), й = 22 мм .

Для антенны длиной Ь=7 18 мм число щелей составило N=32, а матрицы координат узлов широкой и узкой пластин формирующих модель волноводно-щелевой антенны с вышеперечисленными параметрами, с размерами ( 718 X 25 ) мм и (718х10 ) мм соответственно будут при шаге разбиения t=1 мм иметь размерности соответственно 719 х 26 и 719 х 11 .

При этом размерности матриц жесткости широких пластин, образующих соответствующие стенки волновода, составляет 107700 х 107700 , а узких пластин - 43080 х 43080 . После формирования матрицы

жесткости всей конструкции антенны с учетом объединения общих узлов пластин 1-4 её размерность

составит 142362 х 142362 .

Визуализация геометрической модели волноводно-щелевой антенны, полученной с помощью предлагаемого алгоритма, представлена на (рис.5).

Рис. 5. Геометрическая модель волноводно-щелевой антенной решетки

Таким образом, предложенный алгоритм позволяет строить геометрические модели тонкостенных полых структур сложной формы, к которым относится и волноводно-щелевая антенна, а рассмотренный

способ формирования матрицы жесткости позволяет учесть сложную пространственную конфигурацию антенны. Порядок решаемой задачи требует использования высокопроизводительной ЭВМ.

ЛИТЕРАТУРА

1. Тимошенко С. П. Теория упругости: Пер. с англ. / С. П. Тимошенко, Дж. Гудьер. - М.: Наука,

1975. - 576 с.

2. Якимов А. Н. Проектирование микроволновых антенн с учетом внешних воздействий: Монография. - Пенза: Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2004. - 260 с.

3. Математика и САПР: В 2-х кн. - Кн. 2: Пер. с фр. / П. Жермен-Лакуд, П. Л. Жорж, Ф. Пистр,

П. Безье. - М.: Мир, 1989. - 264 с.

4. Сабоннадьер Ж. К. Метод конечных элементов и САПР: Пер. с фр. / Ж. К. Сабонадьер, Ж. Л. Кулон. - М.: Мир, 1989. - 190 с.

5. Волков Е. А. Численные методы. - М.: Наука, 1982. - 256 с.

6. Антенны и устройства СВЧ. Проектирование фазированных антенных решеток: Учеб. Пособие для вузов/ Под ред. Д. И. Воскресенского. - М.: Радио и связь, 1994. - 592 с.