CC BY
65
УДК 621.391.677: 519.711.3 Якимов А.Н. , Яковлев С.А.
Россия, Пенза, Пензенский государственный университет
ИССЛЕДОВАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ АНТЕННЫ С УЧЕТОМ ВИБРАЦИЙ НА КАРКАСНОЙ МОДЕЛИ
Аннотация. Показаны возможность и перспективность использования каркасной модели для исследования влияния вибраций на характеристики излучения зеркальной параболической антенны. Получены расчетные выражения. Проведен анализ полученных результатов.
Ключевые слова: антенна, излучение, вибрации, каркасная модель.
Микроволновые антенны, работающие в составе радиосистем различного назначения и закрепленные на подвижных объектах (автомобилях, самолетах, ракетах и т. п.), в процессе эксплуатации испытывают вибрационные воздействия. Такие воздействия вызывают деформации и изменение характеристик излучения этих антенн. Из-за сложности анализа природы возникновения деформаций в зеркальных антеннах с криволинейной излучающей поверхностью их обычно считают случайными и оценивают влияние на характеристики антенн по результатам экспериментальных исследований, что требует значительных временных и материальных затрат [1, 2].
Для описания механических процессов в зеркальной антенне целесообразно использовать трехмерную конечно-элементную модель ее отражателя, полученную по двухмерной электродинамической модели излучающей поверхности. В основе такой геометрической модели лежат тетраэдры, вершины которых совпадают с характерными точками (узлами) излучающей поверхности, чтобы возникающие вследствие механических воздействий деформации были однозначно учтены в электродинамической модели излучения антенны. Упругая деформация криволинейного отражателя при этом оценивается по методу перемещений и предполагает решение системы уравнений в матричной форме, имеющей вид [1, 3]:
{R} = [K] ■ {£'}, (1)
где [K] - общая матрица жесткости всей конструкции; {R} = {?i т2 ... rk} - вектор сосредоточенных усилий во всех узлах сетки конечных элементов (КЭ) разбиения отражателя (кроме опорных); j£c} = {t>i S2...Sk }Г - вектор перемещений всех узлов сетки КЭ, состоящий из векторов перемещений
каждого узла.
Учитывая, что к каждому узлу сетки обычно примыкают несколько КЭ, вносящих вклад в матрицу жесткости, для каждого i-го узла общая матрица жесткости [Kt ] будет включать сумму элементов матрицы жесткости [kis ] всех примыкающих к узлу элементов, т.е. [Ki ] = ^[kiS] . Для формирования
s
общей матрицы жесткости конструкции из матриц жесткости отдельных КЭ разработаны методики и алгоритмы, позволяющие последовательно соединять КЭ во фрагменты более высокого уровня с помощью специальных соединительных матриц. Вектор сосредоточенных усилий {R} находится для данной
геометрической модели с учетом весовых воздействий КЭ [1].
Для ветровых нагрузок, медленно изменяющихся во времени, силовые воздействия можно считать статическими. Вибрационные же воздействия носят динамический характер, что требует более существенных вычислительных затрат для анализа результатов таких воздействий.
Упрощение решения задачи может быть достигнуто использованием каркасного подхода для исследования влияния вибрационных воздействий на характеристики излучения зеркальной антенны. В связи с этим, перспективными могут оказаться каркасные вибрационная и электродинамическая модели микроволновой антенны, позволяющие учитывать влияния вибрационных воздействий на характеристики микроволновой антенны с незначительными затратами времени и вычислительных средств.
При построении каркасных моделей зеркальной параболической антенны, двумерная аппроксимация излучающей поверхности сводится к одномерной кусочно-линейной аппроксимации функций, образующих эту излучающую поверхность. При этом совокупность одномерных сечений этой поверхности во взаимно перпендикулярных плоскостях, параллельных плоскостям Ozx и t=ЗА правой декартовой системы координат, образуют криволинейную сетку с узлами в точках пересечения одномерных сечений. Узлы криволинейной сетки, принадлежащие излучающей поверхности, при кусочно-линейной аппроксимации остаются неизменными, а криволинейные отрезки, соединяющие их, заменяются стержнями квадратного сечения. При этом сторона квадрата сечения стержня выбирается равной толщине профиля излучающей поверхности. В результате гладкая излучающая поверхность заменяется каркасной (стержневой) моделью аппроксимации с прямоугольными или квадратными ячейками (в зависимости от шага дискретизации), а при дополнительном разбиении и моделью с треугольными ячейками [4].
Излучающая поверхность параболического зеркала может быть описана следующей функцией [1]
X2 + у " 4f
(2)
где x , у , z - координаты текущих точек излучающей поверхности в прямоугольной декартовой системе координат; f - фокусное расстояние.
Одномерное сечение поверхности такого зеркала в плоскости Ozx для у = 0 опишется одномерной
функцией
4 f
2
X
(3)
В векторной интерпретации лярных аргументов x , у , z .
эта кривая представляет собой годограф векторной функции г ска-Учитывая, что рассматривается осесимметричная антенна, целесооб-
разно осуществлять ее равномерное разбиение относительно центра, совмещенного с центром декартовой системы координат. Интервал равномерного разбиения функции при этом определим как разность Ат радиус-векторов узловых точек при равномерной дискретизации этой кривой
Ат = Tk - Tk_i , (4 )
где k =1, 2, ... , К; К - максимальный порядковый номер индекса радиус-вектора узловой точ-
ки сечения параболоида в полупространстве Ozx с положительной координатой x . При этом индекс k — 1 = 0 соответствует координатам x = 0 , z = 0 [4].
По полученному вектору-строке координат x узловых точек параболы, в силу ее симметрии, можно легко получить вектор-строку координат x , определяющий все сечения параболоида X = [x,] = (xi,Х2,...,хп) . Эта операция может быть осуществлена путем симметричного отражения относи-
тельно нуля всех элементов вектора-строки, исключая ноль, с противоположным знаком и их присоединение слева к исходному вектору-строке. Соответствующий вектор-строка координат z узловых точек Z = [z* ] = (Zi, Z2,..., Z„ ) может быть получен по формуле (3), при этом максимальный порядковый
номер индекса элемента вектора строки n = 2K+1 . Таким образом, получим множество векторов векторного пространства, описывающее сечение параболической антенны.
Если, например, принять x = 0 и для одномерной функции сечения параболической поверхности в плоскости Ozy
4 f
2
(5)
провести дискретизацию с интервалом AL , то получим множество векторов векторного пространства, описывающее сечение параболической антенны плоскости Ozy .
Соединением матриц-строк в матрицу-столбец, а матриц-столбцов в матрицу-строку формируем прямоугольные матрицы размером mхn
X' Z,' Y, '
II II X2 S II уГ II Z2 II II > Y2
.X. Zn . Ym.
Таким образом, формируются матрицы координат узловых точек излучающей поверхности в декартовой к системе координат. Полученные матрицы определяют область возможного решения или область проектирования.
Для выделения границы параболической поверхности все элементы матрицы Z, минимально превы-
шающие zg приравниваются zg , для них определяются соответствующие координаты x и у , являю-
щихся элементами матриц X и Y . Остальные же элементы матрицы Z
превышающие
zr
и соответ-
ствующие элементы матриц X и Y считаются избыточными и приравниваются нулю.
Таким образом, область решения определяется элементами матриц Z , X и Y , отличными от нуля, а так же точкой поверхности зеркала, совмещенной с началом системы координат О , определяемой отдельно. Информация, содержащаяся в матрицах Z, X и Y, достаточна для разбиения излучающей поверхности антенны на стержневые конечные элементы образующие треугольники.
Оценку влияния деформирующих воздействий на расчетный профиль антенны проводим с помощью модели, являющейся кусочно-линейной аппроксимацией криволинейного профиля антенны в виде совокупности металлических стержней (рис. 1).
Рис. 1. Процесс распространения колебаний в стержнях антенны
Предположим, что в некотором узле соединены стержни из одного материала. К концу одного стержня подходит «падающая волна» с амплитудой Лщц , от границы отражается волна с амплитудой
Аотр , а через границу их соединения проходит волна с амплитудой ЛПр . Все три волны имеют одинаковую частоту, но разные амплитуды. В результат получаем
ЛПЩ = ЛОТР + ^ЛПР , (7)
n
где n - число стержней входящих в узел за исключением стержня, в котором распространилась отраженная волна.
В соответствии с принятой моделью источник механических гармонических колебаний соединен с краем антенны с правой стороны, а ее центральная часть жестко закреплена. В нашем случае мы будем учитывать только поперечные колебания, полагая, что продольные колебания не происходят.
Механическую гармоническую волну, распространяющуюся от источника, назовем падающей и, с учетом того, что она движется против оси Ox , опишем:
2
(8)
4шд = А cos(®mt + kmX + ai),
где А - амплитуда падающей волны; wm = 2nv - круговая (циклическая) частота; t - время; кт = 2п/Ят - волновое число механической волны; v — частота механических колебаний; ах -начальная фаза механического колебания к моменту времени t = 0 , когда началось его наблюдение; Ят =Cm V - длина волны; =*JG /р - скорость движения механической волны; G - модуль сдвига
вещества твердого тела; р - плотность вещества.
В связи с тем, что антенна имеет параболический профиль, амплитуда колебания проходящего через точку дискретизации будет отличаться от амплитуды волны в предыдущей точке множителем cos q (рис.2).
Рис. 2. Определению амплитуд колебаний элементов дискретизации криволинейной антенны
Исходя из этого, амплитуды колебаний каждого из элементов дискретизации определятся по формуле
А-+1 = Acosq , (9)
где косинус угла q в текущей узловой точке i может быть определен по формуле:
cos q =
^+<)( xL+у)
xx., + z,x
(10)
где x , xi+1 , x , Z+i - координаты узловых точек дискретизации профиля антенны с номерами i
и i+1 в декартовой системе координат (см. рис. 2). На рис. 2 F - сила, приложенная к правому краю антенны.
Для отраженной механической волны будем иметь:
4отр = Acos(^mt - kmx a2) • (11)
Результат наложения этих волн есть их обычная сумма. Поскольку отражение происходит от более плотной среды, то волны в эту среду не проникают, т.е. в точке x = 0 деформация не наблюдается, и полное смещение равно нулю:
4 = 2Asin ктХ sin^t- (12)
Затухание волны в поглощающей среде может быть оценено экспоненциальным законом [4]:
A = A0 exp(-y|x|) , (13)
где A - амплитуда механической волны в текущей точке с координатой x; Ao - амплитуда механической волны в начальный момент времени t = 0 ; у - коэффициент затухания механической волны.
Напряженность электрического поля Ее , создаваемого системой таких излучателей в точке наблюдения p , является суперпозицией полей отдельных излучателей с учетом амплитуд и фаз возбуждающих их токов:
n
Es=yEffi , (14)
i = 0
где i - номер излучателя; n = 2N - число излучателей; N - максимальный порядковый номер излучателя относительно оси z; Eej - составляющая электрического поля, создаваемая дискретным излучателем с индексом i .
С использованием полученных выражений можно провести исследование влияния деформаций профиля рассматриваемой антенны на её ДН F(0), представляемую как:
F(0) = Еъ(в)/Emx , (15)
где ЕШ1Х = ЕБ (0) - максимальный уровень напряженности электрического поля, равный для симметричных антенн его значению в направлении оси излучения.
Предположим, что деформация антенны произошла в результате воздействия на антенну механического гармонического колебания вида 4 = A cos wt , амплитудой 3 мм и частотой 150 Гц.
В соответствии с предложенной математической моделью расчеты были проведены в оболочке MatLAB для цилиндрической антенны с длиной раскрыва L=1 м, синфазным и равноамплитудным возбуждением, работающей на длине волны равной Я=3 см, когда точка наблюдения p удалена на расстояние R = 1000 м. В качестве материала антенны используется алюминиевый сплав АМЦМ, плотность которого р = 2730 кг/ м3 , а модуль сдвига G = 25,6 ГПа. При расчете использовался логарифмический декремент Л = 0,01 , учитывающий демпфирующие свойства конструктивного материла.
3
В результате расчетов было установлено, что модель антенны с заданными параметрами в отсут-
ствии вибрационных воздействий имеет ДН с шириной на уровнем боковых лепестков (УБЛ) равным -13,22 дБ (рис.
уровне половинной 3, кривая 1).
мощности
20„<= 30
и
Рис. 3. Диаграммы направленности криволинейной антенны с исходным (1) и деформированными (2,3,4) профилями
При механическом гармоническом воздействии с начальной фазой, равной нулю, за один интервал
по времени At , равный периоду гармонического воздействия ( At = Т ), возникающие деформации профиля антенны порождают следующие изменения ДН (см. рис. 3, кривая 2): ширина ДН незначительно увеличивается, но уже исчезают нулевые уровни в области боковых лепестков и значительно увеличивается УБЛ, составляя -11,36 дБ. При расчете результатов деформации для каждого последующего
временного интервала At воздействие поперечных механических колебаний оценивается для нового пространственного положения узлов профиля антенны полученного в предыдущий момент.
Расчеты деформации профиля антенны для моментов времени t , соответствующих его дальнейшему
дискретному приращению с интервалом At дали следующие результаты. При времени равном двум периодам t = 2At (см. рис.3, кривая 3) и t = 3At (см. рис. 3, кривая 4), т.е. при дальнейшем увеличении t , наблюдается увеличение деформации профиля антенны и отклонения ДН от исходной формы. Так, например, уровень ДН в области бывших нулей (см. рис.3, кривая 1) еще более возрастает и практически размывается боковой лепесток (см. рис. 3, кривые 3,4). И хотя мы наблюдаем незначительное снижение УБЛ по отношению к УБЛ кривой 2, тенденция его роста все таки сохраняется и для t=2At и t=3At составляют соответственно -11,88 дБ и -11,85дБ. Полученные результаты соответствуют тенденциям влияния вибрационных воздействий на характеристики микроволновых антенн [5].
Таким образом, предложенный подход к оценке влияния вибрационных воздействий на конструкции антенн сложной пространственной конфигурации с использованием каркасной модели позволяет с приемлемыми вычислительными затратами оптимизировать конструкции микроволновых антенн и обеспечить их устойчивость к вибрационным воздействиям с требуемыми характеристиками излучения.
ЛИТЕРАТУРА
1. Якимов А.Н. Проектирование микроволновых антенн с учетом внешних воздействий: монография / А.Н. Якимов. - Пенза : Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2004. - 260 с.
2. Шишулин Д.Н. Моделирование влияния вибрационных воздействий на излучение параболической антенны / Д.Н. Шишулин, А.Н. Якимов // Надежность и качество - 2012: труды Международного симпозиума: в 2 т./ под ред. Н.К. Юркова. - Пенза: Изд-во ПГУ, 2012. - т. 1 - С. 250-252.
3. Якимов А.Н. Моделирование влияния механических воздействий на характеристики микроволновых антенн/ А.Н. Якимов, С.А. Яковлев // Изв. вузов. Поволж. регион. Сер. Технические науки, 2006. - №6. - С. 344-351.
4. Якимов А.Н. Построение каркасной модели криволинейной антенны/ А.Н. Якимов, С.А. Яковлев // - Изв. вузов. Поволж. регион. Сер. Технические науки, 2009. - № 1. - С. 100-108.
5. Абжирко Н.Н. Влияние вибраций на характеристики радиолокационных антенн/ Н.Н. Абжирко. -М.: Сов. радио, 1974. - 168 с.
4
