CC BY
19
ФИЗИКА
УДК 537.12
DOI 10.21685/2072-3040-2020-4-5
О. Н. Гадомский, Д. О. Мусич
СПИН-СПИНОВОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПРОСТРАНСТВЕННО РАЗНЕСЕННЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ СПИНОВ В ПОЛЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
Аннотация.
Актуальность и цели. В настоящее время значительное внимание исследователи уделяют поиску новых магнитных метаматериалов. В связи с этим в данной работе решается актуальная задача вывода нелокальных уравнений распространения электромагнитных волн в магнитных средах, где осуществляются спиновые переходы под действием радиочастотных, сверхвысокочастотных и терагерцовых полей. На основе этих уравнений предлагается решать различные задачи, подобные уже решаемым задачам в оптике.
Материалы и методы. Решение поставленной задачи проведено на основе эффектов 2-го и 3-порядков квантовой электродинамики с выделением спин-спиновых взаимодействий пространственно разнесенных электронов двух водородных атомов. При этом в разложении запаздывающих потенциалов учитываются два параметра малости (V/с) и (Д^/Я12), где V - скорость движения электронов, с - скорость света в вакууме, Д£ - смещение электронов относительно неподвижных ядер, Я12 - расстояние между ядрами атомов.
Выводы. Показано, что в операторе спин-спинового взаимодействия двух пространственно разнесенных электронов, принадлежащих двум водородопо-добным атомам, присутствуют члены, пропорциональные 1/.#123, 1/-#122, 1/Л12, в отличие от оператора Брейта, где взаимодействие двух электронов определяется лишь членами 1/.#123. На основе полученного оператора спин-спинового взаимодействия двух пространственно разнесенных электронов, переходя к эффектам 3-го порядка квантовой электродинамики, получили уравнение распространения электромагнитных волн в системе электронных спинов.
Ключевые слова: электромагнитные волны, электронный спин, спин-спиновое взаимодействие двух пространственно разнесенных электронов, во-дородоподобный атом, запаздывающие потенциалы, эффекты 2-го и 3-поряд-ков квантовой электродинамики, оператор Брейта.
O. N. Gadomskij, D. O. Musich
SPIN-SPIN INTERACTION OF SPATIALLY SEPARATED ELECTRON SPINS IN THE FIELD OF ELECTROMAGNETIC RADIATION
© Гадомский О. Н., Мусич Д. О., 2020. Данная статья доступна по условиям всемирной лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/), которая дает разрешение на неограниченное использование, копирование на любые носители при условии указания авторства, источника и ссылки на лицензию Creative Commons, а также изменений, если таковые имеют место.
Abstract.
Background. At present, researchers are paying considerable attention to the search for new magnetic metamaterials. In this regard, this article solves the urgent problem of deriving nonlocal equations for the propagation of electromagnetic waves in magnetic media, where spin transitions are carried out under the action of radio frequency, microwave and terahertz fields. Based on these equations, it is proposed to solve various problems similar to those already being solved in optics.
Materials and methods. The solution to the problem posed is based on the effects of the 2nd and 3rd orders of quantum electrodynamics, highlighting the spinspin interactions of spatially separated electrons of two hydrogen atoms. In this case, the expansion of the retarded potentials takes into account two smallness parameters (v/c) and (A£/R12), where v is the speed of motion of electrons, c is the speed of light in vacuum, A£ is the displacement of electrons relative to immobile nuclei, R12 is the distance between the nuclei of atoms.
Conclusions. It is shown that the operator of the spin-spin interaction of two spatially separated electrons belonging to two hydrogen-like atoms contains terms proportional to 1 / R123, 1 / R122, 1 / R12, in contrast to the Breit operator, where the interaction of two electrons is determined only by the terms 1 / R123. On the basis of the obtained operator of spin-spin interaction of two spatially separated electrons, passing to the effects of the third order of quantum electrodynamics, an equation for the propagation of electromagnetic waves in a system of electron spins is obtained.
Keywords: electromagnetic waves, electron spin, spin-spin interaction of two spatially separated electrons, hydrogen-like atom, retarded potentials, effects of the 2nd and 3rd orders of quantum electrodynamics, the Breit operator.
Введение
Спин-спиновое взаимодействие электронов из-за его релятивистской природы значительно слабее других взаимодействий, определяющих структуру энергетических уровней. Так, энергия спин-спинового взаимодействия двух
электронов внутри атомов или молекул составляет порядка 10—4 —10—5 эВ. Спин-спиновое взаимодействие играет важную роль в динамике многочастичных систем, влияя на поперечную релаксацию, спиновую диффузию, спиновую температуру [1, 2]. Роль спин-спинового взаимодействия электронов может значительно возрасти при распространении резонансного радиочастотного поля в системе свободных электронов, например в магнитном мета-материале из металлических нано- или микросфер.
Оператор спин-спинового взаимодействия двух электронов соответствует запаздывающему взаимодействию порядка (v/ c) ( v - скорость движения электронов, c - скорость света) и содержится в операторе Брейта [3-5]. Этот оператор был получен в рамках 2-го порядка теории возмущений квантовой электродинамики и применяется для описания сосредоточенных электронных систем, размеры которых удовлетворяют условию (wqА^ / c), где А^ - размеры системы, Wq - собственная частота в спектре взаимодействующих электронов. Однако значительный интерес представляет учет спин-спинового взаимодействия в протяженных системах, например в ферромагнетиках, магнитных метаматериалах в поле электромагнитного излучения, чему и посвящена данная статья.
В классической электродинамике магнитное поле кругового тока зависит от расстояния до точки наблюдения по закону 1/г3 [6]. Именно это свойство магнитных полей используется для описания магнитных метаматериалов из разомкнутых кольцевых резонаторов [7, 8] при рассмотрении взаимодействия соседних магнитных моментов. При учете запаздывания электромагнитное поле магнитных диполей зависит от расстояния до точки наблюдения по более сложному закону [6]. В данной статье представлено квантоэлектро-динамическое рассмотрение взаимодействия пространственно разнесенных электронных спинов и будет получен оператор спин-спинового взаимодействия более общий, чем оператор Брейта.
Как показано в [9, 10], решение проблемы двух электронов позволяет вывести нелокальные уравнения электродинамики, например в виде интегро-дифференциальных уравнений распространения электромагнитных волн. Квантовоэлектродинамическое рассмотрение взаимодействия двух электронов в поле излучения позволяет выяснить физический смысл поляризационных полей с участием промежуточных состояний с положительной и отрицательной энергией. В случае гелиеподобного атома взаимодействие двух электронов в поле реальных фотонов как эффекты 3-го порядка квантовой электродинамики было описано Дрейком [11]. В наших работах было дано описание взаимодействия двух пространственно разнесенных электронов в поле излучения. При этом основное внимание было уделено электрическим ди-польным квантовым переходам в спектре водородоподобных атомов. Обобщение этого рассмотрения на случай квазимолекулярных систем дано в [12]. В данной статье приведено подробное описание взаимодействия двух пространственно разнесенных электронов с рассмотрением квантовых переходов между спиновыми состояниями электронов.
На основе полученного оператора спин-спинового взаимодействия двух пространственно разнесенных электронов выведено интегродифференциа-льное уравнение распространения электромагнитных волн в непрерывной среде электронных спинов.
1. Оператор энергии взаимодействия двух пространственно разнесенных электронов
Матричный элемент энергии взаимодействия двух электронов, принадлежащих двум водородоподобным атомам на произвольном расстоянии друг от друга, представим следующим образом [13]:
UABCD = ^{V (г2)1-Х
хехр^|Г1 - г2\^ VA (Г1) VB(г2) ^^ , (1)
где а1, а2 - матрицы Дирака 1-го и 2-го электронов; в - заряд электрона; V а (Г), V B (Г2) - волновые функции электронов в состоянии A и Б; /}, -радиус-векторы электронов; V+(íi), VЪ (г2) - эрмитовосопряженные вол-
новые функции электронов в состоянии C и Д При этом частоты состояний удовлетворяют закону сохранения (рис. 1)
ю A + Юв = ®С + . (2)
Рис. 1. Диаграмма взаимодействия двух электронов через поле виртуальных фотонов: А, В - начальные состояния электронов с энергиями Йюа, ЙЮ£; С, D - конечные состояния электронов с энергиями ЙЮс, ЙЮD
Расстояние между электронами в (1) представим как
|Г1 -г2| = - Яи -Ы (3)
где ¿1, ¿2 - смещения электронов относительно неподвижных ядер атомов; -12 - расстояние между ядрами. Это позволяет записать следующее приближенное равенство:
|Л_Л|=1,2<'.+—£_№)4, (4)
2 R122
R122 2R124
где А£ = ¿1 - ¿2.
Проведем разложение фактора запаздывания в (1) с учетом (4), получим
expI c®Ac|И — r2ll expI 4lwac|R12
r1 — r2
X
R12 2
X
i 12 1 + cWAC|R12 f0 — WAc| (R12 fo)
X
1 — fo + fo2
(5)
где безразмерная функция 10 имеет вид
f0 =
(Af )2 (А^ ) (AR )2
ТГ)2 Е>2 ТП 4
2 -"12 -12 2К12
Будем пренебрегать в (5) членами порядка (А£ / -12 )п при п > 2 .
(6)
Матричные элементы а1 и а2 ~ V/ с, где V — скорость движения электронов, с — скорость света в вакууме. Поэтому при подстановке разложения (5) в матричный элемент (1) будем учитывать члены, не превышающие этот порядок величины. Поэтому оператор энергии запишем следующим образом:
в2 — Ю I "> \
ис = -в^вс (1 — 01X2 )(1 — /0 + /02 ) +
+-
ie2 -™oRi
chR
. 12 ec x
12
НЪ(R12 f0 -(R12 f0 )
e2
— ю0 R
'0Л12
2c2 h2 R1
x
12
Hi
H2,(R12 f0 )
, (7)
где ю = юас и Н1, Н2 - операторы электронов 1 и 2,
Н1 = са1 р + в1тс2 + , Н1 = са 2 /2 + в2тс2 + вА^, (8)
Р1, /2 - операторы импульса электронов; Р12 - в -матрицы Дирака; Ау^ -скалярные потенциалы электронов в атомах 1 и 2;
H1¥ A (l ) = a¥ a (ri) H2¥5 (r2 ) = h®B¥5 (r2 )•
(9)
Вычислим коммутаторы в (7) и получим следующий оператор взаимодействия двух электронов:
— ra0R12
e2 — ю0R12 e2 -®0R12 о _
Ug = R^ec 0 12 f -R^ec 0 12 (aia2)(/1 -1) + e2ec 0 12ai f3, r12 r12
(10)
где
/3 =
A<f R12 3(А^ )R
12
и 2 d 2
r12 r12
R1
12
/1 = 1 — —. 01)
2 ^12 ^12 2 ^12
Покажем, что оператор UQ переходит в оператор Брейта Ыб для двух электронов в гелиеподобном атоме. Действительно, при выполнении условий
К12 = И — , — £2 = Г1 —12, ЮК12 ^ 0
получим, что
Ug = UB = —-
e2 e2 («1«2 ) + («1^12 )(Л12)
r12 2
r12
(12)
где Ц2 = Г12 / /12 •
2. Переход к слаборелятивистскому пределу
Представим волновые функции в (1) как [13]:
У =
I ф >
v x
op
х =Ф,
2mc
(13)
где о - матрицы Паули [13].
Вектор плотности электрического тока определим с помощью матричного элемента
j = ce-у • а -у
= ce{^
Ф o + Х оф),
(14)
где у , ф ,% - эрмитовосопряженные волновые функции.
В результате получим следующее выражение для вектора плотности электрического тока:
j={ф+М(ф+Ц+c
Vx (ф+рф
(15)
где ц = (ей / 2тс) о - оператор спинового магнитного момента электрона.
Используем выражение (15) для вычисления матричных элементов оператора UQ, основное внимание уделяя спин-спиновому взаимодействию электронов. Соответствующий оператор спин-спинового взаимодействия двух пространственно разнесенных электронов обозначим как и£Т5. Тогда после вычисления получим, что
UGs = -
e2 й2 -(qr12 ec
4m2c
"^1^2 3(o1R12 )(o2R12 )
X
R12
-0102 (o1R12)(o2R12 )
+ -
e2 p0 -(WR2
2mc
ec
X
R
12
R
12
e1h ^ " -
2mc
R12
—o1o 2 3(o1R12 )(o2R12 )
R
12
R
12
(16)
где р0 - матричный элемент (по модулю) оператора импульса электрона.
Оператор спин-спинового взаимодействия, полученный из оператора Брейта (12) в слаборелятивистском пределе, зависит от расстояния между
электронами по закону (1/ ) и соответствует первому слагаемому в (16)
при ((-12 / с) —> 0. Для пространственно разнесенных электронов, как видно из (16), возникают также и другие зависимости от расстояния между электронами.
Переходя к операторам ц и Ц2 спинового магнитного момента электронов, получим из (16) следующий оператор:
UG s =—ec
- Wo R12
) 3(1R12 )(2R12 )
R1
12
R1
12
+
+
2 pQmc
- Ю0 R12
"(м-1^2) (m-1R12 )(м-2R12)
Ri
12
R
12
2imc ~Юо Ri
12
Й
2 ) 3(lR12 )(М-2R12 )
R
12
R
12
(17)
Первое слагаемое в этом операторе, обратно пропорциональное 1 / ,
2 2
соответствует величинам порядка (V/ с) (/ ) . В этом можно убедиться, если вычислить энергию взаимодействия двух электронов в основном состоянии, используя первый порядок теории возмущений. Второе слагаемое в (17) соответствует величинам порядка (V/ с), а третье - величинам порядка
(V/ с)(А£ / Я\2). Это означает, что основную роль в спин-спиновом взаимодействии пространственно разнесенных электронов играют члены, пропорциональные 1/ .
3. Учет внешнего поля излучения
Взаимодействие двух электронов во внешнем поле излучения определим с помощью поляризующих полей, пропорциональных квантомеханиче-ским средним о^ и а2. При этом реализуется следующая схема квантовых переходов. Пусть оба электрона находятся в основном состоянии с волновой функцией ут и энергией Ет = Йют. В результате взаимодействия электронов через поле виртуальных фотонов один из электронов, например электрон 2, переходит в некоторое состояние с волновой функцией у^ и энергией Е\ = Йю^, а затем возвращается в исходное состояние ут. При этом первый электрон переходит в возбужденное состояние с энергией Еп = Йюп и волновой функцией уп. Эта схема квантовых переходов соответствует эффектам 3-го порядка квантовой электродинамики (рис. 2).
Рис. 2. Диаграмма взаимодействия двух электронов через поле виртуальных
и реальных фотонов: т, п - индексы начальных состояний электронов, р, г - индексы их конечных состояний. При этом закон сохранения энергии -Еп + Ет + Ер + Ег ± Йю = 0 , ю - частота реальных фотонов
Й
Вычислим а2 с помощью теории возмущений, ограничиваясь ее первым порядком. Уравнение Дирака для решения этой задачи имеет вид
1П I?" Н2 ] = -еа 2 , (18)
где Н2 Vш = Йюш, а волновая функция *ш представляется в виде квантовой суперпозиции:
* ш = + £ + Ьше™') V к | , (19)
где ашк, Ьпк - комплексные коэффициенты.
Пусть векторный потенциал А в уравнении (18) имеет вид
А(ъ, ^ = 2 А(2)(( + е~ш), (20)
где А(г2) - функция координаты местоположения электрона 2.
Подставим (19) в (18), чтобы вычислить коэффициенты ашк и Ьш^ . Тогда получим следующее уравнение:
£ [(юшк - ю) е'Ю'ашк + (юшк + ю) е~ШКк ] V к (г2 ) = к
= -2 еа2 А(12 ( + е-Ап'), (21)
где юшк = юш - Юк - частота перехода. Умножим обе части уравнения (21) на
Vк (12) и проинтегрируем по переменным 12 . Тогда находим после приравнивания коэффициентов, стоящих при одинаковых временных экспоненциальных множителях, значения неизвестных коэффициентов:
а = Vк (г2 )|- еа2 А(г2 )№ш(г2 ) Ь = Vк (г2 )|- еа2 А(г2 )№ш(г2 ) (22) шк 2Й (юшк-юк) ' шк 2Й (юшк + юк) '
Используя значения коэффициентов (22), получим для квантово-механического среднего а2 следующее выражение:
а 2ш = |а 2\* ш = Vш\а2^ш +
+£ ш\а + \а 2 \ V кЬшке~Ш + (сс) . (23)
к к
Часть выражения (23), зависящая от векторного потенциала А(12), определяет тензор поляризуемости а2ш в состоянии ш для частот вдали от юшк. При стремлении ю к юшк следует перейти к комплексным энергиям Ек — Ек - (/2)Гк, где Гк 1 - время жизни возбужденных состояний к .
Матричные элементы а2 в (23) найдем с помощью выражений (14) и (15), позволяющих определить тип квантовых переходов в тензоре поляризуемости. Ниже будем рассматривать только спиновые квантовые переходы в спектре взаимодействующих электронов.
4. Уравнение распространения электромагнитных волн в системе электронных спинов
Напряженность магнитного поля в месте расположения электрона 1 с радиус-вектором r определим с помощью оператора (17) следующим образом:
Н (r ) = rot rot^Ь^, (24)
R12
где ^2 - квантовомеханическое среднее магнитного спинового момента электрона 2 в точке /2 = r + R12 . Дифференцирование в (24) проводится по координатам точки наблюдения / .
Запишем оператор UQ- s как
UQ s = щН(r) (25)
при условии, что временная зависимость Ц2 определяется законом
Ц 2 = ^20e_/fflt, (26)
где ю - частота внешнего поля излучения. Подставляя (26) в (24), найдем соответствие между операторами (17) и (25).
В протяженной среде электронных спинов при распространении в этой среде электромагнитных волн уравнение распространения электромагнитных волн при непрерывном распределении спинов имеет вид
Н(r, t) = HI (r, t) + jrotrot NЦdV, (27)
где Hi (r, t) - напряженность магнитного поля внешней электромагнитной волны в точке наблюдения r; ц - некоторая функция локального поля Н(r',t) внутри среды в точках r' в запаздывающие моменты времени t — R/ c, R = |r—r j, интегрирование ведется по всем точкам r' среды.
Определим зависимость ц от поля Н, используя уравнение Блоха для электронной намагниченности M = ^ :
dM = y[M х Н] — ± (( + Myj) —T (Mz + Mo )k, (28)
где i, j, k - орты координатных осей; Mo - равновесная намагниченность; Y = (e / mc); TJ и T2 - времена продольной и поперечной релаксации [2].
Стационарное решение уравнений (28) во вращающейся с частотой ю системе координат имеет вид
М, + M, = Mo AMYH'f + ff , (29)
1+(J2 Аю)2 2 h2T'T2
где H' - напряженность радиочастотного магнитного поля, осуществляющего квантовые переходы между спиновыми состояниями электрона в постоянном магнитном поле Hq , Аю = ю—Юо, Юо =+М Ho .
2 2
При выполнении условия у H' T[T2 <<' в слабых радиочастотных полях получим из (29), что
Мх + 1Му = (( + jH' у) NVa M = Mo |y|( + jH' )-Ц—, (30)
Юц — Ю — 1 / f 2
где Mq = Mz и пропорционально напряженности постоянного магнитного поля Hq, направленного вдоль оси z(z|| k), а напряженность радиочастотного поля H' ^ k. Подставляя (30) в (27), получим интегродифференциальное уравнение распространения электромагнитных волн в протяженной системе электрических спинов для нахождении поля H(r, t) в различных точках наблюдения как внутри среды, так и за ее пределами.
Заключение
Итак, в данной статье представлено квантовоэлектродинамическое рассмотрение взаимодействия двух пространственно разнесенных электронов в поле внешнего радиочастотного поля, что позволяет вывести уравнение распространения электромагнитных волн в системе электронных спинов. Это уравнение представляет значительный интерес, например, при описании магнитных метаматериалов из металлических микросфер.
Библиографический список
'. Таунс, Ч. Радиоспектроскопия / Ч. Таунс, А. Шавлов. - Москва : Изд-во Иностранной литературы, '959. - 754 с.
2. Абрагам, А. Ядерный магнетизм / А. Абрагам. - Москва : Изд-во Иностранной литературы, '963. - 528 с.
3. Breit, G. The Effect of Retardation on the Interaction of Two Electrons / G. Breit // Phys. Rev. - '929. - Vol. 34, iss. 553. - DOI https://doi.org/'0.''03/PhysRev.34.553.
4. Ландау, Л. Д. On the Relativistic Correction of the Schrödinger Equation for the Many-Body Problem / Л. Д. Ландау // Phys. Z. Sowjet Sow. Phys. - '935. - Vol. 8, iss. 487.
5. Bethe, H. Über die Wechselwirkung von zwei Elektronen / H. Bethe, E. Fermi // Z. Physik. - '932. - Vol. 77. - Р. 296-306.
6. Ландау, Л. Д. Теоретическая физика : учеб. пособ : в '0 т. Т. II. Теория поля / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. - Москва : Физматгиз, 2003. - 536 с
7. Shamoninna, E. Waves in Metamaterial / E. Shamoninna, L. Solymar. - Oxford : Oxford Univ. Press, 2009.
8. Лагарьков, А. Н. Сверхразрешение и усиление в метаматериалах / А. Н. Ла-гарьков, А. К. Сарычев, В. Н. Кисель, Г. Тартаковский // Успехи физических наук. -2009. - Т. 179 (9). - С. 1018-1027.
9. Гадомский, О. Н. Проблема двух электронов и нелокальные уравнения электродинамики / О. Н. Гадомский // Успехи физических наук. - 2009. - Т. 170 (11). -С. 1145-1179.
10. Гадомский, О. Н. К теории излучения системы слабо взаимодействующих частиц / О. Н. Гадомский, В. Р. Нагибаров, Н. К. Соловаров // Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 1972. - Т. 63. - С. 813-819.
11. Drake, G. W. F. Relativistic Corrections to Radiative Transition Probabilities / G. W. F. Drake // Phys. Rev. A5. - 1972. - Vol. 5, iss. 5. - Р. 1979. - DOI https://doi.org/10.1103/PhysRevA.5.1979
12. Lazur, V. Interaction of two quasimolecular electrons via the field of virtual photons as a second-order effect of quantum electrodynamics / V. Lazur, S. I. Myhalyna, O. K. Reity // Phys. Rev. A. - 2010. - Vol. 81, № 6. - P. 062707.
13. Ахиезер, А. И. Квантовая электродинамика / А. И. Ахиезер, В. Б. Берестецкий. -Москва : Физматгиз, 1959. - 656 с.
References
1. Tauns Ch., Shavlov A. Radiospektroskopiya [Radiospectroscopy]. Moscow: Izd-vo In-ostrannoy literatury, 1959, 754 p. [In Russian]
2. Abragam A. Yadernyy magnetizm [Nuclear magnetism]. Moscow: Izd-vo Inostrannoy literatury, 1963, 528 p. [In Russian]
3. Breit G. Phys. Rev. 1929, vol. 34, iss. 553. DOI: https://doi.org/10.1103/ PhysRev.34.553.
4. Landau L. D. Phys. Z. Sowjet Sow. Phys. 1935, vol. 8, iss. 487.
5. Bethe H., Fermi E. Z. Physik. 1932, vol. 77, pp. 296-306.
6. Landau L. D., Lifshits E. M. Teoreticheskaya fizika: ucheb. posob: v 101. T. II. Teoriya polya [Theoretical physics: teaching aid: in 10 volumes. Volume 2. Field theory]. Moscow: Fizmatgiz, 2003, 536 p. [In Russian]
7. Shamoninna E., Solymar L. Waves in Metamaterial. Oxford: Oxford Univ. Press, 2009.
8. Lagar'kov A. N., Sarychev A. K., Kisel' V. N., Tartakovskiy G. Uspekhi fizicheskikh nauk [Advances in physical sciences]. 2009, vol. 179 (9), pp. 1018-1027. [In Russian]
9. Gadomskiy O. N. Uspekhi fizicheskikh nauk [Advances in physical sciences]. 2009, vol. 170 (11), pp. 1145-1179. [In Russian]
10. Gadomskiy O. N., Nagibarov V. R., Solovarov N. K. Zhurnal eksperimental'noy i te-oreticheskoy fiziki [Journal of experimental and theoretical physics]. 1972, vol. 63, pp. 813-819. [In Russian]
11. Drake G. W. F. Phys. Rev. A5. 1972, vol. 5, iss. 5, p. 1979. DOI https://doi.org/ 10.1103/PhysRevA.5.1979
12. Lazur V., Myhalyna S. I., Reity O. K. Phys. Rev. A. 2010, vol. 81, no. 6, p. 062707.
13. Akhiezer A. I., Berestetskiy V. B. Kvantovaya elektrodinamika [Quantum electrodynamics]. Moscow: Fizmatgiz, 1959, 656 p. [In Russian]
Гадомский Олег Николаевич
доктор физико-математических наук, профессор, кафедра радиофизики и электроники, Ульяновский государственный университет (Россия, г. Ульяновск, ул. Льва Толстого, 42)
E-mail: gadomsky@mail.ru
Gadomskiy Oleg Nikolaevich
Doctor of physical and mathematical sciences, professor, sub-department of radiophysics and electronics, Ulyanovsk State University (42 L'va Tolstogo street, Ulyanovsk, Russia)
Мусич Дмитрий Олегович студент, Ульяновский государственный университет (Россия, г. Ульяновск, ул. Льва Толстого, 42)
E-mail: zokeraf@mail.ru
Musich Dmitriy Olegovich
Student, Ulyanovsk State University (42 L'va Tolstogo street, Ulyanovsk, Russia)
Образец цитирования:
Гадомский, О. Н. Спин-спиновое взаимодействие пространственно разнесенных электронных спинов в поле электромагнитного излучения / О. Н. Гадомский, Д. О. Мусич // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2020. - № 4 (56). -С. 57-68. - DOI 10.21685/2072-3040-2020-4-5.
