Специальное представление оператора монодромии периодической системы с последействием Текст научной статьи по специальности «Математика»

V(t) = Ha(t, 0,0), ф0^) = -a, ф(г) = Hay(t, 0, 0), a(t) = Hayy(t, 0, 0).

Производные в последних равенствах заменяются разностными аналогами, находятся матричные функции Na(t), Ma(t), Pa(t), с помощью которых управление (в форме синтеза) для задачи (2) записывается в следующем виде:

VIT(t> У) = -N-1(t) {Ma(t) + PT(t)y) .

3. Если t > ti, то осуществляется переход на второй шаг алгоритма, иначе полагается

u11 (t, x) = v11 (t, x — x1 (t)) + u1 (t), t £ T \ {tF}.

С помощью уравнений исходной системы находится соответствующий искомый элемент m11 = {x11 (t),uI1 (t)).

Метод был успешно применен для практической реализации скользящих режимов и для определения границы опасной зоны и управления вертолетом при посадке в нештатной ситуации.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гурман В.И. Принцип расширения в задачах управления. М.: Наука, 1997.

Гурман Владимир Иосифович Институт программных систем РАН Россия, Переславль-Залесский e-mail: [email protected]

Трушкова Екатерина Александровна Институт программных систем РАН Россия, Переславль-Залесский e-mail: [email protected]

Поступила в редакцию 7 мая 2007 г.

СПЕЦИАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОПЕРАТОРА МОНОДРОМИИ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ 1

© Ю. Ф. Долгий

Рассмотрим линейную периодическую систему дифференциальных уравнений с последействием

dx(t)

dt

= j dn(t,s) x(t + s), t Є R+ = (О, +ro), (1)

хРабота выполнена при поддержке РФФИ (проект №06-01-00399) и Программы фундаментальных исследований Президиума РАН № 13 «Математические методы в нелинейной динамике».

о

— г

где x : [—r, +го) ^ М”, матричная функция ц периодична по первому аргументу, с периодом

и, 0 < r ^ и, ц(^, 0) = 0. Полагаем, что функция ц измерима по Лебегу на множестве [0, и] х [—r, 0], при фиксированном t £ [0, и] функция n(t, •) имеет ограниченную вариацию на [0, и] и Var—r,o]n(t, •), t £ [0, и], является интегрируемой по Лебегу функцией на [0, и].

При указанных выше условиях система дифференциальных уравнений (1) для начального момента to =0 и произвольной начальной функции ф £ C([—r, 0], М”) имеет единственное решение x(-, ф) : [—r, +то) ^ М”, удовлетворяющее начальному условию x(s, ф) = ф(в) при s £ [—r, 0]. При описании качественного поведения системы (1), следуя Н. Н. Красовско-му, будем использовать функциональное пространство состояний C([—r, 0], М”), выбирая в качестве элементов решения функции xt(§, ф) = x(t + §, ф), § £ [—r, 0], t ^ 0 [1]. Устойчивость решений рассматриваемой системы с последействием можно описывать в терминах спектра линейного вполне непрерывного оператора монодромии [2], действующего в пространстве C([—r, 0], М”) и определяемого формулой Цф = xw(•, ф). Заменим пространство C([—r, 0], М”) сепарабельным гильбертовым пространством состояний Ы([—r, 0], М”) со скалярным произведением, определяемым формулой (ф, ф) = фТ (0) ф(0) + f0r фт(s) ф^) ds.

Пусть матричная функция

t

P(t, s) - TsJ n(^s — Z) d£, t ^ s ^ —r,

удовлетворяет условию vrai sup \P(•, s)| £ LlO(0, +ro). Тогда оператор U допускает не-

s€[-r, t]

прерывное расширение на пространство H([—r, 0], М”), с сохранением вполне непрерывности [3]. Расширение оператора монодромии на пространство H([—r, 0], М”) определяется формулой

о

(Цф)(§) = T(§) ф(0) + J S(§, s) ф(,в) ds, § £ [—r, 0].

-r

Здесь T(•) £ Ll^0C(—r, 0), vrai sup S(•, s) £ Ll£C(—r, 0).

s€[—r, 0)

Нас интересует возможность представления

U = K + V (2)

оператора монодромии, в котором K : H([—r, 0], М”) ^ H([—r, 0], М”) — конечномерный оператор, V : H([—r, 0], М”) ^ H([—r, 0], М”) — вольтерровый оператор. Наличие такого представления позволяет использовать итерационную процедуру при нахождении целой функции, определяющей характеристическое уравнение оператора монодромии [4].

Представление (2) имеет место для периодических систем (1), порождаемых дискретной мерой ц, которой соответствует система дифференциальных уравнений с постоянными запаздываниями, когда они рационально соизмеримы с периодом коэфффициентов. Для систем с переменными кусочно постоянными запаздываниями такое представление имеет место, если все значения запаздываний рационально соизмеримы с периодом. В работе [5] показано, что для кусочно постоянных запаздываний требование рациональной соизмеримости их значений можно ослабить. Для систем с переменным запаздыванием достаточные условия существования представления (2) получены в [6]. Если переменное запаздывание порождает диффеоморфизм окружности, то для существования рассматриваемого представления достаточно, чтобы число вращения диффеоморфизма было рациональным [7]. При нахождении условий существования представления (2), в случае абсолютно непрерывной меры ц используются результаты работы [8].

ЛИТЕРАТУРА

1. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959.

2. Шиманов С.Н. К теории линейных дифференциальных уравнений с последействием // Дифференц. уравнения. 1965. Т. 1, №1. С. 102-116.

3. Долгий Ю.Ф. Характеристическое уравнение в задаче асимптотической устойчивости периодической системы с последействием // Тр. Ин-та математики и механики. Екатеринбург: УрО РАН, 2005. Т. 11, №1. С. 65-96.

4. Долгий Ю.Ф. Определители возмущения в в задаче асимптотической устойчивости движений в периодических системах с последействием // Теория управления и теория обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби: тр. Междунар. семинара, посвящ. 60-летию акад. А.И. Субботина. Екатеринбург: Изд-во Урал. ун-та, 2006. Т. 1. C. 82-90.

5. Долгий Ю.Ф. О построении характеристического уравнения для дифференциальных уравнений с кусочно постоянным запаздыванием // Устойчивость и нелинейные колебания. Свердловск. 1979. С. 31-41.

6. Долгий Ю.Ф. О построении характеристического уравнения для системы дифференциальных уравнений с запаздыванием // Изв. вузов. Математика. 1977. №3. С. 9-19.

7. Долгий Ю.Ф. Представление оператора монодромии в виде суммы конечномерного и вольтеррова операторов // ДАН. 1994. Т. 334, №2. С. 138-141.

8. Жуковский Е.С. К теории уравнений Вольтерра // Дифференц. уравнения. 1989. Т. 25, №9. С. 1599-1605.

Долгий Юрий Филиппович

Уральский государственный ун-т

Россия, Екатеринбург

e-mail: [email protected]

Поступила в редакцию 5 мая 2007 г.

ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В ЗАДАЧАХ ИМПУЛЬСНОГО УПРАВЛЕНИЯ 1

© В. А. Дыхта

Рассматриваются достаточные условия оптимальности для некласических задач динамической оптимизации, в которых управлениями являются векторные меры, а траекториями — функции ограниченной вариации. Предлагаемый подход базируется на использовании семейства решений неравенства Гамильтона-Якоби (в частности, соответствующего уравнения) и развивает идеи, изложенные в [1,2] приминительно к класическим задачам оптимального управления. Заметим, что этот подход можно рассматривать как существенную модификацию известных достаточных условий оптимальности В.Ф. Кротова.

хРабота выполнена при поддержке РФФИ (проекты №07-01-00741, №05-01-00187).