Построение аппроксимирующих характеристических уравнений для стационарных систем дифференциальных уравнений с последействием Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

УДК 517.929 © Ю. Ф. Долгий

ПОСТРОЕНИЕ АППРОКСИМИРУЮЩИХ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ1

Рассматривается линейная стационарная система дифференциальных уравнений с последействием

(іх(і)

(М

= dц(fi)x(і + її), п(0) = 0, і Є М+ = (0, +го), (1)

7 — Г

где х : [—г, +го) ^ Мп; п — матричная функция с ограниченным изменением на [—г, 0].

В функциональном пространстве состояний С = С [—г, 0], Мп) данной системе ставится в соответствие уравнение (см. [1, Глава 6])

(1ан(О (ІІ

= Лхь(-), і Є М+, (2)

где Ах{д) = $ € [—г, 0]; О (А) = |ж(-) : х(-) € С1([—г, 0], Мга), ж'(0) = / (1г)({))х

^ ^__г

Для регулярных точек

Л € р(А) = |Л : ёеЦЛТга — J йп('&) ехр(Л$)) = 0, Л € с|

оператора А значения его резольвенты Е(Л, А) = (Л/ — А)_1 являются вполне непрерывными операторами и допускают представления в виде суммы конечномерного и вольтеррова операторов Я(Л, А) = К (Л) + V (Л), Л € С. Здесь /п —единичная матрица размерности п х п, С — множество комплексных чисел, / — тождественный оператор, конечномерные и вольтерровые операторы определяются соответственно формулами:

(К(Л)у)($) = ехр(Л$)^Л/п — J ^п(^)ехр(Л^^ (у(0) + J ! ехр(Л($ — в^у^йвйА

(V(Л)у)(її) = [ ехр(Л(її — s))y(s)ds, її Є [—г,0], у Є С, Л Є р(А).

Операторы Я(Л, А), К (Л), V (Л), Л Є р(А), допускают непрерывные расширения на сепарабельное гильбертовое пространство Н = И([—г, 0], М”) со скалярным произведением

Г0

(х,у) = у*(0)х(0)+ y*(її)x(її)dїї, х,у Є Н . Здесь символ « * » используется для обозначе-

■) —г

нии операции сопряжения элемента конечномерного пространства. Для расширений этих операторов оставим прежние обозначения. Формулы их определяющие также сохранятся.П остро-енные расширения операторов Я(Л,А), К (Л), V (Л), Л Є р(А), наследуют свойства вполне непрерывности, конечномерности и вольтерровости соответственно.

Характеристические показатели системы (1) совпадают с собственными числами оператора А , которые являются корнями трансцендентного характеристического уравнения

хРабота выполнена при поддержке программы фундаментальных исследований Президиума РАН № 13 «Математические методы в нелинейной динамике».

ёе^Л/п — J ^п($)ехр(Л$)^ =0, Л € С . Исследуем возможность аппроксимации этого уравнения полиноминальными уравнениями в ограниченной области комплексной плоскости. Реализации такой аппроксимации препятствует, прежде всего, неограниченность оператора А , которая не позволяет приближать его конечномерными операторами в равномерной операторной топологии. Здесь можно использовать неявную схему аппроксимации, при которой замена оператора А конечномерными операторами приводит к аппроксимации в равномерной операторной топологии эволюционного оператора сильно непрерывной полугруппы, порождаемой дифференциальным уравнением (2). Укажем работы, в которых решения системы с последействием (1) приближаются решениями системы обыкновенных дифференциальных уравнений большой размерности (см. [2], [3]). Явную схему аппроксимации можно связать с задачей построения конечномерных приближений для оператора Я(Ло,А), Ло € р(А) в равномерной операторной топологии. Полиномы, задающие характеристические уравнения конечномерных приближений, сходятся равномерно в замкнутой ограниченной области комплексной плоскости к целой функции, задающей характеристическое уравнение оператора Я(Ло, А), Ло € р(А) , если он — ядерный (см. [4, с. 203]). К сожалению, Я(Ло,А), Ло € р(А), являясь оператором Гильберта-Шмидта, не удовлетворяет, в общей ситуации, условию ядерности. Поэтому для обеспечения сходимости полиномов требуется регуляризация. Отметим, что оператор моно-дромии

где а > 8ир{ЛеЛ : Л € а(А)}, ст(А) = С/р(А) —спектральное множество оператора А, г ^ ш, является ядерным оператором. Его собственные числа являются мультипликаторами системы (1). При построении приближенных характических уравнений для мультипликаторов можно использовать полиномиальные аппроксимации (см. [5]).

Учитывая специальный вид представления оператора Я(Ло,А), Ло € р(А), предлагается при построении приближенных характеристических уравнений использовать определители возмущения (см. [4, с. 216]). Описывается итерационная процедура построения приближенных характеристических уравнений. Приводится оценка точности аппроксимации. Несомненное достоинство предлагаемой методики связано с использованием в вычислительной процедуре операторов, для которых известны явные аналитические представления.

1. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз. 1959.

2. Красовский Н. Н. Об аппроксимации одной задачи аналитического конструирования регуляторов в системе с запаздыванием. // Прикл. матем. и механ. 1964. Т. 28, № 4. C. 716-724.

3. Долгий Ю.Ф.,Сажина С. Д. Оценка экспоненциальной устойчивости систем с запаздыванием методом аппроксимирующих систем. // Дифференц. уравнения. 1985. Т. 21, № 9. C. 1480-1489.

4. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука. 1965. 448 с.

5. Долгий Ю. Ф. Характеристическое уравнение в задаче асимптотической устойчивости периодической системы с последействием. // Труды института математики и механики. Екатеринбург: УрО РАН. 2005. Т. 11, № 1. C. 85-96.

Долгий Юрий Филиппович Уральский государственный ун-т,

Россия, Екатеринбург e-mail: [email protected]

Список литературы

221 с.